Xem mẫu
- PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ
TỈ - TOÁN 12
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
1. Bình phương 2 vế của phương trình
a) Phương pháp
Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : A B C D,
ta thường bình phương 2 vế , điều đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải
ví dụ sau
3
A 3 B 3 C A B 3 3 A.B 3
A 3 B C
và ta sử dụng phép thế : 3 A 3 B C ta được phương trình :
A B 3 3 A.B.C C
b ) V í dụ
Giải phương trình sau :
Bài 1. x 3 3x 1 2 x 2 x 2
Giải: Đk x 0
Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:
x 3 3x 1 x 2 x 2 x 1 , để giải phương trình này dĩ nhiên là
1
không khó nhưng hơi phức tạp một chút .
- Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình :
3x 1 2 x 2 4 x x 3
Bình phương hai vế ta có : 6 x 2 8 x 2 4 x 2 12 x x 1
Thử lại x=1 thỏa
Nhận xét : Nếu phương trình : f x g x h x k x
Mà có : f x h x g x k x , thì ta biến đổi phương trình về dạng :
sau đó bình phương ,giải phương trình hệ
f x h x k x g x
quả
Bài 2. Giải phương trình sau :
x3 1
x 1 x2 x 1 x 3
x3
Giải:
Điều kiện : x 1
Bình phương 2 vế phương trình ?
Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào?
x3 1
Ta có nhận xét : . x 3 x 2 x 1. x 1 , từ nhận xét này ta có lời
x 3
giải như sau :
x3 1
x 3 x2 x 1 x 1
(2)
x 3
- x 1 3
x3 1
Bình phương 2 vế ta được: x2 x 1 x 2 2 x 2 0
x3 x 1 3
Thử lại : x 1 3, x 1 3 l nghiệm
Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình :
f x g x h x k x
Mà có : f x .h x k x .g x thì ta biến đổi
f x h x k x g x
2. Trục căn thức
2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung
a) Phương pháp
Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như
vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích x x0 A x 0 ta có thể
giải phương trình A x 0 hoặc chứng minh A x 0 vô nghiệm , chú ý
điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía A x 0
vô nghiệm
b ) V í dụ
Bài 1 . Giải phương trình sau :
3x 2 5 x 1 x 2 2 3 x 2 x 1 x 2 3 x 4
- Giải:
Ta nhận thấy : 3x 2 5x 1 3x 2 3x 3 2 x 2 v
x 2 x2 3x 4 3 x 2
2
Ta có thể trục căn thức 2 vế :
2 x 4 3x 6
3 x 2 5 x 1 3 x 2 x 1 x 2 2 x 2 3x 4
Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình .
Bài 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) :
x 2 12 5 3x x 2 5
5
Giải: Để phương trình có nghiệm thì : x 2 12 x 2 5 3 x 5 0 x
3
Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình
có thể phân tích về dạng
x 2 A x 0 , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau
:
x2 4 x2 4
x 2 12 4 3 x 6 x 2 5 3 3 x 2
x 2 12 4 x2 5 3
x2 x 1
x 2 3 0 x 2
2
x2 5 3
x 12 4
x2 x2 5
Dễ dàng chứng minh được : 3 0, x
3
x 2 12 4 x2 5 3
- Bài 3. Giải phương trình : 3 x 2 1 x x3 1
Giải :Đk x 32
Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương
trình
x 3 x 3 x 9
2
x3
3
x 2 1 2 x 3 x 3 2 5 x 3 1
2
x3 2 5
2 x 1 4
3 x2 1 32
x 3 x3
Ta chứng minh : 1 1 2
2
2
x 1 2 x 1 4
2 2 2
3 3
x 1 1 3
3
x 2 3x 9
x3 2 5
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3
2.2. Đưa về “hệ tạm “
a) Phương pháp
Nếu phương trình vô tỉ có dạng A B C , mà : A B C
ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của x . Ta có thể giải như
sau :
A B C
A B
hệ:
C A B , khi đĩ ta có 2 A C
A B A B
b) Ví dụ
- Bài 4. Giải phương trình sau : 2 x 2 x 9 2 x 2 x 1 x 4
Giải:
Ta thấy : 2 x 2 x 9 2 x 2 x 1 2 x 4
không phải là nghiệm
x 4
Xét x 4
Trục căn thức ta có :
2x 8
x 4 2 x 2 x 9 2 x2 x 1 2
2 2
2x x 9 2x x 1
x 0
2x2 x 9 2 x2 x 1 2
2 2x x 9 x 6
Vậy ta có hệ: 2
x 8
2 2
2x x 9 2 x x 1 x 4
7
8
Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x=
7
Bài 5. Giải phương trình : 2 x 2 x 1 x2 x 1 3x
Ta thấy : 2 x2 x 1 x 2 x 1 x 2 2 x , như vậy không thỏa mãn điều
kiện trên.
1
Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt t thì bài toán trở nên đơn giản
x
hơn
Bài tập đề nghị
- Giải các phương trình sau :
3
x 2 1 3 x 3 2 3x 2
x 2 3 x 1 x 3 x 2 1
(OLYMPIC
2 x 2 11x 21 3 3 4 x 4 0
(HSG
4 3 10 3 x x 2
30/4-2007)
Toàn Quốc 2002)
2 x 2 1 x 2 3x 2 2 x 2 2 x 3 x 2 x 2
2 x 5 x x 2 x 10 x
2
2 x 2 16 x 18 x 2 1 2 x 4
3 2
x 4 x 1 2x 3
x 2 15 3 x 2 x 2 8
3. Phương trình biến đổi về tích
Sử dụng đẳng thức
u v 1 uv u 1 v 1 0
au bv ab vu u b v a 0
A2 B 2
Bài 1. Giải phương trình : 3 x 1 3 x 2 1 3 x 2 3x 2
x 0
Giải: pt 3 x 1 1 3 x 2 1 0
x 1
Bi 2. Giải phương trình : 3 x 1 3 x 2 3 x 3 x 2 x
- Giải:
+ x 0 , không phải là nghiệm
+ x 0 , ta chia hai vế cho x:
x 1
x 1 3
x 1 3 x 1 3 3
1 x 1 0 x 1
3
x x
Bài 3. Giải phương trình: x 3 2 x x 1 2x x2 4x 3
Giải: dk : x 1
x 1
pt x 3 2 x x 1 1 0
x 0
Bài 4. Giải phương trình : x 3 4 x 4 x
x3
Giải:
Đk: x 0
2
4x
4x 4x
Chia cả hai vế cho x 3 : 1 2 1 0 x 1
x3 x3 x3
Dùng hằng đẳng thức
Biến đổi phương trình về dạng : Ak B k
Bài 1. Giải phương trình : 3x x 3x
Giải:
- Đk: khi đó pt đ cho tương đương : x 3 3x 2 x 3 0
0 x 3
3
3
10 1
1 10
x x
3 3 3 3
Bài 2. Giải phương trình sau : 2 x 3 9x2 x 4
Giải:
Đk: x 3 phương trình tương đương :
x 1
x 3 1 3x
2
1 9x2
3 x
x 5 97
x 3 1 3 x
18
Bài 3. Giải phương trình sau : 2 3 3 9 x 2 x 2 2 x 3 3 3x x 2 2
3
Giải : pttt 3 x 2 3 3x 0 x 1
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ
1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường
Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt
và chú ý điều kiện của t nếu phương trình ban đầu trở thành
t f x
phương trình chứa một biến t quan trọng hơn ta có thể giải được
phương trình đó theo t thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” .Nói
chung những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn t f x thường
là những phương trình dễ .
- Bài 1. Giải phương trình: x x2 1 x x 2 1 2
Điều kiện: x 1
Nhận xét. x x2 1. x x 2 1 1
1
Đặt t x x2 1 thì phương trình có dạng: t 2 t 1
t
Thay vào tìm được x 1
Bài 2. Giải phương trình: 2x2 6 x 1 4 x 5
Giải
4
Điều kiện: x
5
t2 5
Đặt t 4 x 5(t 0) thì x . Thay vào ta có phương trình sau:
4
t 4 10t 2 25 6 2
(t 5) 1 t t 4 22t 2 8t 27 0
2.
16 4
(t 2 2t 7)(t 2 2t 11) 0
Ta tìm được bốn nghiệm là: t1,2 1 2 2; t3,4 1 2 3
Do t 0 nên chỉ nhận các gái trị t1 1 2 2, t3 1 2 3
Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: x 1 2 vaø x 2 3
Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều
kiện 2 x 2 6 x 1 0
- Ta được: x 2 ( x 3)2 ( x 1)2 0 , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.
Đơn giản nhất là ta đặt : 2 y 3 4 x 5 và đưa về hệ đối xứng (Xem
phần dặt ẩn phụ đưa về hệ)
nguon tai.lieu . vn