Xem mẫu
- H í n g d É n h ä c sin h l í p 8 g i¶i c¸c b µ i t o ¸n c ù c t r Þ t ro ng ®¹ i s è
a - ® Æt vÊn ®Ò
I-Lêi më ®Çu :
T rong tr êng phæ th«ng m«n To¸n cã mét vÞ trÝ rÊt quan
t räng. C¸c kiÕn thøc vµ ph ¬ng ph¸p To¸n häc lµ c«ng cô thiÕt
y Õu gióp häc sinh häc tèt c¸c m«n häc kh¸c, ho¹t ®éng cã
h iÖu qu¶ trong mäi lÜnh vùc. §ång thêi m«n To¸n cßn gióp
h äc sinh ph¸t triÓn nh÷ng n¨ng lùc vµ phÈm chÊt trÝ tuÖ; rÌn
l uyÖn cho häc sinh kh¶ n¨ng t d uy tÝch cùc, ®éc lËp, s¸ng
t ¹o; gi¸o dôc cho häc sinh t t ëng ®¹o ®øc vµ thÈm mü cña
n g êi c«ng d©n.
ë t r ßng THCS, trong d¹y häc To¸n: cïng víi viÖc h×nh
t hµnh cho häc sinh mét hÖ thèng v÷ng ch¾c c¸c kh¸i niÖm,
c ¸c ®Þnh lÝ; th× viÖc d¹y häc gi¶i c¸c bµi to¸n cã tÇm quan
t räng ®Æc biÖt vµ lµ mét trong nh÷ng vÊn ®Ò trung t©m cña
p h ¬ng ph¸p d¹y häc To¸n ë tr êng phæ th«ng. §èi víi häc sinh
T HCS, cã thÓ coi viÖc gi¶i bµi to¸n lµ mét h×nh thøc chñ
y Õu cña viÖc häc to¸n.
C ïng víi viÖc h×nh thµnh cho häc sinh mét hÖ thèng
v ÷ng ch¾c c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n ®Ó häc sinh cã thÓ vËn
d ông vµo lµm bµi tËp th× viÖc båi d ìng häc sinh kh¸ giái lµ
m ôc tiªu quan träng cña ngµnh gi¸o dôc nãi chung vµ bËc
h äc THCS nãi riªng. Do ®ã viÖc h íng dÉn häc sinh kÜ n¨ng
t ×m tßi s¸ng t¹o trong qu¸ tr×nh gi¶i to¸n lµ rÊt cÇn thiÕt vµ
k h«ng thÓ thiÕu ® îc.
L µ mét gi¸o viªn trùc tiÕp gi¶ng d¹y m«n to¸n ë tr êng
T HCS t«i ®i s©u nghiªn cøu néi dung ch ¬ng tr×nh vµ qua
t hùc tÕ d¹y häc t«i thÊy: trong ch ¬ng tr×nh To¸n THCS "C¸c
b µi to¸n vÒ cùc trÞ trong ®¹i sè" rÊt ®a d¹ng, phong phó vµ
1
- H í n g d É n h ä c sin h l í p 8 g i¶i c¸c b µ i t o ¸n c ù c t r Þ t ro ng ®¹ i s è
t hó vÞ, cã mét ý nghÜa rÊt quan träng ®èi víi c¸c em häc
s inh ë bËc häc nµy. ë T HPT ®Ó gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n vÒ
c ùc trÞ ®¹i sè ng êi ta th êng dïng ®Õn "c«ng cô cao cÊp" cña
t o¸n häc lµ: ®¹o hµm cña hµm sè. ë T HCS,
v × kh«ng cã (hay nãi chÝnh x¸c h¬n lµ kh«ng ® îc phÐp dïng)
" c«ng cô cao cÊp" cña To¸n häc nãi trªn, nªn ng êi ta ph¶i
b »ng c¸c c¸ch gi¶i th«ng minh nhÊt, t×m ra c¸c biÖn ph¸p h÷u
h iÖu vµ phï hîp víi tr×nh ®é kiÕn thøc ë bËc häc THCS ®Ó
g i¶i quÕt c¸c bµi to¸n lo¹i nµy. ChÝnh v× vËy, c¸c bµi to¸n
c ùc trÞ ®¹i sè ë THCS kh«ng theo quy t¾c hoÆc khu«n mÉu
n µo c¶, nã ®ßi hái ng êi häc ph¶i cã mét c¸ch suy nghÜ logic
s ¸ng t¹o, biÕt kÕt hîp kiÕn thøc cò víi kiÕn thøc míi mét c¸ch
l ogic cã hÖ thèng.
T rªn thùc tÕ gi¶ng d¹y To¸n 8-9 nh÷ng n¨m qua t«i nhËn
t hÊy: phÇn "C¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè" lµ mét trong
n h÷ng phÇn träng t©m cña viÖc båi d ìng häc sinh kh¸ giái ë
t r êng THCS. ThÕ nh ng thùc tr¹ng häc sinh tr êng chóng t«i vµ
n h÷ng tr êng t«i ®· tõng d¹y lµ: häc sinh kh«ng cã høng thó
v íi lo¹i to¸n nµy, bëi lÏ c¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ ®¹i sè ë tr êng
T HCS kh«ng theo mét ph ¬ng ph¸p nhÊt ®Þnh nªn c¸c em rÊt
l óng tóng khi lµm to¸n vÒ cùc trÞ, c¸c em kh«ng biÕt b¾t
® Çu tõ ®©u vµ ®i theo h íng nµo. HÇu hÕt häc sinh rÊt ng¹i
k hi gÆp c¸c bµi to¸n cùc trÞ vµ kh«ng biÕt vËn dông ®Ó gi¶i
q uyÕt c¸c bµi tËp kh¸c.
T hùc tr¹ng ®ã khiÕn t«i lu«n b¨n kho¨n suy nghÜ: "Lµm
t hÕ nµo ®Ó häc sinh kh«ng thÊy ng¹i vµ cã høng thó víi lo¹i
t o¸n nµy". Víi tr¸ch nhiÖm cña ng êi gi¸o viªn t«i thÊy m×nh
c Çn gióp c¸c em häc tèt h¬n phÇn nµy.
2
- H í n g d É n h ä c sin h l í p 8 g i¶i c¸c b µ i t o ¸n c ù c t r Þ t ro ng ®¹ i s è
T «i ®· dµnh thêi gian ®äc tµi liÖu, nghiªn cøu thùc tÕ
g i¶ng d¹y cña b¶n th©n vµ cña mét sè ®ång nghiÖp; qua sù
t ×m tßi thö nghiÖm, ® îc sù gióp ®ì cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp.
§ Æc biÖt lµ nh÷ng bµi häc sau nh÷ng n¨m ë tr êng s p h¹m.
T «i m¹nh d¹n chän nghiªn cøu ®Ò tµi: "H íng dÉn häc sinh
T HCS gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè".
V íi ®Ò tµi nµy t«i hi väng sÏ gióp häc sinh kh«ng bì ngì
k hi gÆp c¸c bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè, gióp c¸c em häc tèt h¬n.
§ ång thêi h×nh thµnh ë häc sinh t d uy tÝch cùc, ®éc lËp,
s ¸ng t¹o, n©ng cao n¨ng lùc ph¸t hiÖn vµ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò,
r Ìn luyÖn kh¶ n¨ng vËn
d ông kiÕn thøc vµo ho¹t ®éng thùc tiÔn, rÌn luyÖn nÕp nghÜ
k hoa häc lu«n mong muèn lµm ® îc nh÷ng viÖc ®¹t kÕt qu¶
c ao nhÊt, tèt nhÊt.
I I. Thùc tr¹ng cña vÊn ®Ò nghiªn cøu.
1, §èi víi häc sinh :. Thùc tr¹ng khi nhËn chuyªn m«n
p h©n c«ng d¹y to¸n 8 ë nh÷ng tiÕt ®Çu tiªn t«i c¶m thÊy hôt
h Èng tr íc c¸ch häc cña häc sinh.
§Ó Thèng kª n¨ng lùc tiÕp thu bµi cña häc sinh t«i dïng
n hiÒu h×nh thøc ph¸t vÊn tr¾c nghiÖm rót ra mét hiÖn t îng
n æi bËt häc sinh tr¶ lêi râ rµng m¹ch l¹c nh ng mang tÝnh
c hÊt häc vÑt chÊp hµnh ®óng nguyªn b¶n, qu¸ tr×nh d¹y ®Ó
k iÓm tra viÖc thùc hµnh øng dông cña häc sinh t«i ® a ra mét
s è vÝ dô th× häc sinh lóng tóng kh«ng biÕt chøng minh nh
t hÕ nµo.
Tr íc thùc tr¹ng trªn t«i ®· ®iÒu tra häc sinh qua nhiÒu
b iÖn ph¸p kÕt qu¶ cho thÊy.
SØ Giái Kh¸ TB YÕu- kÐm
Líp
SL % SL % Sl % SL %
sè
8 49 02 06 31 10
3
- H í n g d É n h ä c sin h l í p 8 g i¶i c¸c b µ i t o ¸n c ù c t r Þ t ro ng ®¹ i s è
S au khi kiÓm tra t«i thÊy r»ng häc sinh hiÓu vµ lµm rÊt
m ¬ hå, mét s« häc sinh lµm ® îc chØ n»m vµo mét sè häc
s inh kh¸- giái. Sè cßn l¹i chñ yÕu lµ häc sinh TB, YÕu, kÐm
k h«ng biÕt gi¶i thÝch bµi to¸n nh t hÕ nµo.
2, §èi víi gi¸o viªn :
Thùc tr¹ng nµy kh«ng thÓ ®æ lçi cho tÊt c¶ häc sinh bëi
v × ng êi gi¸o viªn lµ ng êi chñ ®éng, chñ ®¹o kiÕn thøc, còng
c hØ tu©n theo SGK mµ d¹y bµi to¸n nµy ®ßi hái häc sinh
p h¶i t d uy tèt vµ ph¶i th©u tãm ® îc kiÕn thøc ®· häc ®Ó tËn
d ông vµo lµm bµi tËp .
§«i khi gi¸o viªn ¸p ®Æt gß bã c¸c em ph¶i thª nµy, ph¶i
t hÕ nä mµ kh«ng ® a ra thùc tÕ ®Ó c¸c em nh×n nhËn vÊn
® Ò.
VÒ phÝ häc sinh c¶m thÊy khã tiÕp thu bëi v× ®©y lµ
d ¹ng to¸n mµ c¸c em rÊt Ýt ® îc gÆp chÝnh v× lÝ do ®ã mµ
n g êi thÇy ph¶i t×m ra PP phï hîp nhÊt ®Ó häc sinh cã høng
h äc, b íc ®Çu häc sinh lµm quen víi d¹ng bµi to¸n “ To¸n Cùc
c hØ” nªn c¶m thÊy m¬ hå ph©n v©n t¹i sai l¹i ph¶i lµm nh
v Ëy. NÕu kh«ng biÕn ®æi th× cã t×m ® îc kÕt qu¶ kh«ng.
T õ nh÷ng b¨n kho¨n ®ã cña häc sinh gi¸o viªn kh¼ng ®Þnh
n Õu kh«ng biÕn ®æi nh v Ëy th× kh«ng tr¶ lêi yªu cÇu cña
b µi to¸n.
Sau ®©y t«i xin ® a ra mét sè kinh nghiÖm h íng dÉn häc
s inh gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè 8.
4
- H í n g d É n h ä c sin h l í p 8 g i¶i c¸c b µ i t o ¸n c ù c t r Þ t ro ng ®¹ i s è
B - gi¶i quyÕt vÊn ®Ò
I - c¸c gi¶i ph¸p thùc hiÖn
1 . Kh¸i niÖm vÒ cùc trÞ cña mét biÓu thøc
C ho biÓu thøc nhiÒu biÕn sè P(x, y, ..., z) víi x, y, ..., z
t huéc miÒn S nµo ®ã x¸c ®Þnh. NÕu víi bé gi¸ trÞ cña c¸c
(x 0 , y 0 , ...z 0 ) ∈ S m µ ta cã: P(x 0 , y 0 , ...z 0 ) ≥ P (x,
b iÕn
y , ..., z) hoÆc P(x 0 , y 0 , ...z 0 ) ≤ P (x, y, ..., z) th× ta nãi P(x, y,
. .., z) lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt t¹i (x 0 , y 0 , ...z 0 ) trªn miÒn S.
P (x, y, ..., z) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i (x 0 , y 0 , ...z 0 ) ∈ S c ßn
g äi lµ P ®¹t cùc ®¹i t¹i (x 0 , y 0 , ...z 0 ) hoÆc P m a x t ¹i (x 0 ,
y 0 , ...z 0 ). T ¬ng tù ta cã: P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt t¹i (x 0 , y 0 , ...z 0 )
∈ S c ßn gäi lµ P ®¹t cùc tiÓu t¹i (x 0 , y 0 , ...z 0 ) hoÆc P m i n t ¹i
( x 0 , y 0 , ...z 0 ).
G i¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña P trªn miÒn x¸c ®Þnh S
g äi lµ c¸c cùc trÞ cña P trªn miÒn S.
2 . Nguyªn t¾c chung t×m cùc trÞ cña mét biÓu
t høc
T ×m cùc trÞ cña mét biÓu thøc trªn mét miÒn x¸c ®Þnh
n µo ®ã lµ vÊn ®Ò réng vµ phøc t¹p, nguyªn t¾c chung lµ:
5
- H í n g d É n h ä c sin h l í p 8 g i¶i c¸c b µ i t o ¸n c ù c t r Þ t ro ng ®¹ i s è
* ) §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc P(x, y, ..., z)
t rªn miÒn x¸c ®Þnh S, ta cÇn chøng minh hai b íc:
- C høng tá r»ng P ≥ k ( v íi k lµ h»ng sè ) víi mäi gi¸ trÞ
c ña c¸c biÕn trªn miÒn x¸c ®Þnh S
- C hØ ra tr êng hîp x¶y ra dÊu ®¼ng thøc.
* ) §Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét biÓu thøc P(x, y, ..., z)
t rªn miÒn x¸c ®Þnh S, ta cÇn chøng minh hai b íc:
- C høng tá r»ng P ≤ k ( v íi k lµ h»ng sè ) víi mäi gi¸ trÞ
c ña c¸c biÕn trªn miÒn x¸c ®Þnh S
- C hØ ra tr êng hîp x¶y ra dÊu ®¼ng thøc.
C hó ý r»ng kh«ng ® îc thiÕu mét b íc nµo trong hai b íc
t rªn .
C ho biÓu thøc A = x 2 + ( x - 2) 2
V Ý dô :
M ét häc sinh t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A nh
s au:
x 2 ≥ 0 ; ( x - 2) 2 ≥ 0 n ªn A ≥ 0 .
T a cã
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 0.
Lêi gi¶i trªn cã ®óng kh«ng?
Gi¶i :
L êi gi¶i trªn kh«ng ®óng. Sai lÇm cña lêi gi¶i trªn lµ míi
c høng tá r»ng A ≥ 0 n h ng ch a chØ ra ® îc tr êng hîp x¶y ra
d Êu ®¼ng thøc. DÊu ®¼ng thøc kh«ng x¶y ra, v× kh«ng thÓ
c ã ®ång thêi:
x 2 = 0 v µ ( x - 2) 2 = 0 .
L êi gi¶i ®óng lµ:
A = x 2 + ( x - 2) 2 = x 2 + x 2 - 4 x +4 = 2x 2 - 4 x +
4
= 2 (x 2 - 2x - +1) + 2 = 2(x - 1) 2 + 2
6
- H í n g d É n h ä c sin h l í p 8 g i¶i c¸c b µ i t o ¸n c ù c t r Þ t ro ng ®¹ i s è
(x - 1) 2
T a cã: ∀x
≥0,
⇒ 2 (x - 1) 2 + 2 ∀x
≥2
⇒ A ∀x
≥2
⇔
D o ®ã A = 2 x = 1.
V Ëy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A b»ng 2 víi x
= 1.
3 . K iÕn thøc cÇn nhí:
§ Ó t×m cùc trÞ cña mét biÓu thøc ®¹i sè, ta cÇn
n ¾m v÷ng:
a ) C¸c tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc, c¸c c¸ch chøng
m inh bÊt ®¼ng thøc.
b ) Sö dông thµnh th¹o mét sè bÊt ®¼ng thøc quen
t huéc:
* a2 ≥ 0 , tæng qu¸t: a 2 k ≥ 0 ( k nguyªn d ¬ng)
X ¶y ra dÊu ®¼ng thøc ⇔ a = 0
* -a 2 ≤ 0 , tæng qu¸t: -a 2 k ≤ 0 ( k nguyªn d ¬ng)
X ¶y ra dÊu ®¼ng thøc ⇔ a = 0
a ≥0. ⇔
* ( X¶y ra dÊu ®¼ng thøc a = 0)
* - a ≤a≤ a . ⇔
( X¶y ra dÊu ®¼ng thøc a = 0)
a + b ≥ a+b ⇔
* ( X¶y ra dÊu ®¼ng thøc ab ≥ 0)
* a − b ≥ a−b
⇔
( X¶y ra dÊu ®¼ng thøc a ≥ b ≥ 0 h oÆc a ≤ b ≤ 0)
1 1
* a+ ≥2 , vµ a + ≤ −2 ,
∀a >0 ∀a
- H í n g d É n h ä c sin h l í p 8 g i¶i c¸c b µ i t o ¸n c ù c t r Þ t ro ng ®¹ i s è
2
a + b2 a + b
≥ ≥ ab ⇔
* ∀ a,b ( X¶y ra dÊu ®¼ng thøc a=
2 2
b)
1 1
≤
⇒ ⇔
*a b , ab >0 ( X¶y ra dÊu ®¼ng thøc a
≥
a b
= b)
II - c¸c biÖn ph¸p thùc hiÖn
(Mét sè d¹ng bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè)
T h«ng qua c¸c bµi to¸n trong s¸ch gi¸o khoa (s¸ch tham
k h¶o) t«i tiÕn hµnh ph©n lo¹i thµnh mét sè d¹ng c¬ b¶n nhÊt
v Ò c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè ë THCS råi h íng dÉn häc
s inh t×m kiÕn thøc cã liªn quan cÇn thiÕt ®Ó gi¶i tõng d¹ng
t o¸n ®ã. Sau ®©y lµ mét sè d¹ng c¬ b¶n th êng gÆp:
D¹ng 1 : b µi to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét
b iÓu thøc lµ tam thøc bËc hai.
VÝ dô 1 : T ×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc.
A (x) = x 2 - 4x+1
T rong ®ã x lµ biÕn sè lÊy c¸c gi¸ trÞ thùc bÊt
k ú.
H í ng dÉn gi¶i :
Gîi ý : § Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A(x) ta
c Çn ph¶i biÕn ®æi vÒ d¹ng A(x) ≥ k (k lµ h»ng sè) víi mäi gÝa
t rÞ cña biÕn vµ chØ ra tr êng hîp x¶y ra ®¼ng thøc
L êi gi¶i : A (x) = x 2 - 4x+1
8
- H í n g d É n h ä c sin h l í p 8 g i¶i c¸c b µ i t o ¸n c ù c t r Þ t ro ng ®¹ i s è
= x 2 - 2.2x+1
= ( x 2 - 2.2x+4)- 3
= ( x- 2) 2 - 3
Víi mäi gi¸ trÞ cña x: (x - 2) 2 ≥ 0 nªn ta cã:
A (x) = (x- 2) 2 - 3 ≥ -3
VËy A(x) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng -3 khi x=2
§ ¸p sè : A (x) n h á n h Ê t = - 3 v íi x=2
V Ý dô 2 : T ×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc
B(x) = -5x 2 - 4x+1
Trong ®ã x lµ biÕn sè lÊy gi¸ trÞ thùc bÊt kú
H í ng dÉn gi¶i :
Gîi ý : § Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc B(x) ta cÇn
p h¶i biÕn ®æi ® a B(x) vÒ d¹ng B(x) ≤ k ( k lµ h»ng sè) víi mäi
g i¸ trÞ cña biÕn khi ®ã gi¸ trÞ lín nhÊt cña B(x)= k vµ chØ ra
k hi nµo x¶y ra ®¼ng thøc
Lêi gi¶i : B (x) = -5x 2 – 4 x+1
4
= - 5 (x 2 + x) +1
5
2 2 2
2 2
2
= - 5 x + 2. x + − + 1
5 5 5
4
2
2
− 5 x + − + 1
=
5 25
2
2 4
= -5 x + + + 1
5 5
9
- H í n g d É n h ä c sin h l í p 8 g i¶i c¸c b µ i t o ¸n c ù c t r Þ t ro ng ®¹ i s è
2
2 9
= -5 x + +
5 5
2 2
2 2
≥ 0 n ªn -5 x + ≤ 0
Víi mäi gi¸ trÞ cña x: x +
5 5
2
9 9
2
≤
suy ra: B(x)= -5 x + +
5 5
5
9 2
VËy B(x)®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi B(x)= , khi x = -
5 5
9 2
§¸p sè : B (x) l í n n h Ê t = v íi x = -
5 5
V Ý dô 3 : ( Tæng qu¸t)
Cho tam thøc bËc hai P = ax 2 + bx + c
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P nÕu a > 0
T ×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P nÕu a < 0
H í ng dÉn gi¶i :
Gîi ý : § Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt (lín nhÊt) cña P ta cÇn
p h¶i biÕn ®æi sao cho P = a.A 2 (x) + k. Sau ®ã xÐt víi tõng
t r êng hîp a>0 hoÆc a
- H í n g d É n h ä c sin h l í p 8 g i¶i c¸c b µ i t o ¸n c ù c t r Þ t ro ng ®¹ i s è
2
b
D o x + ≥ 0 n ªn:
2a
2
b
+NÕu a>0 th× a x + ≥ 0 d o ®ã P ≥ k
2a
2
b
+NÕu a0)
hoÆc gi¸ trÞ lín nhÊt b»ng k (nÕu a
- H í n g d É n h ä c sin h l í p 8 g i¶i c¸c b µ i t o ¸n c ù c t r Þ t ro ng ®¹ i s è
2
3 3
1
≥
= x+ +
4 4
2
3 1
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x 2 + x + 1 b »ng v íi x = -
4 2
2
3 9
Tr¶ lêi: G i¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng = v íi x = -
4 16
1
2
VÝ dô 5 :
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
x 4 – 6 x 3 + 1 0x 2 – 6 x + 9
H í ng dÉn gi¶i :
Gîi ý: - H·y viÕt biÓu thøc d íi d¹ng A 2 (x) + B 2 (x) ≥ 0
- XÐt xem x¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi nµo? Gi¸ trÞ
n há nhÊt cña biÓu thøc b»ng bao nhiªu?
L êi gi¶i : x 4 - 6 x 3 + 1 0x 2 - 6 x +9
= x 4 - 2 .x 2 .3x + (3x) 2 + x 2 - 2 x.3 +3 2
= ( x 2 - 3 x) 2 + ( x - 3) 2 ≥ 0
X¶y ra ®¼ng thøc khi vµ chØ khi:
x 2 –3x = 0 x (x-3) = 0 x=0
x=3 x=3
x–3=0 x–3=0 x=3
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc b»ng 0 víi x = 3
§ ¸p sè : G i¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc b»ng 0 víi x = 3
D¹ng 3 : b µi to¸n T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña ®a
t høc cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
12
- H í n g d É n h ä c sin h l í p 8 g i¶i c¸c b µ i t o ¸n c ù c t r Þ t ro ng ®¹ i s è
V Ý dô6 : T ×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = ι x - 1 ι + ι x -
3ι
H í ng dÉn gi¶i :
G îi ý: B µi to¸n ®Ò cËp tíi dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi do ®ã
c hóng ta ph¶i nghØ tíi c¸c kho¶ng nghiÖm vµ ®Þnh nghÜa
g i¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét biÓu thøc.
A N Õu A ≥ 0
ι Aι =
- A N Õu A ≤ 0
C ¸ch 1 : § Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A, ta tÝnh gi¸ trÞ
c ña A trong c¸c kho¶ng nghiÖm. So s¸nh c¸c gi¸ trÞ cña A
t rong c¸c kho¶ng nghiÖm ®ã ®Ó t×m ra gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
A.
Lêi gi¶i
ι x - 2 ι = - ( x -2) = 2 - x
+ T rong kho¶ng x < 1 th×
ι x - 5 ι = - ( x - 5) = 5 - x
⇒ A = 2 - x + 5 - x = 7 - 2x
Do x < 2 nªn -2x > -4 do ®ã A = 7 - 2x >3
ι x - 2ι = x - 2
+ T rong kho¶ng 2 ≤ x ≤ 5 t h×
ι x - 5 ι = - ( x - 5) = 5 - x
⇒ A=x-2+5-x=3
ι x - 2ι = x - 2
+ T rong kho¶ng x > 5 th×
ι x - 5ι = x - 5
⇒ A = x - 2 + x - 5 = 2x - 7
13
- H í n g d É n h ä c sin h l í p 8 g i¶i c¸c b µ i t o ¸n c ù c t r Þ t ro ng ®¹ i s è
D o x > 5 nªn 2x > 10 do ®ã A = 2x – 7 > 3
So s¸nh c¸c gi¸ trÞ cña A trong c¸c kho¶ng trªn, ta
t hÊy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 3 khi vµ chØ khi 2 ≤ x
≤5
§¸p sè: A m i n = 3 k hi vµ chØ khi 2 ≤ x ≤ 5
C ¸ch 2 : T a cã thÓ sö dông tÝnh chÊt: g i¸ trÞ tuyÖt ®èi cña
m ét tæng nhá h¬n hoÆc b»ng tæng c¸c gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. Tõ
® ã t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A.
A = ι x - 2 ι + x −5 = ι x - 2 ι + 5 − x
Lêi gi¶i:
ι x - 2ι + ι 5 - xι ≥ ι x - 2 + 5 - xι = 3
T a cã:
ι x - 2ι ≥ 0
( x - 2) (5 - x) ≥ 0
A=3
ι 5 - xι ≥ 0
2≤x≤5
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 3 khi vµ chØ khi 2 ≤ x
≤5
d¹ng 4 : B µi to¸n T×m gtnn, gtln cña ph©n thøc cã tö lµ h»ng
s è, mÉu lµ tam thøc bËc hai
3
V Ý dô 7 : T ×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña M =
4x - 4x + 5
2
H í ng dÉn gi¶i :
1 1
≤
Gîi ý : S ö dông tÝnh chÊt a ≥ b , ab >0 ⇒
a b
hoÆc theo quy t¾c so s¸nh hai ph©n sè cïng tö, tö vµ
m Éu ®Òu d ¬ng.
14
- H í n g d É n h ä c sin h l í p 8 g i¶i c¸c b µ i t o ¸n c ù c t r Þ t ro ng ®¹ i s è
L êi gi¶i:
3 3
3
XÐt M = = (2 x) 2 − 4 x + 1 + 4 = (2x - 1)2 + 4
4x - 4x + 5
2
Ta thÊy (2x - 1) 2 ≥ 0 n ªn (2x - 1) 2 + 4 ≥ 4
3 3
Do ®ã: (2x - 1)2 + 4 ≤
4
3 1
Tr¶ lêi: V Ëy M lín nhÊt b»ng k hi 2x – 1 = 0 => x =
4 2
3 1
§¸p sè : M l í n n h Ê t = v íi x =
4 2
1
VÝ dô 8 : T ×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B =
2x - x 2 - 4
H í ng dÉn gi¶i :
1
1 1
Ta cã: B = =- = - (x - 1)2 + 3
x - 2x + 4
2x - x 2 - 4 2
(x - 1) 2 ≥ 0 = > (x + 1) 2 + 3 ≥ 3
V×
1 1
1 1
=> (x - 1)2 + 3 ≤ ≥-
=> - (x - 1) + 3
2
3 3
1
V Ëy B nhá nhÊt b»ng - k hi x – 1= 0 => x =1
3
1
§¸p sè : M n h á n h Ê t = - v íi x = 1
3
Chó ý: K hi gÆp d¹ng bµi tËp nµy c¸c em th êng xuyªn
l Ëp luËn r»ng M (hoÆc B) cã tö lµ h»ng sè nªn M (hoÆc B)
l ín nhÊt (nhá nhÊt) khi mÉu nhá nhÊt (lín nhÊt)
15
- H í n g d É n h ä c sin h l í p 8 g i¶i c¸c b µ i t o ¸n c ù c t r Þ t ro ng ®¹ i s è
L Ëp luËn trªn cã thÓ dÉn ®Õn sai lÇm, ch¼ng h¹n víi
p h©n thøc
1
x −3
2
MÉu thøc x 2 - 3 c ã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ -3 khi x = 0
1 1
Nh ng víi x = 0 th× =- k h«ng ph¶i lµ gi¸ trÞ lín
x −3
2
3
n hÊt cña ph©n thøc
1 1
Ch¼ng h¹n víi x = 2 th× =1>-
x −3
2
3
1 1
Nh v Ëy tõ -3 < 1 kh«ng thÓ suy ra - >
3 1
1 1
VËy tõ a < b chØ suy ra ® îc > k hi a vµ b cïng
a b
d Êu .
d¹ng 5 : Bµi to¸n T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt cña ph©n thøc
c ã mÉu lµ b×nh ph ¬ng cña nhÞ thøc
x2 + x + 1
VÝ dô 9 T ×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = ( x + 1) 2
C¸ch1 :
G îi ý: H ·y viÕt tö thøc d íi d¹ng lòy thõa cña x + 1, råi
® æi biÕn b»ng c¸ch viÕt A d íi d¹ng tæng c¸c biÓu thøc lµ
1
l òy thõa cña . Tõ ®ã t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A.
x +1
x 2 + x + 1 = ( x 2 + 2 x + 1) - (x +1) +
Lêi gi¶i : T a cã:
1
= ( x + 1) 2 - ( x + 1) + 1
( x + 1) 2 ( x + 1) 1 1
1
− +
D o ®ã A= 2= 1 - + ( x + 1) 2
( x + 1)
( x + 1) ( x + 1)
2 2
x +1
16
- H í n g d É n h ä c sin h l í p 8 g i¶i c¸c b µ i t o ¸n c ù c t r Þ t ro ng ®¹ i s è
1
§ Æt y= k hi ®ã biÓu thøc A trë thµnh: A=1-y+
x +1
y2
1 1 3
A = 1 - y + y 2 = y 2 – 2 .y. + ( )2 +
T a cã:
2 2 4
2
3 3
1
≥
= y− +
4 4
2
3
V Ëy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng k hi vµ chØ khi:
4
1 1 1 1
y=− =0⇒ y= ⇔ =
x +1 2
2 2
⇔ x+1=2
⇔ x=1
3
§¸p sè : Anhá nhÊt = k hi x = 1
4
C¸ch 2 :
Gîi ý : T a cã thÓ viÕt A d íi d¹ng tæng cña mét sè víi mét
b iÓu thøc kh«ng ©m. Tõ ®ã t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A.
Lêi gi¶i:
x 2 + x + 1 4 x 2 + 4 x + 1 3x 2 + 6 x + 3 + x 2 − 2 x + 1
A= = =
( x + 1) 2 4( x + 1) 4( x + 1)
2 2
3( x + 1) 2 + ( x − 1) 2
A=
4( x + 1) 2
3 ( x − 1) 2
A= +
4 4( x + 1) 2
2
3 x −1
A= +
4 2( x + 1)
17
- H í n g d É n h ä c sin h l í p 8 g i¶i c¸c b µ i t o ¸n c ù c t r Þ t ro ng ®¹ i s è
3 x −1 2 3
≥
A= +
4 2( x + 1) 4
3
⇒ x =1
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng k hi x-1=0
4
3
§¸p sè : A n h á n h Ê t = k hi x=1
4
d¹ng 6 : b µi to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt cña mét biÓu
A( x) A( x)
≥ 0 ( hoÆc ≤ 0)
t høc ®¹i sè b»ng c¸ch ® a vÒ d¹ng 2
k2
k
VÝ dô 10 :
3 x 2 + 6 x + 10
T ×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: M (x) =
x2 + 2x + 3
( Víi x thuéc tËp hîp sè thùc)
H í ng dÉn gi¶i :
3 x 2 + 6 x + 10
Gîi ý : T õ M ( x ) =2 t a cã:
x + 2x + 3
3x 2 + 6 x + 9 + 1 3( x 2 + 2 x + 3) + 1
M(x) = =
x2 + 2x + 3 x2 + 2x + 3
( ?) T a cã thÓ chia c¶ tö thøc vµ mÉu thøc cña biÓu
x 2 + 2 x + 3 ® îc kh«ng? V× sao?
t høc cho
Tr¶ lêi : V × x 2 + 2 x + 3 = x 2 + 2 x + 1 + 2 = (x+1) 2 > 0 v íi
m äi gi¸ trÞ cña x. nªn sau khi chia c¶ tö vµ mÉu cho x 2 + 2 x +
3 t a ® îc
1
M(x) = 3 + ( x + 1) 2 + 2
( ?) B µi to¸n xuÊt hiÖn ®iÒu g× míi?
18
- H í n g d É n h ä c sin h l í p 8 g i¶i c¸c b µ i t o ¸n c ù c t r Þ t ro ng ®¹ i s è
T r¶ lêi: B µi to¸n trë thµnh t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu
t høc
1
( x + 2) 2 + 2
1
( ?) H ·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña ( x +) 2 + 2 t õ ®ã suy ra
g i¸ trÞ lín nhÊt cña M(x)
Tr¶ lêi: V × (x+1) 2 ≥ 0 V íi mäi x
(x+1) 2 + 2 ≥ 2
Nªn v íi mäi x
1 1
Do ®ã ( x + 1) 2 + 2 ≤
2
T õ ®ã ta cã:
1 1 1
M (x) = 3 + ( x + 1) 2 + 2 ≤ 3 + =3
2 2
DÊu “=” x¶y ra khi x+1=0 hay x=-1
1
VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña M(x) = 3 k hi vµ chØ khi x=-1
2
1
§¸p sè : M (x) L ín n h Ê t = 3 v íi x = -1
2
19
- H í n g d É n h ä c sin h l í p 8 g i¶i c¸c b µ i t o ¸n c ù c t r Þ t ro ng ®¹ i s è
C . KÕt luËn
1. Thùc tiÔn kh¶o s¸t sau khi ¸p dông.
Sauk hi ¸p dôngc¸c c¸ch gi¶i bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè 8
t hùc tÕ häc sinh dÇn dÇn chó träng khi gi¶i to¸n chø kh«ng
l óng tóng nh t r íc.
KÕt qu¶ t«i ®· thu ® îc sau khi ¸p dông ®Ò tµi nµy ® îc thÓ
h iÖn ë b¶ng sau:
SØ Giái Kh¸ TB YÕu- kÐm
Líp
SL % SL % Sl % SL %
sè
8 49 05 10 34 0
2. KÕt qu¶:
Sau khi thùc hiÖn gi¶ng d¹y phÇn “ C ¸c bµi to¸n cùc trÞ
t rong ®¹i sè 8” t heo néi dung ®Ò tµi nµy kÕt qu¶ mµ t«i thu
® îc kh¸ kh¶ quan.
§Ó gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ ®¹i sè ë líp 8 c¸c em
p h¶i biÕn ®æi ®ång nhÊt c¸c biÓu thøc ®aÞ sè, ph¶i biÕn
® æi vµ sö dông kh¸ nhiÒu c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí tõ
d ¹y ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p. Ngoµi ra cßn liªn quan mËt thiÕt
® Õn c¸c kiÕn thøc chøng minh ®¼ng thøc bëi thÕ nãi c¸c bµi
t o¸n cùc trÞ ®¹i sè 8 t¹o ra kh¶ n¨ng gióp häc sinh cã ®iÒu
k iÖn ®Ó rÌn luyÖn kÜ n¨ng biÕn ®æi ®ång nhÊt c¸c biÓu
t høc ®¹i sè, kÜ n¨ng tÝnh to¸n, kh¶ n¨ng t d uy.
§Ò tµi nµy gióp häc sinh gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ
t rong ®¹i sè 8 cã PP h¬n, cã hiÖu qu¶ h¬n vµ vËn dông vµo
g i¶i quyÕt c¸c bµi tËp cã liªn quan kÝch thÝch ® îc sù ®am
20
nguon tai.lieu . vn
