Xem mẫu
- Đại sơ cấp http://mathisthinking.tk/
Phương trình và hệ phương trình
A.Vấn đề lý thuyết
I/Các phép biến đổ i
-Cộ ng trừ nhân chia lỹ thừa
-Liên hợp
a -b a-b
a- b= a-3b=
3
a+ b a 2 + 3 ab + 3 b 2
3
-Hằng đẳng thức
a 3 + b3 + c 3 = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca ) + 3abc
(a + b + c)3 = a 3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a )
( x + a )( x + b) = x 2 + (a + b) x + ab
II/Dạng chuẩn
-Phương trình bậc 2: ax 2 + bx + c = 0
-b ± D
PP: Tính D = b 2 - 4ac và sẽ có x =
2a
VD: x + x - 2 y - 3 xy + 2 y = 0 Û x + (1 - 3 y ) x + 2 y 2 - 2 y = 0 . Thấy (1 - 3 y )2 - 4(2 y 2 - 2 y ) = ( y + 1)2
2 2 2
Từ đây ta có x = 2 y h x = y - 1
-Phương trình đ ẳng cấp ax 2 + bxy + cy 2 = 0
PP: Chia cho y 2 sẽ quay về b ậc 2 với t = x / y
VD: x + 2 y = x 2 + 2 xy . Hãy nhìn mà xem, VT và VP đ ều thuần bậc 1 => Bình phương có đ ẳng cấp bậc 2
-Hệ phương trình kiểu đối xứng II
PP: Trừ 2 p hương trình cho nhau sẽ có nhân tử (x-y)
ì2 x2 + 3 y 2 = 5 x - 2 y + 7
ï
VD. í 2 . Lấy (2)=(1)*2 sẽ được nhân tử (x-y)
ï 4 x + 6 y = x + 5 y + 14
2
î
-Hệ đố i xứng loại I
PP: Đặt S=x+y và P=xy ta sẽ quy bài toán về ẩn SP
ì xy ( x + y ) = 30 ì SP = 30
Ûí 3
VD: í 3
î x + y = 35 î S - 3SP = 35
3
-Phương trình đối xứ ng
PP: Chứ ng minh x=y bằng đánh giá ho ặc phân tích đa thức ra nhân tử
VD: a 3 + a = b3 + b Û (a - b)(a 2 - ab + b 2 + 1) = 0 Û a = b
é a = b(tm)
ê
a + a = b + b Û ê a > b Þ a 3 + a > b3 + b ( L )
3 3
ê a < b Þ a 3 + a < b 3 + b( L )
ë
III/Phương pháp chung
-Sử dụng các biến đổ i
è Đưa về các d ạng chuẩn ho ặc phương trình tích, hệ d ễ giải.
-Sử dụng ẩn phụ
èTa đi chứng minh VT ³ a ³ VP hoặc x = m là nghiệm duy nhất
-Sử dụng BĐT.
IV/Khai thác và áp dụng các phương pháp trong giải toán
1. Biến đổ i trong giải toán
a/ Bài toán đ ã biết nghiệm.(pp: Đưa về phương trình tích)
1
- Đại sơ cấp http://mathisthinking.tk/
VD1. x( x - 6 x + 12) + x + 2 £ 10
2
Dùng fx ta có x=2. Và để tạo ra nhân tử x-2 ta làm như sau
æ ö
1
x( x 2 - 6 x + 12) + x + 2 £ 10 Û ( x3 - 6 x 2 + 12 x - 8) + ( x + 2 - 2) £ 0 Û ( x - 2) ç ( x - 2) 2 + ÷£0
x+2+2ø
è
VD2. 7 x 2 + 48 x + 7 7 x + 3 - 21 = 0
Bấm máy đi cho x=0,1428571429. Đừng bao giờ nghĩ đ ây là nghiệm vô tỷ mà hãy b ấm vào máy
0,142857142857142857 sẽ được con 1/7. Xong rồ i còn gì
( ) æ ö
7
PT Û x 2 + 48 x - 7 + 7 7 x + 3 - 2 = 0 Û (7 x - 1) ç x + 7 + ÷=0
7x + 3 + 2 ø
è
VD3. x 2 + x - 1 = ( x + 2) x 2 - 2 x + 2
Tiếp tụ c b ấm bạn sẽ có nghiệm x1=3,828427125 haizz. Đây thì quả thật là nghiệm vô tỷ rồ i như ng đừng vội bỏ
cuộ c, ở bước shift + stove lúc nãy bạn bấm số mấy ? nếu b ấm số dương rồi thì giờ bấm số âm ta sẽ có nghiệm
nữa x2=-1,828427125. Tiếp tục tính đi sẽ có x1x2=-7 và x1+x2=2. è Nhân tử x 2 - 2 x - 7
)
( æ ö
x+2
PT Û x 2 - 2 x - 7 = ( x + 2) x 2 - 2 x + 2 - 3 Û ( x 2 - 2 x - 7) ç - 1÷ = 0
è x - 2x + 2 + 3 ø
2
VD4. x 3 - 2 x 2 - 3 x - 6 x - 3 + 9 = 0
( ) æ ö
6
Có x=2 ngon rồi x 3 - 2 x 2 - 3 x + 6 - 6 x - 3 - 3 = 0 Û ( x - 2) ç x 2 - 3 - ÷=0
6x - 3 + 3 ø
è
Bấm cái trong ngo ặc kia giờ ra nghiệm nữa cũ ng x=2. Đến đâu có 3 hướng giải
6
· x2 - 3 - = 0 Û ( x 2 - 3)( 6 x - 3 + 3) = 6 mà x ³ 2
6x - 3 + 3
( ) æ ö
6
· Quay lại x + 1 - 6 x - 3 + x3 - 2 x 2 - 4 x + 8 = 0 Û ( x - 1) 2 ç x + 2 + ÷=0
x +1 + 6x - 3 ø
è
6
· Liên hợp tiếp x 2 - 4 - +1 = 0
6x - 3 + 3
*** Mộ t số kĩ năng trong biến đổi liên hợp
VD5. 2 x 2 - 11x + 21 = 3 4 x - 4
Đặt t = 3 4 x - 4 (cho đỡ công vik thôi)
æ 12 ö
2 x 2 - 11x + 21 = 3 4 x - 4 Û ( x - 3) ç 2 x - 5 - 2 ÷=0
t +t +2ø
è
1
Hướ ng 1 biểu diển tiếp 2 x - 5 = t 2 + 3 thì rồi cm pt bậc 5 vô nghiệm (hay lắm cứ làm đi các b ạn)
2
12
Hướ ng 2 sáng tạo hơn đi x > 3 Þ 2 x - 5 > 1 > 2 rồ i tương tự ……
t +t +2
VD6. 3 x 4 - 4 x 3 = 1 - (1 + x 2 )3
Nhìn con vế phải mà liên hợp ngay thì ….
x 6 + 3x 4 + 3x 2 x 4 + 3x 2 + 3
x 2 (3 x 2 - 4 x) = - Û 3x 2 - 4 x + 2 = 0 . (Rất khó làm tiếp)
t2 + t +1 t + t +1
Chẳng dại gì mà ta không liên hợp cụm khác cho dễ cho bậc thấp xuống
)
(
- x2 2 + x2 + 1 + x2
( )(2 + x + )=
3 x - 4 x = 1 - (1 + x ) Û 3 x - 4 x = 1 - 1 + x 1+ x
4 3 23 4 3 2 2 2
1 + 1 + x2
2
- Đại sơ cấp http://mathisthinking.tk/
( )
2
1 - 1 + x 2 + 5x 2 + 2
2
2 + x2 + 1 + x2 æ 2ö
Þ 3x - 4 x + = 0 Û 3ç x - ÷ + =0
2
( )
è 3ø
1+ 1+ x 2
6 1 + 1 + x2
b /Dùng hệ số b ất định để “mò” nghiệm
VD1. x 4 - 3 x3 + 6 x 2 - 5 x + 3 = 0
Có x 4 - 3 x3 + 6 x 2 - 5 x + 3 = ( x 2 + ax + b)( x 2 + cx + d ) = x 4 + (a + c) x3 + (ac + b + d ) x 2 + (ad + bc) x + bd
æ a + c = -3 æ a = -1
ç ac + b + d = 6 çb =1
Đồng nhất hệ số có ç Ta được ç
ç ad + dc = -5 ç c = -2
ç ç
è bd = 3 èd = 3
Sẽ phân tích thành ( x 2 - x + 1 )( x 2 - 2 x + 3 )=0
VD2. x 2 + x - 1 = ( x + 2) x 2 - 2 x + 2
Thay cho việc b ấm máy như trên ta vẫn có cách giải thích hợp lý và toán học hơn cho nhân tử x 2 - 2 x - 7
.
Ta chọ n m,n sao cho:
è m=0 và n=3.
c/Các phép biến đ ổi thông thường
VD1. x 2 + 3 x + 2 + x 2 + 4 x + 2 = x 2 + 5 x + 4
Dễ lắm rồi nhưng nhớ cho tôi cần xét các khoảng x ³ -1 và x £ -4
VD2. 4 x 2 - 1 + x = 2 x 2 - x + 2 x + 1
( ) ( )
(2 x - 1)(2 x + 1) + x = x(2 x - 1) + 2 x + 1 Û 2 x + 1 2 x - 1 - 1 + x 1 - 2 x - 1 = 0 Þ ...
3 2 3 2
VD3. a/ 3x - x + 2001 - 3x - 7 x + 2002 - 3 6 x - 2003 = 3 2002
b/
Xem HĐT
a 3 + b3 + c 3 = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca ) + 3abc và (a + b + c)3 = a 3 + b 3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a )
d /Đưa về lu ỹ thừa cùng b ậc
Ghi nhớ thật rõ 2 HĐT đơn giản (a + b)2 = a 2 + b 2 + 2ab và (a + b)3 = a 3 + b 3 + 3a 2b + 3ab 2
VD1.
a/ x 3 + 18 x 2 + 108 x + 2009 = 0 Û ( x + 6)3 = 1793
( )
3
b / 5 x 3 + 12 x 2 + 48 x + 64 = 0 Û ( x + 4)3 = - 3 4 x
VD2. x 4 = 2 x 2 + 8 x + 3
m2 m2
x 4 = 2 x 2 + 8 x + 3 Û x 4 + mx 2 + = (m + 2) x 2 + 8 x + + 3 . Để có d ạng chính phương cần
4 4
æ m2 ö
16 - (m + 2) ç + 3 ÷ = 0 .Máy tính có m=2. Vậy thì ( x 2 + 1)2 = (2 x + 2)2
è4 ø
3
- Đại sơ cấp http://mathisthinking.tk/
( )
2
Bằng kĩ thuật tương tự ta có thể giải pt 4 x - 15 x - 100 = 48 3 x + 5 Û (2 x + 3) = 3 3 x + 5 + 8
2 2
4
nguon tai.lieu . vn
