Xem mẫu
- PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ
VD1:
Tìm GTNN của A = 1 4 x 4 x 2 + 4 x 2 12 x 9
Giải:
A = (1 2 x)2 + (2 x 3)2
= 1 2x + 2x 3 1 2x 2x 3 = 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (1 – 2x)(2x – 3) 0
Lập bảng xét dấu:
x 1 3
2 2
1 – 2x + 0 - -
2x - 3 - - 0 +
(1 – 2x)(2x – 3) - 0 + 0 -
1 3
Từ đó ta có (1 – 2x)(2x – 3) 0 x
2 2
1 3
Vậy GTNN của A bằng 2 với x
2 2
VD2:
Tìm GTNN của hàm số
f(x) = x 1 + 2 x 4 + 3 x 9 + 4 x 16 + 5 x 25
Giải:
Ta có:
f(x) = ( x 1 + 2 x 4 + 3 x 9 + 4 x + 25 5 x ) + 3 x 4
( x 1) (2 x 4) (3x 9) (4 x) (25 5 x) + 3 x 4
= 15 + 3 x 4 15
Mặt khác ta có f(4) = 15 suy ra minf(x) = 15
VD3:
Tìm GTNN của S = x2 + y2 + z2 với P = ax + by + cz không đổi (với a2 + b2
+ c2 0).Giá trị đó đạt được khi nào?
Giải:
Theo bất đẳng thức Côsi – Bunhiacôpski ta có:
( x2 + y2 + z2) ( a2 + b2 + c2) (ax + by + cz)2.
Do đó
- P
S = x2 + y2 + z2 .
a b2 c2
2
xyz
S sẽ có giá trị bé nhất khi xảy ra dấu “ = ” tức là khi , hay nói cách
abc
P
khác Smin = .
a b2 c2
2
aP bP cP
Khi x= 2 2 2 ; y = 2 2 2 ; z = 2 2 2 .
a b c a b c a b c
VD4:
Tìm GTLN của:
a) A = x 1 + y 2 biết x + y = 4
y2
x 1
b) B= +
x x
Giải:
Điều kiện x 1, y 2
Ta có x 1 = 1.( x 1)
1.( x 1) 1 x 1 1 2.( y 2)
x 1
y2 =
x x 2x 2 2
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
1.( x 1) 1 x 1 1
x 1
x x 2x 2
y2 2.( y 2) 2 y 2 1 2
y 4
y2 2y 2 22
x 1 1 x 2
1 2 2 2
Max B =
24 4 y 2 2 y 4
VD5:
Tìm GTLN, GTNN của
A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 5
Giải:
Ta xét biểu thức A2 = (2x + 3y)2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:
2 2
1
2 3 x 2 y 3
2 2
A2 =
2
2. 2 x 3. 3 y
2
2 3 x
= (2 + 3) (2x2 + 3y2) 5.5 = 25
- x y x2 y3
A2 = 25 x y
x y 1
2 x 3 y 5 2 3
Do A2 25 nên -5 A 5
x y
MinA = -5 x y 1
2 x 3 y 5
x y
MaxA = 5 x y 1
2 x 3 y 5
VD6:
Nếu x > 0, a > o, b > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
(a x)(b x)
.
x
Khi nào đạt giá trị đó?
Giải: Biểu thức có dạng:
( a x )(b x ) ab(a b) x x 2 ab
ab x
x x x
ab
Đối với hai số dương và x, ta có bất đẳng thức Cô-si:
x
ab ab
x2 x 2 ab
x x
( a x )(b x )
a b 2 ab ( a b ) 2
Khi đó:
x
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là ( a b ) 2 đạt được khi x ab
VD7:
Tìm giá trị lớn nhất của:
a) f ( x) (2 x 1)(3 5 x) ;
b) f ( x) (1 x ) 3 (1 x ) ;
x
c) f ( x ) ;2
x 2
x2
d) f ( x) 2 .
( x 3) 3
Giải:
1
a) Do ab (a b) 2 , nên ta có:
4
- 2
2 5 2 1 5 211 1
f ( x ) (2 x 1)(3 5 x ) (5 x )(3 5 x ) . 5 x (3 5 x ) . .
5 2 5 4 2 5 4 4 40
1 1
Vậy f(x) lớn nhất là khi x .
40 20
3
b) f ( x ) (1 x ) (1 x )
*) Nêú x < -1 hoặc x > 1 thì f(x) 0
*) Nếu -1 < x < 1 thì
4 4
1 3 3x 1 x 1 x 1 x
1 3 1
f ( x) (3 3 x )(1 x )(1 x )(1 x ) .
3 3 4 2 3
27 1
Vậy f(x) lớn nhất là khi x
16 2
x 1
x
Ta có: 2 x 2 2 2 x 2 2 2 x suy ra 2
c) f ( x ) 2
x 2 2 2
x 2
1
Vậy f(x) lớn nhất là khi x 2
22
x2 1
. Ta có: x 2 1 1 33 x 2 ( x 2 2) 3 27 x 2 f ( x ) .
d) f(x) = 2 3
27
( x 2)
1
Vậy f(x) đạt giá trị lớn nhất là , khi x 1 .
27
VD8:
Tìm giá trị dương nhỏ nhất của
2x 2 3
.
f ( x)
x
Giải:
3 3
Do f(x) > 0 nên x > 0. ta có: f ( x ) 2 x 2 2 x. 2 6
x x
6
Vậy f(x) dương bé nhất là 2 6 khi x
2
VD9:
Cho các số x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
f ( x, y , z ) x 4 y 4 z 4 .
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski với n = 3, ta có:
- (12 12 12 )( x 4 y 4 z 4 ) x 2 y 2 z 2
2
x y 2 z 2 y 2 z 2 x 2 ( xy 2 yz 2 zx 2 ) 2
2
Từ đó suy ra 3x 4 y 4 z 4 xy yz zx
2
16
Suy ra 3 f x, y , z 16 f x , y , z
3
2
16
Vậy f x , y, z bé nhất bằng , khi x y z
3 3
Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của:
A x 2 y 1 trong đó x y 5
Bài 2. Tìm GTNN của:
A x2 1 x2 2 x 5
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của:
A 2x 5 x2
Bài 4. Tìm GTNN của:
ab
A = x + y biết x , y là các số dương thoả mãn 1 (a và b là hằng số
xy
dương)
Bài 5. Tìm GTLN của:
A x y biết rằng x 2 4 y 2 1
nguon tai.lieu . vn
