Xem mẫu
- TRẦN CÔNG NGHỊ , ĐỖ HÙNG CHIẾN
PHƯƠNG PHÁP TÍNH
CƠ HỌC KẾT CẤU
TÀU THỦY
ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HỒ CHÍ MINH
6-2009
- (trang này để trống)
- 2
TRẦN CÔNG NGHỊ, ĐỖ HÙNG CHIẾN
PHƯƠNG PHÁP TÍNH
CƠ HỌC KẾT CẤU
TÀU THỦY
ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HỒ CHÍ MINH
TP HỒ CHÍ MINH 6-2009
- 3
Mục lục
Mở đầu 5
Chương 1 Phương pháp biến phân và trọng hàm dư 6
1. Phép biến phân 6
2. Các phương pháp nhóm trọng hàm dư 23
Chương 2 Phương pháp sai phân hữu hạn 32
1. Hàm một biến 32
2. Phương pháp lưới cho bài toán 2 chiều 37
3. Xoắn dầm 41
4. Bài toán trường 2D với biên cong 42
5. Phương pháp sai phân hữu hạn trên cơ sở phép biến phân 44
6. Dao động dầm 51
7. Dao động tấm 52
8. Ổn định tấm 54
Chương 3 Phương pháp phần tử hữu hạn 57
1. Phương pháp phần tử hữu hạn 57
2. Thứ tự giải bài toán cơ học kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn 59
3. Ma trận cứng phần tử. Ma trận cứng hệ thống 61
4. Áp đặt tải 63
5. Xử lý điều kiện biên 65
6. Giải hệ phương trình đaị số tuyến tính 66
7. Những phần tử thông dụng trong cơ học kết cấu 70
8. Trạng thái ứng suất phẳng. Trạng thái biến dạng phẳng 82
9. Tấm chịuu uốn 88
10. Vật thể 3D 93
11. Nén ma trận. Khối kết cấu 95
12. Sử dụng phần mềm SAP và ANSYS tính toán kết cấu 103
13. Phân tích kết cấu bằng ngôn ngữ MATLAB 112
14. Dao động kỹ thuật 142
Chương 4 Tính toán độ tin cậy 163
1. Độ tin cậy 164
2. Tính toán độ tin cậy 164
3. Xác định chỉ số an toàn, xác suất hư hoại 165
4. Phép tính thống kê và biến ngẫu nhiên 170
5. Các phương pháp tính 171
6. Phân tích những điều không chắc chắn từ tải và độ bền 181
7. Chọn hàm phân bố 182
8. Phân tích độ tin cậy hệ thống 182
9. Xác định các hệ số sử dụng 183
10. Thủ tục phân tích độ tin cậy kết cấu 189
11. Độ bền thân tàu 190
Tài liệu tham khảo 193
- 4
Ký hiệu chính
A diện tích, area
b chiều rộng, beam, width
c, C hệ số, coefficient
d đường kính, diameter
D độ cứng tấm, flexural rigidity of plate
E mộ đun đàn hồi, modulus of elasticity
f hàm, function
F lực, lực cắt, force, shear force
G mộ đun đàn hồi (cắt ), shear modulus
g gia tốc trọng trường, gravity constant
h chiều cao, depth, heigh
I, П, F phiếm hàm, functional
I, J momen quán tính mặt cắt, moment of inertia
Jp momen quán tính trong hệ độc cực, polar moment of inertia
K, k hệ số, coefficient
K, k độ cứng
L, l chiều dài, length
M momen, moment
m khối lượng, mass
N lực dọc trục, axial force
P tải, load
P công suất, power
p áp suất, pressure
Q tải, load
q tải phân bố, distributed load
R hàm sai số, residual function
R, r bán kính, radius
S diện tích, area
T, MT momen xoắn, torque, couple
t chiều dày, thickness
t thời gian, time
U thế năng, potential energy
u0 thế năng đơn vị, strain energy per unit volume
V lực cắt, shear force
W trọng lượng, weight
W,w công ngoại lực, work
α góc nói chung, angle generally
β góc nói chung, angle generally
δ, Δ, w chuyển dịch vị trí, deflection
δ toán tử biến phân, variational operator
γ biến dạng góc, shear strain
θ góc, chuyển vị góc, angle, angle deflection
Π thế năng, potential energy
ε biến dạng , strain
σ ứng suất nói chung, stress, generally
η hệ số nói chung, coefficient generally
ν hệ số Poisson, Poisson’s coefficient
φ, ψ vector riêng, eigenvector
ρ mật độ, density
γ trọng lượng riêng, specific weight
τ, T chu kỳ, perio
ω tần số góc, circular frequency, generally
ωn tần số riêng , natural frequency, generally
- 5
Mở đầu
Cuốn sách “PHƯƠNG PHÁP TÍNH CƠ HỌC KẾT CẤU TÀU THỦY” trình bày các phương
pháp tính cần cho việc xử lý những vấn đề thuộc cơ học kết cấu. Đây là phần không tách rời của bộ
sách giành cho cơ học kết cấu tàu thủy, cần cho những người quan tâm cơ học kết cấu tàu thủy và công
trình ngoài khơi. Ba cuốn sách đã được phát hành: “Cơ học kết cấu tàu thủy”, “Sức bền tàu”, “Dao
động tàu thủy” cần đến các phương pháp tính trình bày trong sách này lúc xử lý các đề tài.
Các chương trong sách sẽ trình bày những đề tài được quan tâm nhiều hiện nay.
Chương đầu bàn về ứng dụng phương pháp biến phân kinh điển, dùng hiệu quả hàng trăm năm
trong toán và cơ học, giải những bài toán uốn dầm, uốn tấm. Phương pháp Ritz có sử dụng hàm thử và
phép biến phân cùng các ứng dụng để giải bài toán cơ học chất rắn nói chung, dầm và tấm nói riêng,
là phần cần để ý của chương. Các phương pháp có sử dụng hàm thử song không qua giai đoạn tính
biến phân giới thiệu cùng chương mang tên gọi chung là phương pháp trọng hàm dư.
Chương tiếp theo giới thiệu phương pháp sai phân hữu hạn hiện là phương pháp hữu hiệu trong
toán tính và trong cơ học. Tại chương này người đọc gặp cách xây dựng bài toán và giải bài toán cơ
học kết cấu theo cách làm quen thuộc trước nay. Phương pháp sai phân hữu hạn đang phát huy tác
dụng lớn ngày nay và chắc còn tác dụng dài lâu. Bên cạnh đó những cách làm theo hướng đổi mới
thủ tục tính toán cho phương pháp truyền thống trình bày trong chương này giúp bạn đọc xem xét vấn
đề đầy đủ, có tính thời sự. Có thể phát biểu rằng những cách làm mới không thay đổi nội dung phương
pháp sai phân hữu hạn song làm cho nó bắt kịp tiến bộ trong lĩnh vực toán tính.
Những cơ sở của phương pháp tính phần tử hữu hạn và ứng dụng của nó xử lý những bài toán cơ
học kết cấu giới thiệu trong sách giúp bạn đọc làm quen và có điều kiện nâng cao khả năng tính toán
theo phương pháp rất hữu hiệu này.
Chương bốn trình bày các phương pháp tính đang dùng phổ biến trong môn học “Độ tin cậy kết
cấu”. Các thủ tục tính trình bày tại đây giúp người đọc xác định đúng và nhanh trong điều kiện có thể
các thông số liên quan độ tin cậy kết cấu dân dụng nói chung và của tàu thủy nói riêng.
Mỗi chương của sách ngoài phần lý thuyết và hướng dẫn tính toán đều có những ví dụ minh họa.
Những người chuẩn bị sách cố ý trình bày những ví dụ độ phức tạp không cao, người đọc dễ dàng
kiểm tra bằng các phép tính thủ công. Tuy nhiên, với các bài toán động lực học, khối lương tính toán
thường lớn, đề nghị bạn đọc sử dụng công cụ tính thích hợp khi tìm trị riêng và vecto riêng.
Những người viết
- 6
Chương 1
PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN VÀ TRỌNG HÀM DƯ
Các bài toán cơ học kết cấu giải theo nhiều phương pháp khác nhau. Trong chương này của sách
đề cập những cách giải dựa trên các phương pháp dùng hàm thử theo nghĩa kinh điển. Các phương
pháp trực tiếp tìm lời giải bao gồm: phương pháp biến phân kinh điển (Direct Variational Method) và
phương pháp trọng hàm dư (Weighted Residual Method).
Phương trình vi phân chính yếu trình bày trạng thái cân bằng vật rắn, xem xét trong chương:
L(u) - p = 0 trong miền V, (a)
và các điều kiện biên:
B(u) - q = 0 trên biên S = Su + Sp (b)
trong đó u – là hàm chuyển vị, nếu không giải thích khác, p – tải
Biểu thức (b) được hiểu cụ thể theo cách diễn giải tại hình 1.1:
Điều kiện động học u = u* tại Su;
Điều kiện động lực học q = q* tại Sp.
L và B là những toán tử vi phân.
Toán tử thường gặp có thể là ∇, ∇2, ∇4 = ∇2∇2
1 PHÉP TÍNH BIẾN PHÂN Hình 1.1 Điều kiện biên
Phép tính biến phân liên quan vấn đề xác định cực trị, tức maximum hoặc minimum của các
phiếm hàm. Phiếm hàm (functional) hiểu là hàm của các hàm. Trong chừng mức nhất định phiếm hàm
có nét tương đồng với hàm số chúng ta vẫn quen, điểm khác nhau cần nhắc đến, hàm số theo nghĩa
thông thường là hàm của các biến, còn hàm đóng vai trò phiếm hàm của các hàm.
Việc chính của tính toán biến phân là tìm hàm, ví dụ hàm u(x), với x – biến độc lập, để phiếm
hàm dưới dạng tích phân giới hạn x1, x2:
x2
I = ∫ F (u, u ' ,..., x)dx (1.1)
x1
đạt cực trị.
Trong tích phân này u’ = du/dx,
I và F cùng được gọi phiếm hàm.
Với những vấn đề thuộc cơ học kết cấu:
I≡Π=U–W
U – công biến dạng, W – công của ngoại lực.
Nghiệm gần đúng tìm từ biểu thức:
~
u ( x) = u ( x) + δu ( x) (1.2)
Hình 1.2 Hàm u và biến phân δu
- 7
trong đó u(x) – nghiệm chính xác, nếu tồn tại, δu(x) có tên gọi biến phân. δ là toán tử biến phân.
Phép tính biến phân hàm I:
( )
δ ∫ Fdx = ∫ (δF )dx (1.3)
⎛ du ⎞ d
Và δ⎜ ⎟ = (δu ) (1.4)
⎝ dx ⎠ dx
∂F ∂F
δF = δu + δu ' (1.5)
∂u ∂u '
Điều kiện cần để I đạt cực trị:
x2 x
⎛ ∂F ∂F ⎞
2
δI = ∫ ⎜ δu + δu ' ⎟dx = ∫ δFdx = 0 (1.6)
x1 ⎝
∂u ∂u ' ⎠ x1
1.1 PHƯƠNG PHÁP RITZ
Phương pháp Ritz xây dựng trên cơ sở phép biến phân.
Phương pháp Ritz 1 tìm cách thay thế biến u, có thể chọn ví dụ bài toán một chiều u(x), trong
x2
phiếm hàm (1.1): I = ∫ F (u, u ' ,..., x)dx , bằng nghiệm gần đúng dưới dạng hàm xấp xỉ:
x1
N
~
u = ∑ ai f i (1.7)
i =1
Hàm u, chúng ta đã gặp trong các bài toán cơ học khác nhau, thể hiện tại (a), để tiện xem xét có
thể coi là hàm chuyển vị trong ví dụ tiếp theo.
Hàm cơ sở hay còn gọi hàm thử fi, i =1,2,..., N phải thoả mãn các điều kiện biên (b) S = Sp +
~
Su, tức là điều kiện động lực học trên Sp, và điều kiện động học tại biên Su. Hàm xấp xỉ u liên tục
đến bậc r-1, trong đó r – bậc đạo hàm cao nhất trong I.
~
Thay u vào I, công thức (1.1), tích phân I trở thành hàm của các ẩn ai.
Phiếm hàm I tương đương hàm tổng thế năng Π gặp trong những bài toán cơ học kết cấu Π = U
– W, trong đó U – công biến dạng 2, W – công ngoại lực 3. Điều kiện cần để I đạt cực trị là:
∂I (u )
= 0 i = 1,2,L, n (1.8)
∂ai
Xác định hàm I trong các bài toán cơ học kết cấu có thể tiến hành theo cách gán I bằng tổng năng
lượng hệ thống Π = U – W.
1
Công biến dạng vật thể làm từ vật liệu đàn hồi: U = ∫ {ε }T {σ }dV , (1.9)
2V
Công do ngoại lực tác động lên vật thể: W = ∫ { p}T {u}dS , (1.10)
S
trong đó {ε}= [C]{σ} – vector biến dạng,
{σ} = [D]{ε} – vector ứng suất,
1
Ritz W., “Über eine neue Methode zur Lösung gewissen Variations-Problem der mathematischen Physik”, J. Rein Angew.
Math. (1909).
2
strain energy
3
external work due to applied loads
- 8
{p} – vector ngoại lực
{u} – vecto chuyển vị.
1
Π = ∫ {ε }T {σ }dV − ∫ { p}T {u}dS (1.11)
2V Sp
Thay hàm Π của hàm u vào vị trí phiếm hàm I, xác định hàm u đảm bảo tổng thế năng đạt
minimum. Từ phép biến phân xác định biểu thức δΠ:
⎧1
⎪ ⎫
⎪
δΠ = δ ⎨ ∫
⎪2 V
{ε }T {σ }dV − ∫ { p}T {u}dS ⎬
⎪
(1.12)
⎩ Sp ⎭
Giải bài toán cơ học vật rắn chúng ta nhận phương trình:
∫ δ {ε } [ D]{ε }dV = ∫ {p} δ {u}dS
T T
(1.13)
V Sp
Trong đó {p} – tải bên ngoài tác động lên biên Sp vật thể đang xem xét.
Từ đây có thể viết:
δU = δW hoặc δ(U –W) = 0. (1.14)
Trường hợp bài toán ba chiều hàm chuyển vị có thể thể hiện: {u} = [u v w ]
T
⎫
u = ∑ a i ϕ i ( x, y , z ) ⎪
i
⎪
v = ∑ biψ i ( x, y, z ) ⎬ (1.15)
i ⎪
w = ∑ c iθ i ( x, y , z ) ⎪
i ⎭
trong đó
ai, bi, ci - các hệ số cần xác định, đóng vai trò tọa độ suy rộng,
ϕi, ψi, θi – các hàm cơ sở hay còn gọi hàm thử.
Hàm cơ sở thoả mãn các điều kiện biên tại S = Sp + Su. Biến phân hàm chuyển vị xác định như
sau:
⎫
δu = ∑ δaiϕ i ( x, y, z ) ⎪
i
⎪
δv = ∑ δbiψ i ( x, y, z ) ⎬ (1.16)
i ⎪
δw = ∑ δciθ i ( x, y, z )⎪
i ⎭
2 2
1 ⎧⎛ ∂u ⎞ 2 ⎛ ∂v ⎞ ⎛ ∂w ⎞ 2
⎪ ν ⎛ ∂u ∂v ∂w ⎞
Biết rằng U = ∫ u 0 dV , trong đó u0 = ⎨⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ +
⎜ ∂y ⎟ ⎜ ∂x ∂y + ∂z ⎟ +
⎜ + ⎟
2V ⎪⎝ ∂x ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ∂z ⎠ 1 − 2ν
⎩ ⎝ ⎠
1 ⎡⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎛ ∂v ∂w ⎞ ⎛ ∂w ∂u ⎞
2 2 2 ⎤⎫
⎪
+ ⎢⎜ + ⎟ +⎜ + ⎟ +⎜ + ⎟ ⎥⎬
2 ⎢⎜ ∂y ∂x ⎟ ⎜ ∂z ∂yx ⎟ ⎝ ∂x ∂z ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎪
⎣ ⎦⎭
và:
- 9
∂u ∂ ⎫
δε x = δ = δu ⎪
∂x ∂x ⎪
L ⎬
⎛ ∂u ∂w ⎞ ∂ ∂ ⎪
δγ zx = δ⎜ + ⎟ = δu + δw⎪
⎝ ∂z ∂x ⎠ ∂z ∂x ⎭
có thể viết:
⎡ ∂ ∂ ∂ ⎛∂ ∂ ⎞ ⎛∂ ∂ ⎞ ⎛∂ ∂ ⎞⎤
δU = ∫∫∫⎢σ x δu +σ y δv +σ z δw+τ zx ⎜ δu + δw⎟ +τ yz ⎜ δv + δw⎟ +τ xy ⎜ δu + δv⎟⎥dxdydz
⎜ ∂z
⎣ ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎟
⎠
⎜ ∂y
⎝ ∂x ⎟⎦
⎠
Thay giá trị δu, δv, δw từ biểu thức (1.16) vào phương trình xác định δU và δW tiếp tục xác định
biến phân δΠ, nhận được công thức sau của phương pháp Ritz.
⎛ ∂Π ∂Π ∂Π ⎞
δΠ = ∑ ⎜
⎜ δai + δbi + δci ⎟ ,
⎟ i=1,2,…,n (1.17)
i ⎝ ∂a i ∂bi ∂ci ⎠
Từ biểu thức (1.17), với δai, δbi, δci khác 0, có thể viết:
∂Π ∂Π ∂Π
= 0; = 0; = 0 i = 1,2,..., n (1.18)
∂ai ∂bi ∂ci
Từ đây đưa đến lập hệ phương trình đại số tuyến tính chứa các ẩn ai, bi, ci.
Công biến dạng dầm
Thế năng dầm bị tác động bởi các lực kéo, nén, cắt, momen uốn, momen xoắn:
1 ⎛ M T dx Fz dx ⎞
2 2 2 2 2 2
M y dx M z dx N dx Fy dx
⎜ ⎟
2 ⎜ ∫ GI t
U= +∫ +∫ +∫ + kz ∫ + ky ∫ (1.19)
⎝ EI x EI z AE GA GA ⎟ ⎠
trong đó
MT - momen xoắn,
My, Mz - momen uốn
N – lực kéo, nén
Fy, Fy – lực cắt
Công biến dạng tấm chữ nhật axb, dày t.
D ⎧ 2 2 ⎡⎛ ∂ 2 w ⎞ 2 ∂ 2 w ∂ 2 w ⎤ ⎫
⎪
( )
U = ∫∫ ⎨ ∇ w + 2(1 − ν ) ⎢⎜
2 ⎪
⎪
⎜ ∂x∂y ⎟ − ∂x 2 ∂y 2 ⎥ ⎬dxdy
⎟ (1.20)
⎩ ⎢⎝
⎣ ⎠ ⎥⎪
⎦⎭
E t3
trong đó D =
12(1 − ν 2 )
Công biến dạng tấm tròn bán kính R, dày t
D ⎧⎛ ∂ 2 w 1 ∂w 1 ∂ 2 w ⎞ ⎡ ∂ ⎛ 1 ∂w ⎞ 2 ∂ 2 w ⎛ 1 ∂w 1 ∂ 2 w ⎞⎤ ⎫
2
⎪ ⎪
U = ∫∫ ⎨⎜ 2 +
⎜ ∂r + 2 ⎟ + 2(1 − ν ) ⎢ ⎜
2 ⎟ ⎜ r ∂ϕ ⎟ − ∂r 2 ⎜ r ∂r + r 2 ∂ϕ 2 ⎟⎥ ⎬rdrdϕ
⎟ ⎜ ⎟
2 ⎪⎝ r ∂r r ∂ϕ ⎠ ⎢ ∂r ⎝
⎣ ⎠ ⎝ ⎠⎥ ⎪
⎦⎭
⎩
Công biến dạng vật thể 3D:
1
U= ∫ u 0 dV và W = ∫ {F }. {u}dS
T
2V S
- 10
trong đó
ε
u 0 = ∫ {ε } {σ }dε
T
=
1
(σ x ε x + σ y ε y + σ x ε x + 2τ xy γ xy + 2τ yz γ yz + 2τ zxγ zx )
0
2
Thủ tục giải bài toán cơ học kết cấu bằng phương pháp Ritz
N
~
1. Xây dựng hàm hoặc hệ hàm fi cho biến u: u = ∑ ai f i
i =1
2. Xây dựng phiếm hàm I (ký hiệu tương đương Π) của u, ux, . . .
∂Π ∂I
3. Lập hệ phương trình đại số tuyến tính ≡ = 0 , i=1,2,…,n và xác định ai.
∂ai ∂ai
4. Tìm nghiệm u.
Phương pháp Ritz giải dầm
Từ phương trình cân bằng dầm uốn, hình 1.3, có thể xây dựng quan hệ:
d2 d 2w
Phương trình chính: EJ =p
dx 2 dx 2
d d 2w
Lực cắt: V = EJ
dx dx 2
d 2w
Momen uốn: M = − EJ 2
dx
dw
Góc xoay: θ =−
dx
Hình 1.3
Uốn dầm
Ví dụ 1: Áp dụng phương pháp Ritz xác định độ võng dầm liên tục dài L, EI = const, tựa trên hai gối
tại đầu nút, dưới tác động tải trọng phân bố đều q = const, hình 1.4.
Tiến hành xử lý bài toán theo thủ tục đang nêu.
Độ võng dầm:
- 11
∞
~
w( x ) = ∑ a n f n
n =1
trong đó fn (x) - hàm thử, an - hệ số cần xác định.
Điều kiện biên:
tại x =0: w(0) = 0; w’(0) ≠ 0.
tại x = L: w(L) = 0; w’(L) ≠ 0.
Để thoả mãn điều kiện biên hàm fn (x) có thể mang dạng:
nπx
f n ( x) = sin , n =1,2,...
L Hình 1.4 Dầm thẳng, tựa hai đầu, chịu tải
Độ võng tính theo công thức: q(x) = const
~
∞
nπx
w( x) = ∑ a n sin
n =1 L
Từ tính đối xứng của phương trình độ võng, chỉ cần giữ lại các hệ số có chỉ số lẻ 1, 3, 5... Hàm
đúng giờ đây chỉ còn là:
~ nπx
w( x ) = ∑
n =1, 3,...
a n sin
L
Phiếm hàm I cho dầm bị uốn đơn thuần, bằng tổng thế năng biến dạng và công ngoại lực tác động
lên dầm:I ≡ Π = U – W.
Thế năng dầm uốn:
L
1
U = ∫ EJ [w" ( x)] dx
2
20
2
1
L
⎡ ∞ ⎛ nπ ⎞ 2 nπx ⎤
U = ∫ EJ ⎢− ∑ a n ⎜ ⎟ sin ⎥ dx
2 0 ⎢ n =1 ⎝ L ⎠
⎣ L ⎥⎦
Công ngoại lực:
nπx
L L
~
W = ∫ q.w( x)dx = ∫ q. ∑
n =1, 3,...
a n sin
L
dx
0 0
2
1
L
⎡ ∞
⎛ nπ ⎞
2
nπx ⎤
L ∞
nπx
Π ≡ I = ∫ EJ ⎢− ∑ a n ⎜ ⎟ sin ⎥ dx − ∫ q ∑ a n sin dx
2 0 ⎢ n =1,3,... ⎝ L ⎠
⎣ L ⎥⎦ 0 n =1, 3,...
L
Hệ số ai xác định sau khi lấy đạo hàm của I theo ai.
∂ (U − W ) L ⎡ ∞ ⎛ nπ ⎞ nπx ⎤⎛ kπ ⎞
2 2
nπx nπx
L
= ∫ EJ ⎢∑ a n ⎜ ⎟ sin ⎥⎜ ⎟ sin dx − ∫ q sin dx = 0
∂ {a} 0 ⎢ n =1 ⎝ L ⎠
⎣ L ⎥⎝ L ⎠
⎦ L 0
L
nπx
Trong khoảng không gian 0 - L họ hàm (sin ) có tính trực giao:
L
L
mπx nπx ⎧L / 2 m=n
∫ sin
0
L
sin
L
dx = ⎨
⎩ 0 m≠n
- 12
∂ (U − W )
4
⎛ kπ ⎞ L 2L
= EJ ⎜ ⎟ ak − q =0 k = 1,3,...
∂a k ⎝ L ⎠ 2 kπ
Từ đó:
4qL4 1
ak = × 5 5
EJ k π
Biểu thức độ võng dầm w(x):
~ 4qL4 ∞
1 iπx
w( x ) =
EJπ 5
∑i i =1
5
sin
L
i=1,3,5,...
Tại vị trí giữa dầm x = L/2 giá trị của hàm xấp xỉ như sau:
4 qL4
w(L/2) = 5 ≈ 0,013071 qL4 / EJ, khi sử dụng chỉ một hệ số a1.
π EJ
4 ⎛ 1 ⎞ qL4
w(L/2) = 5 ⎜1 − 5⎟ ≈ 0,0130172 qL4 / EJ, nếu sử dụng a1 và a2.
π ⎝ 3 ⎠ EJ
Lời giải “chính xác” theo phương pháp giải tích đưa ra kết quả:
5 qL4
w(L/2) = ≈ 0,0130208 qL4 /EJ.
384 EJ
Moment uốn tính theo công thức:
M(x) = EJ.w’’(x)
Tại x = L/2 giá trị momen này được tính như sau:
4qL4 ∞
1 iπ
M(L/2) = -
π 3 ∑i
i =1
3
sin
2
, i=1,3,5,....
Ổn định dầm
Ví dụ 2: Ổn định dầm dài L, độ cứng EI, chịu tác động lực nén N.
Hàm chuyển vị được tìm dưới dạng:
∞
nπx
w( x) = ∑ a n sin
n =1 L
Với dầm chịu lực nén N, hàm W mang dạng:
L
1
W = ∫ Nw' 2 dx
20
2
⎡ ∞ ⎛ nπ nπL ⎤
L
1 ⎞
W = ∫ N ⎢∑ a n ⎜ ⎟ cos dx
2 0 ⎣ n =1 ⎝ L ⎠ L ⎥⎦
Tổng thế năng của dầm:
1 ⎧ ⎡ ∞ ⎛ nπ ⎞ nπx ⎤ ⎫
2
nπx ⎤
2 2
⎡ ∞ ⎛ nπ ⎞
L
⎪ ⎪
Π = U − W = ∫ ⎨ EI ⎢− ∑ a n ⎜ ⎟ sin ⎥ − N ⎢∑ a n ⎜ ⎟ cos ⎥ ⎬dx
2 0 ⎪ ⎢ n =1 ⎝ L ⎠ L ⎥ ⎣ n =1 ⎝ L ⎠ L ⎦ ⎪
⎩ ⎣ ⎦ ⎭
Tiến hành đạo hàm Π theo ak, sẽ nhận được hệ phương trình:
- 13
∂Π 1 L ⎧ ⎡ ∞ ⎛ nπ ⎞ nπx ⎤⎛ kπ ⎞
2 2
⎪ kπx
= ∫ ⎨ EI ⎢− ∑ a n ⎜ ⎟ sin ⎥⎜ ⎟ sin −
∂ {a} 2 0 ⎪ ⎢ n =1 ⎝ L ⎠
⎩ ⎣ L ⎥⎝ L ⎠
⎦ L
⎡ ∞ ⎛ nπ ⎞ nπx ⎤ kπ kπx ⎫
− N ⎢∑ a n ⎜ ⎟ cos ⎥ L cos L ⎬dx = 0.
⎣ n =1 ⎝ L ⎠ L ⎦ ⎭
kπx kπx
Nhờ tính trực giao của cos và sin , k =1,2, 3,...trong đoạn (0, L):
L L
nπ x kπx
L
∫ cos
0
L
cos
L
dx = 0 nếu k≠ n
L
= nếu k = n;
2
sẽ nhận được:
∂Π ⎡ ⎛ kπ ⎞ 2
⎤
= a k ⎢ EI ⎜ ⎟ − N ⎥ = 0
∂a k ⎢ ⎝ L ⎠
⎣ ⎥
⎦
Với ak ≠ 0, biểu thức trong dấu ngoặc vuông phải bằng không, do vậy có thể viết:
k 2π 2 EI
N=
L2
Chúng ta quan tâm đến giá trị nhỏ nhất của N, khi vượt qua giá trị đó dầm chuyển sang giai đoạn
mất ổn định. Trong công thức cuối có thể thấy, N đạt nhỏ nhất cho trường hợp k =1, biểu thức lực
Euler có dạng:
π 2 EI
NE =
L2
Xây dựng phương trình ma trận
Sử dụng công thức biến phân tổng năng lượng như tổng cọng biến phân thế năng và công ngoại lực
của bài toán uốn dầm có thể viết:
L L
1
∫ EJ [w" ( x)] dx xác định: δU = ∫ δw".EJ .w" dx
2
Từ U =
20 0
L L
Từ W = ∫ q.w( x)dx viết δW = ∫ q.δwdx
0 0
L L
δΠ = ∫ δw".EJ .w" dx − ∫ q.δwdx = 0 (1.21)
0 0
Hàm chuyển vị w(x) theo cách làm ngày nay nên viết dưới dạng vecto như sau:
w = Nu
Các đại lượng liên quan {w} xác định theo cách sau:
δθ = −δw ' = −N' δu; δw" = N' ' δu
trong đó N – hàm hình dáng theo cách gọi ngày nay, u – chuyển vị tại các nút tính toán.
- 14
L L
⎡ L T L
⎤
δΠ = ∫ δu N" EJN" udx − ∫ δu N" pdx =δu ⎢ EJ ∫ N" N" dxu − ∫ N"T pdx ⎥ = 0 (1.22)
T T T T T
0 0 ⎣ 0 0 ⎦
L L
Ký hiệu: K = EJ ∫ N"T N" dx và P = ∫ N"T pdx , có thể viết phương trình cuối dạng:
0 0
Ku = P (1.23)
Ví dụ 3: Xác định độ võng dầm, momen uốn và lực cắt dầm nêu tại hình 1.5.
Hình 1.5 Dầm thẳng chịu tải phân bố tuyến tính
Điều kiện biên: w(0) = 0; -θ(0) = w’(0) = 0 và w(L) = 0.
Ký hiệu ξ = x/L trong các phép tính tiếp theo. Hàm hình dáng, bàn chi tiết tại mục “hàm nội suy”,
tại đây chúng ta nhận như sau:
[N ] = [(ξ 2 − ξ 3 ) (ξ 2 − 2ξ 3 + ξ 4 )]
Đạo hàm bậc hai của [N]:
[ (
[N "] = 12 (2 − 6ξ ) 2 − 12ξ + 12ξ 2
L
)]
Thay hai biểu thức này vào công thức xác định các thành phần K và P :
EJ L ⎡ 4 − 24ξ + 36ξ 2 4 − 36ξ + 96ξ 2 − 72ξ 3 ⎤ EJ ⎡4 0 ⎤
[K ] = 3 ∫ ⎢ 4⎥
dξ = 3 ⎢ ⎥
L 0 4 − 36ξ + 96ξ 2 − 72ξ 3 4 − 48ξ + 192ξ + 144ξ ⎦
3
L ⎣0 0,8⎦
⎣
L⎧ ξ 2 − 2ξ 3 + ξ 4 ⎫ ⎧1 / 30⎫
{P} = p0 L ∫0 ⎨ 2 5⎬
dξ = p 0 L ⎨ ⎬
⎩ξ − 3ξ + 3ξ − ξ ⎭
3 4
⎩1 / 60⎭
Vector {u} xác định từ quan hệ:
⎧ u1 ⎫ ⎧1 / 120⎫ p 0 L4
⎨ ⎬=⎨ ⎬
⎩u 2 ⎭ ⎩ 1 / 48 ⎭ EJ
Lời giải:
p L4 ⎡ 1 p0 4
w( x) = 0 ⎢
EJ ⎣120
(ξ 2 − ξ 3 ) + 48 (ξ 2 − 2ξ 3 + ξ 4 )⎤ = 240L (7ξ 2 − 12ξ 3 + 5ξ 4 )
1
⎥ EJ
⎦
2
M ( x) = − EJw" = − 0
p L
120
( 7 − 36ξ + 30ξ 2 )
p L
V ( x) = − EJw' ' ' = 0 (8 − 15ξ )
30
- 15
Kết quả vừa trình bày chưa đáp ứng điều kiện momen tĩnh tại gối trái phải triệt tiêu. Cần thiết hiệu
chỉnh hàm thử, trong trường hợp này là hàm hình dáng. Có thể chọn hàm bậc cao hơn cho [N], ví dụ
có thể chọn:
[N ] = [(ξ 2 − ξ 3 ) (ξ 3 − ξ 4 ) (ξ 4
−ξ 5 )]
Các phép tính tiếp theo:
⎡ 4 − 24ξ + 36ξ 2 12ξ − 60ξ 2 + 72ξ 3 24ξ 2 − 112ξ 3 + 120ξ 4 ⎤
[K ] = EJ ∫0 ⎢ 12ξ − 60ξ 2 + 72ξ 3 ⎥
1
36ξ 2 − 144ξ 3 + 144ξ 4 72ξ 3 − 264ξ 4 + 240ξ 5 ⎥dξ
L4 ⎢
⎢24ξ 2 − 112ξ 3 + 120ξ 4 72ξ 3 − 264ξ 4 + 240ξ 5 144ξ 4 − 480ξ 5 + 400ξ 6 ⎥
⎣ ⎦
⎧ξ 2 − ξ 3 ⎫ ⎧ 1 / 30 ⎫
⎪ 3 4⎪
{P} = ∫0 p0 (1 − ξ )⎨ξ − ξ ⎬dξ = p0 L⎪ 1 / 60 ⎪
1
⎨ ⎬
⎪ξ 4 − ξ 5 ⎪ ⎪1 / 105⎪
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
Hệ phương trình đại số [K]{u}={P} có dạng:
⎡4 4 4 ⎤ ⎧ u1 ⎫ ⎧ 1 / 30 ⎫
EJ ⎢ ⎥ ⎪u ⎪ = p L ⎪ 1 / 60 ⎪
4 24 / 5 26 / 5 ⎥ ⎨ 2 ⎬ 0 ⎨ ⎬
L3 ⎢ ⎪u ⎪ ⎪1 / 105⎪
⎢4 26 / 5 208 / 35⎥ ⎩ 3 ⎭
⎣ ⎦ ⎩ ⎭
Từ đó xác định:
p L
{u} = 0 [4 − 4 1]T
120
p 0 L4
Và {w} =
120 EJ
(4ξ 2 − 8ξ 3 + 5ξ 4 − ξ 5 )
Kết quả tính trính bày tại hình 1.6. Các hình từ trên
xuống giới thiệu chuyển vị w(x), momen uốn M(x) Hình 1.6 Kết quả tính theo phương pháp Ritz
và lựcc cắt F(x),
Trong cùng hình kết quả tính theo phương pháp giải tích ghi lại tại đường cong đánh dấu A, tính
theo phương án đầu trong ví dụ này đánh dấu bằng B. Kết quả tính theo phương án cải tiến trùng với
đường A.
Dao động ngang dầm
Từ phương trình xác định momen uốn dầm:
d 2w
EI 2 = − M ( x) (a)
dx
tiến hành lấy đạo hàm hai vế phương trình, nhận được các biểu thức sau:
d d 2w
EI 2 = − F ( x) (b)
dx dx
d2 d 2w
EI 2 = q( x) (c)
dx 2 dx
Áp dụng nguyên lý D’Alembert vào phương trình (c), có nghĩa thay lực quán tính vào vị trí của tải tĩnh
q(x):
- 16
d 2w
q(x) thay bằng − m ,
dt 2
trong đó m – khối lượng đơn vị dài của dầm.
Có thể viết phương trình chuyển động ngang dầm:
d 4w d 2w
EI 4 + m 2 = 0 (d)
dx dt
Điều kiện biên xác định cho ví dụ đang nêu:
w=0 ⎫
⎬ tại x = 0 và x = L Hình 1.7 Dao động dầm (e)
dw / dx = 0⎭
Áp dụng công thức Rayleigh để xác định tần số dao động riêng. Dao động ngang dầm thể hiện dạng
điều hòa:
w( x, t ) = u ( x) cos ωt (f)
Thế năng và động năng hệ thống:
2 2
1 L ⎛ d 2w ⎞ 1 L ⎛ d 2w ⎞
U = ∫ EI ⎜ 2 ⎟ dx T = ∫ m( x)⎜ 2 ⎟ dx
2 0 ⎜ dx ⎟
⎝ ⎠ 2 0 ⎜ dt ⎟
⎝ ⎠
Giá trị maximum của U và T:
2
1 L ⎛ d 2u ⎞ ω2 L
U max = ∫ EI ⎜ 2 ⎟ dx T= ∫ m( x)u 2 dx
2 0 ⎜ dx ⎟
⎝ ⎠ 2 0
Công thức Rayleigh áp dụng vào đây mang dạng:
2
1 L ⎛ d 2u ⎞
2 ∫0 ⎜ dx 2 ⎟
EI ⎜ ⎟ dx
ω =
2 ⎝ ⎠ (g)
1 L
∫0 m( x)u dx
2
2
Hàm u(x) có thể là:
⎛ 2πx ⎞
u ( x) = ⎜1 − cos ⎟ (h)
⎝ L ⎠
Thay u(x) vào công thức Rayleigh, xác định tần số thứ nhất:
22,792 EI
ω1 = ; (i)
L2 m
Thủ tục thực hiện theo phương pháp Ritz tiến hành như sau:
~
u ( x) = a1 f 1 ( x) + a 2 f 2 ( x) + L + a n f n ( x) (j)
Thay biểu thức (j) vào công thức Rayleigh cho phép nhận ω2 là hàm của a1, a2, . . . Cần thiết chọn
a1, a2, . . . để ω đạt minimum.
∂ (ω 2 ) ∂ (ω 2 ) ∂ (ω 2 )
= =L= =0 (k)
∂a1 ∂a 2 ∂a n
Điều này dẫn đến hình thành hệ phương trình đại số gồm n phương trình, chứa n ẩn a1, a2, . . . an
- 17
2
∂ ⎛ d 2w ⎞
L ∂ L
∫0 ⎜ dx ⎟
EI ⎜ 2 ⎟ dx − ω 2
∂a j ⎝ ⎠
j
∂a j ∫
0
m( x)u 2 dx = 0 j = 1, 2, . . . , n (l)
Hãy chọn hàm u chứa 2 thành phần:
⎛ 2πx ⎞ ⎛ 4πx ⎞
u ( x) = a1 ⎜1 − cos ⎟ + a 2 ⎜1 − cos ⎟ (m)
⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠
Công thức (g) giờ có dạng:
8π 4 EI 2
3
(
a1 + 16a 22
)
ω2 = L
mL
2
(
3a12 + 3a 2 + 4a1 a 2
2
)
∂ (ω ) ∂ (ω )
2 2
Thỏa mãn điều kiện: = = 0 sẽ nhận hệ phương trình đại số:
∂a1 ∂a 2
16π 2 EI⎡1 0 ⎤ ⎧ a1 ⎫ ⎡3 2⎤ ⎧ a1 ⎫
⎢0 16⎥ ⎨a ⎬ = ω mL ⎢2 3⎥ ⎨a ⎬
2
L3 ⎣ ⎦⎩ 2 ⎭ ⎣ ⎦⎩ 2 ⎭
Lời giải của hệ phương trình:
22,35 EI ⎧ a1 ⎫ ⎧ 1 ⎫
ω1 = ⎨ ⎬=⎨ ⎬
L2 m ⎩a 2 ⎭ ⎩0,575⎭
124 EI ⎧ a1 ⎫ ⎧ 1 ⎫
ω2 = ⎨ ⎬=⎨ ⎬
L2 m ⎩a 2 ⎭ ⎩− 1,4488⎭
1.2 PHƯƠNG PHÁP RITZ GIẢI TẤM MỎNG
Phương pháp Ritz áp dụng tính độ võng, momen uốn, lực cắt tấm mỏng dựa vào phương pháp xác định
biến phân hàm năng lượng tấm δΠ.
Độ võng màng tấm trình bày dạng chuỗi:
n
~
w( x , y ) = ∑ a i f i ( x , y ) (1.24)
i =1
Đưa hàm chuyển vị tấm vào phiếm hàm, trường hợp này là hàm năng lượng toàn phần của tấm Π.
Các hằng số ai xác định sau khi thực hiện phép tính biến phân hàm năng lượng δΠ.
Từ lý thuyết tấm có thể ghi lại những biểu thức của momen uốn tấm:
⎛ ∂2w ∂2w ⎞ ⎛ ∂2w ∂2w ⎞
⎜ 2 + υ 2 ⎟;
m x = − D⎜ ⎜ 2 +υ 2 ⎟
m y = − D⎜ (1.25a)
⎝ ∂x ∂y ⎟⎠ ⎝ ∂y ∂x ⎟⎠
∂2w
m xy = − D(1 − υ ) (1.25b)
∂x∂y
Năng lượng biến dạng của tấm uốn tính từ biểu thức:
D ⎧⎛ ∂ 2 w ∂ 2 w ⎞
⎪
2
⎡⎛ ∂ 2 w ⎞ 2 ∂ 2 w ∂ 2 w ⎤ ⎫
⎪
U b = ∫∫ ⎨⎜ 2 + 2 ⎟ + 2(1 − ν ) ⎢⎜
⎜ ∂x ⎟ ⎜ ∂x∂y ⎟ − ∂x 2 ∂y 2 ⎥ ⎬dxdy
⎟ (1.26)
2 ⎪⎝ ∂y ⎠ ⎢⎝ ⎠ ⎥⎪
⎩ ⎣ ⎦⎭
- 18
Hãy xét điều kiện biên các tấm khi xử lý vấn đề. Nếu tất cả các cạnh tấm bị ngàm, thành phần thứ hai
biểu thức này trở thành 0. Điều kiện biên trong trường hợp này trở thành: w = 0 tại cạnh.
Với tấm bị ngàm cả 4 cạnh, chịu tác động tải phân bố p(x,y), năng lượng toàn phần tấm tính như sau:
D ⎧⎛ ∂ 2 w ∂ 2 w ⎞
⎪
2
⎡⎛ ∂ 2 w ⎞ 2 ∂ 2 w ∂ 2 w ⎤ ⎫
⎪
Π = ∫∫ ⎨⎜ 2 + 2 ⎟ + 2(1 − ν ) ⎢⎜
⎜ ∂x ⎟ ⎜ ∂x∂y ⎟ − ∂x 2 ∂y 2 ⎥ ⎬dxdy − ∫∫ pw( x, y )dxdy
⎟
2 ⎪⎝ ∂y ⎠ ⎢⎝ ⎠ ⎥⎪
⎩ ⎣ ⎦⎭
Tùy thuộc điều kiện biên, hàm chuyển vị nên chọn hợp hoàn cảnh. Những công thức sau đây có
thể giúp bạn đọc chọn lựa hàm hình dáng cho các phép tính gần đúng.
w( x, y ) = ∑∑ a mn X m ( x).Yn ( y ) (1.27)
m n
Bảng 1.1
Điều kiện biên Hàm hình dáng, ∑Xm(x)
mπx
∑ sin
m a
1⎛ 2mπx ⎞
∑ 2 ⎜1 − cos
m ⎝ a ⎠
⎟ m = 1,3,5,L
πx mπx
∑ sin
m a
sin
a
2
x⎛x ⎞ 2
m x ⎛ x ⎞ 1 mπx
⎜ − 1⎟ + ∑ (− 1) 2 ⎜ − 1⎟ − ∑ sin
a⎝a ⎠ m a ⎝ a ⎠ m mπ a
∑ (a − 4x 2 ) x
2 m
2
m = 0,1,2,3, L
m
x ⎛ x ⎞⎛ x ⎞ 1 mπx
⎜ − 1⎟⎜ − 1⎟ − ∑ sin
a ⎝ a ⎠⎝ 2a ⎠ m mπ a
x ⎛ x2 ⎞ 1 mπx
∑ 2a ⎜ a 2 − 1⎟(− 1) − ∑ mπ sin a
m
⎜ ⎟
m ⎝ ⎠ m
Ví dụ 3: Áp dụng phương pháp Ritz xác định mặt võng tấm thép hình chữ nhật có các cạnh axb, chịu
tác động lực tập trung theo phương pháp tuyến tại điểm (x1, y1), hình 1.8. Tấm tựa cả bốn cạnh,
chiều dầy tấm t = const. Mô đun đàn hồi vật liệu E.
Để áp dụng phương pháp Ritz cần thiết tìm phiếm hàm cho phương trình chuyển vị dưới tác động
lực. Phiếm hàm của bài toán này chính là hàm năng lượng của tấm.
Hàm chuyển vị mặt qua giữa tấm:
mπx nπy
Hàm f(x,y) hãy là: f mn ( x, y ) = sin sin
a b
- 19
∞ ∞
mπx nπy
Hàm chuyển vị: w( x, y ) = ∑∑ a mn sin sin
m =1 n =1 a b
Điều kiện biên:
Tại x = 0, x = a: w = 0; ∂w/∂x ≠ 0.
Tại y = 0, y = b: w = 0; ∂w/∂y ≠ 0.
Công biến dạng:
1
U = ∫ u 0 dV
2V
ε
với thế năng đơn vị: u 0 = ∫ {σ } {ε }dε
T
0 Hình 1.8 Tấm tựa trên 4 cạnh
hay là u0 =
1
(σ xε x + σ yε y + σ xε x + 2τ xyγ xy + 2τ yzγ yz + 2τ zxγ zx )
2
D ⎧ 2 2 ⎡⎛ ∂ 2 w ⎞ 2 ∂ 2 w ∂ 2 w ⎤ ⎫
⎪
( )
U = ∫∫ ⎨ ∇ w + 2(1 − ν ) ⎢⎜
2 ⎪
⎪
⎜ ∂x∂y ⎟ − ∂x 2 ∂y 2 ⎥ ⎬dxdy
⎟
⎩ ⎢⎝
⎣ ⎠ ⎥⎪
⎦⎭
E t3
trong đó D =
12(1 − ν 2 )
Công ngoại lực:
W = ∫∫ q ( x, y ) w( x, y )dxdy
Thay w và các đạo hàm của w theo x, y vào biểu thức tính U:
D ⎧⎛ ∂ 2 w ∂ 2 w ⎞
a b
⎪ ⎡⎛ ∂ 2 w ⎞ 2 ∂ 2 w ∂ 2 w ⎤ ⎫
⎪
U = ∫ ∫ ⎨⎜ 2 + 2 ⎟ + 2(1 − ν )⎢⎜
⎜ ∂x ⎟ ⎜ ∂x∂y ⎟ − ∂x 2 ∂y 2 ⎥ ⎬dxdy
⎟
2 0 0 ⎪⎝ ∂y ⎠ ⎢⎝
⎣ ⎠ ⎥⎪
⎦⎭
⎩
2
D ⎧∞ ∞ nπy ⎫
2
a b
⎪ ⎡⎛ mπ ⎞ 2 ⎛ nπ ⎞ 2 ⎤ mπx ⎪
U = ∫ ∫ ⎨∑∑ a mn ⎢⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎥ sin sin ⎬ dxdy
2 0 0 ⎪ m =1 n =1 ⎢⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎥
⎣ ⎦ a b ⎪
⎩ ⎭
Công do lực tập trung tác động:
∞ ∞
mπx nπy
W = P ∑∑ a mn sin sin
m =1 n =1 a b
Phiếm hàm I:
I ≡ Π = U-W.
∂ (U − W )
Tiến hành lấy đạo hàm của (U - W) theo amn: sẽ nhận được hệ phương trình đại số,
∂a mn
trong đó amn đóng vai trò ẩn số.
Sử dụng tính trực giao hàm lượng giác trong phạm vi 0 ≤ x ≤ a và 0 ≤ y ≤ b:
a
mπx nπx ⎧ 0 m≠n
∫ sin
0
a
sin
a
dx = ⎨
⎩a / 2 m=n
nguon tai.lieu . vn
