Xem mẫu
- A
g (t ) t D
g (t ) A t D
g (t ) A
g (t ) A
ỳ
- x1 , x2 ,..., xn (n 2)
x1 x2 ... xn n n x1 x2 ...xn x1 x2 ... xn
2 2 2 2 2 2
( x1 x2 ... xn )( y1 y2 ... yn ) ( x1 y1 x2 y2 ... xn yn ) 2
x1 x2 xn
...
y1 y2 yn
2 2 2
x1 x2 xn ( x1 x2 ... xn ) 2
y1 , y2 ,..., yn (n 2) ...
y1 y2 yn y1 y2 ... yn
x1 x2 xn
...
y1 y2 yn
x y z ....
x3 y3 xy 2 yx 2
3 2
y y y y
1
x x x x
3 2 2
xn yn xy n 1
xn 1
y (n 2, n N)
ỳ
- x4 y4 x2 y2 x y
2 ( 2)
y4 x4 y2 x2 y x
x y x y x y
t 2
y x y x y x
(t 2 2) 2 2 (t 2 2) t 2 0 3 2
3 2 2
3 2 2
x2 y2 z2 2
3 3 3
P x y z 3 xyz
2 2 P 2 2
2 2
x y z 2 2( xy yz zx ) ( x y z)2
x3 y3 z 3 3 xyz (x y z )( x 2 y2 z2 xy yz zx )
2 2 2 (x y z)2 2
p (x y z )( x y z xy yz zx ) (x y z )(2 )
2
t x y z 0 t 6
t2 2 t3 1
p t (2 ) 3t (t 2 ) 2 (t 2 2) 2 2 2 2
2 2 2
t 2
2 2 2
2 2 2
x, y , z 0
1 1 1 15
3 x y z
x y z x y z 2
2
1 1 1 1 9
x y z x y z 33 x y z
x y z xyz x y z
3
t x y z 0 t
2
ỳ
- 1 1 1 9 9 27 9 27 15
x y z t t 2 t.
x y z t 4t 4t 4t 3 2
4.
2
1
2
x1 , x2 ,..., xn ( n 2) ;
x1 x2 ... xn k (k R * ) b 0; ak 2 bn 2 .
1 1 1 bn 2 ak 2
Cmr : a( x1 x2 ... xn ) b( ... )
x1 x2 xn k
1 1 1 bn 2
a( x1 x2 ... xn ) b( ... ) a( x1 x2 ... xn )
x1 x2 xn x1 x2 ... xn
bn 2 1 t bn 2 1 bn 2 bn 2 ak 2
at bn 2 ( ) t (a ) bn 2 .2. k (a )
t t k2 k2 k k2 k
3
2
x, y , z 0
1 1 1 51
3 x y z 4( )
x y z x y z 2
2
x, y , z 0
1 1 1 17
3 x2 y2 z2 3.
x y z y2 z2 x2 2
2
1 2 4 1 1 4
(x2 )(1 42 ) x x2 (x )
y2 y y2 17 y
x, y , z 0 1 1 1
x2 y2 z2 82
x y z 1 x2 y2 z2
2
x, y 0 1 1
(x y) 2
x y 2 x y
ỳ
- x, y 0 x y
2
x y 1 1 x 1 y
1 x 1 y
x1 , x2 ,..., xn (n 2) x1 x2 ... xn m
x1 x2 xn mn
Cmr:: ...
m x1 m x2 m xn n 1
x1 , x2 ,..., xn ( n 2) ;
x1 x2 ... xn k (k R * ) b 0; ak 2 bn 2 .
1 1 1 bn 2 ak 2
Cmr : a( x1 x2 ... xn ) b( ... )
x1 x2 xn k
x y z 3
x yz y xz z xy 2
x y z
a2 b2 c2 3
a2 bc b2 ac c2 ab 2
2
2
(a b c) 2 (a b c) 4
2
a2 bc b2 ac c2 ab a2 bc b2 ac c2 ab
(a b c) 4 (a b c) 4 (a b c) 4
3(a 2 b 2 c 2 ab bc ca ) 3[(a b c) 2 3(ab bc ca )] 3[(a b c) 2 3]
33 (abc ) 2
2
33 abc
ỳ
- t2 3t 15 t 3 3 3.9 15 t 3 3 9
2 .
3(t 3) 12 12 t 3 12 12 t 3 2
2 9 3
2 2
x1 , x2 ,..., xn (n 2) x1 x2 ...xn 1
x1 x2 xn n
Cmr: ...
x1 x2 x3 ..xn x2 x3 x4 ... n x1
x xn x1 x2 ... n
x 1
2
x, y , z 0 x y z 9
P
x y z 1 1 x2 1 y2 1 z 2
10
x2 y2 z2 x3 y3 z3
P x(1 ) y (1 ) z (1 ) 1 ( )
1 x2 1 y2 1 z2 1 x2 1 y2 1 z2
2
x4 y4 z4 x2 y2 z2
1 ( ) 1
x x3 y y3 z z3 x y z x3 y 3 z3
1
t x2 y2 z2 t
3
x3 y3 z3 (x y z )( x 2 y2 z2 xy yz zx ) 3 xyz
1 x2 y2 z2 3 1 t
x2 y2 z2 [1 ( x 2 y2 z 2 )] 3 ( )3 t t
2 3 2 2 3
1
2 2 2 ( t )(57t 9)
2t 2t 3t 10t 3 9 9 3 9 9
P 1 1
t t 3t 2 10t 3 10 10 3t 2 10t 3 10 10
1 3t 2t 3t 1 t 2
3 3
1
3
x, y, z (0;1) 2 2 2 3
xyz (1 x)(1 y )(1 z )(1) 4
ỳ
- 2 2 2 2
3
x y z
xyz
3
3
2 2 2 2 x y z
3
0 t 3
2 2 2 4 3 2 1 15 3 3
t t 2t 2 (2t 3) 2 ( t)
27 27 4 4 4
3 1
2 2
(x2 y 2 )3 8 8x2 y 2 8 xy
1 1 (1 x)(1 y )(1 z)
x y z 3 3
1 1
(1 x)(1 y )(1 z)
x y z 3
C x1 , x2 ,..., xn (n 2)
n 1
a an
(a x1 )(a x2 )...( a xn )
x1 x2 ... xn n
n
na ( x1 x2 ... xn )
(a x1 )(a x2 )...( a xn )
n
n
an 1
an na t na t n n 1a n t (na t ) n 1
0(*)
t n n n tnn 1
n
(n 1)na
(n 1)t (na t )(na t )...( na t ) (n 1) n a n t (na t ) n 1
n n 1a n
n
(*)
ra
Cho x1 , x2 ,..., xn (n 2)
n 1 n 1
n 1 an 1
n 1 an
( a x1 )( a x 2 )...( a x n )
n x1 x 2 ... x n n n
ỳ
- x, y , z 0
x y z 27 xyz 30
x y2 z2 3
2
x, y , z 0
x y z 6
xyz x y z 2
x2 y2 z2 2( xy yz zx ) (x y z) 2
0 xy yz zx ( x y z) 6
x, y , z 0 1 10
x2 y2 z2
xyz 1 xy yz zx 3
xyz 1 x y z 3
4
x, y , z 0 y2 z2 x2 x y z
x , y , z 0 1 1 1 108
1 2 2 2
x y z x x y y z z 5
2
x y z 1
x, y , z 0
xy yz zx 8( x 2 y 2 z 2 )( x 2 y 2 y2z2 z2x2)
xy yz zx x y z
x, y, z [1;2]
x2 y2 z2 3
4 (y z) 2 4 (z x) 2 4 (x y) 2 4
9xyz
x(x y)(x z) y( y z)(y x) z(z x)(z y) 0 4(xy yz zx) (x y z) 2
x y z
2 xyz x2 y2 z2 1 2( xy yz zx )
(x y z) 2 2xyz 1 4(xy yz zx) hay 4(xy yz zx) (x y z) 2 2xyz 1
(9 2t )t 2 9 9
1 t x y z ,t t
27 2 2
9axyz
a[ 4( xy yz zx ) (x y z ) 2 ] bxyz ct bxyz ct ; t x y z
t
a , b, c 0
2a b c
ỳ
- a( x 2 y2 z 2 ) bxyz c( x y z ) 3a b 3c 2a ( xy yz zx )
3( x 2 y2 z 2 ) 5 xyz ( x y z ) 1 6( xy yz zx )
xyz 2( x 2 y2 z 2 ) 8 5( x y z)
x2 y2 z2 2 xyz 3 (1 x)(1 y )(1 z )
xy yz zx
3
4 xyz 4( x y z) 13
x, y , z [0; ]
3
1 4 27 x y 1 4 27
2 2 1 x4 y4 2 2
t x y
x y z 3
x, y, z (0;2)
27 1 1 1
2
(x 2 )( y 2 2 )( z 2
2) 4 x 2
4 y 2
4 z 2
( x y z)2
x, y , z 0 1
x( y z )4 y( z x) 4 z( x y)4
x y z 1 12
x y z 0 t x( y z)
4 4 4
x( y z ) y( z x) z( x y) t (1 3t )
x2 y 2 z 2 xyz 4
x y z 3
x, y , z 0
xy yz zx x y z
x, y, z (0;1]
x2 y2 z2
3
(y z x) 2 (z x y) 2 (x y z) 2
x1 , x 2 ,..., x n (n 2, n N) x1 x2 ... xn k (n k 0) .
3
1 1 1 n
2 2
... 2
x1 x1 x2 x2 xn xn k (n k )
ỳ
- x1 , x2 ,..., xn (n 2) x1 x 2 ...x n 1 . Cmr:
1 n2 1
x1 x2 ... xn
x1 x2 ... xn n
x y z 1 8
xy yz zx xyz
x, y , z 0 27
0 z 1 1 z 0
2
x y
2
2
1 z z3 z2 z 1
2 4
1 1 5 8 8
(z ) 2 (z ) 0 z 1
4 3 3 27 27
1
3
x y z 3
5 xyz 2( xy yz zx) (9)
x, y , z 0
0 z 1
x y
(9 ) 5 xy ( z 2) 2z( x y) 0 5 ( ) 2 (z 2) 2z( x y) 0
2
3 z 2 z3 3z 2 ( z 1) 2 ( z 2)
5 ( ) (z 2) 2 z (3 z) 0 0 0
2 4 4
z [0;1]
0 z 3
ỳ
- x y z 3
x, y, z 0
a 0; b 0 a ( xy yz zx ) bxyz ( 3a b) 0
a 4
b 3
3a
0 z 1 a bz 0; z 4 0
b
(3 z) 2
a ( xy yz zx ) bxyz (3a b) xy ( a bz ) az ( x y ) (3a b) (a bz )
4
1 3a
az (3 z ) (3a b) b( z 1) 2 ( z 4) 0
4 b
a
3
b
x2 y2 z2 2( xy yz zx ) ( x y z)2
x y z 3
x2 y2 z2 xyz 4
x, y , z 0
x3 y3 z3 3 xyz (x y z )[( x y z) 2 3( xy yz zx )]
x y z 3
2( x 3 y3 z 3 ) 3 xyz 9
x, y , z 0
1 1 1
x y z
x y z 1
5 27 xyz 18( xy yz zx )
x, y , z 0
xyz xy yz zx
5 x 2 y 2 z 2 27 xyz 18( x 2 y2 z2)
x, y , z 0
x3 y3 z3 3 xyz
x y z 3
x3 y3 z3 15 6( xy yz zx )
x, y , z 0
ỳ
- x y z 3
x, y , z 0
a 0; b 0
a 2
b 3
a ( xy yz zx ) bxyz ( 3a b) 0
x y z 3
xy yz zx 2 xyz 1
x, y , z 0
x, y , z [0;2]
x3 y3 z3 9
x y z 3
1 z 2
x3 y3 z3 3 3 3 3 3 3 3
3
x, y , z 0
xy yz zx xyz 4
4 xy yz zx xyz z 3 3z 2 ( z 1)( z 2) 2 0 0 z 1
4 xyz xy
z
xy
2 2
( xy )( xy 2) 0 xy
z 1 z 1
( x y )(1 z ) z xy 0
ỳ
- 4 xyz xy 4 4z xy(z 2 z) xy z 2
(x y)( z) z xy
1 (1 z) z xy
z z
2 2
2 2
4 4z (z 2 z) z2
z 1 z 1 z(1 z)2
0
z (z 1)2
x y z 3
2( x 2 y2 z2) x2 y2z2 7
x, y , z 0
[( x 1)( y 1)][( y 1)( z 1)][( z 1)( x 1)] [( x 1)( y 1)( z 1)] 2 0
( x 1)( y 1); ( y 1)( z 1); ( z 1)( x 1)
( x 1)( y 1) 0 xy x y 1
2( x 2 y2 z2) x2 y2z2 (x y) 2 2z 2 (x y 1) 2 z 2 (3 z ) 2 2z 2 (2 z ) 2 z 2
z4 4z 3 7z 2 6z 9 ( z 1) 2 ( z 2 2 z 2) 7 7
x y z 3
( x 1)( y 1) 0 x y z 1
2 2
( z 1) ( z 2 z 2) 0
xyz 1
17
1 xy yz zx
x, y , z [ ;4] 4
2
x y z 1
x, y , z 0
y z 16 xyz
xy yz zx 9 xyz
9 xyz 1 4( xy yz zx )
x, y , z 0
3( x y z) xyz 10
xy yz zx 3
2 x y 2 2
x, y [0; ]
2 1 y2 1 x2 3
2 x y 2x
x y 0
2 1 y2 1 x2 1 x2
ỳ
- x y z 1
x, y , z 0
x2 1 y2 1 z2 1 7
2 2 2
y 1 z 1 x 1 2
xn 1 yn 1 zn 1 7
yn 1 zn 1 xn 1 2
x2 1 y2 1 z2 1 y2 1 z2 1 1
1 3 y2 z2
y2 1 z2 1 x2 1 1 x2 1 x2 1
1 1
3 (y z) 2 x2 2x 4
x2 1 x2 1
x, y, z [0;2]
xn yn zn 2n 1
x y z 3
x3 y3 z3 5 xyz
f ( x, y , z ) x3 y3 z 3 5 xyz
2 x y z 1
3
f ( x, y, z ) f ( x, y,1) z 5 xyz (1 5 xy ) ( z 1)(1 z z 2 5 xy ) 0
z 1 0;1 z z 2 5 xy 1 z z 2 5 z 2 1 z 4 z 2 4( z 1) 2 3 z 1 0
f ( x, y,1) f ( x,1,1) y 3 5 xy (1 5 x) ( y 1)(1 y y 2 5 x) 0
y 1 0;1 y y 2 5 x 1 y y 2 5 y y 2 4 y 1 ( y 1)( y 2) y 1 0
f ( x, y, z ) f ( x,1,1) x 3 5 x 2 ( x 2)[( x 1) 2 2) 0 x,1 x 2
x y z 3
x, y , z 0
5 xyz 2( xy yz zx )
p(x, y, z) 2 ( xy yz zx ) xyz
f ( x, y , z ) 5 f
0 x y z 0 x 1
ỳ
- y z y z y z (y z) 2 y z (y z) 2
f ( x, y , z ) f ( x, , ) 2( xy yz zx ) xyz 2( x x ) x
2 2 2 4 2 4
1 y z y z 3 x 3 x x3 3x 2
( x 2)( y z) 2 0 f ( x, y , z ) f ( x, , ) f ( x, , )
4 2 2 2 2 4
3 2
x 3x 2 ( x 1) ( x 2)
f ( x, y , z ) 5 5 5 5 x;0 x 1
4 4
( x 2)( y z ) 2 0
x y z 1
x 1
x3 y3 z3 3xyz
z y x 0
f ( x, y , z ) x3 y3 z3 3 xyz
f (x, y, z) f (x, y, xy) z3 ( xy)3 3xy( xy z) (z xy)(z 2 z xy 2xy) 0 z xy
g ( x, y ) f ( x, y , xy ) x3 y3 2 ( xy ) 3
2
g ( x, y ) g ( x, x ) y3 x3 2( ( xy ) 3 x6 ) y3 x3 0
f ( x, y , z ) f ( x, y , xy ) g ( x, y ) g ( x, x ) 0
z xy
x y z
x y
x y z 3
y z z x x y 2
x y z
f ( x, y , z )
y z z x x y
x y z x y xy
f ( x, y , z ) f ( x, y, xy )
y z z x x y y xy xy x x y
x( xy z) y ( xy z) z xy x
( xy z)
(y z )( y xy ) (z x)( xy x) x y (y z )( y xy )
y 1 x y 1
(z x)( xy x) x y (y x)( y xy ) (y x)( xy x) x y
1 x y 1 ( x y )2
1 . 0
x y y( x y) x( x y) (x y )( x y) xy
ỳ
- y y
x y xy 1 x x
f (x, y, xy)
xy y xy x x y y y y y
1 1
x x x x
1 t2 t 2 2t 2 t 2 3 3 y
t 1 t (t 0)
t t2 t 1 t 2
1 2t (t 2 1) 2 2 x
xyz 1
(x y )( y z )( z x) 4( x y z 1)
x, y , z 0
xy yz zx 6 xyz 9
x y z 3 xyz 6
x, y , z 0
x, y , z 0
x y2 z2 3
2
xy yz zx 9 xyz
9 xyz 1 4 ( xy yz zx )
2
x, y [0; ]
2
x y 2 2
1 y2 1 x2 3
1 x y z 7
x, y, z [ ;3]
3 x y y z z x 5
xyz 2( x 2 y2 z2) 8 5( x y z)
x, y , z 0
3( x y z) xyz 10
xy yz zx 3
x, y , z 0
x y z x2 y2 y2z2 z2x2
x y2 z2
2
3
x, y , z 0
7 ( xy yz zx ) 12 9 xyz
x y2 z2
2
3
ỳ
- 2
x y y z z x 2
1
z x y 2
1
z y x 1
2
1
a b 1
2
4
3 6
3
A B A B C
(17) sin A sin B 3 sin C 2 sin cos 3 sin C 2 cos 3 sin C
2 2 2
C
cos t 1 t 0
2
C C C
2 cos 3 sin C 2 cos (1 3 sin ) 2t (1 3(1 t 2 ) )
2 2 2
3 1 3 1
2t (1 3(1 t 2 ) ) 2t (1 .2 (1 t 2 ) ) 2t[1 ( 1 t 2 )] 3t 3 6t
2 3 2 3
6 2 4 4
(t ) (3t 2 6) 6 6 (17' )
3 3 3
4
3 6
3
A B
cos 1 A B
2
C 6 C 2
cos cos
2 3
1 cos A 1 (cos B cos C ) cos B cos sC
(18) . 1
cos A cos B cos C
ỳ
- B C B C
1 2 cos cos
1 cos A 2 2 1 1 (18' )
cos A 1
[cos( B C ) cos( B C )
2
A A A
1 2 sin 2 4 sin 2 sin 2
1 cos A 2 2 2
VT (18' ) 1
cos A 1 cos A
(1 cos A)
2
A A A A A
2 4 sin 2 sin 2 1 4 sin 4 sin 2 (1 2 sin ) 2
2 2 1 2 2 0 2 0
cos A cos A cos A
B C
cos 1
2 A B C
A
1 sin 0
2
3 A
0 A 60 cos 1
2 2
T 3(cos A cos B cos C ) 2(sin A sin B sin B sin C sin C sin A)
B C B C B C B C
3(cos A 2 cos cos ) cos( B C ) cos( B C ) 2 sin A.2 sin cos
2 2 2 2
B C A A
2 cos A cos [6 sin 4 sin A cos ] cos( B C )
2 2 2
A 3 A A A A A
sin 0, cos 1 6 sin 4 sin A cos 2 sin (3 4 cos 2 ) 0
2 2 2 2 2 2 2
B C
cos 1, cos( B C ) 1
2
A A A A A A
T 2 cos A 6 sin 4 sin A cos 1 2(1 2 sin 2 ) 6 sin 8 sin (1 sin 2 ) 1
2 2 2 2 2 2
3 2 2
8t 4t 2t 1 (2t 1) (2t 1) 0 t 0
ỳ
- A
t sin
2
B C
cos 1
2
cos( B C ) 1 A B C
A
sin 1
2
3
A 60 (20 ')
T 1 cos A cos B cos C 3 sin A sin B sin C
1 3
T 1 cos A [cos( B C) cos( B C )] sin A [cos( B C ) cos( B C )]
2 2
1 2 1 3
1 [cos A 3 sin A cos A ] cos( B C )[ cos A sin A ]
2 2 2
1 3
cos A sin A cos( A 60 ) 0 cos( B C ) 1
2 2
1 1
T 1 [ cos 2 A 3 sin A cos A] (cos A 3 sin A) (cos A 1)[1 cos( A 60 )] 0
2 2
3
cos( B C ) 1
A B C
cos( A 60 ) 1
1 1
tan A tan B tan C 3 3
A B C 3 3
cot cot cot
2 2 2
A B C 1 1 1 15
sin sin sin
2 2 2 A B C 2
sin sin sin
2 2 2
13
1 cosA cos B cos B cos C cos C cos A (c o s A cos B c o s C)
2
cos A cos B cos C
ỳ
- 3
cos 3 A cos 3 B cos 3 C
2
2 2 1 2 3 2
sin A sin B sin C 1
2 4
A B C 3 3
sin 3 sin sin 2
2 2 2 16
cot A cot B 2 cot C 2
2 2 2
(1 sin )( 1 sin B )( 1 sin C) 4
sin A sin B sin C 2
1
cos A cos B cos C 2
tan A tan B tan C tan A tan B tan C (1)
A B B C C A
tan tan tan tan tan tan 1 ( 2)
2 2 2 2 2 2
x, y , z 0
3( x y z) xyz 10
xy yz zx 3
3 3 3
x ; y ; z
tan A tan B tan C
10
tan A tan B tan B tan C tan C tan A 1
tan A tan B tan C
3 3
A B C A B C
9(tan tan tan ) tan tan tan 30 3
2 2 2 2 2 2
cos 2 A cos 2 B cos 2 C 2 cos A cos B cos C 1
x, y , z 0
xy yz zx xyz 4
ỳ
nguon tai.lieu . vn