Xem mẫu
- PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ
TỈ - TOÁN 12
Bài tập đề nghị .
Giải các phương trình sau
1 2x 1 2x 16 x 4 5 6 3 4 x 3 x
1 2x 1 2 x
1 2x 1 2x
x 3` 3 x 2 8 x 40 8 4 4 x 4 0
4
x 4 1 x x 1 x 2 4 8
8 x 3 64 x 3 x 4 8 x 2 28
2x4 8 4 4 x4 4 x4 4
1 1
2 x2 2 4x
2
x x
3. Xây dựng bài toán từ tính chất cực trị hình học
3.1 Dùng tọa độ của véc tơ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: u x1; y1 , v x2 ; y2 khi
đó ta có
2 2
x12 y12 x2 y2
2 2
x1 x2 y1 y2
uv u v
-
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ u, v cùng hướng
x1 y1
k 0 , chú ý tỉ số phải dương
x2 y 2
, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi cos 1 u v
u.v u . v .cos u . v
3.2 Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác
Nếu tam giác ABC là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt
phẳng tam giác, ta luôn có MA MB MC OA OB OC với O là tâm của
đường tròn .Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi M O .
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt
phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC
dưới cùng một góc 1200
Bài tập
1) 2 x 2 2 x 1 2 x 2 3 1 x 1 2 x 2 3 1 x 1 3
2) x 2 4 x 5 x 2 10 x 50 5
IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
1.Xây dựng phương trình vô tỉ dựa theo hàm đơn điệu
Dựa vào kết quả : “ Nếu y f t là hàm đơn điệu thì
f x f t x t ” ta có thể xây dựng được những phương trình vô tỉ
- Xuất phát từ hàm đơn điệu : y f x 2 x3 x 2 1 mọi x 0 ta xây dựng
phương trình :
3
3x 1 (3x 1) 2 1 , Rút gọn ta được
3x 1 2 x3 x 2 1 2
f x f
phương trình
2 x 3 x 2 3 x 1 2 3 x 1 3 x 1
Từ phương trình f x 1 f 3x 1 thì bài toán sẽ khó hơn
2 x 3 7 x 2 5 x 4 2 3 x 1 3x 1
Để gải hai bài toán trên chúng ta có thể làm như sau :
2 x 3 7 x 2 5 x 4 2 y 3
ta có hệ :
Đặt y 3x 1 khi đó cộng hai phương
2
3 x 1 y
trình ta được:
3 2
= 2 y3 y 2
2 x 1 x 1
Hãy xây dựng những hàm đơn điệu và những bài toán vô tỉ theo dạng
trên ?
Bài 1. Giải phương trình : 2 x 1 2 4 x 2 4 x 4 3x 2 9 x 2 3 0
Giải:
2 2
2 x 1 2 2 x 1 3 3 x 2 3 x 3 f 2 x 1 f 3 x
1
Xét hàm số f t t 2 t 2 3 , là hàm đồng biến trên R, ta có x
5
Bài 2. Giải phương trình x3 4 x2 5 x 6 3 7 x2 9 x 4
- Giải . Đặt y 3 7 x 2 9 x 4 , ta có hệ :
x3 4 x2 5 x 6 y
3
y 3 y x 1 x 1
2 3
7 x 9 x 4 y
Xét hàm số : f t t 3 t , là hàm đơn điệu tăng. Từ phương trình
x 5
f y f x 1 y x 1 x 1 7 x 9 x 4
3 2
x 1 5
2
Bài 3. Giải phương trình : 3 6 x 1 8 x3 4 x 1
V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
1. Một số kiến thức cơ bản:
Nếu x 1 thì có một số t với t ; sao cho : sin t x và một
2 2
số y với y 0; sao cho x cos y
Nếu 0 x 1 thì có một số t với t 0; sao cho : sin t x và một
2
số y với y 0; sao cho x cos y
2
Với mỗi số thực x có t ; sao cho :
x tan t
2 2
Nếu : x , y là hai số thực thỏa: x 2 y 2 1 , thì có một số t với
0 t 2 , sao cho x sin t , y cos t
Từ đó chúng ta có phương pháp giải toán :
Nếu : x 1 thì đặt sin t x với t ; hoặc x cos y với
2 2
y 0;
- Nếu 0 x 1 thì đặt sin t x , với t 0; hoặc x cos y , với
2
y 0;
2
Nếu : x , y là hai số thực thỏa: x 2 y 2 1 , thì đặt x sin t , y cos t
với 0 t 2
, với t ;
a
Nếu x a , ta có thể đặt : x , tương tự cho
sin t 2 2
trường hợp khác
x là số thực bất kỳ thi đặt : x tan t , t ;
2 2
Tại sao lại phải đặt điều kiện cho t như vậy ?
Chúng ta biết rằng khi đặt điều kiện x f t thì phải đảm bảo với
mỗi x có duy nhất một t , và điều kiện trên để đảm bào điều này . (xem
lại vòng tròn lượng giác )
2. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác như thế
nào ?
Từ công phương trình lượng giác đơn giản: cos 3t sin t , ta có thể
tạo ra được phương trình vô tỉ
Chú ý : cos 3t 4cos3 t 3cos t ta có phương trình vô tỉ: 4 x3 3x 1 x 2
(1)
1
Nếu thay x bằng ta lại có phương trình : 4 3x 2 x 2 x2 1
x
(2)
Nếu thay x trong phương trình (1) bởi : (x-1) ta sẽ có phương trình vố
tỉ khó: 4 x3 12 x2 9 x 1 2 x x 2 (3)
Việc giải phương trình (2) và (3) không đơn giản chút nào ?
- Tương tự như vậy từ công thức sin 3x, sin 4x,…….hãy xây dựng
những phương trình vô tỉ theo kiểu lượng giác .
3. Một số ví dụ
2
Bài 1. Giải phương trình sau : 1 1 x 2 1 x 3 1 x 3 2 1 x
3
3
Giải:
Điều kiện : x 1
Với x [ 1;0] : thì 1 x 3 1 x 3 0 (ptvn)
ta đặt : x cos t , t 0; . Khi đó phương trình trở thành:
x [0;1]
2
1 1
vậy phương trình có nghiệm :
2 6 cos x 1 sin t 2 sin t cos t
2 6
1
x
6
Bài 2. Giải các phương trình sau :
1 2x 1 2x 1 2cos x
1) 1 2 x 1 2 x HD: tan x
1 2x 1 2x 1 2cos x
1
2) 1 1 x 2 x 1 2 1 x 2 Đs: x
2
3) HD: chứng minh x 2
x3 3x x 2
vô nghiệm
Bài 3 . Giải phương trình sau: 3
6x 1 2x
- 1
Giải: Lập phương 2 vế ta được: 8 x3 6 x 1 4 x3 3x
2
Xét : x 1, đặt x cos t, t 0; . Khi đó ta được S cos ;cos 5 ;cos 7
9 9 9
mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm vậy đó cũng chính là tập
nghiệm của phương trình.
1
Bài 4. .Giải phương trình x 2 1
x2 1
Giải: đk: x 1, ta có thể đặt x 1 , t ;
sin t 2 2
cos t 0
1
1 cot t 1
Khi đó ptt: 2 1
sin 2t
sin x
2
Phương trình có nghiệm : x 2 3 1
2
x 2 1 x 1
2
Bài 5 .Giải phương trình : 2
x 1
2 x 1 x 2
2x
Giải: đk x 0, x 1
Ta có thể đặt : x tan t , t ;
2 2
Khi đó pttt. 2sin t cos 2t cos 2t 1 0 sin t 1 sin t 2sin 2 t 0
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm x 1
3
Bài tập tổng hợp
- Giải các phương trình sau
x 1 x3 x 2 x 1 1 x 4 1
23
1 x
x3 x 2 2 x2
4 2 x 4 16 2 4 x 2 16 2 x 9 x 2 16
2
2 x 2 x 30 2007. 30 4 x 2007 30. 2007
x (2004 x )(1 1 x )2
12 x 8
2x 4 2 2 x
( x 3 x 2)( x 9 x 18) 168 x
9 x 2 16
34
x 1 3 x 1 x 3 2
3
x 2 3x 1 x x2 1
3
3
x 3 x 1 2x 1
2 2
2 3 1 x 3 3 1 x 2 3 1 x 0
4 x 5 3x 1 2 x 7 x 3
x 2 3 x 1 x 3 x 2 1 2008 x 2 4 x 3 2007 4 x 3
(HSG Toàn Quốc
4 3 10 3 x x 2
2 x 2 1 1 x 1 3x 8 2 x 2 1
3
2002)
2 x 5 x x 2 x 10 x
2
x 2 x 12 x 1 36
3
x2 4 x 1 2 x 3
x 3 1 2 x3 2 x 1
4 x 1
3
x 2 1 3 x 3 2 3x 2
(OLYMPIC
2 x 2 11x 21 3 3 4 x 4 0 x 1 1 1
2x 1 3 x
30/4-2007) x x x
2 x 2 1 x 2 3x 2 2 x 2 2 x 3 x 2 x 2 5 x 2 14 x 9 x 2 x 20 5 x 1
6 x 1 8 x3 4 x 1
3
2 x 2 16 x 18 x 2 1 2 x 4
15
3x2 3x 2
30 x 2 4 x 2004 30060 x 1 1
2
x x2 2
3x 1
12 x 2 x 1 3 x 9
4x 9
x 1 x 1 4 x3 x 2
4
7 x2 7 x
28
4 x 2 3x 3 4 x x 3 2 2 x 1
4 x 2 4 x 10 8 x 2 6 x 10
3x x xx
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
- I. PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
x D (*)
Dạng 1 : Phương trình A B AB0
A B
Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp của
hay B 0
A0
B 0
Dạng 2: Phương trình AB 2
A B
Dạng 3: Phương trình
A 0
+) (chuyển về dạng 2)
A B C B 0
A B 2 AB C
+) 3 A 3 B 3 C A B 3 3 A.B 3 A 3 B C
và ta sử dụng phép thế : 3 A 3 B C ta được phương trình :
A B 3 3 A.B.C C
Bài 1: Giải phương trình:
f) 3 x 2 x 1
a) x2 1 x 1
g) x 9 5 2 x 4
b) x 2x 3 0
h) 3 x 4 2 x 1 x 3
c) x2 x 1 1
e) i) ( x 3) 10 x 2 x 2 x 12
3x 2 x 1 3
Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 2 3x 2 2m x x 2
Bài 3: Cho phương trình: x 2 1 x m
-Giải phương trình khi m=1
-Tìm m để phương trình có nghiệm.
Bài 4: Cho phương trình: 2 x2 mx 3 x m
-Giải phương trình khi m=3
-Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm.
- II.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường.
-Nếu bài toán có chứa f ( x) và f ( x) khi đó đặt t f ( x) (với điều kiện
tối thiểu là t 0 . đối với các phương trình có chứa tham số thì nhất thiết
phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ).
-Nếu bài toán có chứa f ( x) , và (với k là hằng số)
f ( x). g ( x ) k
g ( x)
k
khi đó có thể đặt : t f ( x) , khi đó g ( x)
t
-Nếu bài toán có chứa và f ( x) g ( x) k khi đó có
f ( x) g ( x ) ; f ( x).g ( x)
t2 k
thể đặt: t f ( x) g ( x) suy ra f ( x ).g ( x )
2
-Nếu bài toán có chứa thì đặt x a sin t với t hoặc
a 2 x2
2 2
với 0 t
x a cos t
a
với t ; \ 0 hoặc
-Nếu bài toán có chứa thì đặt x
x2 a2 2 2
sin t
a
với t 0; \
x
cos t 2
-Nếu bài toán có chứa x 2 a 2 ta có thể đặt x a . tan t với t ;
2 2
nguon tai.lieu . vn