Xem mẫu
- TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP
BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN
BÀI GIẢNG
QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
- CHƯƠNG II:
BÀI TOÁN VẬN TẢI
2.1. Dạng của bài toán vận tải
2.2. Xây dựng phương án cực biên
2.3. Phương pháp thế vị giải bài toán vận tải
2.4. Bài toán không cân bằng thu phát
- 2.1. Dạng của bài toán vận tải
Ai (i =1,…m): các trạm phát
Bj (j = 1,…n): các trạm thu
ai: lượng hàng hoá có ở trạm phát Ai
bj: lượng hàng hoá yêu cầu ở trạm thu Bj
cij: chi phí vận chuyển một đơn vị hàng hoá từ trạm phát
Ai (i = 1,.,m) đến trạm thu Bj (j = 1, 2,..., n) (cij > 0)
xij: lượng hàng hoá vận chuyển từ trạm phát Ai đến
trạHãy thành lập một phương án vận chuyển hàng hoá
m
sao cho đáp, ứng ≥ ầy ∀ủ j) cầu của các trạm thu bằng
đ 0 ( đ i, yêu
thu Bj xij
tất cả hàng hoá có ở các trạm phát với tổng chi phí vận
chuyển là nhỏ nhất.
- ( )
Tìm bộ giá trị { xij } i = 1, m; j = 1, n sao cho:
m n
f ( x) = ∑ ∑ cij xij ⇒ min (1)
i =1 j =1
(i = 1, m)
n
∑x = ai (2)
ij
j =1
( j = 1, n)
m
∑x = bj (3)
ij
i =1
(i = 1, m; j = 1, n)
xij ≥ 0 ( 4)
m n
∑ a = ∑b
Nếu thì bài toán vận tải cân bằng thu phát
i j
i =1 j =1
- Mô tả bài toán dưới dạng bảng:
Thu b1 b2 …… bn
Phát
a1 c11 c12 …… c1n
a2 c21 c22 …… c2n
….. ….. …… …… ……
am cm1 cm2 …… cmn
Giao của hàng i và cột j gọi là ô (i, j) đặc trưng cho
đoạn đường nối trạm phát Ai và trạm thu Bj , ở ô này ghi
- Một số khái
niệm:
Vòng: Là một tập hợp các ô đứng vị trí là đỉnh của một
đường gấp khúc khép kín có các cạnh song song với các
dòng và các cột của bảng, trong đó mỗi ô đều nằm cùng
hàng (cùng cột) chỉ với một ô đứng trước nó, đồng thời
nằm cùng cột (cùng hàng) chỉ với một ô đứng sau nó.
Một hệ vectơ điều kiện {Aij ; (i, j) ∈ K} của bài toán
vận tải là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi tập hợp các ô
thuộc K không tạo thành vòng.
Vì số vectơ {Aij} độc lập tuyến tính cực đại trong bài
toán là m + n – 1 nên số tối đa các ô không tạo thành vòng
trong bảng m hàng và n cột cũng là m + n – 1.
- Phương án cực biên: x = {xij} là phương án cực biên khi
và chỉ khi tập hợp các ô (i, j) tương ứng với các thành phần
dương của phương án không tạo thành vòng. Một phương án
cực biên có tối đa m + n – 1 thành phần dương.
Tập hợp m + n – 1 ô không tạo thành vòng bao hàm tập ô
tương ứng với các thành phần dương của phương án cực biên
x (xij > 0) gọi là tập ô cơ sở nó, ký hiệu là S.
Ô (i, j)∈S gọi là ô cơ sở, (i, j)∉S gọi là ô phi cơ sở.
Một ô phi cơ sở bất kỳ bao giờ cũng tạo thành một vòng duy
nhất với các ô cơ sở.
Một phương án cực biên không suy biến chỉ có một tập ô cơ
sở duy nhất, đó chính là tập ô tương ứng với các thành phần
dương của phương án.
Một phương án cực biên suy biến có nhiều tập ô cơ sở khác
nhau, phần chung của chúng là tập ô ứng với các thành phần
dương.
- 2.2. Xây dựng phương án cực biên
Khi xác định được xịj = α , ta nói là đã phân phối cho ô (i, j)
một lượng hàng là α.
Nguyên tắc phân phối tối đa: Lấy ô (i, j) bất kỳ của
bảng và phân phối cho nó một lượng hàng tối đa có thể,
nghĩa là đặt xij = min{ai ,bj}. Ba trường hợp có thể xảy ra:
- xij = ai , yêu cầu của trạm phát thỏa mãn, loại hàng i ra
khỏi bảng, đồng thời sửa lại yêu cầu của trạm thu: b’j = bj
- ai x = b , yêu cầu của trạm thu thỏa mãn, loại cột j ra
- ij j
khỏi bảng, đồng thời sửa lại yêu cầu của trạm phát: a’i = ai
- bj x = a = b ,yêu cầu của cả trạm thu và phát đều thỏa
- ij i j
mãn, loại đồng thời hàng i và cột j ra khỏi bảng.
- Quá trình tiếp tục cho tới khi yêu cầu của mọi trạm thu và
phát đều thoả mãn.
Các ô được phân phối có xij > 0, đặt xij = 0 với những ô
không được phân phối
Khi đó sẽ thu được một phương án cực biên của bài toán.
Nếu số ô được phân phối là m + n – 1 thì phương án cực
biên thu được là không suy biến, tập ô được phân phối chính
là tập ô cơ sở.
Nếu số ô được phân phối nhỏ hơn m + n – 1 thì phương án
cực biên tương ứng là suy biến. Để có được một tập ô cơ sở
cần phải bổ sung, ô bổ sung có xij= 0 và không tạo thành
vòng với những ô cơ sở đã có, bổ sung cho tới khi đủ m + n –
1 ô.
Với những ô bổ sung khác nhau ta sẽ được các tập ô cơ sở
- Sử dụng nguyên tắc phân phối tối đa, tuỳ thuộc vào cách
ưu tiên phân phối ta có những phương pháp khác nhau để
xây dựng phương án cực biên:
- Phương pháp tây-bắc: Luôn ưu tiên phân phối cho ô
nằm ở góc tây bắc của bảng.
- Phương pháp chi phí nhỏ nhất (đường gần): Luôn ưu
tiên phân phối cho ô có cij nhỏ nhất trong bảng.
- Phương pháp Fogels: Luôn ưu tiên phân phối cho ô có
cij nhỏ nhất nằm trên hàng hoặc cột có hiệu số giữa chi phí
nhỏ nhì và chi phí nhỏ nhất là lớn nhất.
- Phương pháp chi phí nhỏ nhất:
Thu 30 20 25 35 40
Phát
30 13 7 6 2 12
x x x
x [30]
20 5 1 10 5 11
x
x x x
[20]
40 10 5 3 7 14
[0] x [5] [35]
x x
60 6 3 2 11 10
x
[30] [25] [5]
x
- 2.3. Phương pháp thế vị giải bài toán vận
tải: chuẩn tối ưu:
Tiêu
Điều kiện cần và đủ để phương án x = {xij} của bài toán vận
tải tối ưu là tồn tại một hệ thống số {ui, vj} thoả mãn:
a) vj – ui ≤ cij (∀i,j)
b) vj – ui = cij nếu xij > 0
ui, vj gọi là các thế vị hàng và cột.
Có thể xem ui là giá trị của một đơn vị hàng hoá ở nơi sản
xuất Ai, còn vj là giá trị của nó tại nơi tiêu thụ Bj.
Điều kiện b) có nghĩa là trong mọi phương án vận chuyển tối
ưu nếu hàng hoá được đưa từ trạm phát Ai đến trạm thu Bj thì
giá trị của nó tại nơi tiêu thụ Bj phải bằng giá trị tại nơi sản
xuất Ai cộng thêm chi phí vận chuyển cij .
Điều kiện a) có nghĩa là chênh lệch của giá trị hàng hoá giữa
nơi tiêu thụ và nơi sản xuất bất kỳ đều không vượt quá chi phí
- Thuật toán của phương pháp thế vị:
Giả sử đã biết một phương án cực biên x với tập ô cơ sở S.
Bước 1: Xây dựng hệ thống thế vị {ui ,vj}:
Lấy một hàng i bất kỳ, cho nó một thế vị ui tùy ý. Các
thế vị còn lại được xác định theo quy tắc:
- Nếu hàng i đã có ui và (i, j)∈S thì thế vị của cột j được
tính bởi: vj = ui + cij .
- Nếu cột j đã có vj và (i, j)∈S thì thế vị của hàng i được
tính bởi: ui = vj − cij .
Quá trình tiếp tục cho tới khi xác định được toàn bộ
hệ thống thế vị
- ước 2: Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu:
Tính đại lượng ∆ịj = vj – ui – cij đối với các ô phi cơ sở
((i, j) ∉ S).
-Nếu ∆ịj ≤ 0, ∀(i, j)∉S thì phương án tương ứng là tối
ưu. ếu tồn tại ∆ịj > 0, (ta gọi đó là các ô vi phạm) thì phải
-N
điều chỉnh phương án.
- Bước 3: Điều chỉnh phương án:
Giả sử max ∆ ij = ∆ rk , ô (r, k) được lấy làm ô điều chỉnh.
∆ ij >0
Tìm vòng V tạo bởi ô điều chỉnh với các ô cơ sở. Trên
vòng đánh dấu lẻ chẵn các ô với ô điều chỉnh (r, k) là ô lẻ.
Ký hiệu Vl , Vc tương ứng là tập ô lẻ, chẵn trên vòng.
Xác định q = min {xij} , (i, j) ∈ Vc .
Thực hiện phép biến đổi trên vòng:
xij , (i, j ) ∉ V
xij = xij − q , (i, j ) ∈ Vc
'
xij + q , (i, j ) ∈ Vl
- Kết quả của quá trình biến đổi ta được phương án cực
biên mới x’ tốt hơn x.
Sau điều chỉnh ô điều chỉnh trở thành ô cơ sở, ô ứng với
q sẽ trở thành ô phi cơ sở.
Đối với x’ quay trở lại bước 1, quá trình lặp lại sau một
số hữu hạn bước sẽ tìm được phương án cực biên tối ưu.
- Ví dụ 1: Giải bài toán vận tải sau:
Thu 76 62 88 45 40
Phát
79 10 19 9 6 8
102 13 11 8 7 4
70 12 17 10 5 3
60 12 18 18 7 9
- Dùng phương pháp chi phí nhỏ nhất xây dựng phương án
cực biên xuất phát:
Thu 76 62 88 45 40
Phát
79 10 19 9 6 8
[64] [15]
x x x
102 13 11 8 7 4
[14] [88]
x x x
70 12 17 10 5 3
[30] [40]
x x x
60 12 18 18 7 9
x x x
[12] [48]
- Cho u4 = 0, lần lượt tính các thế vị hàng và cột khác:
12 15 8
18 6
Thu 76 62 88 45 40
Phát
79 10 19 9 6 8
2
[64] [15]
102 13 11 8 7 4
7
[14] [88]
70 12 17 10 5 3
3
[30] [40]
60 12 18 18 7 9
0
[12] [48]
- Tính đại lượng ∆ịj = vj – ui – cij đối với các ô phi cơ sở
12 15 8
18 6
Thu 76 62 88 45 40
Phát
79 10 19 9 6 8
2
[64] [15]
+4
102 13 11 8 7 4
7
[14] [88]
70 12 17 10 5 3
3
[30] [40]
+2
60 12 18 18 7 9
0
[12] [48] +1
nguon tai.lieu . vn