Xem mẫu

  1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ - TOÁN 12 Bài tập đề nghị . Giải các phương trình sau 1  2x 1 2x 16 x 4  5  6 3 4 x 3  x 1  2x  1  2 x   1 2x 1  2x x 3`  3 x 2  8 x  40  8 4 4 x  4  0 4 x  4 1 x  x  1 x  2  4 8 8  x 3  64  x 3  x 4  8 x 2  28 2x4  8  4 4  x4  4 x4  4 1 1  2  x2  2   4x  2 x x  3. Xây dựng bài toán từ tính chất cực trị hình học 3.1 Dùng tọa độ của véc tơ   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: u   x1; y1  , v   x2 ; y2  khi đó ta có    2 2   x12  y12  x2  y2 2 2  x1  x2    y1  y2  uv  u  v 
  2.   Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ u, v cùng hướng x1 y1  k  0 , chú ý tỉ số phải dương   x2 y 2       , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi cos  1  u  v u.v  u . v .cos   u . v 3.2 Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác  Nếu tam giác ABC là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có MA  MB  MC  OA  OB  OC với O là tâm của đường tròn .Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi M  O .  Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dưới cùng một góc 1200 Bài tập 1) 2 x 2  2 x  1  2 x 2   3  1 x  1  2 x 2   3  1 x  1  3 2) x 2  4 x  5  x 2  10 x  50  5 IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 1.Xây dựng phương trình vô tỉ dựa theo hàm đơn điệu  Dựa vào kết quả : “ Nếu y  f  t  là hàm đơn điệu thì f  x   f  t   x  t ” ta có thể xây dựng được những phương trình vô tỉ
  3. Xuất phát từ hàm đơn điệu : y  f  x   2 x3  x 2  1 mọi x  0 ta xây dựng phương trình : 3     3x  1  (3x  1) 2  1 , Rút gọn ta được 3x  1  2 x3  x 2  1  2 f  x  f phương trình 2 x 3  x 2  3 x  1  2  3 x  1 3 x  1 Từ phương trình f  x  1  f  3x  1  thì bài toán sẽ khó hơn 2 x 3  7 x 2  5 x  4  2  3 x  1 3x  1 Để gải hai bài toán trên chúng ta có thể làm như sau : 2 x 3  7 x 2  5 x  4  2 y 3 ta có hệ :  Đặt y  3x  1 khi đó cộng hai phương  2 3 x  1  y  trình ta được: 3 2 = 2 y3  y 2 2  x  1   x  1 Hãy xây dựng những hàm đơn điệu và những bài toán vô tỉ theo dạng trên ?    Bài 1. Giải phương trình :  2 x  1 2  4 x 2  4 x  4  3x 2  9 x 2  3  0 Giải:     2 2   2 x  1 2   2 x  1  3   3 x  2   3 x   3  f  2 x  1  f  3 x  1   Xét hàm số f  t   t 2  t 2  3 , là hàm đồng biến trên R, ta có x   5 Bài 2. Giải phương trình x3  4 x2  5 x  6  3 7 x2  9 x  4
  4. Giải . Đặt y  3 7 x 2  9 x  4 , ta có hệ :  x3  4 x2  5 x  6  y  3  y 3  y   x  1   x  1 2 3 7 x  9 x  4  y  Xét hàm số : f  t   t 3  t , là hàm đơn điệu tăng. Từ phương trình x  5 f  y   f  x  1   y  x  1   x  1  7 x  9 x  4   3 2  x  1  5     2 Bài 3. Giải phương trình : 3 6 x  1  8 x3  4 x  1 V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 1. Một số kiến thức cơ bản: Nếu x  1 thì có một số t với t    ;   sao cho : sin t  x và một  2 2   số y với y   0;  sao cho x  cos y Nếu 0  x  1 thì có một số t với t  0;   sao cho : sin t  x và một   2   số y với y  0;   sao cho x  cos y  2   Với mỗi số thực x có t     ;   sao cho :  x  tan t    2 2  Nếu : x , y là hai số thực thỏa: x 2  y 2  1 , thì có một số t với 0  t  2 , sao cho x  sin t , y  cos t Từ đó chúng ta có phương pháp giải toán :  Nếu : x  1 thì đặt sin t  x với t    ;   hoặc x  cos y với 2 2   y   0;  
  5.  Nếu 0  x  1 thì đặt sin t  x , với t  0;   hoặc x  cos y , với  2     y  0;   2  Nếu : x , y là hai số thực thỏa: x 2  y 2  1 , thì đặt x  sin t , y  cos t với 0  t  2 , với t     ;   a  Nếu x  a , ta có thể đặt : x  , tương tự cho   sin t  2 2 trường hợp khác  x là số thực bất kỳ thi đặt : x  tan t , t     ;      2 2 Tại sao lại phải đặt điều kiện cho t như vậy ? Chúng ta biết rằng khi đặt điều kiện x  f  t  thì phải đảm bảo với mỗi x có duy nhất một t , và điều kiện trên để đảm bào điều này . (xem lại vòng tròn lượng giác ) 2. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác như thế nào ? Từ công phương trình lượng giác đơn giản: cos 3t  sin t , ta có thể tạo ra được phương trình vô tỉ Chú ý : cos 3t  4cos3 t  3cos t ta có phương trình vô tỉ: 4 x3  3x  1  x 2 (1) 1 Nếu thay x bằng ta lại có phương trình : 4  3x 2  x 2 x2  1 x (2) Nếu thay x trong phương trình (1) bởi : (x-1) ta sẽ có phương trình vố tỉ khó: 4 x3  12 x2  9 x  1  2 x  x 2 (3) Việc giải phương trình (2) và (3) không đơn giản chút nào ?
  6. Tương tự như vậy từ công thức sin 3x, sin 4x,…….hãy xây dựng những phương trình vô tỉ theo kiểu lượng giác . 3. Một số ví dụ 2 Bài 1. Giải phương trình sau : 1  1  x 2  1  x 3  1  x 3   2  1  x     3 3 Giải: Điều kiện : x  1 Với x  [ 1;0] : thì 1  x 3  1  x 3  0 (ptvn) ta đặt : x  cos t , t   0;   . Khi đó phương trình trở thành: x  [0;1]   2  1 1  vậy phương trình có nghiệm : 2 6 cos x 1  sin t   2  sin t  cos t  2 6  1 x 6 Bài 2. Giải các phương trình sau : 1  2x 1  2x 1  2cos x 1) 1  2 x  1  2 x  HD: tan x   1  2x 1 2x 1  2cos x 1   2) 1  1  x 2  x 1  2 1  x 2 Đs: x  2 3) HD: chứng minh x  2 x3  3x  x  2 vô nghiệm Bài 3 . Giải phương trình sau: 3 6x 1  2x
  7. 1 Giải: Lập phương 2 vế ta được: 8 x3  6 x  1  4 x3  3x  2 Xét : x  1, đặt x  cos t, t   0;  . Khi đó ta được S  cos  ;cos 5 ;cos 7    9 9 9  mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm vậy đó cũng chính là tập nghiệm của phương trình.   1 Bài 4. .Giải phương trình x 2 1   x2 1   Giải: đk: x  1, ta có thể đặt x  1 , t     ;     sin t  2 2 cos t  0 1 1  cot t   1   Khi đó ptt: 2 1 sin 2t   sin x  2 Phương trình có nghiệm : x   2  3  1 2 x 2  1  x  1 2 Bài 5 .Giải phương trình : 2 x 1   2 x 1  x 2  2x Giải: đk x  0, x  1 Ta có thể đặt : x  tan t , t     ;      2 2 Khi đó pttt. 2sin t cos 2t  cos 2t  1  0  sin t 1  sin t  2sin 2 t   0 Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm x  1 3 Bài tập tổng hợp
  8. Giải các phương trình sau x  1  x3  x 2  x  1  1  x 4  1 23 1  x  x3   x 2  2 x2 4  2 x  4   16 2  4  x 2   16  2  x   9 x 2  16 2 2 x  2 x 30  2007. 30  4 x 2007  30. 2007 x  (2004  x )(1  1  x )2 12 x  8 2x  4  2 2  x  ( x  3 x  2)( x  9 x  18)  168 x 9 x 2  16 34 x 1  3 x 1  x 3 2 3 x 2  3x  1   x  x2  1 3 3 x  3 x  1  2x  1 2 2 2 3 1  x   3 3 1  x 2  3 1  x   0 4 x  5  3x  1  2 x  7  x  3 x 2  3 x  1   x  3 x 2  1 2008 x 2  4 x  3  2007 4 x  3 (HSG Toàn Quốc 4  3 10  3 x  x  2    2 x 2  1  1  x 1  3x  8 2 x 2  1 3 2002)  2  x   5  x   x   2  x  10  x  2 x 2  x  12 x  1  36 3 x2  4  x  1  2 x  3 x 3  1  2 x3  2 x  1  4 x  1 3 x 2  1  3 x 3  2  3x  2 (OLYMPIC 2 x 2  11x  21  3 3 4 x  4  0 x 1 1 1 2x   1  3 x  30/4-2007) x x x 2 x 2  1  x 2  3x  2  2 x 2  2 x  3  x 2  x  2 5 x 2  14 x  9  x 2  x  20  5 x  1 6 x  1  8 x3  4 x  1 3 2 x 2  16 x  18  x 2  1  2 x  4 15 3x2  3x  2     30 x 2  4 x  2004 30060 x  1  1 2 x  x2  2 3x  1 12 x  2 x  1  3 x  9 4x  9 x  1  x  1  4 x3  x 2 4  7 x2  7 x 28 4 x 2  3x  3  4 x x  3  2 2 x  1 4 x 2  4 x  10  8 x 2  6 x  10 3x x xx CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
  9. I. PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG  x  D (*) Dạng 1 : Phương trình A  B  AB0 A  B Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp của hay B  0 A0 B  0 Dạng 2: Phương trình AB 2 A  B Dạng 3: Phương trình A  0  +) (chuyển về dạng 2) A  B  C  B  0   A  B  2 AB  C +) 3 A  3 B  3 C  A  B  3 3 A.B  3 A  3 B   C và ta sử dụng phép thế : 3 A  3 B  C ta được phương trình : A  B  3 3 A.B.C  C Bài 1: Giải phương trình: f) 3  x  2  x  1 a) x2  1  x 1 g) x  9  5  2 x  4 b) x  2x  3  0 h) 3 x  4  2 x  1  x  3 c) x2  x  1  1 e) i) ( x  3) 10  x 2  x 2  x  12 3x  2  x  1  3 Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:  x 2  3x  2  2m  x  x 2 Bài 3: Cho phương trình: x 2  1  x  m -Giải phương trình khi m=1 -Tìm m để phương trình có nghiệm. Bài 4: Cho phương trình: 2 x2  mx  3  x  m -Giải phương trình khi m=3 -Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm.
  10. II.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường. -Nếu bài toán có chứa f ( x) và f ( x) khi đó đặt t  f ( x) (với điều kiện tối thiểu là t  0 . đối với các phương trình có chứa tham số thì nhất thiết phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ). -Nếu bài toán có chứa f ( x) , và (với k là hằng số) f ( x). g ( x )  k g ( x) k khi đó có thể đặt : t  f ( x) , khi đó g ( x)  t -Nếu bài toán có chứa và f ( x)  g ( x)  k khi đó có f ( x)  g ( x ) ; f ( x).g ( x) t2  k thể đặt: t  f ( x)  g ( x) suy ra f ( x ).g ( x )  2   -Nếu bài toán có chứa thì đặt x  a sin t với   t  hoặc a 2  x2 2 2 với 0  t   x  a cos t a với t     ;   \ 0 hoặc -Nếu bài toán có chứa thì đặt x  x2  a2  2 2 sin t   a với t  0;   \    x  cos t 2 -Nếu bài toán có chứa x 2  a 2 ta có thể đặt x  a . tan t với t     ;      2 2
nguon tai.lieu . vn