Xem mẫu
- PHẦN III : CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO
*Dùng định nghĩa
a2
1) Cho abc = 1 và a 36 . . Chứng minh rằng b2+c2> ab+bc+ac
3
3
a2 a2 a2
2 2 2 2
Giải: Ta xét hiệu: b +c - ab- bc – ac = b +c - ab- bc –
3 4 12
ac
a2 a2 a 3 36abc
a
2 2 2
=( b +c - ab– ac+ 2bc) + 3bc =( -b- c) +
12a
4 12 2
a 3 36abc
a
=( -b- c)2 + >0 (vì abc=1 và a3 > 36 nên a >0 )
12a
2
a2 2 2
Vậy : b +c > ab+bc+ac Điều phải chứng minh
3
2) Chứng minh rằng
x 4 y 4 z 2 1 2 x.( xy 2 x z 1)
a)
b) với mọi số thực a , b, c ta có
a 2 5b 2 4ab 2a 6b 3 0
a 2 2b 2 2ab 2a 4b 2 0
c)
Giải:
- hiệu: x 4 y 4 z 2 1 2 x 2 y 2 2 x 2 2 xz 2 x
a) Xét =
x x z x 1 = H
2 2 2
2
y2
H 0 ta có điều phải chứng minh
b) Vế trái có thể viết H = a 2b 12 b 12 1 H > 0 ta có đpcm
c) vế trái có thể viết H = a b 12 b 12 H 0 ta có điều phải
chứng minh
* Dùng biến đổi tương đương
1) Cho x > y và xy =1 .Chứng minh rằng
x 2
2
y2
8
x y 2
2 2
x 2 y 2 x y 2 xy x y 2
Giải: Ta có (vì xy = 1)
x x y
2 4 2
4. x y 4
2
y2
Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với
x y 4 4x y 2 4 8.x y 2
x y 2 0
2
2
x y 4 4x y 2 4 0
BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh
- 2) Cho xy 1 .Chứng minh rằng
1 1 2
2 2
1 x 1 y 1 xy
Giải:
1 11 1
1 1 2
Ta có
1 x 2 1 y 2 1 y 2 1 xy 0
2 2
1 x 1 y 1 xy
xy x 2 xy y 2 x ( y x) y( x y )
0
0
1 x .1 xy 1 y 2 .1 xy
1 x 2 .1 xy 1 y 2 .1 xy 2
y x 2 xy 1 0 BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có
1 x 2 .1 y 2 .1 xy
đpcm
* Dùng bất đẳng thức phụ
1) Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1 Chứng minh rằng
1
a2 b2 c2
3
Giải: áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c)
1.a 1.b 1.c 2 1 1 1.a 2 b 2 c 2
Ta có
a b c 2 3.a 2 b 2 c 2
1
a2 b2 c2 (vì a+b+c =1 ) (đpcm)
3
- 2) Cho a,b,c là các số dương . Chứng minh rằng
a b c . 1 1 1 9 (1)
a b c
aab bcc
(1)
Giải: 1 1 1 9
bca caa
a b a c b c
3 9
b a c a c b
xy
áp dụng BĐT phụ Với x,y > 0. Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng
2
yx
1 1 1
Vậy a b c . 9 (đpcm)
a b c
* Dùng phương pháp bắc cầu
1) Cho 0 < a, b,c
- 2a 3 2b 3 2c 3 3 a 2b b 2 c c 2 a (đpcm)
2) So sánh 31 11 và 17 14
11
Giải: Ta thấy 3111 < 3211 25 255 256
14
Mặt khác 256 24.14 2 4 1614 1714 Vậy 31 11 < 17 14 (đpcm)
* Dùng tính chất tỉ số
1) Cho a ,b ,c ,d > 0 .Cminh
ab bc cd d a
rằng: 2 3
abc bc d cd a d a b
Giải: Vì a ,b ,c ,d > 0 nên ta có
ab a b a bd
(1)
abcd abc abcd
b c bc bca
(2)
abcd bcd abcd
d a d a d ac
(3)
abcd d ab a bc d
Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có :
ab bc cd d a
(đpcm)
2 3
abc bc d cd a d a b
- 2) Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác
a b c
Chứng minh rằng : 1 2
bc ca a b
Giải: Vì a ,b ,c là số đo ba cạnh của tam giác nên ta có a,b,c > 0
Và a < b +c ; b
- 1 1 1 1
a) ...
(2n 1).(2n 1) 2
1.3 3.5
1 1 1
b) 1 ... 2
1.2.3.....n
1.2 1.2.3
Giải:
1 2k 1 (2k 1) 1 1
1 1
a) Ta có : .
2n 1 . 2n 1 2 (2k 1).(2k 1) 2 2k 1 2k 1
Cho n chạy từ 1 đến k .Sau đó cộng lại ta có
1 1 1 1 21
(đpcm)
... .1
(2n 1).(2n 1) 2 2n 1 2
1.3 3.5
1 1 1 1 1 1
b) Ta có: 1 ... 1 .....
n 1 .n
1.2.3.....n
1.2 1.2.3 1.2 1.2.3
1 11 1 1 1
< 1 1 .... 2 2 (đpcm)
n 1 n n
2 2 3
nguon tai.lieu . vn
