Xem mẫu
- VÊn ®Ò1: Sai lÇm khi tÝnh tÝch ph©n
1. §æi biÕn sè nhng kh«ng ®æi cËn.
π
4
VD1: tÝnh tÝch ph©n I = 1 − x 2 dx
0
Gi¶i:
Lêi gi¶i sai: ®Æt x = sin t suy ra dx=costdt
π π π
4 4
1 + cos 2t π 1
4
I = � − sin 2 t .cos t.dt = � 2 t.dt = �
1 cos dt = +
0 0 0
2 8 4
Lêi gi¶i ®óng:
ĐÆt x = sint suy ra dx=costdt
x = 0�t = 0
π π
x = � t = arc sin
4 4
π π π
arcsin arcsin arcsin
4 4 4
1 + cos 2t
I= � 1 − sin t .cos t.dt = �cos t.dt = �
2 2
dt
0 0 0
2
1 π 1 � π�
= arcsin + sin � arcsin �
2
2 4 4 � 4�
2. Khi ®æi biÕn kh«ng tÝnh vi ph©n
1
dx
VD2: tÝnh I=
0
(2 x + 1)5
Gi¶i:
Lêi gi¶i sai:
®Æt t = 2x + 1
x =1� t = 3
x = 0 � t =1
t −4 3
3
dt 1�1 � 20
I= 5
=− = − � 4 − 1�=
1
t 4 1 4�3 � 81
Lêi gi¶i ®óng:
®Æt t= 2x+1 suy ra dt= 2dx
x =1� t = 3
x = 0 � t =1
t −4 3
3
dt 1�1 � 10
I= 5
=− = − � 4 − 1�=
1
2t 8 1 8�3 � 81
- 3. TÝnh nguyªn hµm sai, hiÓu sai b¶n chÊt c«ng thøc
2
VD1: TÝnh I = x.e dx
x
0
Gi¶i:
* lêi gi¶i sai:
�=x
u �' =1
u
®Æt � � x
�' = e �=e
x
v v
2 2 x
� I = ( xe x
) − e dx = e 2 + 1
0 0
*Lêi gi¶i ®óng:
�=x
u � = dx
du
®Æt � � x
� =e �=e
x
dv v
2 2 x
� I = ( xe x
) − e dx = e 2 + 1
0 0
VÊn ®Ò 2: sai lÇm khi chøng minh ®¼ng thøc tÝch ph©n
2π
vÝ dô 1: cho n N ; CMR I = sin ( sin x + nx ) dx = 0
0
* Lêi gi¶i sai:
xÐt f(x)=sin(sinx+nx) trªn [ 0; 2π ] ta cã:
f(x) lµ hµm liªn tôc trªn [ 0; 2π ] vµ
f(-x) = sin(sin(-x)-nx) = - f(x)
vËy f(x) lµ hµm lÎ I=0
*Nguyªn nh©n sai lÇm: Häc sinh hiÓu sai ®Þnh lý. “ NÕu hµm sè f(x) lµ hµm
a
lÎ,liªn tôc trªn [-a;a] th× f ( x ) dx =0”
−a
* Lêi gi¶i ®óng: §Æt x = π + y
2π π π
� ( sin x + nx ) dx = � ( sin y + ny + nπ ) dx = ( −1) sin ( ny − sin y ) dx
n
�I = sin sin
0 −π −π
MÆt kh¸c ta cã: g(y)=sin(ny-siny) x¸c ®Þnh trªn [ −π , π ] lµ hµm liªn tôc va
g(-y)=sin(-ny-sin(-y))=-sin(ny-siny)=-g(y) g(y) lµ hµm lÎ.
VËy th× I=0
VÝ dô 2: cho hµm sè f liªn tôc trªn [ 0, π ] . H·y so s¸nh
π π
I = xf ( sin x ) dx vµ J = f ( sin x ) dx
0 0
*Lêi gi¶i sai:
�=x
u � = dx
du
TÝch ph©n tõng phÇn: � �
� = f ( sin x ) dx
dv � = − f ( cos x )
v
- π π
� I = − xf ( cos x ) + f ( cos x ) dx
0 0
π
Do f liªn tôc /[0; π ] f ( cos π ) = f ( 0 ) = 0 � I = f ( cos x ) dx (1)
0
ππ
Mµ J = f ( sin x ) dx (2)
20
Tõ (1) vµ (2) ta cã I J
* Nguyªn nh©n sai lÇm:
Häc sinh kh«ng hiÓu vÒ hµm liªn tôc, tÝch ph©n vµ vi ph©n.
* Lêi gi¶i ®óng:
§Æt x = π − t ta cã:
π 0 π π
I = � ( sin x ) dx = − � − t ) f ( sin ( π − t ) ) dt = π �( sin x ) dx − � ( sin x ) dx
xf (π f xf
0 π 0 0
π π
π
� 2 I = π �( sin x ) dx � I = f ( sin x ) dx
2�
f
0 0
VËy ta cã I=J
vÝ dô 3: Cho hµm sè f liªn tôc trªn [a,b]. CMR tån t¹i Ýt nhÊt 1 ®iÓm C [ a, b ] sao
cho:
c b
� ( x) − f ( c) � = � ( c) − f ( x) �
�
�
a
f dx �
� �f
c
�dx
* Lêi gi¶i sai.
Do f liªn tôc trªn [a,b] f(x)-f(c)/ [a,c] b»ng f(x)-f(c) trªn [b,c] vËy ta cã:
c c b
� ( x) − f ( c) � = � ( x) − f ( c) � = � ( c) − f ( x) �
�
�
a
f �dx �
�f �dx
b
�
�f �dx
c
* Nguyªn nh©n sai lÇm:
Kh«ng hiÓu vÒ hµm liªn tôc lªn tÝnh tÝch ph©n sai.
* Lêi gi¶i ®óng:
¸p dông ®Þnh lÝ vÒ gi¸ trÞ trung b×nh cña tÝch ph©n ∃ Ýt nhÊt mét ®iÓm
b b
C [ a, b ] sao cho: �( x ) dx = f ( c ) ( b − a ) = �( c ) dx
f f
a a
b c b
� � ( x) − f ( c) � = � ( x) − f ( c) � + � ( x) − f ( c) � = 0
�
�f �dx �
�f �dx �
�f �dx
a a c
c b
Hay ta cã: � ( x) − f ( c) � = � ( c) − f ( x) �
�
�
a
f dx �
� �f
c
�dx (§PCM).
VÊn ®Ò: Sai lÇm khi tÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng b»ng tÝch ph©n
I. KiÕn thøc chung
- Cho hµm sè y = f ( x ) kh¶ tÝch trªn [ a; b] . Khi ®ã diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi
b
h¹n bëi: ox, y = f(x) , x = a, x = b lµ : S = f ( x ) dx
a
- II. Nh÷ng sai lÇm thêng gÆp
1. Sö dông sai c«ng thøc
y = 9 − x2
VD1: tÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi
y = 0; x = 1; x = 4
Lêi gi¶i sai:
DiÖn tÝch h×nh ph¼ng lµ:
4
� 1 � 4
S = (9 − x 2 )dx = �x − x 3 � = 7
9
1 � 3 � 1
Sai lÇm: ¸p dông sai c«ng thøctÝnh diÖn tÝch y
Lêi gi¶i ®óng:
DiÖn tÝch h×nh ph¼ng lµ: 9
3
S = 9 − x 2 dx
1
3 4
= �− x 2 ) dx + �2 − 9 ) dx
(9 (x
1 3
o 1 3 4 x
� 1 � � 3 1 4
� 65 38
= �x − x3 � + � x3 − 9 x � =
9 −9 =
� 3 � � 1 3 3
� 2 3
2. X¸c ®Þnh kh«ng chÝnh x¸c h×nh cÇn tÝnh giíi h¹n
y = 0; y = 1
VD: tÝnh diÖn tÝch h×nh giíi h¹n bëi:
y 2 = x − 1; x = 0
Lêi gi¶i sai: y 2 = x − 1 � y = � x − 1
y = 0 � x =1
y =1� x = 2
VËy diÖn tÝch h×nh ph¼ng cÇn t×m lµ:
2
2 3 2 2
S= x − 1dx = ( x − 1) 2 =
1
3 1 3
Sai lÇm: x¸c ®Þnh sai h×nh cÇn tÝnh diÖn tÝch do kh«ng vÏ ®êng giíi h¹n
Lêi gi¶i ®óng:
VÏ h×nh giíi h¹n:
VËy diÖn tÝch h×nh giíi h¹n lµ:
S = S1 + S 2 víi :
S1 = 12 = 1
2
( 1− ) � 2 3 � 2 1
S2 = x − 1 dx = � − ( x − 1) 2 � =
x
1 � 3 1
� 3
4
� S=
3
3. X¸c ®Þnh sai h×nh cÇn tÝnh giíi h¹n.
VD: T×m diÖn tÝch h×nh giíi h¹n bëi:
- y = x2 + 2x + 1 ( C1 )
y = x2 + 6x + 9 ( C2 ) y
3 5
x= ; x=
2 2
Lêi gi¶i sai:
C1 IC2 = ( 2;1)
1 2 3 x
VËy diÖn tÝch cña h×nh giíi h¹n lµ:
5
2 2
� − 1)
(x � − 3)
(x
2 2
S= dx + dx
3 2
2
1 2 1 5
= ( x − 1) 3 + ( x − 3) 2
3 3
3 2 3 2
� 1 � � 1 1� 7
1
=�− �� + � + − =
� 24 � � 24 3 � 12
3
Sai lÇm: X¸c ®Þnh sai h×nh cÇn tÝnh giíi h¹n y=(x-1)2 y=(x-3)2
Lêi gi¶i ®óng:
C1 �C2 = ( 2;1)
DiÖn tÝch h×nh giíi h¹n lµ:
S = S1 + S 2
1 3 x
2
S1 = �x − 3) 2 − ( x − 1) 2 �
( dx
3
� �
2
2 2 1
= ( −4 x + 8 ) dx = ( −2 x 2 + 8 x ) 3 =
3
2 2 2
5
2
S2 = �x − 1) 2 − ( x − 3) 2 �
( dx
� �
2
5
2 5 1
= ( 4 x − 8 ) dx = (2 x 2 − 8 x) 2 =
2 2 2
1 1
VËy S = + =1
2 2
VÊn ®Ò: Dù kiÕn sai lÇm khi tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay b»ng tÝch ph©n.
I, c«ng thøc:
- y = f ( x) b
Vox = π f 2 ( x ) dx
� =0
y � 0
Cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi � �
�=a
b
x � = 2π xf x dx
�=b
Voy
� ( )
x 0
x = f ( y ) = x1
x = g ( y ) = x2 d
NÕu h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi � Voy = π x12 − x2 dx
2
c y d c
f ( y ) .g ( y ) > 0
II, Mét sè sai lÇm thêng gÆp:
1. Sö dông c«ng thøc bá gi¸ trÞ tuyÖt ®èi:
vÝ dô 1:TÝnh thÓ tÝch h×nh xuyÕn g©y bëi h×nh trßn
x + ( y − b) ( 0 < a < b ) quay quanh trôc 0x.
2 2
a2
* Lêi gi¶i sai: y
Ph¬ng tr×nh ®êng trßn (C): x 2 + ( y − b ) = a 2 cã thÓ viÕt
2
y = b + a2 − x2 ( C1 )
( y − b)
2
=a −x 2 2
( x a)
y = b − a2 − x2 ( C2 )
VËy thÓ tÝch cña h×nh xuyÕn lµ: x
( ) ( )
a
� 2 2
�
Vox = π �b + a 2 − x 2 − b − a 2 − x 2 � = 2π a 2b
dx
−a � �
* Sai lÇm: mÆc dï kÕt qu¶ ®óng nhng sai c«ng thøc thÓ tÝch:
b b
Vox π (y
2
1 − y ) dx mµ Vox = π
2
2 y12 − y2 dx .
2
a a
( ) ( )
a 2 2
* Lêi gi¶i ®óng: Vox = π b + a2 − x2 − b − a2 − x2 dx = 2π a 2b
−a
2. Sö dông nhÇm Voy
y = x2
vÝ dô: TÝnh Voy cña h×nh x = 1
x=2
x 5 2 31π
2
* Lêi gi¶i sai: Voy = π x dx = π =
4
1
5 1 5
b
* Sai lÇm: §· sö dông c«ng thøc Voy = π y dx ®©y lµ c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch
2
a
Vox. Vëy lêi gi¶i bÞ sai.
* Lêi gi¶i ®óng.
15π
2
Voy = 2π x.x 2 dx =
1
2 1 2
nguon tai.lieu . vn
