Xem mẫu
- Nguyen Tat Mao Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam
C¸c d¹ng bt ph
¬ng tr×nh l
îng gi¸c
Biện luận theo
Lo¹i 1. k
1. sin (πcosx) = 1 8. cot(x2 + 4x + 3) = cot6
2. cos(8sinx) = -1 9. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt
3. tan(πcosx ) = cot(π sinx) cos πx 2 = cos π ( x + 1) 2
4. cos(πsinx) = cos(3πsinx) 10. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt
5. tan(π cosx) = tan(2π cosx) sin πx 2 = sin π ( x 2 + 2 x )
6. sinx2 =
1 11. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt
2 cos π ( x 2 + 2 x − 1 / 2) − sin πx 2 = 0
2. Công thức hạ bậ
Lo¹i c
2
1. 4cos (2x - 1) = 1 5. 2cosx + 1 = 0
2
2. 2sin (x + 1) = 1 π
2 2 6. tan2 (2x – ) = 2
3. cos 3x + sin 4x = 1 3
3 π 4π
4. sin(1 - x) = 7. cos2 (x – ) = sin2(2x + )
2 5 5
3. Công thức cộng, biến đổi
Lo¹i
1. sin2x + cos2x = 2 sin3x
2. cos3x – sinx = 3 (cosx –sin3x )
π 3 1
3. cos( − 3x) + sin 5 x + cos 5 x = 0
2 2 2
4. sin3x = 2 cos(x – π /5) + cos3x
5. sin(x + π /4) + cos(x + π /4) = 2 cos7x
3π π π 1
6. Tìm tất cả các nghiệm x∈ (− ; π ) của pt: sinxcos + cosxsin =
2 8 8 2
Bài toán biện luận theo m
Lo¹i 4.
1. Giải và biện luận 6. Giải và biện luận
2sin(1-2x) = m (3m + 5).sin(x + π/2) = (2m + 3)cosx -m
2. 3cos23x = m 7. Giải và biện luận
3. sin3x + cos3x = m cos3x + m – 5 = (3- 2m)cos3x
4. m.sin2 2x + cos4x = m 8. Cho pt sin4x + cos4x = m
5. Giải và biện luận a) Xác định m để pt có nghiệm
sin2x – 2m = (6m + 7)sin2x b) Giải pt với m = ¾
Tổng hợ
Lo¹i 5. p
17π 6. Giải pt:
1. cos22x – sin28x = sin( + 10 x )
2 4sin3xcos3x +4cos3xsin3x + 3 3 cos4x = 3
2. sin23x – cos24x = sin25x – cos26x 7.
sin 2 x π π π
3. = −2 cos x 2 3 sin( x − ) cos( x − ) + 2 cos 2 ( x − )
1 + sin x 8 8 8
4.
1
+
1
=
2 π π
= 3 + 4(sin x + cos( - x)cos( + x))
2
cos x sin 2 x sin 4 x 3 3
π 8. 4sin32x + 6sin2x = 3
5. Tìm tất cả các nghiệm x∈ ( ;3π ) của pt:
2 9. Tìm nghiệm nguyên của pt:
5π 7π
sin(2x + ) − 3 cos( x − ) = 1 + 2sinx
2 2
1
- Nguyen Tat Mao Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam
π
cos (3 x − 9 x 2 + 160 x + 800 ) = 1
8
D¹ng 2: Ph ¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc hai vµ bËc cao ®èi víi mét hµm sè
lîng gi¸c
2cos2x - 4cosx =1
1/ 2/ 4sin3x + 3 2 sin2x = 8sinx
sinx ≥ 0
1-5sinx + 2cosx = 0
3/ 4cosx.cos2x + 1 = 0 4/
cosx ≥ 0
5/ Cho 3sin3x 3cos2x + 4sinx cos2x + 2 = 0(1) vµ cos2x +
3cosx(sin2x 8sinx) = 0(2)
1
T×m n0 cña (1) ®ång thêi lµ n0 cña (2) ( nghiÖm chung sinx =
3
)
3
6/ sin3x + 2cos2x - 2 = 0 7/ tanx + -2=0
cotx
4
b/ + tanx = 7 c / sin6x + cos4x = cos2x
cos2 x
5π 7π
8/ sin( 2x + ) - 3cos( x − ) = 1 + 2sinx
2 2
9/ sin 2 x - 2sinx + 2 = 2sinx -1 10/ cos2x + 5sinx + 2 = 0
sin 2 2x + 4cos4 2x -1
11/ tanx + cotx = 4 12/ =0
2sinxcosx
13/ sin x + 1 + cos x = 0 14/ cos2x + 3cosx + 2 = 0
4sin 2 x + 6sin x − 9 − 3cos 2 x
2 4
15/ =0 16/ 2cosx - sinx = 1
cos x
1
17. sin4 x + cos4x = 18. sin4 x + cos4x = cos2x
2
4 π 1 2 2π 2 2π 3
19. sin x + sin x + = 20. sin x + sin x − + sin x + =
4 2
4 4 3 3 2
5
21. sin6 x + cos6x = ( sin4 x + cos4x)
1
22. sin6 x + cos6x + sinxcosx = 0
6 2
23. sin4 x + cos4x = sin4 4x + cos4 4x 24.
1
2
( )
sin4 x + cos4x = sin2 xcos2x + sinxcosx
2
25. cos3xcos3x + sin3 xsin3x= 25. cos34x = cos3xcos3x + sin3 xsin3x
4
D¹ng 3: Ph
¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sinx vµ cosx
1. NhËn d¹ng:
a.sinx + b.cosx = c
2
- Nguyen Tat Mao Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam
2. Ph
¬ng ph¸p:
C¸ch 1: asinx + bcosx = c
a b
§Æt cosx= 2 2 ; sinx= 2 2 ⇒ a 2 + b2 sin(x +α) = c
a +b a +b
b
C¸ch 2: a sinx + cosx = c
a
b c
§Æt = tanα ⇒ a sinx + cosx.tanα = c ⇔ sin(x +α) = cosα
a a
x 2t 1- t 2 ⇒ (b + c)t 2 - 2at - b + c = 0
C¸ch 3: §Æt t = tan ta cã sinx = ; cosx =
2 1+ t 2 1+ t 2
§¨c biÖt :
1. Chó ý: §iÒu kiÖn PT cã nghiÖm: a 2
+ b 2 ≥ c2
π π
sinx + 3cosx = 2sin(x + ) = 2cos(x - )
3 6
π π
2. sin x ± cos x = 2 sin( x ± ) = 2 cos( x m )
4 4
π π
3. sinx - 3cosx = 2sin(x - ) = -2cos(x + )
3 6
gi¶i ph¬ng tr×nh:
1. 3cosx − sinx = 2 , 2.
cosx − 3sinx = −1
3. 3sin3x − 3cos9x = 1+ 4sin3 3x , 4.
π 1
sin4 x + cos4(x + ) =
4 4
5. 3(1 − cos 2 x) = cos x ,
1
6. sin 2 x + sin 2 x =
2sin x 2
1
7. 3sinx + cosx = 8. tan x − 3cot x = 4(sin x + 3 cos x)
cosx
2π 6π
9. cos7x - 3sin7x + 2 = 0 ; x ∈ ( ; ) 10. 2sin15x + 3 cos5x +
5 7
sin5x = 0 (4) 2.
6
11. sinx + 3cosx + = 6 12.
4sinx + 3cosx +1
1
3sinx + cosx = 3+ 13. ( cos2x 3 sin2x) 3 sinx
3sinx + cosx +1
cosx - 2sinx.cosx
– cosx + 4 = 0 14. = 3
2cos2 x + sinx -1
1+ cosx + cos2x + cos3x 2
15. = (3- 3sinx) 16.
2cos2 x + cosx -1 3
cos7x − sin5x = 3(cos5x − sin7x)
17. T×m GTLN vµ GTNN cña c¸c hµm sè sau:
3
- Nguyen Tat Mao Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam
1− cosx
a. y = 2sinx + 3cosx + 1 b. y =
sinx + cosx + 2
2+ cosx
c. y =
sinx + cosx − 2
D¹ng 4: Ph
¬ng tr×nh ®¼ng cÊp ®èi víi sinx vµ cosx
1. NhËn d¹ng:
a.sinx + b.cosx = 0 (1)
a.sin x + b.sinxcosx + c.cos x = d
2 2
(2)
a.sin x + b.sin xcosx + c.sinxcos x + d.sinx + e.cosx = 0 (3)
3 2 2
2. Ph
¬ng ph¸p:
Gi¶i ph¬ng tr×nh
§¼ng cÊp bËc 2: asin2x + bsinx.cosx + c cos2x = 0
C¸ch 1: Thö víi cosx = 0; víi cosx ≠ 0, chia 2 vÕ cho cos2x ta ®
îc:
atan2x + btanx + c = d(tan2x + 1)
C¸ch 2: ¸p dông c«ng thøc h¹ bËc
§¼ng cÊp bËc 3: asin3x + bcos3x + c(sinx + cosx) = 0
HoÆc asin3x + b.cos3x + csin2xcosx + dsinxcos2x = 0
1. 3sin2x - 3 sinxcosx+2cos2x cosx=2 2. 4 sin2x + 3 3 sinxcosx - 2cos2x=4
3. 3 sin2x+5 cos2x-2cos2x - 4sin2x=0 4. sinx - 4sin3x + cosx = 0
5. 2 sin2x + 6sinxcosx + 2(1 + 3 )cos2x – 5 - 3 = 0
6. (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0 7. sin3x - sinx + cosx – sinx = 0
2 2
8. tanxsin x - 2sin x = 3(cos2x + sinxcosx) 9. 3cos4x - 4sin2xcos2x + sin4x = 0
10. 4cos3x + 2sin3x - 3sinx = 0 11. 2cos3x = sin3x
12. cos3x - sin3x = cosx + sinx 13. sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
14. sin3(x - π /4) = 2 sinx
D¹ng 5: Ph
¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi sinx vµ cosx
1. NhËn d¹ng:
a( sinx + cosx) + b.sinxcosx = c
a( sinx − cosx) + b.sinxcosx = c
2. Ph
¬ng ph¸p:
* a(sin x + cosx) + bsinxcosx = c ®Æt t = sin x + cosx
t≤ 2
⇒ at + b
t 2 -1 = c ⇔ bt2 + 2at – 2c – b
2
= 0
* a(sin x cosx) + bsinxcosx = c ®Æt t = sin x cosx
t≤ 2
⇒ at + b
1- t 2 = c ⇔ bt2 2at + 2c – b = 0
2
4
- Nguyen Tat Mao Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam
1. 2(sinx +cosx) + sin2x + 1 = 0 2. sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1)
π
3. sin2x + 2sin x − = 1 3. tanx − 2 2sinx = 1
4
1 1 1
1. 1 + tanx = 2sinx + 2. sin x + cosx= -
cos x tanx cot x
3 3 3 3
3. sin x + cos x = 2sinxcosx + sin x + cosx 4. 1- sin x+ cos x = sin2x
5. 2sinx+cotx=2 sin2x+1 6. 2 sin2x(sin x + cosx) = 2
7. (1+sin x)(1+cosx)=2 8. 2 (sin x + cosx) = tanx + cotx
3
9. 1 + sin3 2x + cos32 x = sin 4x 10.* 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sin x) = 2
2
11.* cos4x + sin4x - 2(1 - sin2xcos2x)sinxcosx - (sinx + cosx) = 0
12. sin x − cos x + 4sin 2 x = 1 13. sinxcosx + sinx + cosx = 1
1 1 10
14. cosx + + sinx + =
cosx sinx 3
D¹ng 6: Ph
¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi sinx vµ cosx
1 + cos 2 x 1- cos2x
C«ng thøc h¹ bËc 2 cos2x = ; sin2x=
2 2
3cosx + cos3x
C«ng thøc h¹ bËc 3 cos3x= ; sin3x=
4
3sinx -sin3x Gi¶i ph¬ng tr×nh
24 2 2 2
1/ sin x + sin 3x = cos 2x + cos 4x 2/ cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3/2
π 5x 9x
3/ sin2x + sin23x - 3cos22x=0 4/ cos3x + sin7x = 2sin2( + ) - 2cos2
4 2 2
4 4 3
5/ cos x – 5sin x = 1 6/ 4sin x 1 = 3 3 cos3x
2 2 2
7/ sin 2x + sin 4x = sin 6x 8/ sin2x = cos22x + cos23x
9/ (sin22x + cos42x 1): sinxcosx = 0 10/ 2cos22x + cos2x = 4
sin22xcos2x
π
11/ sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x 12/ 8cos3(x + ) =
3
cos3x
sin5x
13/ = 1 14/ cos7x + sin22x =
5sinx
cos 2x cosx 15/ sin2x + sin22x + sin23x =
2
3/2 16/ 3cos4x – 2cos23x =1
17/ sin24 x+ sin23x= cos22x+ cos2x víi x ∈ (0;π)
π
18/ sin24x cos26x = sin(10,5π +10x ) víi x ∈ (0; )
2
3 3
19/ 4sin xcos3x + 4cos x sin3x + 3 3 cos4x = 3
π x
20/ cos4xsinx sin22x = 4sin2( − ) 7 víi x -1
- Nguyen Tat Mao Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam
D¹ng 7: Ph
¬ng tr×nh l
îng gi¸c bËc cao
* a3 ± b3=(a ± b)(a2 m ab + b2) * a8 + b8 = ( a4 + b4)2 - 2a4b4
* a4 - b4 = ( a2 + b2)(a2 - b2) * a6 ± b6 = ( a2 ± b2)( a4 m a2b2 + b4)
Gi¶i ph¬ng tr×nh
x x
1. sin4 +cos4 =1-2sinx 2. cos3x-sin3x=cos2x-sin2x
2 2
sin 4 x + cos 4 x 1
3. cos3x+ sin3x= cos2x 4. = (tanx + cotx)
sin2x 2
13 7π π
5. cos6x - sin6x = cos22x 6. sin4x + cos4x = cot(x + )cot( - x)
8 8 3 6
7. cos x + sin x = 2(cos8x + sin8x)
6 6
8. cos3x + sin3x = cosx – sinx
9. cos6x + sin6x = cos4x
10. sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x
1 x x
11. cos8x + sin8x = 12. (sinx + 3)sin4 - (sinx + 3)sin2 + 1 = 0
8 2 2
D¹ng 8: Ph ¬ng tr×nh l îng gi¸c biÕn ®æi vÒ tÝch b»ng 0
1/ cos2x - cos8x + cos4x = 1 2/ sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 0
3/ sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 2 4/ sin3 x + 2cosx – 2 + sin2 x = 0
3
5/ 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx 6/ sin2x + 2 cos2x + 6 cosx = 0
2
7/ 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4
sin 3x sin 5 x 1
8/ = 9/ 2cos2x - 8cosx + 7 =
3 5 cosx
5
10/ cos8x + sin8x = 2(cos10x + sin10x) + cos2x
4
11/ 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x
12/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
13/ sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3
1 1
14/ 2sin3x - = 2cos3x +
sinx cosx
1
15/ tanx – sin2x - cos2x + 2(2cosx - )=0
cosx
16/ cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0 17/ cos2x - 2cos3x + sinx = 0
1- cos2x
18/ sin2x = 1+ 2 cosx + cos2x 19/ 1 + cot2x =
sin 2 2x
1
20/ 2tanx + cot2x = 2sin2x + 21/ cosx(cos4x + 2) + cos2x - cos3x = 0
sin2x
22/ 1 + tanx = sinx + cosx 23/ (1 - tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
π 1 1 2
24/ 2 2 sin(x + ) = + 25/ 2tanx + cotx = 3 +
4 sinx cosx sin 2x
26/ cotx – tanx = cosx + sinx 27/ 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8
2 − cos x 1
1. Tìm TXĐ của hàm số: a. y = b. y = t x +
an
sin 2 x 1− si x
n
2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
a. y = 2 2 + cos x − 3 b. y = 3. 2x − 2si x. x
cos n cos
3. Gi¶I ph¬ng tr×nh:
6
- Nguyen Tat Mao Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam
sinx + 2 = 0. 3 tan 2 x + 1 = 0 sin2x - sinx – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 sinx –
cos2x – 2 = 0 3 s inx − cos x = 1 4 tan 2 x − 7 tan x + 3 = 0 2cos 2 x + 5sin x = 3
3sin 2 x − 3sin x.cos x − 2cos 2 x = 2
π
1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: x = k 2π ; x = + n 2π
2
2. tanx.sin2x− 2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)
2sin
π π
HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS: x = − + kπ ; x = ± + n2π
4 3
3. 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)
2(sin3x-cos3x)=1/sinx +1/cosx , sin2x(3sinx-4sin3x-4cos3x +3cosx)=sinx+cosx
π π π 7π
ĐS: x = ± + k ; x = − + nπ ; x = + mπ .
4 4 12 12
4. 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)
2(sin3x-cos3x)=1/sinx +1/cosx , sin2x(3sinx-4sin3x-4cos3x +3cosx)=sinx+cosx
π π
π 7π
ĐS: x = ± + k ; x = − + nπ ; x = + mπ .
4 4
12 12
π 1
5. 4(sin3x−cos2x)=5(sinx−1) ĐS: x = + k 2π ; x = α + n2π ; x = π − α + l 2π ; với sin α = − .
2 4
π
6. sinx−4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: x = + kπ .
4
HD:sin3x-sin2x+cosx=0; 3sinx-4sin3x-2sinxcosx+cosx=0(chia cho cosx)
π π π π
7. sin 3x − = sin 2 x.sin x + ; (Học Viện BCVT) ĐS: x = +k
4 4 4 2
Doi sin(x+II/4) thanh cos(II/2 –x) råi dïng CT biÕn tÝch thµnh tæng.
8. sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x
π
HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x ĐS: x = k .
12
9. sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos2 x − 3 sin 2 x cos x
π π
HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x = − + kπ , x = ± + kπ
3 4
10.2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
π 2π
HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS: x = + kπ ∨ x = ± + k 2π (k ∈ ¢ )
4 3
11.sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1).
Giải ⇔2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx. ⇔2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0.
⇔2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0. Đặt t=cosx, ĐK t ≤ 1 , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0.
∆=(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2.
1
t = 1
⇒ 2 ⇒ cos x =
2
…(biết giải)
t = sin x - 2 ( loaï )
i
12.1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0.
HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0. (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0.
(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp …
1 2 ( cos x − sin x )
13.Giải phương trình lượng giác: =
tan x + cot 2 x cot x − 1
Giải
7
- Nguyen Tat Mao Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam
cos x.sin 2 x.sin x. ( tan x + cot 2 x ) ≠ 0
Điều kiện:
cot x ≠ 1
1 2 ( cos x − sin x ) cos x.sin 2 x
= ⇔ = 2 sin x
Từ (1) ta có: sin x cos 2 x cos x cos x
+ −1
cos x sin 2 x sin x
π
x = + k 2π
2 4
⇔ 2sin x.cos x = 2 sin x ⇔ cos x = ⇔ ( k ∈¢ )
2 x = − π + k 2π
4
π
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là x = − + k 2π ( k ∈ ¢ )
4
2+3 2
14.Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x =
8
2+3 2
GiảiTa có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = ⇔ cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) =
8
2+3 2 2+3 2 2 π π
⇔ cos 2 3 x + sin 2 3x + 3 ( cos 3 x cos x − sin 3x sin x ) = ⇔ cos 4 x = ⇔ x = ± + k ,k ∈ Z .
8 2 2 16 2
15.Giải phương trình: cos 2 x + 5 = 2(2 − cos x)(sin x − cos x)
Giải
Phương trình ⇔ (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0
cos x − sin x = −1
⇔
cos x − sin x = 5 (loai vi cos x − sin x ≤ 2)
8
nguon tai.lieu . vn
