Xem mẫu

  1. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM BỒI DƯỠNG HỌC SINH CÁCH TÌM TÒI LỜI GIẢI TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
  2. I. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình toán học phổ thông, bất đẳng thức (BĐT) là chuyên đề chứa đựng lượng kiến thức rất rộng, phong phú và cũng được coi là rất khó đối với học sinh. Bất đằng thức là một trong những bài toán được quan tâm đến nhiều ở các kỳ thi Học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học- Cao đẳng. Vì vậy dạy cho học sinh giải toán bất đẳng thức đòi hỏi phải dạy cho các em cách tìm tòi lời giải là việc làm cần thiết. Đa phần các bài toán về bất đẳng thức đòi hỏi ở học sinh tư duy rất cao, suy luận rộng và phải linh hoạt khi đi tìm cách giải. Một số học sinh rất ngại khi gặp bài toán về bất đẳng thức, cái ngại ở đây không phải do khối lượng kiến thức nhiều mà thông thường học sinh không nắm được phương pháp và kỹ thuật khi chứng minh bất đẳng thức vì các bài toán bất đẳng thức khó định hướng cách giải, nhiều bài toán phải sử dụng các bất đẳng thức trung gian rất khó nghĩ tới nên phần lớn học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi giải quyết các bài toán bất đẳng thức. Học sinh chỉ quen dùng phương pháp biến đổi tương đương khi gặp bài toán bất đẳng thức, khi điều này không khả thi thì lúng túng không biết nên bắt đầu từ đâu, đặc biệt là đối với những bài toán có sử dụng bất đẳng thức trung gian. Trong những bài toán đơn giản việc áp dụng bất đẳng thức quen thuộc, các phương pháp thường gặp trong giải bài toán bất đẳng thức thì học sinh dễ tiếp cận. Song đối với những bài toán phức tạp thì vấn đề không đơn giản chút nào. Như vậy để có thể giải các bài toán về bất đẳng thức phức tạp, người giải toán cần có một phương pháp, một kỹ thuật sử dụng để chứng minh bất đẳng thức. Bất đẳng thức được coi là rất khó nhưng cũng là phần quyến rũ nhiều học sinh say mê tìm tòi lời giải một cách sáng tạo. Với mong muốn giúp học sinh hứng thú tìm tòi lời giải trong các bài toán bất đẳng thức, tôi xin trình bày một số bài toán minh họa trong việc Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức. PHẦN I : CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm a+b Với hai số không âm a, b ta có ³ ab (1) 2 Dấu đẳng thức xảy ra Û a = b 2. Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm
  3. a+b+c 3 Với ba số không âm a, b , c ta có ³ abc 3 Dấu đẳng thức xảy ra Û a = b = c 3. Tổng quát: Với các số không âm a1, a2, ...., an có a1 + a2 + ... + an n ³ a1a2 ...an n Dấu đẳng thức xảy ra Û a1 = a2 ... = an 4. Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 cặp số. ( ax + by ) £ (a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) 2 Dấu “=” xảy ra khi ay – bx = 0 PHẦN II: CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA A. DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG GIAN: Một số BĐT trung gian thường gặp: 1. Chứng minh rằng: Nếu a ³ 0 và b ³ 0 thì a3+b3 ³ a2b + ab2. (1) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b Chứng minh: Ta có: a3+b3 ³ a2b + ab2 3 3 2 2 Û a +b - a b - ab ³ 0 2 2 Û a (a-b) – b (a - b) ³ 0 2 2 Û (a-b)(a – b ) ³ 0 2 Û (a-b) (a+b) ³ 0. BĐT sau cùng này luôn đúng với mọi a ³ 0 và b ³ 0 nên BĐT đã cho đúng với mọi a ³ 0 và b ³ 0. Dấu bằng xảy ra khi a = b. 1 1 4 2. Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng: + ³ . (2) a b a+b Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b Chứng minh: 1 1 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương là , ta có: a b 1 1 1 2 + ³2 = a b ab ab Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương là a và b, ta có: a + b ³ 2 ab . 1 1 Nhân vế theo vế hai BĐT trên ta được BĐT ( a + b )( + ) ³ 4. a b
  4. 1 1 4 Suy ra + ³ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b a b a+b 3. Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng: 1 4 ³ (3) ab ( a + b) 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b Chứng minh: Ta có BĐT (3) Û ( a + b )2 ³ 4ab Û a 2 + 2ab + b 2 ³ 4ab . Û a - 2ab + b ³ 0 Û ( a - b ) ³ 0 . Đây là BĐT đúng. 2 2 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b 4. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 9 + + ³ (4) a b c a+b+c Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Chứng minh: 1 1 1 Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương là , , và a, b, c ta được: a b c 1 1 1 1 + + ³ 3. 3 , a + b + c ³ 3. 3 abc . Nhân vế theo vế của hai a b c abc æ1 1 1ö ÷³ 9 BĐT trên ta được: (a + b + c)ç + + ç ça b ÷ ÷ è cø 1 1 1 9 Û + + ³ . Đây là BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra a b c a+ b+ c khi và chỉ khi a = b = c …. Bây giờ ta sẽ sử dụng bất đẳng thức trung gian để chứng minh một số BĐT phức tạp khác. Lưu ý rằng phải chứng minh các BĐT này trước khi dùng. Bài toán 1: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng: a 3 + b3 b3 + c 3 c3 + a 3 + + ³ a + b + c. 2ab 2bc 2ca Phân tích: nhìn vào BĐT trong bài toán 1, ta nghĩ ngay đến BĐT (1) Bài giải: Ta sẽ sử dụng BĐT (1) như sau: a 3 + b3 a + b 3 3 Ta có a +b ³ a b + ab 2 2 3 3 Û a +b ³ ab(a+b) Û ³ (1.1) 2ab 2
  5. b3 + c 3 b + c c3 + a3 c + a Tương tự ta cũng có: ³ , (1.2) ³ (1.3) . 2bc 2 2ca 2 Cộng theo từng vế các BĐT (1.1), (1.2), (1.3) lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài toán 2: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + 3 + 3 £ . a 3 + b 3 + abc b + c 3 + abc c + a 3 + abc abc Phân tích: nhìn vào BĐT trong bài toán 1, ta nghĩ ngay đến BĐT (1) Bài giải : Ta có: a3+b3 ³ a2b + ab2 Û a3+b3 + abc ³ a2b + ab2 +abc 3 3 Û a +b + abc ³ ab(a+b+c) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b 1 1 c Từ đó 3 £ = , Tương tự ta có: a + b + abc ab ( a + b + c ) abc ( a + b + c ) 3 1 a 1 b £ ; £ ; b + c + abc abc (a + b + c) 3 3 c + a + abc abc (a + b + c ) 3 3 Cộng các BĐT này lại với nhau theo từng vế ta được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài toán 3: Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ³ 4( + + + ) a b c d 2a + b + c 2b + c + d 2c + d + a 2d + a + b Phân tích: nhìn vào BĐT trong bài toán 3, ta nghĩ ngay đến BĐT (2) Bài giải: Ta áp dụng BĐT (2) như sau: 1 1 1 1 4 4 1 1 1 1 1 1 + + + ³ + Û + + + ³ 4( + ). a b a c a+b a+c a b a c a+b a+c 2 1 1 1 1 16 Tương tự ta có: Û + + ³ 4( + )³ a b c a+b a+c 2a + b + c 2 1 1 16 + + ³ ; b c d 2b + c + d 2 1 1 16 + + ³ ; c a d 2c + a + d 2 1 1 16 + + ³ . d a b 2d + a + b Cộng các BĐT trên lại với nhau và rút gọn ta được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d Bài toán 4: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 + + ³ + + . a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c a + b + 2c 2a + b + c
  6. Bài giải: Ta vận dụng BĐT (2) để chứng minh BĐT trên như sau: Ta có: 1 1 4 1 1 2 + ³ Û + ³ . a + 3b a + b + 2c a + 3b + a + b + 2c a + 3b a + b + 2c a + 2b + c Tương tự ta cũng có: 1 1 2 1 1 2 + ³ ; + ³ . b + 3c 2a + b + c a + b + 2c c + 3a 2b + a + c b + 2a + c Cộng theo từng vế các BĐT trên lại ta có BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài toán 5: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + + ³ (2a + b)(2c + b) (2b + c)(2a + c) (2b + a )(2c + a ) (a + b + c) 2 Phân tích: nhìn vào BĐT trong bài toán 5, ta nghĩ ngay đến BĐT (3) Bài giải: Ta vận dụng BĐT (3) cho 2 số dương là 2a+b và 2c+b ta có: 1 4 1 4 ³ Û ³ (2a + b)(2c + b) (2a + b + 2c + b) 2 (2a + b)(2c + b) (2a + 2b + 2c) 2 1 1 Û ³ (2a + b)(2c + b) (a + b + c) 2 Tương tự ta có: 1 1 ³ , (2b + c)(2a + c) (a + b + c) 2 . 1 1 ³ (2b + a )(2c + a ) (a + b + c) 2 Cộng theo từng vế các BĐT trên lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh. Bài toán 6: Cho a, b, c ,d là các số dương. Chứng minh rằng: a+c b+d 4 + ³ . (a + b)(c + d ) (a + d )(b + c) a + b + c + d Phân tích: nhìn vào BĐT trong bài toán 5, ta nghĩ ngay đến BĐT (3) Bài giải: Ta áp dụng BĐT (3) cho 2 số dương là a+b và c+d, ta có: 1 4 a+c 4( a + c ) ³ Û ³ . (a + b)(c + d ) (a + b + c + d ) 2 (a + b)(c + d ) (a + b + c + d ) 2 Tương tự áp dụng cho 2 số dương a+d và b+c ta có: b+d 4(b + d ) ³ . ( a + d )(b + c) ( a + b + c + d ) 2 Cộng vế theo vế 2 BĐT trên lại ta được BĐT cần chứng minh. Bài toán 7: Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng: 3 2 a+b 12 + + ³ . a + b c + d ( a + c )( b + d ) a + b + c + d
  7. Bài giải: Ta có: = [2(a + b ) + 3(c + d )] 3 2 1 1 + = (2a + 2b + 3c + 3d ) a+b c+d (a + b)(c + d ) (a + b)(c + d ) Áp dụng BĐT (3) cho 2 số dương là a+b và c+d ta có: 1 4 1 4(2a + 2b + 3c + 3d) ³ Û (2a + 2b + 3c + 3d) ³ (a + b)(c + d) (a + b + c + d)2 (a + b)(c + d) (a + b + c + d)2 . 3 2 8a + 8b + 12c + 12d Do đó: + ³ . a+b c+d (a + b + c + d )2 a+b 4( a + b ) Tương tự ta cũng có: ³ . (a + c)(b + d ) (a + b + c + d ) 2 Cộng theo từng vế các BĐT trên lại với nhau và rút gọn ta được BĐT cần chứng minh. Bài toán 8: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng 1 1 1 3 + + ³ . 2a + b 2b + c 2c + a a + b + c Phân tích: nhìn vào BĐT trong bài toán 8, ta nghĩ ngay đến BĐT (4) Bài giải: Áp dụng BĐT (4) cho 3 số dương là 2a+b, 2b+c, 2c+a, ta có: 1 1 1 9 + + ³ 2a + b 2b + c 2c + a 2a + b + 2b + c + 2c + a 1 1 1 9 Û + + ³ 2a + b 2b + c 2c + a 3( a + b + c ) 1 1 1 3 Û + + ³ 2a + b 2b + c 2c + a a + b + c Đây là BĐT cần chứng minh. Bài toán 9: a 2 c b 2 a c 2b 9 Chứng minh: S = 5 + 5 + 5 ³ ( a , b, c > 0 ) b c a ab + bc + ca Phân tích: Từ BĐT cần chứng minh, ta nghĩ đến bất đẳng thức: æ 1 1 1 ö 9 với a, b, c > 0, dấu đẳng thức xảy ra khi a = b ç + + ÷³ è ab bc ca ø ab + bc + ca =c a 2 c b 2 a c 2b 1 1 1 Vậy ta phải chứng minh: S = 5 + 5 + 5 ³ + + b c a ab bc ca Bài giải:
  8. Theo bất đẳng thức Cô-si 2 ac 1 1 3 5 + + ³ 2 (9.1) b ac ab b b2a 1 1 3 5 + + ³ 2 (9.2) cộng vế theo vế 3 BĐT (9.1), (9.2), (9.3) lại c ab bc c c 2b 1 1 3 5 + + ³ 2 (9.3) a ac bc a æ 1 1 1 ö æ 1 1 1ö ta được: S + 2 ç + + ÷ ³ 3 ç 2 + 2 + 2 ÷ (9.4) è ab bc ca ø èa b c ø Áp dụng BĐT Cô-si : 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ( 2 + 2 )+( 2 + 2 )+( 2 + 2 ) ³ + + a b b c c a ab bc ca 1 1 1 1 1 1 Û 2+ 2+ 2 ³ + + (9.5) a b c ab bc ca 1 1 1 Từ (9.4) và (9.5) Þ S ³ + + (9.6) ab bc ca Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: æ 1 1 1 ö 1 1 1 9 ç + + ÷ ( ab + bc + ca ) ³ 9 Û + + ³ (9.7) è ab bc ca ø ab bc ca ab + bc + ca 9 Từ (9.6) và (9.7) suy ra S ³ Đây là BĐT cần chứng minh. ab + bc + ca Dấu đẳng thức xảy ra Û a = b = c Bài toán 10: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 1 2 3 + 2 2 ³( 2 )2 a +b +c 4 4 4 a b +b c +c a 2 2 2 2 a +b +c 2 2 Bài giải: Ta viết lại BĐT cần chứng minh như sau: 1 1 1 3 + 2 2 + 2 2 ³( 2 )2 . a +b +c 4 4 4 a b +b c +c a 2 2 2 2 a b +b c +c a 2 2 2 2 a +b +c 2 2 Áp dụng BĐT (4) cho 3 số dương a + b + c , a b + b c + c2a2 và a2b2 4 4 4 2 2 2 2 + b2c2 + c2a2, ta có: 1 1 1 9 + 2 2 2 2 2 2+ 2 2 2 2 2 2³ 4 4 4 a4 + b4 + c4 a b + b c + c a a b + b c + c a a + b + c + 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 1 1 1 3 Û 4 + 2 2 + 2 2 ³( 2 )2 . a +b +c4 4 a b +b c +c a 2 2 2 2 a b +b c +c a 2 2 2 2 a +b +c 2 2 BĐT được chứng minh. Bài tập áp dụng :
  9. 1. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 1 + 1 + 1 = 4 . Chứng minh rằng: x y z 1 1 1 + + £1 2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z a 3 b3 c3 2. Cho a, b, c Chứng minh rằng: + + ³ ab + bc + ca. b c a 3. Cho a, b là các số dương.Chứng minh rằng: 1 1 1 + ³ . 4a + 4b 2 2 8ab (a + b) 2 4. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 + + ³ + + . a+b-c a-b+c -a+b+c a b c 5. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 + + ³ 2( + + ) p-a p-b p-c a b c Với p là nửa chu vi của tam giác 6. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 9 + + ³ 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b 4(a + b + c) 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: a b c 3 + + ³ b+c c+a a+b 2 8. Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn a+b+c £ 3. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + + ³ . 1+ a 1+ b 1+ c 2 9. Cho a, b, c là các số dương và thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 + 2 + 2 ³9 a + 2bc b + 2ca c + 2ab 2 10. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 4 1 1 1 2 + + ³ ( + + ) ab bc ca 3 a + b b + c c + a
  10. B. KỸ THUẬT CHỌN “ĐIỂM RƠI” Các bất đẳng thức thông thường là đối xứng với các biến, từ đó ta dự đoán dấu bằng xảy ta khi các biến bằng nhau và xảy ra tại điểm biên. 1 10 Ví dụ : Cho a ≥ 3 chứng minh a + ³ a 3 1 10 Phân tích: Dự đoán với a ³ 3, a + = Û 3a 2 - 10a + 3 = 0 Û a = 3 . a 3 ( điểm rơi) 1 1 Khi a = 3 Þ = : không thể sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số a a 3 1 và được vì dấu bằng không xẩy ra. a 1 Vậy phải sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số ma và , ta chọn m sao cho: a ì ï 1 ï ma = ï 1 í a Þ m= ï ïa= 3 9 ï î Bài giải: 1 1 1 8 a 1 a 1 2 a+ = a + + a theo bất đẳng thức Cô-si + ³2 . = a 9 a 9 9 a 9 a 3 8a 8 1 2 8 10 Với a ³ 3 Þ ³ Vậy a + ³ + = 9 3 a 3 3 3 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = 3 Phân tích tìm lời giải: 1. Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra của BĐT hay các biến bằng nhau mà tại đó biểu thức đạt GTLN, GTNN. 2. Từ dự đoán dấu đẳng thức xảy ra, kết hợp với các BĐT quen thuộc ta tìm tham số sao cho dấu đẳng thức xảy ra ở mỗi bước này phải giống như dấu đẳng thức xảy ra ở bước dự đoán ban đầu. 3. Với tham số tìm được ta bắt tay vào giải bài toán . Sau đây là một số bài toán minh hoạ: Bài toán 1: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1.
  11. 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a + b + c + + + a b c Phân tích: Do vai trò của a, b, c như nhau và a + b + c = 1, dự đoán P nhỏ 1 1 nhất Û a = b = c = . Khi đó ta dùng BĐT Cô-si cho 2 số: ma và thì: 3 a ì ï 1 ï ma = ï ï a 1 í Þ m = 9 Þ 9a + ³ 6 . ï ï a= 1 a ï ï ï î 3 Bài giải: Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương ta có: 1 1 1 9a + ³ 6 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 9a = Þ a = a a 3 1 1 1 9b + ³ 6 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 9b = Þ b = b b 3 1 1 1 9c + ³ 6 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 9c = Þ c = c c 3 Cộng từng vế các BĐT trên ta có: 1 1 1 9(a+b+c)+ + + ³ 18 a b c 1 1 1 Û P = a + b + c + + + ³ 18 - 8(a + b + c )= 18 - 8 = 10 a b c 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3 1 Vậy minP = 10 khi và chỉ khi a = b = c = 3 Bài toán 2: Chứng minh: 3 3 3 a b c 1 S= + + ³ ( a+b+c ) (a, b, c > 0) ( 3b+c ) ( 3c+a ) ( 3a+b ) 2 2 2 16 Phân tích: Do vai trò của a,b,c trong bất đẳng thức là như nhau nên dấu a3 b3 c3 a b c bằng xảy ra khi a = b = c. Khi đó: = = = = = ( 3b+c ) ( 3c+a ) ( 3a+b ) 2 2 2 16 16 16 3 a .Ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số: ; 3b+c ; 3b+c ( 3b+c ) 2 vì dấu bằng không xảy ra . Ta làm vế phải xuất hiện a nên ta phải áp dụng 3 a 3b+c 3b+c bất đẳng thức Cô-si cho 3 số: ; ; , ta tìm m sao cho: ( 3b+c ) 2 m m
  12. 3 a 3b+c = với a = b = c Þ m = 64 ( 3b+c ) 2 m Bài giải : Áp dụng Cô-si ta có: a 3 ( 3b+c ) 2 a3 3b+c 3b+c 3 + + ³ 33 = a ( 3b+c ) 64 ( 3b+c ) .64 16 2 2 2 64 Tương tự: b 3 ( 3c+a ) 2 b3 3c+a 3c+a 3 + + ³3 3 = b ( 3c+a ) 64 ( 3c+a ) .642 16 2 2 64 c ( 3a+b ) 3 3 2 c 3a+b 3a+b 3 + + ³ 33 = c ( 3a+b ) ( 3a+b ) .642 64 2 2 64 64 Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức trên ta có: 1 3 1 S+ + ( a+b+c ) ³ ( a+b+c ) Û S ³ ( a+b+c ) 8 16 16 Đẳng thức xảy ra khi: a = b = c Bài toán 3: Chứng minh: S= a4 + b4 + c4 1 ( ³ a 3 +b3 +c 3 a+3b b+3c c+3d 4 ) (a,b,c > 0) Phân tích: Vì tính đối xứng của a, b, c trong BĐT nên dấu đẳng xảy ra khi a = b = c. Ta làm vế phải xuất hiện a3 nên cần áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số: a 4 ( a + 3b ) a 2 ; và phải tìm m sao cho: a + 3b m ì a4 ï = ( a + 3b ) a 2 í a + 3b m Þ m = 16 ï a =b=c î Bài giải: Áp dụng BĐT Cô-si, ta có: a4 + (a + 3b )a 2 ³ 1 a 3 a + 3b 16 2 b4 (b + 3c)b 2 1 3 + ³ b b + 3c 16 2 c4 (c + 3a)c 2 1 3 + ³ c c + 3a 16 2 Cộng vế với vế bất đẳng thức cũng chiều trên ta có 1 3 3 1 S+ ( a + b 3 + c 3 ) + ( a 2b + b 2 c + c 2 a ) ³ ( a 3 + b 3 + c 3 ) 16 16 2 7 3 3 S≥ (a + b 3 + c 3 ) - ( a 2 b + b 2 c + c 2 a ) (1) 16 16 Mặt khác theo BĐT Cô-si ta có:
  13. a 3 + a3 + b3 ³ 3a 2b ü ï b3 + b3 + c 3 ³ 3b 2c ý Þ a 2b + b 2c + c 2 a £ a 3 + b3 + c 3 c 3 + c 3 + a 3 ³ 3c 2 a ï þ 3 2 3 Þ- (a b + b 2c + c 2 a) ³ - (a 3 + b3 + c 3 ) (2) 16 16 Từ (1) và (2) suy ra a4 b4 c4 1 S= + + ³ ( a 3 + b3 + c3 ) a + 3b b + 3c c + 3a 4 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c Bài toán 4 : Cho a, b, c > 0 và a + b +c ³ 1 a3 b3 c3 Tìm giá trị nhỏ nhất của : S = + + b + c a + c a +b Phân tích: Do tính đối xứng của a, b, c và a + b +c ³ 1 nên ta dự đoán S 1 nhỏ nhất khi a = b = c = 3 a3 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ số ; (b + c)m ; n b+c ì a3 ï b + c = ( b + c )m = n ï 1 1 Ta phải tìm m , n sao cho: í Þm= ;n= ï 1 12 18 a =b=c = ï î 3 Bài giải : Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: a3 b+c 1 a3( b + c ) 1 + + ³ 33 = a b + c 12 18 ( b + c ).12.18 2 Tương tự: b3 a+a 1 b3 ( c + a ) 1 + + ³ 33 = b c+a 12 18 ( c + a ).12.18 2 c3 b+a 1 c3( b + a ) 1 + + ³ 33 = c b+a 12 18 ( b + a ).12.18 2 Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta có: 1 1 1 S + ( a + b + c) + ³ (a + b + c ) 6 6 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Û S ³ (a + b + c) - ( a + b + c) - = ( a + b + c) - ³ - = 2 6 6 3 6 3 6 6 ( vì a + b + c ³ 1 )
  14. 1 1 Vậy MinS = khi a = b = c = 6 3 Bài toán 5: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn : a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 3 a + b + 3 b + c + 3 c + a £ 3 18 Phân tích: Do vai trò của a, b, c như nhau và a + b + c = 1, dự đoán dấu 1 bằng xảy ra Û a = b = c = 3 2 2 2 2 Þ a+ b= ; b+ c= c+ a= Þ hằng số cần thêm là 3 3 3 3 Từ giả thiết ta nghĩ cần đưa BĐT trên thành: 3 a + b + 3 b + c + 3 c + a £ 3 18 ( a + b + c ) và biến đổi: 2 2 4 a+b+ + a+b+ 93 2 2 9 3 3=39 3 a+b = 3 (a + b) . . £ 3 3 ,tương tự rồi 4 3 3 4 3 4 3 cộng lại. Bài giải: Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương ta có: 2 2 4 a+b+ + a+b+ 9 2 2 9 3 3=39 3 a + b = 3 3 (a + b) . . £ 3 3 4 3 3 4 3 4 3 2 2 4 b+c+ + b+c+ 9 2 2 9 3 3=39 3 b + c = 3 3 (b + c ) . . £ 3 3 4 3 3 4 3 4 3 2 2 4 c+a+ + c+a+ 9 2 2 9 3 3=39 3 c + a = 3 3 (c + a) . . £ 3 3 4 3 3 4 3 4 3 Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được: 9 2(a + b + c) + 4 3 9 6 3 3 a+b + 3 b+c + 3 c+a £ . 3 = . = 18 4 3 4 3 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3 ì a, b > 0 1 1 Bài toán 6: Cho í , tìm GTNN của biểu thức P = 2 2 + + 4ab . îa + b £ 1 a +b ab Phân tích: Ta có : 1 1 1 4 1 4 æ 1 ö P= 2 2 + + + 4ab ³ 2 2 + + 4ab = 2 +ç + 4ab ÷ a +b 2ab 2ab a + b + 2ab 2ab (a + b) è 2ab ø .
  15. 1 1 Mặt khác + 4ab ³ 2 .4ab = 2 2 . Vậy P³ 4+2 2 nên 2 ab 2ab MinP = 2(2 + 2) ìa = b ï ï 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi í = 4 ab Þ VN . Dấu bằng không xảy ra Þ ï 2 ab ïa + b = 1 î không kết luận được MinP = 4 + 2 2 1 Do P là biểu thức đối xứng với a, b , ta dự đoán MinP đạt tại a = b = , ta 2 có: 1 1 4 Khi đó + ³ , dấu “=” xảy ra khi a = b a 2 + b2 2ab (a + b)2 1 1 = 4 ab với a = b = Þ m = 4 Vậy ta phải phân tích mab 2 1 1 æ 1 ö 1 P= + + ç 4ab + ÷+ 2 a +b 2 2ab è 4ab ø 4 ab Bài giải: Áp dụng BĐT phụ (1)Ta có: 1 1 4 ì a, b > 0 P= + ³ ³ 4 ( do í ) a 2 + b2 2 ab (a + b)2 î a +b £1 Áp dụng BĐT Cô-si: æ 1 ö 1 1 1 ç 4 ab + ÷+ ³ 2 4 ab. + ³ 2 +1 = 3 è 4ab ø 4ab 4ab æ a+bö 2 4ç ÷ è 2 ø 1 1 æ 1 ö 1 P= 2 + + ç 4ab + ÷+ ³ 4+3= 7 a +b 2 2ab è 4ab ø 4ab ìa 2 + b2 = 2ab ï ï 1 1 Dấu bằng xảy ra Û í4ab = Û a=b= . ï 4ab 2 ïa + b = 1 î 1 Vậy GTNN của P bằng 7 khi a = b = 2 Bài toán 7:Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 chứng minh: a3 b3 c3 3 + + ³ (a + b)(a + c) (b + c)(b + a) (c + a)(c + b) 4 Phân tích: Vì a + b + c = 3 nên
  16. a3 b3 c3 a+b+c S= + + ³ (a + b)(a + c) (b + c)(b + a ) (c + a )(c + b) 4 Áp dụng Cô-si cho 3 số thì khi đó: a3 1 = m(a + b) = n(a + c) với a = b = c = 1 Þ m = n = (a + b)(a + c) 8 Bài giải: Áp dụng BĐT Cô-si ta có: a3 ( a + b) ( a + c) a3 (a + b) ( a + c) 3 + + ³ 33 . . = a (a + b)(a + c) 8 8 (a + b)(a + c) 8 8 4 b3 (b + c ) (b + a) b3 (b + c ) (b + a) 3 + + ³ 33 . . = b (b + c)(b + a ) 8 8 (b + c)(b + a ) 8 8 4 c3 (c + a ) (c + b ) c3 (c + a ) (c + b) 3 + + ³ 33 . . = c (c + a)(c + b) 8 8 (c + a )(c + b) 8 8 4 Cộng vế theo vế 3 BĐT trên ta được: 1 3 1 3 S+ (a + b + c) ³ (a + b + c) S ³ (a + b + c ) = (ĐPCM) 2 4 4 4 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1 Bài toán 8: Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z £ 1 , chứng minh rằng: 1 1 1 P = x2 + + y2 + + z2 + ³ 82 x2 y2 z2 1 Phân tích: Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z = ; và biểu thức 3 trong căn gợi cho tam sử dụng BĐT Bunhiacôpxki sao cho: 2 æ 2 1 ö 2 x ø ( 2 æ ) bö ç x + 2 ÷ a + b ³ ç a x + ÷ với a , b là những số thỏa mãn: è è xø 1 x x 1 a 1 = = Û x 2 = = , chọn a = 1, b = 9 a b bx b 9 2 1 ö 9ö 1 1 æ 9ö æ è x ø ( ) æ Ta có ç x 2 + 2 ÷ 12 + 92 ³ ç x + ÷ Þ x 2 + 2 ³ è xø x ç x + ÷ , tương tự ta 82 è xø có: 1 é æ 1 1 1 öù P³ ê( x + y + z ) + 9 ç + + ÷ ú . Để chứng minh BĐT này ta dùng Cô- 82 ë è x y z øû ì 1 1 1 1 ïx + y + z = m ( x + y + z ) ï si, ta phải chọn m sao cho: í Þm=9 ï x= y=z= 1 ï î 3
  17. Þ Ta phải phân tích: æ 1 1 1ö 1 æ 1 1 1 ö 80 æ 1 1 1 ö (x + y + z) + 9ç + + ÷ = (x + y + z) + ç + + ÷ + ç + + ÷ èx y zø 9è x y z ø 9 è x y z ø Bài giải : 2 1 ö 9ö 1 1 æ 9ö æ è x ø (æ è xø ) Ta có ç x 2 + 2 ÷ 12 + 92 ³ ç x + ÷ Þ x 2 + 2 ³ x ç x + ÷ , tương tự ta 82 è xø có: 2 æ 2 1 ö 2 ç è y ÷ø 2 æ è ( 9ö çy + 2 ÷ 1 +9 ³çy+ ÷ Þ yø ) y2 + 1 y2 ³ 1 æ 9ö çy+ ÷ 82 è yø 2 æ 2 1 ö 2 è z ø ( 2 æ è 9ö zø 2 ) 1 çz + 2 ÷ 1 +9 ³çz+ ÷ Þ z + 2 ³ z 1 æ 9ö ç z + ÷ Suy ra: 82 è zø 1 é æ 1 1 1 öù P³ ê( x + y + z ) + 9 ç + + ÷ ú , 82 ë è x y z øû Phân tích : ( x + y + z ) + 9 æ 1 + 1 + 1 ö = ( x + y + z ) + 1 æ 1 + 1 + 1 ö + 80 æ 1 + 1 + 1 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ èx y zø 9è x y zø 9 èx y zø vì ( x + y + z ) æ 1 + 1 + 1 ö ³ 9 ç ÷ èx y zø nên ta có : ( x + y + z ) + 1 æ 1 + 1 + 1 ö ³³ 2 ( x + y + z ) æ 1 + 1 + 1 ö ³ 2 9 = 2 .3 = 2 ç ÷ ç ÷ 9è x y zø 3 èx y zø 3 3 Và 80 æ 1 + 1 + 1 ö ³ 80 9 ³ 80 ç ÷ 9 è x y zø 9 x+ y+z é ù Từ đó: P ³ 1 ê( x + y + z ) + 9 æ 1 + 1 + 1 ö ú ³ 1 (2 + 80) = 1 .82 = 82 . ç ÷ 82 ë x y z è øû 82 82 1 Vậy P ³ 82 , dấu “=” xảy ra khi x = y = z = . 3 ìa, b, c > 0 Bài toán 9: Cho í . îa + b + c £ 1 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của S = bc + 2 + ca + 2 + ab + 2 a b c Phân tích: Từ BĐT gợi ý ta sử dụng phương pháp vectơ: Đặt: ® æ 1ö ® æ 1ö ® æ 1ö ® ® ® æ 1 1 1ö u = ç bc ; ÷ ; v = ç ca ; ÷ ; w = ç ab ; ÷ Þ u + v + w = ç ab + bc + ca ; + + ÷ è aø è bø è cø è a b cø ( ) ® ® ® ® ® ® 2 æ 1 1 1ö Vì u + v + w ³ u + v + w nên S ³ 2 ab + bc + ca +ç + + ÷ èa b cø
  18. 1 Do tính đối xứng của a, b, c nên S nhỏ nhất khi a = b = c = . Khi đó: 3 2 ì ( æ1 1 1ö ) 2 ïm ab + bc + ca = ç + + ÷ ï èa b cø Ta tìm m sao cho í Þ m = 81 ï a=b=c= 1 ï î 3 ( ) 2 2 æ 1 1 1ö Ta phân tích S ³ ab + bc + ca +ç + + ÷ èa b cø ( ) ( ) 2 2 æ1 1 1ö 2 = 81 ab + bc + ca + ç + + ÷ - 80 ab + bc + ca èa b cø Bài giải: Đặt ® æ 1ö ® æ 1ö ® æ 1ö ® ® ® æ 1 1 1ö u = ç bc ; ÷ ; v = ç ca ; ÷ ; w = ç ab ; ÷ Þ u + v + w = ç ab + bc + ca ; + + ÷ è aø è bø è cø è a b cø ( ) ® ® ® ® ® ® 2 æ 1 1 1ö Vì u + v + w ³ u + v + w nên S ³ 2 ab + bc + ca +ç + + ÷ èa b cø ( ) ( ) 2 2 æ1 1 1ö 2 81 ab + bc + ca + ç + + ÷ - 80 ab + bc + ca èa b cø Theo bất đẳng thức Cô-si ( ) ( ) 2 2 2 æ1 1 1ö æ1 1 1ö2 81 ab + bc + ca + ç + + ÷ ³ 2 81 ab + bc + ca .ç + + ÷ èa b cø èa b cø = 18 ( æ1 1 1ö ab + bc + ca ç + + ÷ ³ 18.9 èa b cø ) Vì theo bất đẳng thức Cô-si ab + bc + ca ³ 3 3 abc ü 1 1 1 + + ³3 3 1 ï æ1 1 1ö ý Þ ab + bc + ca ç + + ÷ ³ 9 èa b cø ( ) ï a b c abc þ Lại vì do áp dụng BĐT Cô-si ta có ab + bc + ca £ a + b + c £ 1 nên: 80( ab + bc + ca ) £ 80 . Vậy: ( ) ( ) 2 2 æ1 1 1ö 2 81 ab + bc + ca + ç + + ÷ - 80 ab + bc + ca ³ 18.9 - 80 = 82 èa b cø 1 S = 82 Û a = b = c = 3 1 Vậy S min = 82 Û a = b = c = 3
  19. ì a , b, c > 0 ï Bài toán 10: Cho í 3 Tính min ïa + b + c £ 5 î 1 1 1 S = a2 + 2 + b2 + 2 + c 2 + 2 b c a Bài giải: Đặt ® æ 1ö ® æ 1ö ® æ 1ö ® ® ® æ 1 1 1ö u = ç a; ÷ ; v = ç b; ÷ ; w = ç c; ÷ Þ u + v + w = ç a + b + c; + + ÷ è aø è bø è cø è a b cø ® ® ® ® ® ® Vì u + v + w ³ u + v + w 2 æ1 1 1ö Nên S ³ ( a + b + c ) + ç + + ÷ 2 èa b cø 3 ( Phân tích : Do tính chất đối xứng giữa a, b, c và a + b + c £ nên ta có S 5 1 min khi a = b = c = . Khi đó ta tìm m sao cho: 5 ì æ1 1 1ö 2 ïm ( a + b + c ) = ç + + ÷ 2 ï è a b c ø Þ m = 625 ) í ï a=b=c= 1 ï î 5 2 æ1 1 1ö S ³ (a + b + c) + ç + + ÷ 2 èa b cø 2 æ1 1 1ö = 625 ( a + b + c ) + ç + + ÷ - 624 ( a + b + c ) 2 2 èa b cø 2 æ1 1 1ö æ3ö 9 5634 ³ 50(a + b + c ) ç + + ÷ - 624.ç ÷ ³ 50.9 - 624. = èa b cø è5ø 25 25 æ1 1 1ö 3 Vì ( a + b + c ) ç + + ÷ ³ 9 và a + b + c £ èa b cø 5 5634 1 Vậy Min S = khi a = b = c = 5 5 Bài toán 11: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . a b c 3 3 Chứng minh rằng: S = + + ³ 1- a 1- b 1- c 2 2 2 2 Phân tích:
  20. Do tính đối xứng của a, b, c và a 2 + b 2 + c 2 = 1 nên ta dự đoán dấu đẳng thức 1 xảy ra khi: a = b = c = . 3 1 Ta hãy xét hàm số f ( x ) mà f / ( x ) = 0 Û x = Û 1 - 3x 2 = 0 3 Vậy hàm số mà ta phải xét là: f ( x ) = x - x = x (1 - x ) với x Î ( 0;1) ( do a, 3 2 b, c dương và a 2 + b 2 + c 2 = 1 nên a, b, c Î ( 0;1) ) do đó phải đưa : a b c 3 3 a2 b2 c2 3 3 S= + + ³ Û + + ³ 1- a 1- b 1- c 2 2 2 2 a (1 - a ) b(1 - b ) c(1 - c ) 2 2 2 2 Bài giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với BĐT: a2 b2 c2 3 3 + + ³ a (1 - a ) b(1 - b ) c(1 - c ) 2 2 2 2 Ta xét hàm số f ( x ) = x (1 - x ) = x - x với x Î ( 0;1) . Ta có : 2 3 1 f / ( x ) = 1 - 3x 2 , f / ( x ) = 0 Û 1 - 3 x 2 = 0 Û x = (vì x > 0 ) 3 Bảng biến thiên: 1 x 0 1 3 f / ( x) + 0 - 2 f(x) 3 3 æ 1 ö f ( x ) = x (1 - x 2 ) £ f ç 2 Từ bảng biến thiên ta suy ra: ÷= với è 3ø 3 3 1 3 3 x2 3 3 2 x Î ( 0;1) . Suy ra với x Î ( 0;1) ta có ³ Û ³ x x (1 - x 2 ) 2 x (1 - x 2 ) 2 a2 3 3 2 b2 3 3 2 c2 3 3 2 Từ đó: ³ a; ³ b; ³ c . a (1 - a ) 2 2 b (1 - b ) 2 2 c (1 - c ) 2 2 Cộng vế theo vế 3 BĐT trên ta được: a2 b2 c2 3 3 2 3 3 + + ³ (a + b 2 + c 2 ) = (ĐPCM) a (1 - a ) b (1 - b ) c (1 - c ) 2 2 2 2 2 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi: a = b = c = . 3 Bài toán 12:
nguon tai.lieu . vn