Xem mẫu
- PT-BPT MŨ LÔGARIT
***
log 2 ( x 2 + y 2 ) = 1 + log 2 ( xy )
1. ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình: 2 2
3x + y − xy = 81
2. *CĐ-2009. Cho 0
- x −1+ 2− y = 1
25. *ĐH-B-2005 Giải hệ
3log 9 (9x ) − log 3 y = 3.
2 3
x x x
12 15 20
26. ***ĐH-D-2005 CMR + + ≥ 3x + 4 x + 5 x
5 4 3
2x − x 2
2
−2x 1
27. Tham khảo-2005 Giải 9x − 2 ≤3
3
28. ***Tham khảo-2005 Cho x +y +z = 0. CMR: 2 + 4x + 2 + 4y + 2 + 4z ≥ 3 3.
1
log 1 (y − x) − log 4 y = 1
29. ĐH-A-2004 Giải HPT: 4
x 2 + y 2 = 25
30.
4
2
Tham khảo-2004 Giải BPT log π log 2 x + 2x − x < 0.
( )
1 3
31. Tham khảo-2004 Giải BPT: 2.x 2 log2 x ≥ 2 2 log2 x
***Tham khảo-2004 CMR phương trình sau có nghiệm duy nhất x x +1 = ( x + 1)
x
32. ( x > 0)
ln 2 x
33. ĐH-B-2004 Tìm GTNN của hàm số: y = x ∈ 1; 3
e
x
2 x −1 + 6 x − 11
34. ***Tham khảo 2004 Giải BPT: >4
x−2
35. ***Tham khảo 2004
x2
Cho hàm số y = e x − sin x +
Tìm GTNN của hàm số và CMR f(x)=3 có đúng 2 nghiệm.
2
36. *Tham khảo 2004 Giải BPT log 3 x > log x 3
2
x + y = y + x
2
37. ***Tham khảo 2004 Giải HPT x + y
2 − 2x −1 = x − y.
38. Tham khảo 2003 Giải BPT 15.2 x +1 + 1 ≥ 2 x − 1 + 2 x +1
39. Tham khảo 2003 Tìm m để PT có nghiệm thuộc (0;1): 4 log 2 x ( ) 2
− log 1 x + m = 0
2
40. ĐH-D-2003 Giải PT: 2 x2 − x 2 + x − x2
−2 =3
41. Tham khảo 2003 Giải PT: log 5 5 − 4 = 1 − x
x
( )
42. ĐH-A2002 Cho PT log 3 x + log 3 x + 1 − 2m − 1 = 0
2 2
1) Giải PT khi m=2
2) Tìm m để PT có nghiệm trên [1 ; 3 3 ]
Tham khảo 2002 Giải PT 16 log 27 x2 x − 3log 3 x x = 0
2
43.
x − 13 − 3x − k < 0
44. Tham khảo 2002 Tìm k để hệ BPT sau có nghiệm: 1 1
log 2 x + log 2 ( x − 1) ≤ 1
2 3
2 3
45. (
ĐH-B2002 Giải BPT log x log 3 ( 9 − 72 ) ≤ 1
x
)
2
- x − 4 y + 3 = 0
46. Tham khảo 2002 Giải HPT
log 4 x − log 2 y = 0
1− x 2
47. Tham khảo 2002 Tìm m để PT sau có nghiệm: 91+ 1− x 2
− ( a + 2 ) 31+ + 2a + 1 = 0
1 1
Tham khảo 2002 Giải PT: log 2 ( x + 3) + log 4 ( x − 1) = log 2 ( 4 x )
8
48.
2 4
23 x = 5 y 2 − 4 y
49. ĐH-D-2002 Giải HPT 4 x + 2 x +1
x =y
2 +2
(
log x x3 + 2 x 2 − 3 x − 5 y = 3
)
50. Tham khảo 2002 Giải PT :
3 2
(
log y y + 2 y − 3 y − 5 x = 3 )
51. Tham khảo 2002 Giải BPT ( ) (
log 1 4x + 4 ≥ log 1 22x +1 − 3.22 . )
2 2
PT-BPT MŨ LÔGARIT
***
log 2 ( x 2 + y 2 ) = 1 + log 2 ( xy )
1. ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình: 2 2
3x + y − xy = 81
HD: HPT tương đương
xy > 0 xy > 0
2 x = 2 x = −2
x + y = 2 xy ⇔ x = y
2
⇔ ∨
x 2 + y 2 − xy = 4 2 y = 2 y = −2
x + y − xy = 4
2
2. *CĐ-2009. Cho 0
- 5 5
Do ĐK ta chỉ nhận x = . ĐS: x=2, x =
4 4
x2 + x
4. ĐH-B- 08 Giải bất phương trình: log 0,7 log 6 0 x+4 >0
x +x
2
x+4 x2 + x x2 + x
HD: log 0,7 log 6 1⇔ 2 ⇔ >6
x+4 log x2 + x x+4 x + x > 6 x+4
>1
6
x+4 x+4
⇔ −4 < x < −3 ∨ x > 8
x 2 − 3x + 2
5. ĐH-B-08 Giải bất phương trình: l 1
og ≥0
2
x
x 2 − 3x + 2
>0 0 < x < 1 ∨ x > 2 0 < x < 1 ∨ x > 2
x 2 − 3x + 2 x 2
HD: l 1
og ≥0 ⇔ 2 ⇔ x − 4x + 2 ⇔ x2 − 4 x + 2
2
x x − 3x + 2 ≤ 1 ≤0 ≤0
x x
x
0 < x < 1 ∨ x > 2
) ( ) ( )
⇔ ⇔ 2− 2 ≤ x
HD: BPT tương đương 4
log (4 x − 3) 2 − log (2 x + 3) ≤ 2
3 3
3 3 3
x > 4
x > 4
x>
3
x > 4
3
⇔ 2
⇔ 2
⇔ 4 ⇔ ⇔ < x≤3
log (4 x − 3) ≤ 2 (4 x − 3) ≤ 9 8 x 2 − 21x − 9 ≤ 0 − 3 ≤ x ≤ 3 4
3
2x + 3 8
2x + 3
( ) ( )
x x
7. *ĐH-B-07 Giải phương trình: 2 −1 + 2 +1 − 2 2 = 0
( )
x
HD: Đặt t = 2 + 1 ta được PT:
1
t + = 2 2 ⇔ t 2 − 2 2t + 1 = 0 ⇔ t = 2 − 1 ∨ t = 2 + 1 ⇔ x = −1 ∨ x = 1
t
x x 1
8. *ĐH-D-07 Giải phương trình: log 2 (4 + 15.2 + 27) + log 2 =0
4.2 x − 3
HD: Đặt t=2x, t>0 ta được:
4 4
1 t > t >
2
log 2 (t + 15t + 27) + log 2 =0⇔ 3 ⇔ 3
4t − 3 t 2 + 15t + 27 = 4t − 3 t 2 + 11t + 30 = 0
Phương trình vô nghiệm t nên phương trình đã cho vô nghiệm x
4
- 9. *Tham khảo 2007. Giải BPT:
( log x 8 + log 4 )
x 2 log 2 2 x ≥ 0
HD: ĐK: x>0, x≠1
1 1 6
Đưa về 3log x 2 + log 2 x = + log 2 x ⇔ + 2t = 1 + t (t = log 2 x)
2 2 t
1
⇔ t 2 − t + 6 = 0 ⇔ t = 3 ∨ t = −2 ⇔ x = 8 ∨ t =
4
1 1
10. *Tham khảo 2007. Giải PT: log 4 ( x − 1) + = + log 2 x + 2 .
log 2 x +1 4 2
1 1 1 1
HD: ĐK: x>1 Đưa về log 2 ( x − 1) + = + log 2 ( x + 2)
2 2 log 2 x +1 2 2 2
⇔ log 2 ( x − 1) + log 2 (2 x + 1) = 1 + log 2 ( x + 2) ⇔ log 2 ( x − 1)(2 x + 1) = log 2 2( x + 2)
5 5
⇔ 2 x 2 − 3 x − 5 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = Do ĐK, chỉ nhận nghiệm x =
2 2
2
11. Tham khảo 2007. Giải PT: log 3 ( x − 1) + log 3
(2 x − 1) = 2
HD: ĐK x>1
Đưa về 2log 3 ( x − 1) + 2log 3 (2 x − 1) = 2
1
⇔ log 3 ( x − 1)(2 x − 1) = 1 ⇔ ( x − 1)(2 x − 1) = 3 ⇔ 2 x 2 − 3 x − 2 = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = − .
2
Do ĐK chỉ nhận x=2
4
12. *Tham khảo 2007. Giải PT: (2 − log 3 x )log 9 x 3 − =1
1 − log 3 x
1
HD: ĐK x>0, x≠
9
1 4 2 − log 3 x 4
Đưa về (2 − log 3 x ) − =1 ⇔ − =1
log 3 9 x 1 − log 3 x 2 + log 3 x 1 − log 3 x
2−t 4
⇔ − = 1 (t = log 3 x)
2 + t 1− t
⇔ (2 − t )(1 − t ) − 4(2 − t ) = (2 + t )(1 − t )
−1 − 17 −1 + 17 Do ĐK chỉ nhận −1 + 17
⇔ t2 + t − 4 = 0 ⇔ t = ∨t = t=
2 2 2
1 1
Tham khảo 2007. Giải BPT: log 1 2 x − 3 x + 1 + log 2 ( x − 1) ≥
2 2
13.
2
2 2
1
HD: ĐK x < ∨ x >1
2
( x − 1) ( x − 1)
2 2
1 1 1
Đưa về − log 2 ( x − 1)(2 x − 1) + log 2 ( x − 1) ≥ ⇔ log 2
2
≥1 ⇔ ≥2
2 2 2 ( x − 1)(2 x − 1) ( x − 1)(2 x − 1)
−3 x 2 + 4 x − 1 ( x − 1)( −3x + 1) −3 x + 1 1 1
⇔ ≥0 ⇔ ≥0 ⇔ ≥0 ⇔ ≤x<
( x − 1)(2 x − 1) ( x − 1)(2 x − 1) 2x −1 3 2
1
x < 2 ∨ x > 1
1 1
Kết hợp ĐK: ⇔ ≤x<
1 ≤ x < 1 3 2
3
2
5
- 14. Tham khảo 2007. Giải BPT: 23x +1 − 7.22x + 7.2 x − 2 = 0
HD: 2t − 7t + 7t − 2 = 0 (t = 2 , t > 0)
3 2 x
1
⇔ (t − 1)(2t 2 − 5t + 2) = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = 2 ∨ t = ⇔ x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = −1
2
15. *ĐH-A-2006 Giải phương trình 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0
HD: 3.23 x + 4.3x 22 x − 32 x 2 x − 2.33 x = 0
3x 2x x
2 2 2
Chia 2 vế của PT cho 3 ta đươc: 3. + 4 − − 2 = 0
3x
3 3 3
x
2 2
Đặt t = , t>0 ta có: 3t 3 + 4t 2 − t − 2 = 0 ⇔ t = −1 ∨ t =
3 3
2
Do ĐK ta chỉ nhận t = ⇔ x=1
3
16. Tham khảo 2006 Giải PT: log x 2 + 2log 2 x 4 = log 2 x 8
1 1 2 1
HD: ĐK x>0, x≠1, x≠ . PT tương đương với: + =
2 log 2 x log 4 2 x log8 2 x
1 4 6 1 2
⇔ + = ⇔ = ⇔ 1 + log 2 x = 2log 2 x
log 2 x 1 + log 2 x 1 + log 2 x log 2 x 1 + log 2 x
⇔ 2x = x 2 ⇔ x = 2
17. ( )
ĐH-B-2006 Giải BPT: log 5 4 + 144 − 4log 5 2 < 1 + log 5 2
x x −2
+ 1 ( )
HD: Biến đổi BPT
4 x + 144 4x + 144
log 5
16
(
< log 5 5.2
x −2
+5 ) ⇔ < 5.2 x −2 + 5 ⇔ 4x -20.2x + 64 < 0
16
⇔ t 2 -20.t + 64 < 0(t=2 x > 0) ⇔ (t − 4)(t − 16) < 0 ⇔ 4 < t < 16 ⇔ 2 < x < 4
18. Tham khảo 2006: log 2
x + 1 − log 1 (3 − x) − log 8 ( x − 1)3 = 0
2
( x + 1)(3 − x)
HD: ĐK 10 hệ sau có nghiệm duy nhất:
y − x = a
e x+ a − e x − ln(1 + x + a ) + ln(1 + x) = 0
HD: Biến đổi
y = x + a
Xét hàm số
6
- f ( x) = e x + a − e x − ln(1 + x + a ) + ln(1 + x ), x > −1
a
f ′( x) = e x (e a − 1) + > 0 (vì a>0 và x>−1)
(1 + x)(1 + x + a)
lim f ( x) = +∞, lim f ( x) = −∞ , f(x) liên tục trên (−1; +∞) . Từ hai kết quả trên, f(x)=0 có nghiệm
x →+∞
t →−1 +
x0 trên (−1; +∞)
Do f ′( x) > 0, ∀x > −1 nên f(x)=0 có không quá 1 nghiệm
Kết luận f(x)=0 có nghiệm duy nhất x0 và HPT có nghiệm duy nhất.(x=x0;y=x0+a)
2 2
ĐH-D-2006 Giải PT: 2 x +x −x
21. − 4.2 x − 22 x + 4 = 0
u = 2 x2 + x
HD: Đặt Suy ra u.v = 22 x (u>0,v>0)
v = 2 x − x
2
Phương trình thành:
u − 4v − uv + 4 = 0 ⇔ u(1-v)+4(1-v)=0 ⇔ (u+4)(1-v)=0 ⇔ v=1 ⇔ x 2 − x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 1
x +1
22. Tham khảo 2006 Giải PT: log 3 3 − 1 log 3 3 − 3 = 6
x
( ) ( )
HD: Đưa về:
( ) ( ) (
log 3 3x − 1 log 3 3(3x − 1) = 6 ⇔ log 3 3x − 1 1+log 3 3x − 1 = 6
) ( )
( ( ))
⇔ t (1 + t ) = 6 t = log 3 3 − 1 ⇔ t 2 + t − 6 = 0 ⇔ t = 2 ∨ t = −3
x
1
( )
⇔ log 3 3x − 1 = 2 ∨ log 3 ( 3 − 1) = −3 ⇔ 3
x x
− 1 = 9 ∨ 3x − 1 =
27
28 28
⇔ 3x = 10 ∨ 3x = ⇔ x = log 3 10 ∨ x = log 3
27 27
ln(1 + x ) − ln(1 + y ) = x − y
23. ***Tham khảo 2006 Giải HPT: 2 2
x − 12 xy + 20 y = 0.
HD:
Xét PT thứ nhất ln(1+x)-x=ln(1+y)− y
Đặt f(t)=ln(1+t)− (t>−
t 1)
1 −t
f ′(t ) = −1 =
t +1 t +1
N ếu − 10 thì f’(t)0 thì x=10y hay x=2y đều cho x>0, y>0
N ếu − 1
- 1
2 ( log 2 x + 1) log 4 x + log 2 =0
24. Tham khảo 2006 Giải: 4
HD: Đưa về
( log 2 x + 1) log 2 x − 2 = 0 . Đặt t=log2x
1
⇔ x=2 ∨ x=
t +t − 2 = 0 ⇔ t=1 ∨ t= − 2
2
4
x −1+ 2− y = 1
25. *ĐH-B-2005 Giải hệ:
3log 9 (9x ) − log 3 y = 3.
2 3
x −1+ 2− y = 1
x −1+ 2− y = 1
HD: Với điều kiện x≥1, 0 0 ta có t2− 3≤0 ⇔ −
2t− 1≤t≤3
BPT thành 3x2 −2 x ≤ 3 ⇔ x 2 − 2 x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2
28. ***Tham khảo-2005 Cho x +y +z = 0. CMR: 2 + 4x + 2 + 4y + 2 + 4z ≥ 3 3.
HD: Môt bài toán hay. Dự đoán x=y=z=0 thì “=” xảy ra. Ta dùng BĐT Côsi với chú ý x=0 thì 4x=1.
x
2 + 4 x = 1 + 1 + 4 x ≥ 3 3 4 x ⇒ 2 + 4 x ≥ 32 3
Tương tự với y,z ta có:
8
- x y z
x + y+z
2 + 4x + 2 + 4y + 2 + 4z ≥ 3 23 + 23 + 23
≥ 3 3 2 3 = 3 3 (vì x+y+z=0)
3
1
log 1 (y − x) − log 4 = 1
29. ĐH-A-2004 Giải HPT: 4 y
x 2 + y 2 = 25
y > 0, y > x y > 0, y > x
1
log 1 (y − x) − log 4 y = 1 − log 4 (y − x) + log 4 y = 1 y y
HD: 4 ⇔ 2 ⇔ log 4 = 1⇔ =4
x 2 + y 2 = 25 x + y = 25
2
y−x y − x
x 2 + y 2 = 25 x 2 + y 2 = 25
y > 0, y > x y > 0, y > x
y > 0, y > x y > 0, y > x
4x 4x x = 3
⇔ y = ⇔ y = ⇔ y = 4 ∨ y = −4 ⇔
3 3 x = 3 x = −3 y = 4
x + y = 25 x = 9
2 2 2
30.
4
2
(
Tham khảo-2004 Giải BPT: log π log 2 x + 2x − x < 0. )
( ) (
log x + 2x 2 − x > 0
)
HD: log π log x + 2x 2 − x < 0. 2
⇔ ⇔ log 2 x + 2x 2 − x > 1 ( )
( )
2
4 log 2 x + 2x − x > 1
2
x + 2x 2 − x > 0
2 − x < 0 2 − x ≥ 0
⇔ ⇔ x + 2x 2 − x > 2 ⇔ 2x 2 − x > 2 − x ⇔ 2 ∨ 2
2x − x ≥ 0 2x − x > x − 4x + 4
2
x + 2x 2 − x > 2
x > 2 x ≤ 2 x ≤ 2
⇔ ∨ 2 ⇔ x > 2∨ ⇔ ( x < −4) ∨ ( 1 < x )
x ≤ 0 ∨ x ≥ 2 x + 3x − 4 > 0 x < −4 ∨ x > 1
1 3
31. Tham khảo-2004 Giải BPT: 2.x 2 log2 x ≥ 2 2 log2 x
1 3 1 log2 x 3
log x 1 3
2.x 2
log 2 x
≥ 22
log 2 x
⇔ log 2 2.x 2
≥ log 2 2 2 2
⇔ 1 + log 2 x ≥ log 2 x ⇔ 1 ≥ log 2 x ⇔ 0 < x ≤ 2
HD: 2 2
***Tham khảo-2004 CMR phương trình sau có nghiệm duy nhất: x x +1 = ( x + 1)
x
32. ( x > 0)
HD: x x +1 = ( x + 1) ⇔ ln x x +1 = ln ( x + 1) ⇔ ( x + 1) ln x = x ln ( x + 1) ⇔ ( x + 1) ln x − x ln( x + 1) = 0
x x
Đặt f ( x) = ( x + 1) ln x − x ln( x + 1)
1 1 − x2 − x −1
f ′( x) = ln x − ln( x + 1) + + f ′′( x) = 2 < 0 Suy ra f’(x) nghịch biến trên R+
x x +1 x ( x + 1) 2
x 1 1
Mà: xlim f ′( x ) = xlim ln + + = 0 ⇒ f’(x)>0 với mọi x>0 ⇒ f(x) đồng biến trên R
+
→+∞ →+∞
x +1 x x +1
lim f ( x) = −∞ f(e)=e+1− eln(e+1)>0
x → 0+
Vậy có x0 thuộc (0;e) để f(x0)=0 và x0 là nghiệm duy nhất.
9
- ln 2 x
33. ĐH-B-2004 Tìm GTNN của hàm số: y = x ∈ 1; 3
e
x
ln 2 x ln x(2 − ln x)
HD: y = f (x) = x ∈ 1; 3 f ′(x) =
e 2
f ′(x) = 0 ⇔ x = 1∨ x = e2
x x
4 9 4
f(1)=0; f (e ) = f (e 3 ) = 3 GTNN là f(1)=0; GTLN là f (e ) =
2 2
2 ;
e e e2
2 x −1 + 6 x − 11
34. ***Tham khảo 2004 Giải BPT: >4
x−2
2 x −1 + 2 x − 3
HD: >0
x−2
2 x −1 + 2 x − 3 < 0
x 0
2
Suy ra f’(x) đồng biến trên R, f’(0)=0
Suy ra f’(x)>0 khi x>0 và f’(x)
-
x > 0, x ≠ 1 x > 0, x ≠ 1 x > 0, x ≠ 1
x > 0, x ≠ 1
HD: Đưa về t = log 3 x ⇔ t = log 3 x ⇔ t = log 3 x ⇔
1 2 −1 < t < 0 ∨ t > 1 −1 < log 3 x < 0 ∨ log 3 x > 1
t > t −1
>0
t
t
1
⇔ < x < 1∨ x > 3
3
2
x + y = y + x
2
37. ***Tham khảo 2004 Giải HPT x + y
2 − 2x −1 = x − y.
HD: Xét PT thứ nhất: (x− y)(x+y− 1)=0
Thay y=x vào PT thứ hai 22 x − 2 x−1 = 0 ⇔ 2 x = x − 1 ⇔ x = −1 (y=− 1)
x −1
Thay y=1− vào PT thứ hai 2 + 2 x − 3 = 0 Hàm số f ( x) = 2 + 2 x − 3 đồng biến trên R và f(1)=0
x x −1
nên f(x)=0 có nghiệm duy nhất x=1 (y=0)
Kết luận (x=− 1;y=− (x=1;y=0)
1),
38. Tham khảo 2003 Giải BPT 15.2 x +1 + 1 ≥ 2 x − 1 + 2 x +1
HD: Đặt t=2x ta được 30t + 1 ≥ t − 1 + 2t
t=1 thỏa BPT
t > 1
t > 1
t>1 ta được 30t + 1 ≥ 3t − 1 ⇔ ⇔ 2 ⇔1< t ≤ 4
30t + 1 ≥ 9t − 6t + 1 t − 4t ≤ 0
2
t < −1
−1 ≤ t < 1 −1 −1 ≤ t < 1
t0 ta có 0 < t ≤ 4 ⇔ 0 < 2 x ≤ 4 ⇔ x ≤ 2
39. Tham khảo 2003 Tìm m để PT có nghiệm thuộc (0;1) : 4 log 2 x ( ) 2
− log 1 x + m = 0
2
(
HD: 4 log 2 x ) 2
− log 1 x + m = 0 ⇔ ( log x ) 2 + log x + m = 0 ⇔ m = − ( log x ) 2 − log x
2 2 2 2
2
Với 0
- t = 5 x
t = 5 x
t = 5 x
(x
)
HD: log 5 5 − 4 = 1 − x ⇔ 5 x − 4 = 51− x ⇔ 5 ⇔ 2 ⇔ ⇔ x =1
t − 4 = t − 4t − 5 = 0
t = 5
t
42. ĐH-A2002 Cho PT : log 3 x + log 3 x + 1 − 2m − 1 = 0
2 2
1) Giải PT khi m=2
2) Tìm m để PT có nghiệm trên [1 ; 3 3 ]
HD:
t = log 2 x + 1
t = log 2 x + 1
log 3 x + log 3 x + 1 − 5 = 0 ⇔ 2 ⇔ ⇔ log 3 x = 3 ⇔ log 3 x = ± 3 ⇔ x = 3±
2 2 3 3 2
1) 3
t + t − 6 = 0
t = 2
2) Xét 1 ≤ x ≤ 3 3
⇔ 0 ≤ log 3 x ≤ 3
t = log 2 x + 1
3
log 3 x + log 3 x + 1 − 2m − 1 = 0 ⇔
2 2
1 2
m = f (t ) = t + t − 2
2
( )
PT ban đầu có nghiệm x thỏa 1 ≤ x ≤ 3 3 khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của f(t) với 1 ≤ t ≤ 2
Khảo sát hàm số ta được 0 ≤ m ≤ 2
Tham khảo 2002 Giải PT: 16 log 2 x − 3log 3 x x = 0
2
43. 27 x
1 1
HD: Với ĐK x > 0, x ≠ , x ≠
3 3
8log 3 x 3log 3 x
Đưa về dạng =
3 + 2 log 3 x 1 + log 3 x
Hoặc log 3 x = 0 ⇔ x = 1
8 3 1
Hoặc = ⇔ log 3 x = ⇔ x = 3
3 + 2 log 3 x 1 + log 3 x 2
x − 13 − 3x − k < 0
Tham khảo 2002 Tìm k để hệ BPT sau có nghiệm: 1 1
log 2 x + log 2 ( x − 1) ≤ 1
2 3
2 3
1 1
log 2 x 2 + log 2 ( x − 1) ≤ 1
3
HD: Xét BPT ta có
2 3
Giải xong được −1 ≤ x ≤ 2
3 3
Xét BPT x − 1 − 3 x − k < 0 ⇔ k > f ( x) = x − 1 − 3 x
Xét −1 ≤ x ≤ 1 , k > f ( x) = ( 1 − x ) − 3 x
3
44. ĐH-B2002 Giải BPT : log x log 3 9 − 72 ≤ 1
x
( ( ))
0 < x < 1 x > 1
( ( ))
(
)
HD: log x log 3 9 − 72 ≤ 1 ⇔ log 3 9 − 72 > 0 ∨ log 3 9 − 72 > 0
x x x
( )
( )
log 3 9 − 72 ≥ x log 3 9 − 72 ≤ x
x
x
( )
12
- x > 1 x > 1
0 < x < 1
x 0 < x < 1
⇔ ∨ 9 − 72 > 1 ⇔ x ∨ 3x > 6 2
(
log 3 9 − 72 ≥ x x
x
)
9 − 72 ≤ 3x
9 − 72 ≥ 3 x x
x
9 − 3 − 72 ≤ 0
0 < x < 1 x > 1
⇔ x ∨
3 ≤ −8 ∨ 3 ≥ 9 6 2 ≤ 3 ≤ 9
x x
⇔ log 3 6 2 < x ≤ 2 ( )
x − 4 y + 3 = 0
45. Tham khảo 2002 Giải HPT
log 4 x − log 2 y = 0
HD:
x ≥ 1, y ≥ 1 x ≥ 1, y ≥ 1 x ≥ 1, y ≥ 1
x − 4 y + 3 = 0
x = 1 x = 9
⇔ x = 4 y − 3 ⇔ x = 4 y − 3 ⇔ x = 4 y − 3 ⇔ ∨
log 4 x − log 2 y = 0
log x = log y x = y2 y2 − 4 y + 3 = 0 y =1 y = 3
4 2
1− x 2
46. Tham khảo 2002 Tìm m để PT sau có nghiệm: 91+ 1− x 2
− ( a + 2 ) 31+ + 2a + 1 = 0
HD:
t = 3 1− x
2
1+ 1− x 2
9 1+ 1− x 2
− ( a + 2) 3 + 2a + 1 = 0 ⇔ 2
9t − 3(a + 2)t + 2a + 1 = 0
1
Với −1≤x≤1 ta có ≤t ≤3
3
1
Ta tìm a để PT 9t 2 − 3(a + 2)t + 2a + 1 = 0 có nghiệm t thỏa ≤t ≤3
3
9t 2 − 6t + 1 9(3t 2 − 4t + 1) 1
Biến đổi PT a = f (t ) = f ′(t ) = , f ′(t ) = 0 ⇔ t = 1 ∨ t =
3t − 2 (3t − 2) 2
3
x -∞ 1/3 2/3 1 +∞
f’(t) + 0 − − 0 +
f(t) 0 +∞
-∞ 4
PT có nghiệm khi a≤0 V a≥4
1 1
Tham khảo 2002 Giải PT: log 2 ( x + 3) + log 4 ( x − 1) = log 2 ( 4 x )
8
47.
2 4
x > 0, x ≠ 1
1 1 x > 0, x ≠ 1
( x + 3) + log 4 ( x − 1) = log 2 ( 4 x ) ⇔ log x + 3 + log x − 1 = log (4 x) ⇔
8
HD: log 4x
2( ) log 2 x − 1 = log 2 x + 3
2
2 4 2 2
x > 0, x ≠ 1 0 < x < 1 x > 1
0 < x < 1 x > 1
⇔ 4x ⇔ 4x ∨ 4x ⇔ 2 ∨ 2
x −1 = x + 3
− x + 1 = x + 3 x − 1 = x + 3
− x − 2 x + 3 = 4 x x + 2 x − 3 = 4 x
0 < x < 1 x > 1
⇔ 2 ∨ 2 ⇔ x = −3 + 2 3 ∨ x = 3
x + 6x − 3 = 0 x − 2x − 3 = 0
23 x = 5 y 2 − 4 y
48. ĐH-D-2002 Giải HPT 4 x + 2 x +1
x =y
2 +2
HD:
13
- 23 x = 5 y 2 − 4 y 23 x = 5 y 2 − 4 y
x 23 x = 5 y 2 − 4 y
y = 2x
y = 2x
4 + 2 x +1 ⇔ (2 x + 2)2 x ⇔ x ⇔ 3 ⇔ 2
=y =y 2 = y y − 5y + 4y = 0 y − 5y + 4 = 0
2
x x
2 +2 2 +2
y = 2x x = 0 x = 2
⇔ ⇔ ∨
y = 1∨ y = 4 y =1 y = 4
log x ( x3 + 2 x 2 − 3 x − 5 y ) = 3
49. Tham khảo 2002 Giải PHƯƠNG TRÌNH :
log y ( y + 2 y − 3 y − 5 x ) = 3
3 2
HD:
log x ( x3 + 2 x 2 − 3 x − 5 y ) = 3 x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ 1 x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ 1
3
⇔ x + 2 x − 3x − 5 y = x ⇔ 2 x 2 − 3 x − 5 y = 0
2 3
log y ( y + 2 y − 3 y − 5 x ) = 3
3 2
y3 + 2 y 2 − 3 y − 5x = y3 2 y 2 − 3 y − 5 x = 0
x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ 1 x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ 1
2
⇔ 2( x − y ) − 3( x − y ) − 5( y − x) = 0 ⇔ ( x − y )( x + y + 1) = 0
2
4( x 2 + y 2 ) − 3( x + y ) − 5( x + y ) = 0 4( x 2 + y 2 ) − 8( x + y ) = 0
x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ 1 x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ 1
x = 2
⇔ x = y ∨ y = −1 − x ⇔
8 x 2 − 16 x = 0 8 x 2 + 8 x + 13 = 0 y = 2
50.
x
Tham khảo 2002 Giải BPT: log 1 4 + 4 ≥ log 1 2
2x +1
(
− 3.22 . ) ( )
2 2
x
(
HD: log 1 4 + 4 ≥ log 1 2)
2x +1
(
− 3.22 . ⇔ 2
x
) 2 x +1
− 3.22 > 0
2 x +1 ⇔ 4 x ≥ 16 ⇔ x ≥ 2
4 + 4 ≤ 2 − 3.2 2
2 2
14
nguon tai.lieu . vn