Xem mẫu
- www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁN HÌNH H C KHÔNG GIAN B NG VECTOR
I. CÁC VÍ D MINH H A
V n đ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đ u c nh a. Hình chi u vuông góc c a S trên m t
ph ng (ABC) là đi m H thu c c nh AB sao cho HA = 2HB. Góc gi a đư ng th ng SC và m t ph ng
(ABC) b ng 60o . Tính th tích kh i chóp S.ABC và tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng SA và BC
theo a. (Trích đ tuy n sinh Đ i H c môn Toán kh i A, A1 năm 2012.)
L i gi i: Cách 1 ( Phương pháp ph bi n ):
S d ng đ nh lý cosin trong ∆AHC ta tính đư c đo n HC:
4a2 2a 1 7a2
HC 2 = AH 2 + AC 2 − 2AH.AC.cos60o = + a2 − 2. . =
√ 9 3 2 9
a 7
T đó ta có: HC = . M t khác HC là hình chi u c a SC lên m t ph ng (ABC) nên [SC, (ABC)] = SCH = 60o
3 √ √ √ √ √
o a 7√ a 21 1 1 a 21 a2 3 a3 7
⇒ SH = HC.tan60 = . 3= . Suy ra VS.ABC = .SH.S∆ABC = . . =
3 3 3 3 3 4 12
−→
− −
−→ −→
−
Cách 2 (Phương pháp vector): Đ t BC = a, BA = b, SH = c. Hi n nhiên: BC = BA = |a| = b = a và SH = |c|.
S
M
A φ F
C
H N
B
− −→
→ − −→ −→
−
L p lu n như cách trên ta có: (SC; HC) = 60o . Ta s bi u di n l n lư t các SC và HC theo các a, b, c.
−→ −→ −→ −
− − → −→ −→
− − 1 −→ −→ −→
− − − 1
SC = SH + HC = SC + BC − BH = a − b + c. Còn HC = BC − BH = a − b.
3 3
www.MATHVN.com
1
- www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
− −→
→ − 1 1 1
− −→
→ − SC.HC 1 (a − b + c)(a − b) 1 (a − b)2 1
3 3 3
Ta có: cos(SC; HC) = − → −→ = 2 ⇔
− 1 1
= ⇔
2 1 1
=
2
SC . HC a− b+c . a− b a− b+c . a− b
3 3 3 3
1
a− b
3 1 1 1 1 1 1
⇔ = ⇔ 4(a − b)2 = (a − b + c)2 ⇔ 4(a − b)2 = (a − b)2 + c2 + 2(a − b)c
1 2 3 3 3 3 3
a− b+c
3
1 1 2 1 1 2 7a2
⇔ 3(a − b)2 = c2 ⇔ 3(a2 + b2 − ab) = c2 ⇔ 3(a2 + a2 − . a.a) = c2 ⇔ = c2
√ 3 9 3 9 √2 3 √ √ 3
a 7 1 1 a 7 a2 3 a3 7
⇔ c = √ . T đó tính đư c VS.ABC = . |c| .S∆ABC = . √ . = .
3 3 3 3 4 12
Nh n xét: Mình không khuy n khích các b n dùng cách này đ tính m t câu th tích r t d như th
kia có th gi i b ng cách r t thông d ng. Mình gi i như th ch đ làm rõ phương pháp c a ch đ
này cho các b n hi u. Nhưng đ n câu h i tính kho ng cách thì phương pháp này l i r t kh thi trong
vi c xác đ nh đo n vuông góc chung và đ dài kho ng cách gi a 2 đư ng th ng.
− → 2 −→
−
Ta d dàng bi u di n đư c các vector: SA = b + c và BC = a
3
−→
− −→ 2x −→
− −→
−
G i M,N l n lư t là các đi m n m trên SA và BC th a: SM = xSA = b + xc và BN = y BC = ya.
3
− → −→ −
− − → −→ −2x
− 1 1
M N = M S + SB + BN = b − xc + c − b + ya = ya − (2x + 1)b + (1 − x)c (1)
3 3 3
− →.− = 0
− →
M N ⊥SA M N SA
Đ MN là đo n vuông góc chung c a SA và BC thì: ⇔ − → −→
− −
M N ⊥BC M N .BC = 0
ab − 2 (2x + 1)b2 + (1 − x)c2 = 0
2y
⇔ 3 9
ya2 − 1 (2x + 1)ab = 0
3
2 2
2y a
. − 2 (2x + 1)a2 + (1 − x). 7a = 0 7
(1 − x) − 2 (2x + 1) + y = 0 −7x − 2 (2x + 1) + y = −7
⇔ 3 2 9 3 ⇔ 3 9 3 ⇔ 3
2 1
ya − (2x + 1). a = 0
2
− 1 (2x + 1) + y = 0
−2x + 6y = 1
3 2 6
25
− x + y = −19 x =
13
⇔ 3 3 ⇔ 16
−2x + 6y = 1 7
y =
16
−→
− 7 7 3
Thay x, y vào phương trình (1) ta thu đư c: M N = a − b + c.
16 8 16
−→− 7 2 2 7 2 2 3 2 2 7 7 7 7 3 7 a2 7 7
Ta có: M N = M N = ( ) .a + ( ) .b + ( ) .c − 2ab. . = ( )2 .a2 + ( )2 .a2 + ( )2 . .a2 − 2 . .
√ 16 8 16 16 8 16 8 16 3 2 16 8
a 42
= .
8
3V
Các b n có th gi i câu kho ng cách b ng cách s d ng ti s đư ng cao ho c công th c h = b ng cách qua A
S
d ng m t đư ng th ng song song v i BC.
Nh n xét: Cách này cho ta th y đươc chính xác v trí c a các đi m M, N n m trên c nh SA và BC. Nên đư ng
vuông góc chung hoàn toàn đư c xác đ nh. M t l i th n a c a phương pháp này so v i phương pháp t a đ là ta
không c n ph i s d ng 3 tr c vuông góc t ng đôi m t và xu t phát t m t đi m như h tr c Decartes mà ch c n
bi t rõ góc gi a các vector. Ta c n ph i ch n b 3 các vector a, b, c v a có th bi u di n đư c hoành đ và tung đ
c a m t ph ng đáy và cao đ c a chi u cao t đ nh. Ưu tiên ch n các vector a, b, c có các góc đ p gi a các vector như
30o , 45o , 60o và đ c bi t là 90o .
Lưu ý: Không ch n 3 vector cùng n m trong cùng m t m t ph ng ho c có ít nh t 2 vector n m cùng phương
v i nhau.
V n đ 2: Cho hình chóp S.AB có đáy là tam giác vuông cân t i B, AB = BC = 2a. Hai m t ph ng
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABC). G i M là trung đi m c a AB, m t ph ng qua
SM và song song v i BC, c t AC t i N. Bi t góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABC) b ng 60o . Tính
th tích kh i chóp S.BCNM và kho ng cách gi a hai đư ng th ng AB và SN theo a.(Trích đ tuy n
sinh Đ i H c môn Toán kh i A năm 2011.)
L i gi i:
(SAB)⊥(ABC)
Theo gi thi t : ⇒ SA⊥(ABC)
(SAC)⊥(ABC)
www.MATHVN.com
2
- www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
−
−→ −→
− −→
Đ i v i bài này ta ch n h vector như sau: Đ t BA = a, BC = b, SA = c. Hi n nhiên ta có: BA = BC = |a| = b = 2a
Lưu ý: Các vector a, b, c đôi m t vuông góc nhau nên tích vô hư ng gi a chúng hi n nhiên b ng 0 vi c ch n như th
s d dàng cho vi c tính toán.
Đ xác đ nh góc gi a 2 m t ph ng (SBC) và (ABC) ta làm như sau: (SBC) ∩ (ABC) = BC. M t khác:
AB ∈ (ABC), AB⊥BC(gt)
⇒ [(SBC); (ABC)] = (AB; SB) = SBA = 60o .
BC⊥SB(BC⊥(SAB)
√ √
T đó tính đư c SA = AB.tan60o = 2 3a ⇒ c2 = 3a2 = 3b2 (v i |c| = 2 3a)
1 1 3a2
D th y t giác BM N C là hình thang vuông nên ta có SBM N C = .BM.(M N + BC) = .a.(a + 2a) =
2 2 2
1 1 √ 3a2 3
√
VSBM N C = .SA.SBM N C = .2 3a. =a 3
3 3 2 − −→
− −
→
Đ tính kho ng cách gi a AB và SN ta s bi u di n các vector AB, SN theo a, b, c.
S
K
N
C
A
M φ
B
H
−
−→ −→ −
− → −→ − →
− − 1
AB = −a, SN = SA + AM + M N = − (a − b) + c
2
−→
− −−
→ −→
− −→
− y
G i các đi m H ∈ AB và K ∈ SN sao cho: AH = xAB = xa.SK = y SN = − (a − b) + yc
2
− → −→ −
− − → −→− y y y
HK = HA + AS + SN = −xa − c − (a − b) + yc = −(x + )a + b + (y − 1)c
2 2 2
− → − = 0
− − →
HK⊥AB HK.AB
Đ HK là đo n vuông góc chung c a AB và SN thì: ⇔ − → −→
− −
HK⊥SN HK.SN = 0
y y y
x + = 0 x + = 0 x + = 0
⇔ 1 2 ⇔ 1 2 ⇔ 1 2 7y
(x + y )a2 + y b2 + (y − 1)c2 = 0 (x + y ) + y + 3(y − 1) = 0 x+ =3
2 2 4 2 2 4 2 2
x = − 6
−→− 6 1
⇔ 13 ⇒ HK = b− c
y = 12
13 13
13
www.MATHVN.com
3
- www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
√
−→
− 6 1 6 −1 2 2 39a
⇒ HK = HK = ( b − c)2 = ( )2 + 3( ) b = .
13 13 13 13 13
V n đ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a. G i M và N l n lư t là trung
đi m c a các c nh AB và AD, H là giao đi m c a CN và DM. Bi t SH vuông góc v i m t ph ng
√
(ABCD) và SH = a 3. Tính th tích kh i chóp S.CDNM và kho ng cách gi a hai đư ng th ng DM và
SC theo a. (Trích đ tuy n sinh Đ i H c môn Toán kh i A năm 2010.)
1 1 a2 a2 5a2
L i gi i: D th y: SCDN M = SABCD − SAM N − SBM C = a2 − .AM.AN − .BM.BC = a2 − − =
√2 2 8 4 8
1 1 √ 5a2 5 3a3
T đó tinh đư c: VS.CDN M = .SH.SCDN M = .a 3. =
3 3 8 24
S
M
B
A
N
T
H≡K
D
C
−→
− −→
− −→
− a √
Đ t AM = a, DN = b, SH = c. Hi n nhiên ta có: AM = DN = |a| = b = , SC = |c| = a 3
−→
− −→
− 2 −→ −
− →
⇒ c2 = 12a2 = 12b2 . Ta có: DM = a + 2b, CN = −2a + b. Đ n đây ta s bi u di n l n lư t DM , SC theo a, b, c.
−→ −→
− −
Nhưng đ làm đư c đi u đó ta ph i xác đ nh đư c v trí đi m H m i có th bi u di n đư c DH, CH t đó bi u di n
−→ −
− →
DM , SC .
−→
− −→
−
Cách xác đ nh đi m H như sau:Đ t DH = u(a + 2b), CH = v(−2a + b)
− → −→ −→ −→
− − − −
HH = HD + DC + CH = −u(a + 2b) + 2a + v(−2a + b) = −(u + 2v − 2)a + (−2u + v)b
−→
− u + 2v − 2 = 0
Mà HH = 0 ⇔ (Do a, b không cùng phương ngư c hư ng)
−2u + v = 0
2 4 −→ 2 − →
− − −→ 4 −→
− −
⇔ u = , v = ⇒ DH = DM và CH = CN
5 5 5 5
−→
− −→ −→ −→
− − 4 4
T đó DM = a + 2b, SC = SH + HC = c − (−2a + b) = (2a − b) + c
5 5
−→
− −→
− −→ −→ 4y
G i các đi m K ∈ DM và T ∈ SC sao cho: DK = xDM = x(a + 2b), ST = y SC = (2a − b) + yc
5
−→ −→ −
− − → − → −→ −→ −→ −
− − − → 2 4y
KT = KD + DS + ST = KD + DH + HS + ST = −x(a + 2b) + (a + 2b) − c + (2a − b) + yc
5 5
8y 2 4y 4
= (−x + + )a + (−2x − + )b + (y − 1)c (1)
5 5 5 5
www.MATHVN.com
4
- www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
−→.− → = 0
− −
KT ⊥DM KT DM
Đ KT là đo n vuông góc chung c a DM và SC thì: ⇔ −→ −
− →
KT ⊥SC KT .SC = 0
−x + 8y + 2 + 2(−2x − 4y + 4 ) = 0
−5x + 2 = 0
⇔ 8 5 5 5 5 ⇔ 76y
(−x + 8y ) + −4y (−2x − 4y + 4 ) + 12(y − 1) = 0
− 12 = 0
5 5 5 5 5 5
x = 2
−→ 24
− 12 4
⇔ 5 ⇒ KT = a − b − c (Thay x,y vào (1) )
y = 15
19 19 19
19
−→
− 24 12 4 24 −12 2 −4 2
Suy ra KT = KT = ( a − b − c)2 = ( )2 + ( ) + 12.( ) . |a|
√ √ 19 19 19 19 19 19
4 57 a 2 57a
= . =
19 2 19
2
Nh n xét: T x = ta có th th y đư c đi m K mà ta gi đ nh trùng v i đi m H. T đó th y đư c
5
đo n vuông góc chung cũng chính là đo n HT.
Các b n nên hi u rõ r ng phương pháp tính đ dài vector trong các v n đ trên hoàn toàn xu t phát t đ nh lý
cosin trong tam giác ch không có gì m i l c . Ngoài ra phương pháp vector cũng r t hi u qu trong các trư ng
h p tính góc. Ta hãy xét các v n đ ti p theo đ hi u rõ phương pháp.
V n đ 4: Cho lăng tr ABC.A’B’C’ có đ dài c nh bên b ng 2a, đ y là tam giác vuông có AB = a,
√
AC = a 3. Hình chi u vuông góc c a đ nh A’ trên m t ph ng (ABC) là trung đi m c a c nh BC. Tính
theo a đư ng cao kh i chóp A’.ABC và tính cosin c a góc gi a hai đư ng th ng AA", B’C’. (Trích đ
thi đ i h c môn toán kh i A năm 2008)
L i gi i:
−−
−→ −→
− −→
−
G i M là trung đi m c a BC theo gi thi t A M ⊥(ABC). Ta ch n các vector như sau: A B = a, A C = b, A M = c
(Đây là b ba vector đôi m t vuông góc nhau nên tích vô hư ng gi a chúng s b ng 0 )
√
T đó có đư c A B = |a| = a, A C = b = a 3, A M = |c| .
B'
C'
A'
B
M C
A
www.MATHVN.com
5
- www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
− → − → −→ − → 1 −
− − − − −→ − → 1
Ta có: A A = A M − AM = A M − (AB + AC) = − (a + b) + c. M t khác AA = 2a nên AA 2 = 4a2
2 2
−1 1 1 1
⇔[ (a + b) + c]2 = 4a2 ⇔ (a + b)2 + c2 = 4a2 ⇔ (a2 + b2 ) + c2 = 4a2 ⇔ (a2 + 3a2 ) + c2 = 4a2
2 4√ 4 4
⇔ c2 = 3a2 hay AM = |c| = a 3
−→ − →
− −
−→ − →
− − AA .B C
Đ tính cosin góc gi a AA , B C ta s s d ng công th c: cos(AA ; B C ) = cos(AA ; B C) = −→ − − .
− −→
AA . B C
−→ − −
− −→ −→
− 1 −−
−→
Ta s bi u di n AA , B C theo các a, b, c. Ta có: AA = − (a + b) + c, B C = b − a
2
−→ − −
− −→ 1 1 1 3
AA .B C = a2 − b2 = a2 − b2 = −a2
2 2 2 2
−→
− −−
−→ √
AA = AA = 2a. B C = B C = (b − a)2 = a2 + b2 = 2a
−→ − →
− − −a2 1
⇒ cos(AA ; B C ) = cos(AA ; B C) = 2
= .
4a 4
Lưu ý: Đ i v i 1 s bài toán có hình v ph c t p yêu c u ch ng minh quan h vuông góc thì phương pháp này cũng t
ra r t hi u qu .
V n đ 5: Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a. G i E là đi m đ i x ng
c a D qua trung đi m c a SA, M là trung đi m c a AE, N là trung đi m c a BC. Ch ng minh MN
vuông góc v i BD va tính theo (a) kho ng cách gi a hai đư ng th ng MN và AC. (Trích đ thi đ i h c
môn toán kh i B năm 2007)
L i gi i:
G i O là tâm hình vuông, K là trung đi m SA theo gi thi t ta có: SO⊥(ABCD). Do K v a là trung đi m SA v a
−→
− 1− → 1 −→ −→ − −→
− − → −→ −
là trung đi m DE nên t giác ADSE là hình bình hành.⇒ M A = SD = (SO + OD). Và AN = AO + ON =
2 2
− → 1 − −→ −→ −
AO + (OC + OB).
2 −
−→ −→
− −→ − → −→
− −
Ta s ch n h vector như sau: OC = a, OD = b, SO = c. Ta s l n lư t bi u di n M N , BD theo các vector a, b, c
E
S
M
K
A
B
O N
K
D C
− → − → −→ 1
− − − 1 1 −→
− − → −→
− −
Ta có: M N = M A + AN = (b + c) + (3a − b) = (3a + c). Và BD = 2b ⇒ M N .BD = b(3a + c) = 0 (Do các vector
2 2 2
www.MATHVN.com
6
- www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
a, b, c vuông góc t ng đôi m t nên tích vô hư ng gi a chúng s b ng 0)
Đ tìm và tính đo n vuông góc chung gi a hai đư ng th ng MN và AC ta làm như sau:
−→
− −→ x
− −→
− −→
G i các đi m H ∈ M N và K ∈ AC sao cho: M H = xM N = (3a + c), AK = y AC = 2ya
2
− → − → − → −→
− − − − x 1 1 1 1
HK = HM + M A + AK = − (3a + c) + (b + c) + 2ya = (−3x + 4y)a + b − (x − 1)c (1)
2 2 2 2 2
− → − → = 0
− −
HK⊥M N HK.M N
Đ HK là đo n vuông góc chung c a MN và AC thì: ⇔ −→ −− →
HK⊥AC HK.AC = 0
3 (−3x + 4y)a2 − 1 (x − 1)c2 = 0
x − 1 = 0 −→ 1
−
⇔ 4 4 ⇔ ⇒ HK = b (Thay vào (1) )
−3x + 4y = 0 −3x + 4y = 0 2
√
−→
− 1 a 2
⇒ HK = HK = b =
2 4
3
Nh n xét: T hê phương trình trên ta có th gi i ra và th y x = 1 nghĩa là đi m H ≡ N, y = nên đi m K là trung
4
đi m c a đo n OC. D dàng th y đư c đo n vuông góc chung gi a hai đư ng th ng MN và AC là NK.
Lưu ý: Ngoài ra n u g p câu h i v kho ng cách t đi m t i m t ta có th d ng m t m t ph ng song song r i chuy n
v tìm đo n vuông góc chung gi a hai đo n th ng b ng phương pháp trên. M t cách làm nghe có v "ngư c đ i" nhưng
hoàn toàn có th th c hi n đư c b ng phương pháp trên. Ta xét ti p các v n đ k ti p s th y rõ hi u qu .
V n đ 6: Cho hình h p đ ng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C=a.
Tính th tích c a kh i t di n ABB’C’và kho ng cách t đi m A đ n m t ph ng (BCD’) theo a . (Trích
đ tuy n sinh Đ i H c môn Toán kh i D năm 2012.)
L i gi i: √
a 2 a
Do ∆AA C vuông cân t i A nên ta tính đư c: AA = AC = và c nh c a hình vuông AB =
2 2
Theo đ bài AB⊥BB và AB⊥BC nên d dàng suy ra đư√ AB⊥(BB C C).
√ c:
1 1 a 1 a a 2 a3 2
Suy ra: VABB C = .AB.S∆BB C = . . . . = .
3 3 2 2 2 2 48
A B
D
C
K
A' B'
D' C'
Đ tính kho ng cách t A đ n m t ph ng (BCD’) ta có th tính kho ng cách gi a hai đư ng đư ng AD và CD’ (vì
www.MATHVN.com
7
- www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
(AD (BCD )). √
−
−→ −→
− −→
− a a 2 2
Ta ch n h vector như sau: BA = a, AD = b, AA = c v i |a| = b = , |c| = . Hay c2 = 2 |a| .
− → −→ − −
− − −→ 2 2
Ta có: CD = CC + C D = a + c.
−→
− −→
− −→− −→
−
G i các đi m H ∈ AD và K ∈ CD sao cho: AH = xAD = xb, CK = y CD = y(a + c)
− → −→ −
− − → −→ −→ −→ −
− − − −→ −→ −
HK = HA + AC + AK = HA + BC − BA + AK = −xb + b − a + y(a + c) = (y − 1)a + (1 − x)b + yc (1)
− → − = 0
− →
HK⊥AC HK.AC
Đ HK là đo n vuông góc chung c a AD và CD’ thì: ⇔ −→ − →
− −
HK⊥CD HK.CD = 0
1 − x = 0 x = 1 −→ 1
−
⇔ ⇔ 1 ⇒ HK = (−2a + c) (th x, y vào t (1) )
y − 1 + 2y = 0 y = 3
3 √
−→
− 1 1 √ a 6
⇒ HK = HK = (−2a + c)2 = . |a| . 4 + 2 = .
3 √ 3 6
a 6
V y d[A; (BCD )] = HK = .
6
Nh n xét: T h trên ta th y ngay đi m H ≡ D nên đo n vuông góc chung c a AD và CD’ là đo n DK cũng chính là
đư ng cao k t đ nh D trong ∆CDD .
√
V n đ 7: Cho hình lăng tr ABCD.A1 B1 C1 D1 có đáy ABCD là hình ch nh t. AB = a, AD = a 3. Hình
chi u vuông góc c a đi m A1 trên m t ph ng (ABCD) trùng v i giao đi m c a AC và BD. Góc gi a
hai m t ph ng (ADD1 A1 ) và (ABCD) b ng 60o . Tính th tích kh i lăng tr đã cho và kho ng cách t
đi m B1 đ n m t ph ng (A1 BD) theo a . (Trích đ tuy n sinh Đ i H c môn Toán kh i B năm 2011.)
L i gi i:
G i O là tâm hình ch nh t ABCD và M là trung đi m AD ta d dàng ch ng minh đư c: A1 O⊥(ABCD), OM ⊥AD
và A1 M ⊥AD nên góc gi a hai m t ph ng (ADD1 A1 ) và (ABCD) là (A1 M ; OM ) = A1 M O = 60o .
√ √
o AB √ a 3 a 3 √ 3a2
⇒ A1 O = OM.tan60 = . 3= . Suy ra VABCD.A1 B1 C1 D1 = A1 O.SABCD = .a.a 3 = .
2 2 2 2
Đ tính kho ng cách t đi m B1 đ n m t ph ng (A1 BD) ta có th chuy n v tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng
A1
B1
H
D1 O1
C1
A
M φ B
O
D
C
www.MATHVN.com
8
- www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
B1 D1 và A1 B (vì B1 D1 (A1 BD) ). √
−→
− −−
−→ −→
− a 3 3 2
Ta ch n h vector như sau: OD = a, B1 A1 = b, A1 O = c v i |a| = b = a, |c| = . Hay c2 = |a| .
2 4
1
D th y A1 B1 D1 = 60o nên suy ra (a; b) = 60o t đó lưu ý r ng a.b = .a2
−−
−→ − → − → −→
− − − 2
Ta có: B1 D1 = 2a và A1 B = A1 O + OB = −a + c
−−
−→ −−
−→ −−
−→ −→−
G i các đi m H ∈ B1 D1 và K ∈ A1 B sao cho: B1 H = xB1 D1 = 2xa, A1 K = y A1 B = y(−a + c)
−→ −−
− −→ − − − → −− −→
HK = HB1 + B1 A1 + A1 K = −2xa + b + y(−a + c) = −(2x + y)a + b + yc (1)
− → − − = 0
− −→
HK⊥B D HK.B1 D1
1 1
Đ HK là đo n vuông góc chung c a B1 D1 và A1 B thì: ⇔ −→ − →− −
HK⊥A1 B HK.A1 B = 0
x = 1
−2(2x + y)a2 + 2a.b = 0 −2(2x + y) + 1 = 0 4x + 2y = 1
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 4
(2x + y)a2 − a.b + yc2 = 0 2x + y − 1 + 3y = 0 2x + 7y = 1 y = 0
2 4 2 2
−→
− 1 −→− 1 1 2 1
Thay x, y vào (1) ta đư c: HK = − a + b ⇒ HK = HK = (− a + b)2 = a + a2 − a2
√ 2√ 2 4 2
a 3 a 3
= ⇒ d[B1 ; (A1 BD)] = HK = .
2 2
Nh n xét: T h trên ta có th th y đư c đi m H là trung đi m c a đo n O1 B1 (v i O1 là tâm c a hình ch nh t
A1 B1 C1 D1 và K ≡ A1 nên đo n vuông góc chung tìm đư c đây là đo n A1 H.
Đ t ng k t phương pháp ta s đi đ n v n đ cu i cùng và sau đó là m t vài bài t p t luy n đ các b n có th hi u
và n m ch c phương pháp này.
V n đ 8: Cho hình lăng tr tam giác đ u ABC.A’B’C’ .C nh đáy có đ dài là a, bi t góc gi a 2 đư ng
th ng AB’ và BC’ là 60o . Tính th tính c a kh i lăng tr ABC.A’B’C và kho ng cách gi a hai đư ng
th ng AB’ và BC’ theo a.
L i gi i:
−→ − →
− −
Đ x lí d ki n góc gi a hai đư ng th ng AB’ và BC’ ta s s d ng công th c: cos(AB ; BC ) = cos(AB ; BC ) =
B C
K
A
H
B' C'
A'
www.MATHVN.com
9
- www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
−→ − →
− −
AB .BC 1
−→ − → = 2 .
− −
AB . BC
−
−→ −→ −→
−
Ta ch n h vector như sau: AB = a, AC = b, AA = c và AB = AC = |a| = b = a
a2
Đ ý r ng a.b = |a| . b .cos(a; b) = a.a.cos60o = . Do c vuông v i 2 vector a, b nên tích vô hư ng c a c đ i v i hai
2
vector này đ u b ng 0.
−→ − →
− − −→
− −→
−
Ta bi u di n AB , BC theo các vector a, b, c. D th y AB = a + c và BC = −a + b + c
−→ − →
− − a2 −→
− √ −→
− √
AB .BC = −a2 + a.b + c2 = − + c2 . AB = a2 + c2 . BC = a2 + b2 + c2 − 2a.b = a2 + c2 .
2
a2
c2 −
−→ − →
− − 2 1 √
⇒ cos(AB ; BC ) = cos(AB ; BC ) = 2 2
= ⇔ c = 0 (lo i) ho c c2 = 2a2 ⇒ |c| = a 2
a +c √ 2 √
√ a 3 a3 6
T đó ta có: VABC.A B C = AA .SABC = a 2. = .
4 4
Đ tìm và tính đo n vuông góc chung gi a hai đư ng th ng AB’ và BC’ ta làm như sau:
−→
− −→
− −→
− −→
−
G i các đi m H ∈ AB và K ∈ BC sao cho: AH = xAB = x(a + c), BK = y BC = y(−a + b + c)
− → −→ −
− − −
→ −→ − →
−
HK = HA + AB + BK = −x(a + c), + a + y(−a + b + c) = −(x + y − 1)a + y b + (y − x)c (1)
− → − → = 0
− −
HK⊥AB HK.AB
Đ HK là đo n vuông góc chung c a AB’ và BC’ thì: ⇔ −→ − →
− −
HK⊥BC HK.BC = 0
−(x + y − 1) + 1 y + 2(y − x) = 0
−(x + y − 1)a2 + a.b.y + (y − x)c2 = 0
⇔ ⇔ 2
(x + y − 1)a2 + yb2 + (y − x)c2 − (x + 2y − 1)ab = 0 1
(x + y − 1) + y + 2(y − x) − (x + 2y − 1) = 0
2
3
−3x + y = −1 x =
5
⇔ −3 2 ⇔ 9
1 y = 4
x + 3y =
2 2 9
−→ 1
− −→
− 1 1√ 1 √
Thay x, y vào (1) ta có: HK = (4b − c) ⇒ HK = HK = (4b − c)2 = . 16b2 + c2 = b . 16 + 2
√ 9 9 9 9
a 2
= .
3
T NG K T: Qua các ví d trên mình mu n cho các b n th y r ng m t bài toán hình h c không gian có th đư c
gi i b ng nhi u cách t đó các b n có th ch n đư c phương pháp gi i phù h p đ bài trong m i trư ng h p c th .
Chúc các b n ôn thi có k t qu cao và n m ch c đư c 1 đi m ph n hình h c không gian trong đ thi Đ i
H c s p t i năm 2013. Sau cùng là m t vài bài t p cho các b n t luy n đ đánh giá m c đ nh n bi t.
II. CÁC BÀI T P T LUY N
T luy n 1: Cho hình lăng tr đ ng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, c nh bên AA’ =
√
a 2. G i M là trung đi m c a c nh BC. Tính theo a th tích c a kh i lăng tr ABC.A’B’C’ và kho ng cách gi a hai
đư ng th ng AM, B’C. (Trích đ tuy n sinh √ i H c môn Toán kh i D năm 2008).
√ Đ
a3 2 a 7
Đáp s : VABC.A B C = , d(AM ; B C) = .
2 7 √
T luy n 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh b ng 2a, SA=a, SB=a 3 và m t ph ng
(SAB) vuông góc v i m t ph ng đáy. G i M, N l n lư t là trung đi m c a AB, BC. Tính th tích kh i chóp S.BMDN
và tìm cosin c a góc gi a hai đư ng th ng SM, DN.(Trích đ tuy n sinh Đ i H c môn Toán kh i B năm
2008). √ √
a3 3 5
Đáp s : VS.BM DN = , cos(AM ; B C) = .
3 5
T luy n 3: Cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’. Tìm s đo c a góc t p b i hai m t ph ng (BA’C) và (DAC).(Trích
đ tuy n sinh Đ i H c môn Toán kh i A năm 2003).
Đáp s : [(BA C); (D”AC)] = 60o
√
T luy n 4: Cho kh i chóp S.ABCD có đáy là hình thoi c nh b ng a 5, AC= 4a và chi u cao c a hình chóp là SO
√
= 2 2a, đây O là giao đi m c a AC và BD. G i H là trung đi m c a SC. Tìm góc và tính kho ng cách gi a hai
đư ng th ng SA và BM theo a.(Trích đ √ tuy n sinh Đ i H c môn Toán kh i A năm 2004).
2 6a
Đáp s : (SA; BM ) = 30o , d(SA; BM ) =
3
T luy n 5: Cho hình l p phương ABCD.A1 B1 C1 D1 có c nh b ng a. Tìm kho ng cách gi a hai đư ng th ng A1 B
và B1 D (Trích đ tuy n sinh Đ i H c môn Toán kh i B năm 2002).
www.MATHVN.com
10
- www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
√
a 6
Đáp s : d(A1 B; B1 D) =
6
T luy n 6: Cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’ c nh b ng a. G i M, N l n lư t là trung đi m c a AB và CD.
Tìm kho ng cách gi a hai đư ng√ ng A’C và MN (Trích đ tuy n sinh Đ i H c môn Toán kh i A năm
th
a 2
2006). Đáp s : d(A C; M N ) =
4
T luy n 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i B, AB = a , BC =2a, c nh SA vuông góc v i
đáy và SA= 2a. Xác đ nh và tính đ dài đo n vuông góc chung c a hai đư ng th ng AB và SC.
√
Đáp s : d(AB; SC) = a 2.
T luy n 8: Cho hình lăng tr ABC.A’B’C’ các m t bên đ u là các hình vuông c nh a. G i D, F l n lư t là trung
đi m c a các c nh BC, B’C’. Tính kho ng cách gi a 2 đư ng th ng A’B và B’C’.
√
a 21
Đáp s : d(A B; B C ) = .
7
T luy n 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh a. Chân đư ng vuông góc h t S xu ng m t
ph ng (ABC) là m t đi m thu c BC. Tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng BC và SA rheo a. Bi t SA= a và t o
v i m t ph ng đáy m t √ 30o .
góc
a 3
Đáp s : d(BC; SA) = .
4 √
T luy n 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đ u c nh b ng 4 2a, c nh bên SC vuông góc v i đáy và SC
=2a. G i M,N l n lư t là trung đi m c a BC, AB. Tính góc và kho ng cách gi a hai đư ng th ng SM và CN.
√
o 2 3a
Đáp s : (SM ; CN ) = 45 , d(SM ; CN ) = .
3
T luy n 11: Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC có SA=4a. Đi m D n m trên c nh SC, CD=3a. Kho nh cách t
A đ n BD b ng 2a. Tính th tích kh i chóp S.ABC theo a.
√
3 174
Đáp s : VS.ABC = a
16 √
T luy n 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình ch nh t tâm O. Bi t AB = a, BC = a 3, tam giác SAO cân
t i S, m t ph ng (SAD) vuông góc v i đáy. Góc gi a SD và đáy b ng 60o . Tính th tính kh i chóp S.ABCD và kho ng
cách gi a SB, AC theo a.
3a
Đáp s : d(SB; AC) =
4
T luy n 13: Cho hình lăng tr đ ng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân t i A v i AB = AC = a và góc
BAC = 120o , c nh bên BB’ = a. G i I là trung đi m c a CC’. Ch ng minh r ng tam giác AB’I vuông t i A. Tính
cosin c a góc gi a hai m t ph ng (ABC) và (AB’I).
√
30
Đáp s : cos[(ABC); (AB I)] = .
10
Tài li u tham kh o:
Đ tuy n sinh Đ i H c môn Toán các năm 2002 - 2012 c a B GD và ĐT.
Phân d ng và phương pháp gi i các chuyên đ hình h c (Nguy n Phú Khánh - Nguy n T t Thu - Nguy n T n Siêng)
Tài li u tham kh o trên internet.
Ngư i vi t: iceage3
H t
CHÚC CÁC B N THÀNH CÔNG
www.MATHVN.com
11
nguon tai.lieu . vn
