Sáng kiến kinh nghiệm: Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị Trường THPT Ngô Quyền Mã số: ................................ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Người thực hiện: ĐỖ TẤT THẮNG. Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN  Lĩnh vực khác: .........................................................  Có đính kèm: Mô hình Đĩa CD(DVD) Phim ảnh Hiện vật khác (các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm) Năm học: 2014-2015 BM02-LLKHSKKN - 0 - SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN 1. Họ và tên: ĐỖ TẤT THẮNG 2. Ngày tháng năm sinh: 06/09/1981 3. Nam, nữ: Nam 4. Địa chỉ: 149/7 Hưng Đạo Vương, Khu phố 2 phường Trung Dũng, BH-Đồng Nai. 5. Điện thoại: 0918.306.113 6. E-mail: dtthangnq@gmail.com 7. Chức vụ : Không 8. Nhiệm vụ được giao: +Giáo viên Toán lớp 10A2,10A6 và 11A6. +Giáo viên chủ nhiệm lớp 10A2. +Tham gia bồi dưỡng đội tuyển Toán lớp 10. +Ủy viên ban thanh tra nhân dân 9. Đơn vị công tác: Trường THPT Ngô Quyền II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc sĩ Toán - Năm nhận bằng: 2010 - Chuyên ngành đào tạo: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán. III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy học Toán - Số năm có kinh nghiệm: 5 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 5 Năm học 2010-2011: Ứng dụng tích vô hướng 2 véctơ để giải một số bài toán hình học không gian qua các kì thi đại học. Năm học 2011-2012: Áp dụng bất đẳng thức phụ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức. Năm học 2012-2013: Dự đoán dấu bằng trong bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức. Năm học 2013-2014: Đổi biến để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức. Năm học 2014-2015: Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình . - 1 - ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Bất đẳng thức (BĐT) là kiến thức không thể thiếu trong các kì thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi. BĐT áp dụng rất nhiều trong trong cuộc sống nói chung và toán học nói riêng chẳng hạn: giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, các bài toán cực trị . . . - Ứng dụng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình có lời giải hay, ngắn gọn và mạnh có thể giải quyết bài toán ở mức độ tổng quát hơn, trong nhiều bài toán thì ứng dụng BĐT không cần huy động tới kiến thức đạo hàm của lớp 12, đôi khi là phương pháp duy nhất. Hơn hết là rất phù hợp với HS lớp 10. - Ứng dụng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình là hệ thống phương pháp rất sâu và rộng. Nhưng với vai trò giáo viên dạy Toán khối 10 và trong phạm vi sáng kiến kinh nghiệm này chúng tôi chỉ tập trung vào các dạng phổ biến HS hay gặp phải trong các đề thi CĐ, Đại học, tuyển sinh 10 chuyên, các đề thi học sinh giỏi tỉnh …Cụ thể hơn sẽ được thể hiện trong sáng kiến kinh nghiệm (SKKN). II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Qua thực tế dạy học chúng tôi nhận thấy trong chương trình lớp 10 phần ứng dụng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình là không có. Nhưng trong các đề thi học sinh giỏi, tuyển sinh 10, đại học. . . lại có. Do đó, tôi làm SKKN này với mong muốn là một tài liệu giúp HS đỡ khó khăn hơn khi gặp các bài có dạng trên. III.TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP Chúng tôi cố gắng biên soạn kĩ thuật giải , hệ thống bài tập dựa trên cơ sở lý thuyết bám sát chương trình, mục đích cho HS dễ hiểu nhất có thể. Cơ sở lý thuyết là các phần kiến thức sau đã được đề cập trong chương trình hiện hành: STT 1 2 3 4 5 Kiến thức Các tính chất của giá trị tuyệt đối Tính chất bình phương, tổng bình phương Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) 2 số Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) 3 số Bất đẳng thức Bunnhiacốpski (Cauchy-Schwarz) Bất đẳng thức được chứng minh từ tích vô hướng 2 vecto, tổng độ dài 2 vecto Trang 78 76 108 111 Sách Đại số 10 ban cơ bản Đại số 10 ban cơ bản (nâng cao) Đại số 10 ban nâng cao Đại số 10 ban nâng cao Hình học 10 Ban cơ bản Ghi chú Đã học ở cấp 2 Trong phần đọc thêm - 2 - Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ phân tích cụ thể từng phần theo thứ tự lý thuyết trước bài tập ứng dụng sau. Ứng ng ng g ương r n Cho f (x ,x2,...,xn)là hàm n biến thực trên D  ¡ n : f :D  ¡ . Tương tự với g(x ,x2,...,xn), h(x ,x2,...,xn). ai phương trình f (x ,x2,...,xn)= g(x ,x2,...,xn) (1) ước 1:Nhìn vào dấu hiệu và lưu ý(sẽ được chia cụ thể từng dạng khác nhau)của phương trình (1) từ đó sẽ suy ra hướng giải. ước 2: Đánh giá 2 vế phương trình bằng cách áp dụng BĐT cô-si, bunhiacốpski, các tính chất. . . ta được:  f (x1,x2,...,xn) h(x1,x2,...,xn) g(x1,x2,...,xn) h(x1,x2,...,xn) 1 2 n (2) ước 3: Kết hợp (1) và (2) thu được :  f (x1,x2,...,xn) = h(x1,x2,...,xn) g(x1,x2,...,xn) = h(x1,x2,...,xn) 1 2 n (3) ước 4: Áp dụng dấu “=” xảy ra khi dùng BĐT. Từ đó ta tìm được nghiệm của phương trình (1). Khi giải lưu ý: Dấu”=” của các BĐT cùng xảy ra tại cùng giá trị của biến và đồng thời là nghiệm của phương trình. Nghiệm của phương trình cũng là giá trị của biến để dấu “=” xảy ra tại mỗi lần áp dụng BĐT nên: +Nếu nhẩm được nghiệm của phương trình thì ta có thể suy luận được là nên ứng dụng BĐT nào(Cô-si, Bunnhiacốpski, …)? Ứng dụng thế nào để BĐT có dấu”=” xảy ra tại các BĐT được sử dụng. +Nếu định hướng dùng BĐT cụ thể ta có dấu”=” của BĐT xảy ra từ đó suy ra nghiệm của phương trình. +Người làm toán nên kết hợp Dấu”=” của BĐT và nghiệm của phương trình từ đó cho lời giải nhanh và chính xác nhất. Nếu chúng không đồng thời xảy ra thì phương trình vô nghiệm hoặc phải đổi BĐT hoặc hướng khác. Cá g á ượ r n ày eo ừng ần eo ự lý uyế rướ , à ậ sau: 1. Ứng ng n ủa g á rị uy Khi giải phương trình, hệ phương trình mà thấy các “dấu hiệu” sau: Số ẩn của phương trình, hệ phương trình nhiều hơn số phương trình. Số ẩn của phương trình, hệ phương trình bằng số phương trình. Phương trình có chứa tổng các giá trị tuyệt đối. Phương trình có chứa tổng nhiều căn bậc hai và các biểu thức trong căn bậc hai là bình phương hoặc tổng bình phương các biểu thức khác. thì thử ứng dụng các tính chất của giá trị tuyệt đối để giải. - 3 - T n ủa g á rị uy : + x  0,∀x∈R. + x  x,∀x∈R. Dấu = xảy ra  x=0. Dấu = xảy ra  x0. + x  −x,∀x∈R. Dấu = xảy ra  x0. V 1. Gỉai phương trình x2 +4x+4 + x2 +8x+16 + x2 +12x+36 =4 Lờ g 1 (k ông ùng BĐT): Phương trình đã cho tương đương với (x+2)2 + (x+4)2 + (x+6)2 = 4  x+2 + x+4 + x+6 = 4(*) x − -6 -4 -2 + x+2 −x−2 −x−2 −x−2 0 x+2 x+4 −x−4 −x−4 0 x+4 x+4 x+6 −x−6 0 x+6 x+6 x+6 VT(*) −3x −x x+8 3x+12 Trường hợp 1: x−6 (*) −3x = 4  x = − 4 (loại) Trường hợp 2: −2< x−4 (*) −x =4 x =−4(nhận) Trường hợp 3: −4< x−2 (*) x+8=4 x =−4(loại) Trường hợp 4: x >−2 (*) 3x+12 = 4  x = −8(loại) Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x =−4 Lờ g 2 (Dùng BĐT): Phương trình đã cho tương đương với (x+2)2 + (x+4)2 + (x+6)2 = 4  x+2 + x+4 + x+6 = 4 Ta có x+2 + x+4 + x+6 −x−2+0+ x+6= 4 - 4 - ... - tailieumienphi.vn