Xem mẫu
- Tác gi : ThS. ðoàn Vương Nguyên
CHƯƠNG I
HOÁN V – CH NH H P – T H P
A. TÓM T T GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁN
I. Quy t c ñ m, c ng và nhân
1. Quy t c ñ m
Trong nhi u trư ng h p ta c n ph i ñ m s ph n t , s t p h p, s các s h ng c a t ng, … và không ph i
lúc nào cũng th c hi n d dàng. Ta xét m t quy t c rút ra t bài toán ñơn gi n sau ñây.
Bài toán
Ngư i ta c n làm m t hàng rào dài 20m, c cách 2m thì chôn 1 c c. Tính s c c c n dùng.
Gi i
S kho ng cách gi a các c c là 20: 2 = 10.
K t c c th 2 tr ñi thì s c c b ng s kho ng cách.
20
V y s c c là + 1 = 11 .
2
1.1. Quy t c
V i ñi u ki n là kho ng cách gi a các s b ng nhau (cách ñ u), ta có:
soá lôùn nhaát − soá nhoû nhaát
soá caùc soá = + 1.
khoaûng caùch giöõa 2 soá lieàn keà
Ví d 1. Tính s các s t nhiên có 3 ch s chia h t cho 4.
Gi i
S có 3 ch s l n nh t chia h t cho 4 là 996.
S có 3 ch s nh nh t chia h t cho 4 là 100.
Kho ng cách gi a 2 s li n k chia h t cho 4 là 4.
996 − 100
V y có + 1 = 225 s .
4
Ví d 2. Tìm s h ng th 7 trong t ng sau:
(a + x) + (a + x)4 + (a + x)7 + ... + (a + x)28 .
Gi i
Kho ng cách gi a s mũ c a 2 s h ng k nhau là 3.
G i s mũ c a s h ng th 7 là k, ta có
k −1
+ 1 = 7 ⇒ k = 19 .
3
V y s h ng c n tìm là (a + x)19 .
1.2. Các d u hi u chia h t
+ Chia h t cho 2: s có ch s t n cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
+ Chia h t cho 3: s có t ng các ch s chia h t cho 3 (ví d 2001).
+ Chia h t cho 4: s có 2 ch s t n cùng l p thành s chia h t cho 4 (ví d 2000, 3796, 12344).
+ Chia h t cho 5: s có ch s t n cùng là 0, 5.
+ Chia h t cho 6: s chia h t cho 2 và 3.
+ Chia h t cho 8: s có 3 ch s t n cùng l p thành s chia h t cho 8 (ví d 2000, 2008, 3257016).
+ Chia h t cho 9: s có t ng các ch s chia h t cho 9 (ví d 2007).
+ Chia h t cho 10: s có ch s t n cùng là 0.
+ Chia h t cho 11: s có hi u c a t ng các ch s hàng l và t ng các ch s hàng ch n chia h t cho 11
(ví d 1345729 vì (1 + 4 + 7 + 9) – (3 + 5 + 2) = 11).
+ Chia h t cho 25: s có 2 ch s t n cùng là 00, 25, 50, 75.
- 2. Quy t c c ng
i) N u m t quá trình (bài toán) có th th c hi n ñư c m t trong hai cách (trư ng h p) lo i tr l n nhau: cách
th nh t cho m k t qu và cách th hai cho n k t qu . Khi ñó vi c th c hi n quá trình trên cho m + n k t
qu .
ii) N u m t quá trình (bài toán) có th th c hi n ñư c k cách (trư ng h p) lo i tr l n nhau: cách th nh t
cho m1 k t qu , cách th hai cho m2 k t qu , …, cách th k cho mk k t qu . Khi ñó vi c th c hi n quá trình
trên cho m1 + m2 + … + mk k t qu .
Ví d 3. Có 2 cu n sách toán A và B khác nhau, 2 cu n sách v t lý C và D khác nhau. C n ch n ñúng 2
cu n sách, h i có bao nhiêu cách.
Gi i
+ Trư ng h p 1: ch n 2 cu n sách toán có 1 cách.
+ Trư ng h p 2: ch n 2 cu n sách v t lý có 1 cách.
+ Trư ng h p 3: ch n 1 cu n sách toán và 1 cu n v t lý có 4 cách là A và C, A và D, B và C, B và D.
V y có 1 + 1 + 4 = 6 cách ch n.
Ví d 4. T t p h p X = { a; b; c } ch n ra 1 t p h p con c a A. H i có m y cách.
Gi i
+ Trư ng h p 1: ch n t p h p không ch a ph n t nào c có 1 cách là t p r ng.
+ Trư ng h p 2: ch n t p h p ch a 1 ph n t c a A có 3 cách, ñó là { a } , { b } và { c } .
+ Trư ng h p 3: ch n t p h p ch a 2 ph n t c a A có 3 cách, ñó là { a; b } , { a; c } và { b; c } .
+ Trư ng h p 4: ch n t p h p ch a 3 ph n t c a A có 1 cách, ñó là { a; b; c } .
V y có 1 + 3 + 3 + 1 = 8 cách ch n.
2. Quy t c nhân
i) N u m t quá trình (bài toán) ñư c th c hi n theo hai giai ño n (bư c) liên ti p nhau sao cho có m cách
th c hi n giai ño n th nh t, ñ ng th i ng v i m i cách ñó có n cách ñ th c hi n giai ño n th hai. Khi ñó
có mn cách th c hi n quá trình trên.
ii) N u m t quá trình (bài toán) ñư c th c hi n theo k giai ño n (bư c) liên ti p nhau sao cho có m1 cách
th c hi n giai ño n th nh t, v i m i cách ñó có m2 cách ñ th c hi n giai ño n th hai, …, có mk cách th c
hi n giai ño n th k. Khi ñó, toàn b quá trình có m1.m2…mk cách th c hi n.
Ví d 5. T các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 l p ñư c m y s t nhiên có 3 ch s phân bi t.
Gi i
+ Bư c 1: ch n ch s hàng trăm có 7 cách (tr ch s 0).
+ Bư c 2: ch n ch s hàng ch c có 7 cách (tr ch s ñã ch n hàng trăm).
+ Bư c 3: ch n ch s ñơn v có 6 cách (tr 2 ch s ñã ch n).
V y có 7.7.6 = 294 s .
Ví d 6. S 12000 có bao nhiêu ư c s t nhiên.
Gi i
Ta có 12000 = 22.3.103 = 25.3.53 .
Suy ra ư c s c a 12000 có d ng 2m.3n.5k v i
m ∈ { 0; 1; 2; 3; 4; 5 } , n ∈ { 0; 1 } và k ∈ { 0; 1; 2; 3 } .
+ Bư c 1: ch n m có 6 cách.
+ Bư c 2: v i m i cách ch n m có 2 cách ch n n.
+ Bư c 3: v i m i cách ch n m và n có 4 cách ch n k.
V y có 6.2.4 = 48 ư c s .
1
- Ví d 7. T các ph n t c a X = { 0; 1; 2; 3; 4; 5 } có th l p ñư c bao nhiêu s t nhiên ch n g m 3
ch s khác nhau.
Gi i
G i A = a1a 2a 3 v i a 1 ≠ 0 và a 1, a 2 , a 3 ∈ X là s c n l p.
+ Trư ng h p 1: A = a1a 2 0 (a 3 = 0) .
- Bư c 1: ch n a1 có 5 cách, ñó là a1 = 1 (ho c 2, 3, 4, 5).
- Bư c 2: ch n a2 có 4 cách (tr ch s 0 và ch s a1 ñã ch n).
Suy ra có 5.4 = 20 s A = a1a 2 0 .
+ Trư ng h p 2: A = a1a 2a 3 (a 3 ≠ 0) .
- Bư c 1: ch n a3 có 2 cách, ñó là a3 = 2 (ho c a3 = 4).
- Bư c 2: ch n a1 có 4 cách (tr ch s 0 và ch s a3 ñã ch n).
- Bư c 3: ch n a2 có 4 cách t 4 ch s còn l i.
Suy ra có 2.4.4 = 32 s A = a1a 2a 3 (a 3 ≠ 0) .
V y có 20 + 32 = 52 s .
Ví d 8. T các ph n t c a X = { 0; 2; 3; 6; 9 } có th l p ñư c bao nhiêu s t nhiên ch n g m 5 ch s
khác nhau.
Gi i
G i A = a1a 2a 3a 4 a 5 v i a 1 ≠ 0 và a 1, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ∈ X là s c n l p.
+ Trư ng h p 1: a1 l .
- Bư c 1: do a 1 ∈ { 3; 9 } nên a1 có 2 cách ch n.
- Bư c 2: do a 5 ∈ { 0; 2; 6 } nên a5 có 3 cách ch n.
- Bư c 3: do a 2 ∈ X \ { a 1; a 5 } nên a2 có 3 cách ch n.
- Bư c 4: do a 3 ∈ X \ { a1; a 2 ; a 5 } nên a3 có 2 cách ch n.
- Bư c 5: do a 4 ∈ X \ { a1 ; a 2 ; a 3 ; a 5 } nên a4 có 1 cách ch n.
Suy ra có 2.3.3.2.1 = 36 s ñư c l p.
+ Trư ng h p 2: a1 ch n.
- Bư c 1: do a 1 ∈ { 2; 6 } nên a1 có 2 cách ch n.
- Bư c 2: do a 5 ∈ { 0; 2; 6 } \ { a1 } nên a5 có 2 cách ch n.
- Bư c 3: do a 2 ∈ X \ { a 1; a 5 } nên a2 có 3 cách ch n.
- Bư c 4: do a 3 ∈ X \ { a1; a 2 ; a 5 } nên a3 có 2 cách ch n.
- Bư c 5: do a 4 ∈ X \ { a1 ; a 2 ; a 3 ; a 5 } nên a4 có 1 cách ch n.
Suy ra có 2.2.3.2.1 = 24 s ñư c l p.
V y có 36 + 24 = 60 s .
Ví d 9. T các ch s 1, 2, 3 có th l p ñư c bao nhiêu s g m 2 ch s .
Gi i
G i A = a1a 2 v i a 1, a 2 không phân bi t là s c n l p.
+ Bư c 1: ch n 1 ch s ñ x p vào a1 có 3 cách.
+ Bư c 2: ch n 1 ch s ñ x p vào a2 có 3 cách (do các ch s không phân bi t).
V y có 3.3 = 9 s .
Ví d 10. C n s p x p 3 ngư i A, B, C lên 2 toa tàu (m i toa có th ch a ñư c 3 ngư i). H i có bao nhiêu
cách s p x p.
Gi i
+ Bư c 1: ngư i A có 2 s l a ch n toa tàu.
2
- + Bư c 2: v i m i cách ch n c a A thì ngư i B có 2 s l a ch n toa tàu.
+ Bư c 3: v i m i cách ch n c a A và B thì ngư i C có 2 s l a ch n toa tàu.
V y có 2.2.2 = 8 cách s p x p.
Cách gi i sai:
Toa tàu th nh t có 3 cách ch n ngư i, toa th hai có 3 cách ch n ngư i. Do ñó có 3.3 = 9 cách. Sai ch
là toa th nh t có nhi u cách ch n (không ch n ai c ho c ch n 1 ngư i, 2 ngư i, c 3 ngư i) ñ ng th i khi
ch n ngư i A thì toa th hai không th ch n ngư i A ñư c n a! C th các trư ng h p ñó là
Các trư ng h p
Toa 1 2 3 4 5 6 7 8
I ABC AB AC BC C B A
II ABC C B A AB AC BC
Nh n xét:
Ch dùng các quy t c ñ m, c ng và nhân thì ưu ñi m là ít sai sót nhưng như c ñi m là l i gi i dài dòng.
II. Hoán v – Ch nh h p – T h p
1. Hoán v
ð nh nghĩa
Cho t p h p X g m n ph n t phân bi t ( n ≥ 0 ) . M i cách s p x p n ph n t c a X theo m t th t nào ñó
ñư c g i là m t hoán v c a n ph n t . S các hoán v c a n ph n t ñư c ký hi u là Pn.
Pn = n ! = 1.2...n . Quy ư c: 0! = 1.
Ví d 11. S p x p 5 ngư i vào m t băng gh có 5 ch . H i có bao nhiêu cách.
Gi i
M i cách ñ i ch 1 trong 5 ngư i trên băng gh là 1 hoán v .
V y có P5 = 5! = 120 cách s p.
Ví d 12. T các ch s 0, 1, 2, 3, 4 có th l p ñư c m y s t nhiên có 5 ch s khác nhau.
Gi i
G i A = a1a 2a 3a 4 a 5 v i a 1 ≠ 0 và a 1, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 phân bi t là s c n l p.
+ Bư c 1: ch s a 1 ≠ 0 nên có 4 cách ch n a1.
+ Bư c 2: s p 4 ch s còn l i vào 4 v trí có 4! = 24 cách.
V y có 4.24 = 96 s .
2. Ch nh h p
ð nh nghĩa
Cho t p h p X g m n ph n t phân bi t ( n ≥ 0 ) . M i cách ch n ra k ( 0 ≤ k ≤ n ) ph n t c a X và s p
x p theo m t th t nào ñó ñư c g i là m t ch nh h p ch p k c a n ph n t . S các ch nh h p ch p k c a n
ph n t ñư c ký hi u là Ak .
n
n!
Ak = .
n
(n − k)!
Nh n xét:
A n = n ! = Pn .
n
Ví d 13. S p x p 5 ngư i vào m t băng gh có 7 ch . H i có bao nhiêu cách.
3
- Gi i
M i cách ch n ra 5 ch ng i t băng gh ñ s p 5 ngư i vào và có hoán v là m t ch nh h p ch p 5 c a 7.
7!
V y có A5 = = 2520 cách s p.
7
(7 − 5)!
Ví d 14. T t p h p X = { 0; 1; 2; 3; 4; 5 } có th l p ñư c m y s t nhiên có 4 ch s khác nhau.
Gi i
G i A = a1a 2a 3a 4 v i a 1 ≠ 0 và a 1, a 2 , a 3 , a 4 phân bi t là s c n l p.
+ Bư c 1: ch s a 1 ≠ 0 nên có 5 cách ch n a1.
3
+ Bư c 2: ch n 3 trong 5 ch s còn l i ñ s p vào 3 v trí A5 cách.
V y có 5A5 = 300 s .
3
3. T h p
ð nh nghĩa
Cho t p h p X g m n ph n t phân bi t ( n ≥ 0 ) . M i cách ch n ra k ( 0 ≤ k ≤ n ) ph n t c a X ñư c
g i là m t t h p ch p k c a n ph n t . S các t h p ch p k c a n ph n t ñư c ký hi u là Ck .
n
n!
Ck = .
n
k !(n − k)!
Ví d 15. Có 10 cu n sách toán khác nhau. Ch n ra 4 cu n, h i có bao nhiêu cách.
Gi i
M i cách ch n ra 4 trong 10 cu n sách là m t t h p ch p 4 c a 10.
V y có C10 = 210 cách ch n.
4
Ví d 16. M t nhóm có 5 nam và 3 n . Ch n ra 3 ngư i sao cho trong ñó có ít nh t 1 n . H i có bao nhiêu
cách.
Gi i
+ Trư ng h p 1: ch n 1 n và 2 nam.
- Bư c 1: ch n ra 1 trong 3 n có 3 cách.
- Bư c 2: ch n ra 2 trong 5 nam có C2 .
5
Suy ra có 3C2 cách ch n.
5
+ Trư ng h p 2: ch n 2 n và 1 nam.
- Bư c 1: ch n ra 2 trong 3 n có C2 cách.
3
- Bư c 2: ch n ra 1 trong 5 nam có 5.
Suy ra có 5C2 cách ch n.
3
+ Trư ng h p 3: ch n 3 n có 1 cách.
V y có 3C2 + 5C2 + 1 = 46 cách ch n.
5 3
Ví d 17. H i có th l p ñư c bao nhiêu s t nhiên có 4 ch s sao cho trong m i s ñó, ch s hàng ngàn
l n hơn hàng trăm, ch s hàng trăm l n hơn hàng ch c và ch s hàng ch c l n hơn hàng ñơn v .
Gi i
G i A = a1a 2a 3a 4 v i 9 ≥ a 1 > a 2 > a 3 > a 4 ≥ 0 là s c n l p.
X = { 0; 1; 2; ...; 8; 9 } .
T 10 ph n t c a X ta ch n ra 4 ph n t b t kỳ thì ch l p ñư c 1 s A. Nghĩa là không có hoán v hay là
m t t h p ch p 4 c a 10.
V y có C10 = 210 s .
4
4
- Nh n xét:
i/ ði u ki n ñ x y ra hoán v , ch nh h p và t h p là n ph n t ph i phân bi t.
ii/ Ch nh h p và t h p khác nhau ch là sau khi ch n ra k trong n ph n t thì ch nh h p có s p th t còn
t h p thì không.
4. Phương pháp gi i toán
4.1. Phương pháp 1.
Bư c 1. ð c k các yêu c u và s li u c a ñ bài. Phân bài toán ra các trư ng h p, trong m i trư ng h p l i
phân thành các giai ño n.
Bư c 2. Tùy t ng giai ño n c th và gi thi t bài toán ñ s d ng quy t c c ng, nhân, hoán v , ch nh h p
hay t h p.
Bư c 3. ðáp án là t ng k t qu c a các trư ng h p trên.
Ví d 18. M t nhóm công nhân g m 15 nam và 5 n . Ngư i ta mu n ch n t nhóm ra 5 ngư i ñ l p thành
m t t công tác sao cho ph i có 1 t trư ng nam, 1 t phó nam và có ít nh t 1 n . H i có bao nhiêu cách l p
t công tác.
Gi i
+ Trư ng h p 1: ch n 1 n và 4 nam.
- Bư c 1: ch n 1 trong 5 n có 5 cách.
2
- Bư c 2: ch n 2 trong 15 nam làm t trư ng và t phó có A15 cách.
2
- Bư c 3: ch n 2 trong 13 nam còn l i có C13 cách.
2 2
Suy ra có 5A15 .C13 cách ch n cho trư ng h p 1.
+ Trư ng h p 2: ch n 2 n và 3 nam.
- Bư c 1: ch n 2 trong 5 n có C2 cách.
5
2
- Bư c 2: ch n 2 trong 15 nam làm t trư ng và t phó có A15 cách.
- Bư c 3: ch n 1 trong 13 nam còn l i có 13 cách.
Suy ra có 13A15 .C2 cách ch n cho trư ng h p 2.
2
5
+ Trư ng h p 3: ch n 3 n và 2 nam.
3
- Bư c 1: ch n 3 trong 5 n có C5 cách.
2
- Bư c 2: ch n 2 trong 15 nam làm t trư ng và t phó có A15 cách.
2 3
Suy ra có A15 .C5 cách ch n cho trư ng h p 3.
V y có 5A15 .C13 + 13A15 .C2 + A15 .C5 = 111300 cách.
2 2 2
5
2 3
Cách khác:
2
+ Bư c 1: ch n 2 trong 15 nam làm t trư ng và t phó có A15 cách.
+ Bư c 2: ch n 3 t viên, trong ñó có n .
2
- Trư ng h p 1: ch n 1 n và 2 nam có 5.C13 cách.
- Trư ng h p 2: ch n 2 n và 1 nam có 13.C2 cách.
5
3
- Trư ng h p 3: ch n 3 n có C5 cách.
V y có A15 ( 5.C13 + 13.C2 + C5 ) = 111300 cách.
2 2
5
3
4.2. Phương pháp 2.
ð i v i nhi u bài toán, phương pháp 1 r t dài. Do ñó ta s d ng phương pháp lo i tr (ph n bù) theo phép
toán A ∪ A = X ⇒ A = X \ A .
Bư c 1: chia yêu c u c a ñ thành 2 ph n là yêu c u chung X (t ng quát) g i là lo i 1 và yêu c u riêng A.
Xét A là ph ñ nh c a A, nghĩa là không th a yêu c u riêng g i là lo i 2.
5
- Bư c 2: tính s cách ch n lo i 1 và lo i 2.
Bư c 3: ñáp án là s cách ch n lo i 1 tr s cách ch n lo i 2.
Chú ý:
Cách phân lo i 1 và lo i 2 có tính tương ñ i, ph thu c vào ch quan c a ngư i gi i.
Ví d 19. T các ch s 0, 1, 2, 3, 4 có th l p ñư c m y s t nhiên có 5 ch s khác nhau.
Gi i
+ Lo i 1: ch s a1 tùy ý, ta có 5! = 120 s .
+ Lo i 2: ch s a1 = 0, ta có 4! = 24 s .
V y có 120 – 24 = 96 s .
Ví d 20. M t nhóm có 7 nam và 6 n . Ch n ra 3 ngư i sao cho trong ñó có ít nh t 1 n . H i có bao nhiêu
cách.
Gi i
3
+ Lo i 1: ch n 3 ngư i tùy ý trong 13 ngư i có C13 cách.
3
+ Lo i 2: ch n 3 nam (không có n ) trong 7 nam có C7 cách.
V y có C13 − C7 = 251 cách ch n.
3 3
Ví d 21. T 20 câu h i tr c nghi m g m 9 câu d , 7 câu trung bình và 4 câu khó ngư i ta ch n ra 10 câu
ñ làm ñ ki m tra sao cho ph i có ñ c 3 lo i d , trung bình và khó. H i có th l p ñư c bao nhiêu ñ
ki m tra.
Gi i
+ Lo i 1: ch n 10 câu tùy ý trong 20 câu có C10 cách.
20
+ Lo i 2: ch n 10 câu có không quá 2 trong 3 lo i d , trung bình và khó.
- Trư ng h p 1: ch n 10 câu d và trung bình trong 16 câu có C10 cách.
16
- Trư ng h p 2: ch n 10 câu d và khó trong 13 câu có C10 cách.
13
- Trư ng h p 3: ch n 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có C10 cách.
11
V y có C20 − ( C16 + C13 + C11 ) = 176451 ñ ki m tra.
10 10 10 10
Chú ý:
Gi i b ng phương pháp ph n bù có ưu ñi m là ng n tuy nhiên như c ñi m là thư ng sai sót khi tính s
lư ng t ng lo i.
Ví d 22. T 20 câu h i tr c nghi m g m 9 câu d , 7 câu trung bình và 4 câu khó ngư i ta ch n ra 7 câu ñ
làm ñ ki m tra sao cho ph i có ñ c 3 lo i d , trung bình và khó. H i có th l p ñư c bao nhiêu ñ ki m
tra.
Cách gi i sai:
7
+ Lo i 1: ch n 7 câu tùy ý trong 20 câu có C20 cách.
+ Lo i 2: ch n 7 câu không th a yêu c u.
- Trư ng h p 1: ch n 7 câu d trong 9 câu có C7 cách.
9
- Trư ng h p 2: ch n 7 câu trung bình có 1 cách.
7
- Trư ng h p 3: ch n 7 câu d và trung bình trong 16 câu có C16 cách.
7
- Trư ng h p 4: ch n 7 câu d và khó trong 13 câu có C13 cách.
7
- Trư ng h p 5: ch n 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có C11 cách.
V y có C20 − ( 1 + C9 + C16 + C13 + C11 ) = 63997 ñ ki m tra!
7 7 7 7 7
Sai sót trong cách tính s ñ lo i 2. Ch ng h n, khi tính s ñ trong trư ng h p 3 ta ñã tính l p l i trư ng
h p 1 và trư ng h p 2.
6
- Cách gi i sai khác:
7
+ Lo i 1: ch n 7 câu tùy ý trong 20 câu có C20 cách.
+ Lo i 2: ch n 7 câu không th a yêu c u.
7
- Trư ng h p 1: ch n 7 câu d ho c trung bình trong 16 câu có C16 cách.
7
- Trư ng h p 2: ch n 7 câu d ho c khó trong 13 câu có C13 cách.
7
- Trư ng h p 3: ch n 7 câu trung bình ho c khó trong 11 câu có C11 cách.
V y có C20 − ( C16 + C13 + C11 ) = 64034 ñ ki m tra.
7 7 7 7
Sai sót do ta ñã tính l p l i s cách ch n ñ ch có 7 câu d và ñ ch có 7 câu trung bình trong trư ng h p 1
và trư ng h p 2.
Cách gi i ñúng:
7
+ Lo i 1: ch n 7 câu tùy ý trong 20 câu có C20 cách.
+ Lo i 2: ch n 7 câu không th a yêu c u.
7
- Trư ng h p 1: ch n 7 câu d ho c trung bình trong 16 câu có C16 cách.
- Trư ng h p 2: ch n 7 câu d và khó trong 13 câu có C13 − C7 cách.
7
9
- Trư ng h p 3: ch n 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có C11 − 1 cách.
7
V y có C20 − ( C16 + C13 − C9 + C11 − 1 ) = 64071 ñ ki m tra.
7 7 7 7 7
Ví d 23. H i ñ ng qu n tr c a m t công ty g m 12 ngư i, trong ñó có 5 n . T h i ñ ng qu n tr ñó ngư i
ta b u ra 1 ch t ch h i ñ ng qu n tr , 1 phó ch t ch h i ñ ng qu n tr và 2 y viên. H i có m y cách b u
sao cho trong 4 ngư i ñư c b u ph i có n .
Gi i
+ Lo i 1: b u 4 ngư i tùy ý (không phân bi t nam, n ).
2
- Bư c 1: b u ch t ch và phó ch t ch có A12 cách.
2
- Bư c 2: b u 2 y viên có C10 cách.
2 2
Suy ra có A12 .C10 cách b u lo i 1.
+ Lo i 2: b u 4 ngư i toàn nam.
- Bư c 1: b u ch t ch và phó ch t ch có A2 cách.
7
2
- Bư c 2: b u 2 y viên có C5 cách.
Suy ra có A2 .C2 cách b u lo i 2.
7 5
V y có A12 .C10 − A2 .C2 = 5520 cách.
2 2
7 5
5. Hoán v l p (tham kh o)
Cho t p h p X có n ph n t g m n1 ph n t gi ng nhau, n2 ph n t khác l i gi ng nhau, …, nk ph n t khác
n a l i gi ng nhau ( n1 + n2 + ... + n k = n ) . M i cách s p n ph n t này vào n v trí là m t hoán v l p, s
n!
hoán v l p là .
n1 ! n2 !...n k !
Ví d 24. T các ch s 1, 2, 3 l p ñư c bao nhiêu s t nhiên có ñúng 5 ch s 1, 2 ch s 2 và 3 ch s 3.
Gi i
Xem s c n l p có 10 ch s g m 5 ch s 1 gi ng nhau, 2 ch s 2 gi ng nhau và 3 ch s 3 gi ng nhau.
10 !
V y có = 2520 s .
5!2 ! 3!
Cách gi i thư ng dùng:
5
+ Bư c 1: ch n 5 trong 10 v trí ñ s p 5 ch s 1 có C10 cách.
+ Bư c 2: ch n 2 trong 5 v trí còn l i ñ s p 2 ch s 2 có C2 cách.
5
7
- + Bư c 3: s p 3 ch s 3 vào 3 v trí còn l i có 1 cách.
V y có C10 .C2 .1 = 2520 s .
5
5
CHƯƠNG II
NH TH C NEWTON
PHƯƠNG TRÌNH – H PHƯƠNG TRÌNH
A. TÓM T T GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁN
I. NH TH C NEWTON
ð nh nghĩa
Nh th c Newton là khai tri n t ng lũy th a có d ng:
( a + b )n = C0 a n + C1 a n −1b + C2 a n −2 b2 + ... + Cn a n − k bk + ... + Cn bn
n n n
k n
n
= ∑C a
k=0
k
n
n−k
bk (n = 0, 1, 2, ...) .
+ S h ng th k+1 là Tk +1 = Cn a n − k bk thư ng ñư c g i là s h ng t ng quát.
k
+ Các h s Ck ñư c tính theo công th c t h p ch p ho c d a vào tam giác Pascal sau ñây:
n
Ch ng h n:
C6 = 1, C1 = 6, C6 = 15, C6 = 20, C6 = 15, C6 = 6, C6 = 1 .
0
6
2 3 4 5 6
Tính ch t
i) Ck = Cn − k (0 ≤ k ≤ n) .
n
n
ii) Ck + Ck −1 = Ck +1 (1 ≤ k ≤ n) .
n n n
PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁN
1. Dùng ñ nh nghĩa và tính ch t ch ng minh ho c rút g n ñ ng th c
Ví d 1. Ch ng minh ñ ng th c:
Ck + 3Ck −1 + 3Ck −2 + Cn− 3 = Cn + 3 v i 3 ≤ k ≤ n .
n n n
k k
Gi i
Áp d ng tính ch t ta có:
8
- Ck + 3Cn−1 + 3Cn−2 + Cn−3 = ( Ck + Ck−1 ) + 2 ( Ck −1 + Ck−2 ) + ( Ck −2 + Cn− 3 )
n
k k k
n n n n n
k
= Ck +1 + 2Ck −1 + Ck−2 = ( Cn +1 + Cn−1 ) + ( Cn−1 + Cn−2 )
n n +1 n +1
k k
+1
k
+1
k
+1
= Cn + 2 + C n + 2 = Cn + 3 .
k k −1 k
Ví d 2. Tính t ng S = C14 − C15 + C16 − ... − C29 + C30 .
30 30 30 30
30
Gi i
Áp d ng tính ch t ta có:
S = ( C13 + C14 ) − ( C14 + C15 ) + ( C15 + C16 ) − ... − ( C29 + C29 ) + C30 = C13 − C29 + C30 = C13 .
29 29 29 29 29 29
28 29 30
29 29 30 29
V y S = 67863915 .
Cách khác:
( 1 − 1 )30 = ( C0 − ... + C12 − C13 ) + ( C14 − ... − C29 + C30 )
30 30 30 30 30
30
⇒ ( C30 − ... + C18 − C17 ) + ( C14 − ... − C29 + C30 ) = 0
30 30 30 30 30
30
⇒ ( S − C16 + C15 − C14 ) + S = 0 ⇒ 2S = C16 − C15 + C14 = 2C14 − C15 .
30 30 30 30 30 30 30 30
2C30 − C30
14 15
V yS= = 67863915 .
2
Ví d 3. Rút g n t ng sau:
S = C2007C2006 + C1 C2005 + C2 C2004 + ... + C2007C2006 -k + ... + C2006C1 .
0
2007 2007 2006 2007 2005
k
2007 -k 2007
0
Gi i
Áp d ng công th c ta có:
2007 ! (2007 − k)! 2007 ! 2006!
C2007C2006 -k =
k
. = = 2007.
2007 -k
k ! ( 2007 − k ) ! (2006 − k)!1! k ! ( 2006 − k ) ! k ! ( 2006 − k ) !
= 2007C2006 v i ∀k = 0, 1, 2, ..., 2006 .
k
Suy ra S = 2007 ( C2006 + C1 + ... + C2006 + ... + C2006 ) = 2007 ( 1 + 1 )2006 .
0
2006
k
2006
V y S = 2007.22006 .
2. Khai tri n nh th c Newton
2.1. D ng khai tri n
D u hi u nh n bi t:
Các h s ñ ng trư c t h p và lũy th a là 1 ho c 1 và – 1 xen k nhau.
i) Khai tri n ( a + b )n ho c ( a − b )n .
ii) C ng ho c tr hai v c a 2 khai tri n trên.
Ví d 4. Tính t ng sau:
S = C2007 − 2C1 + 22 C2007 − 23 C2007 + ... + 22006 C2006 − 22007 C2007 .
0
2007
2 3
2007 2007
Gi i
Ta có khai tri n:
(1 − 2)2007 = C2007 − 2C1 + 22 C2007 − ... + 22006 C2007 − 22007 C2007 .
0
2007
2 2006 2007
V y S = −1 .
Ví d 5. Rút g n t ng sau:
S = C2007 + 32 C2 + 34 C2007 + ... + 32004 C2007 + 32006 C2007 .
0
2007
4 2004 2006
Gi i
Ta có các khai tri n:
(1 + 3)2007 = C2007 + 3C1 + 32 C2 + ... + 32006 C2006 + 32007 C2007 (1)
0
2007 2007 2007 2007
9
- (1 − 3)2007 = C2007 − 3C1 + 32 C2 − ... + 32006 C2007 − 32007 C2007 (2).
0
2007 2007
2006 2007
C ng (1) và (2) ta ñư c:
2 ( C2007 + 32 C2 + 34 C2007 + ... + 32006 C2007 ) = 42007 − 22007 .
0
2007
4 2006
V y S = 22006 ( 22007 − 1 ) .
Ví d 6. Rút g n t ng sau:
S = 32006.2C1 + 32004.23 C2007 + 32002.25 C2007 + ... + 22007 C2007 .
2007
3 5
2007
Gi i
Ta có các khai tri n:
(3 + 2)2007 = 32007 C2007 + 32006.2C1 + 32005.22 C2007 + ... + 3.22006 C2007 + 22007 C2007 (1)
0
2007
2 2006 2007
(3 − 2)2007 = 32007 C2007 − 32006.2C1 + 32005.22 C2 − ... + 3.22006 C2006 − 22007 C2007 (2).
0
2007 2007 2007
2007
Tr (1) và (2) ta ñư c:
2 ( 32006.2C1 + 32004.23 C2007 + 32002.25 C2007 + ... + 22007 C2007 ) = 52007 − 1 .
2007
3 5
2007
5 2007
−1
V yS= .
2
2.2. D ng ñ o hàm
2.2.1. ð o hàm c p 1
D u hi u nh n bi t:
Các h s ñ ng trư c t h p và lũy th a tăng d n t 1 ñ n n (ho c gi m d n t n ñ n 1) (không k d u).
Hai khai tri n thư ng dùng:
( 1 + x )n = C0 + C1 x + C2 x 2 + ... + Ck x k + ... + Cn x n (1).
n n n n n
( 1 − x ) = Cn − Cn x + Cn x − ... + ( −1 ) Cn x + ... + ( −1 )n Cn x n (2).
n 0 1 2 2 k k k n
i) ð o hàm 2 v c a (1) ho c (2).
ii) C ng ho c tr (1) và (2) sau khi ñã ñ o hàm r i thay s thích h p.
Ví d 7. Tính t ng sau:
S = C1 − 2.2C2 + 3.22 C3 − ... + 29.228 C29 − 30.229 C30 .
30 30 30 30 30
Gi i
Ta có khai tri n:
( 1 + x )30 = C0 + C1 x + C2 x 2 + ... + C29 x 29 + C30 x 30 (1).
30 30 30 30
30
ð o hàm 2 v c a (1) ta ñư c:
C1 + 2C2 x + ... + 29C29 x 28 + 30C30 x 29 = 30 ( 1 + x )29 (2).
30 30 30
30
Thay x = – 2 vào (2) ta ñư c:
C1 − 2.2C2 + 3.22 C3 − ... + 29.228 C29 − 30.229 C30 = 30 ( 1 − 2 )29 .
30 30 30 30 30
V y S = −30 .
Ví d 8. Rút g n t ng sau:
S = C1 + 3.22 C3 + 5.24 C5 + ... + 27.226 C27 + 29.228 C29 .
30 30 30 30 30
Gi i
Ta có khai tri n:
( 1 + x )30 = C0 + C1 x + C2 x 2 + ... + C29 x 29 + C30 x 30 (1).
30 30 30 30
30
ð o hàm 2 v c a (1) ta ñư c:
C1 + 2C2 x + ... + 29C29 x 28 + 30C30 x 29 = 30 ( 1 + x )29 (2).
30 30 30
30
Thay x = 2 và x = – 2 l n lư t vào (2) ta ñư c:
C1 + 2.2C2 + 3.22 C3 + ... + 29.228 C29 + 30.229 C30 = 30 ( 1 + 2 )29 (3)
30 30 30 30 30
C30 − 2.2C30 + 3.2 C30 − ... + 29.2 C30 − 30.2 C30 = 30 ( 1 − 2 )29 (4).
1 2 2 3 28 29 29 30
10
- C ng hai ñ ng th c (3) và (4) ta ñư c:
2 ( C1 + 3.22 C30 + 5.24 C5 + ... + 27.226 C27 + 29.228 C29 ) = 30 ( 329 − 1 )
30
3
30 30 30
V y S = 15 ( 329 − 1 ) .
Ví d 9. Rút g n t ng sau:
S = 2008C2007 + 2007C1 + 2006C2 + ... + 2C2006 + C2007 .
0
2007 2007 2007 2007
Gi i
Ta có khai tri n:
( x + 1 )2007 = C2007 x 2007 + C1 x 2006 + C2007 x 2005 + ... + C2007 x + C2007 (1).
0
2007
2 2006 2007
Nhân 2 v (1) v i x ta ñư c:
x ( x + 1 )2007 = C2007 x 2008 + C1 x 2007 + C2007 x 2006 + ... + C2007 x 2 + C2007 x (2).
0
2007
2 2006 2007
ð o hàm 2 v c a (2) ta ñư c:
2008C2007 x 2007 + 2007C1 x 2006 + 2006C2007 x 2005 + ... + 2C2007 x + C2007 = (1 + 2008x) ( x + 1 )2006 (3).
0
2007
2 2006 2007
Thay x = 1 vào (3) ta ñư c:
2008C2007 + 2007C1 + 2006C2 + ... + 2C2006 + C2007 = 2009.22006 .
0
2007 2007 2007 2007
V y S = 2009.2 . 2006
Cách khác:
Ta có khai tri n:
( x + 1 )2007 = C2007 x 2007 + C1 x 2006 + C2007 x 2005 + ... + C2007 x + C2007 (1).
0
2007
2 2006 2007
ð o hàm 2 v c a (1) ta ñư c:
2007C2007 x2006 + 2006C1 x 2005 + 2005C2007 x 2004 + ... + 2C2007 x + C2007 = 2007 ( x + 1 )2006 (2).
0
2007
2 2005 2006
Thay x = 1 vào (1) và (2) ta ñư c:
C2007 + C1 + C2 + ... + C2006 + C2007 = 22007 (3).
0
2007 2007 2007 2007
2007C2007 + 2006C2007 + 2005C2007 + ... + C2006 = 2007.22006 (4).
0 1 2
2007
C ng (3) và (4) ta ñư c:
2008C2007 + 2007C1 + 2006C2 + ... + 2C2006 + C2007 = 2009.22006 .
0
2007 2007 2007 2007
V y S = 2009.2 . 2006
Ví d 10. Cho t ng sau:
S = 2C0 + 3C1 + 4C2 + ... + (n + 1)Cn −1 + (n + 2)Cn , v i n ∈ Z+ .
n n n
n
n
Tính n, bi t S = 320 .
Gi i
Ta có khai tri n:
( 1 + x )n = C0 + C1 x + C2 x 2 + ... + Cn −1 x n −1 + Cn x n (1).
n n n n n
2
Nhân 2 v (1) v i x ta ñư c:
C0 x 2 + C1 x 3 + C2 x 4 + ... + Cn −1x n +1 + Cn x n + 2 = x 2 ( 1 + x )n (2).
n n n
n n
ð o hàm 2 v c a (2) ta ñư c:
2C0 x + 3C1 x 2 + 4C2 x 3 + ... + (n + 1)Cn −1x n + (n + 2)Cn x n +1 = 2x ( 1 + x )n + nx 2 (1 + x)n −1 (3).
n n n
n n
Thay x = 1 vào (3) ta ñư c:
2C0 + 3C1 + 4C2 + ... + (n + 1)Cn −1 + (n + 2)Cn = (4 + n).2n −1 .
n n n
n
n
S = 320 ⇔ (4 + n).2 n −1
= 320 .
V y n = 6.
Cách khác:
Ta có khai tri n:
( 1 + x )n = C0 + C1 x + C2 x 2 + ... + Cn −1 x n −1 + Cn x n (1).
n n n n n
ð o hàm 2 v c a (1) ta ñư c:
C1 + 2C2 x + 3Cn x 2 + ... + nCn x n −1 = n ( 1 + x )n −1 (2).
n n
3 n
Thay x = 1 vào (1) và (2) ta ñư c:
11
- C0 + C1 + C2 + C3 + ... + Cn −1 + Cn = 2n (3).
n n n n n
n
C1 + 2C2 + 3Cn + ... + (n − 1)Cn −1 + nCn = n.2n −1 (4).
n n
3 n n
Nhân (3) v i 2 r i c ng v i (4) ta ñư c:
2C0 + 3C1 + 4C2 + ... + (n + 1)Cn −1 + (n + 2)Cn = (4 + n).2n −1 .
n n n
n
n
S = 320 ⇔ (4 + n).2 n −1
= 320 .
V y n = 6.
2.2.2. ð o hàm c p 2
D u hi u nh n bi t:
Các h s ñ ng trư c t h p và lũy th a tăng (gi m) d n t 1.2 ñ n (n–1).n ho c tăng (gi m) d n t 12 ñ n
n2 (không k d u).
Xét khai tri n:
( 1 + x )n = C0 + C1 x + C2 x 2 + Cn x 3 + ... + Cn −1x n −1 + Cn x n (1).
n n n
3
n
n
ð o hàm 2 v c a (1) ta ñư c:
C1 + 2C2 x + 3Cn x 2 + 4Cn x 3 + ... + nCn x n −1 = n ( 1 + x )n −1 (2).
n n
3 4 n
i) Ti p t c ñ o hàm 2 v c a (2) ta ñư c:
1.2C2 + 2.3Cn x + 3.4Cn x 2 + ... + (n − 1)nCn x n −2 = n(n − 1)(1 + x)n −2 (3).
n
3 4 n
ii) Nhân x vào 2 v c a (2) ta ñư c:
C1 x + 2C2 x 2 + 3Cn x 3 + 4Cn x 4 + ... + nCn x n = nx ( 1 + x )n −1 (4).
n n
3 4 n
ð o hàm 2 v c a (4) ta ñư c:
12 C1 + 22 C2 x + 32 C3 x 2 + ... + n2Cn x n −1 = n(1 + nx)(1 + x)n −2 (5).
n n n n
Ví d 11. Tính t ng sau:
S = 1.2C16 − 2.3C16 + 3.4C16 − ... − 14.15C16 + 15.16C16 .
2 3 4 15
16
Gi i
Ta có khai tri n:
( 1 + x )16 = C16 + C1 x + C16 x 2 + C16 x 3 + ... + C16 x15 + C16 x16 (1).
0
16
2 3 15 16
ð o hàm 2 v c a (1) ta ñư c
C1 + 2C16 x + 3C16 x 2 + ... + 15C15 x14 + 16C16 x15 = 16 ( 1 + x )15 (2).
16
2 3
16 16
ð o hàm 2 v c a (2) ta ñư c:
1.2C16 + 2.3C16 x + 3.4C16 x 2 + ... + 15.16C16 x14 = 240(1 + x)14 (3).
2 3 4
16
Thay x = – 1 vào ñ ng th c (3) ta ñư c:
1.2C16 − 2.3C16 + 3.4C16 − ... − 14.15C15 + 15.16C16 = 0 .
2 3 4
16 16
V y S = 0.
Ví d 12. Rút g n t ng sau:
S = 12 C1 + 22 C2007 + 32 C2007 + ... + 20062 C2007 + 20072 C2007 .
2007
2 3 2006 2007
Gi i
Ta có khai tri n:
( 1 + x )2007 = C2007 + C1 x + C2 x 2 + ... + C2006 x 2006 + C2007 x 2007 (1).
0
2007 2007 2007 2007
ð o hàm 2 v c a (1) ta ñư c:
C1 + 2C2007 x + 3C2007 x 2 + ... + 2007C2007 x 2006 = 2007 ( 1 + x )2006 (2).
2007
2 3
2007
Nhân x vào 2 v c a (2) ta ñư c:
C1 x + 2C2 x 2 + 3C2007 x 3 + ... + 2006C2007 x 2006 + 2007C2007 x 2007 = 2007x ( 1 + x )2006 (3).
2007 2007
3 2006
2007
ð o hàm 2 v c a (3) ta ñư c:
12 C1 + 22 C2007 x + 32 C2007 x 2 + ... + 20062 C2006 x 2005 + 20072 C2007 x 2006
2007
2 3
2007
2007
= 2007(1 + 2007x)(1 + x)2005 (4).
Thay x = 1 vào ñ ng th c (4) ta ñư c
12
- 12 C1 + 22 C2007 + 32 C2007 + ... + 20072 C2007 = 2007.2008.22005 .
2007
2 3
2007
V y S = 2007.2008.2 . 2005
2.3. D ng tích phân
D u hi u nh n bi t:
1 1
Các h s ñ ng trư c t h p (và lũy th a) gi m d n t 1 ñ n ho c tăng d n t ñ n 1.
n +1 n +1
Xét khai tri n:
( 1 + x )n = C0 + C1 x + C2 x 2 + ... + Cn −1 x n −1 + Cn x n (1).
n n n n n
L y tích phân 2 v c a (1) t a ñ n b ta ñư c:
b b b b b
∫ (1 + x ) dx = C ∫ dx + C ∫ xdx + ... + C ∫ x n −1 n −1
dx + C ∫ x dx
n 0 1 n n
n n n n
a a a a a
n +1 b 2 b b
(1 + x ) x b
x x n b
n x
n +1
⇒ = C0 + C1 + ... + Cn −1
n
+ Cn
n +1 a a
n
a 1 n
2 n a n +1 a
b−a 0 b −a 1
2 2
bn − a n n −1 b −a
n +1 n +1
(1 + b)n +1 − (1 + a)n +1
⇒ Cn + Cn + ... + Cn + Cn =
n
.
1 2 n n +1 n +1
Trong th c hành, ta d dàng nh n bi t giá tr c a n. ð nh n bi t 2 c n a và b ta nhìn vào s h ng
b n +1 − a n + 1 n
Cn .
n +1
Ví d 13. Rút g n t ng sau:
32 − 22 1 3 3 − 2 3 2 39 − 29 8 310 − 210 9
S = C9 +
0
C9 + C9 + ... + C9 + C9 .
2 3 9 10
Gi i
Ta có khai tri n:
( 1 + x )9 = C9 + C1 x + C2 x 2 + ... + C9 x 8 + C9 x 9
0
9 9
8
9
3 3 3 3 3
⇒ ∫ ( 1 + x )9 dx = C9
0
∫ dx + C ∫ xdx + ... + C ∫ x dx + C ∫ x dx
1
9
8
9
8 9
9
9
2 2 2 2 2
10 3 2 3 3 3 9 3 3
(1 + x ) x x
3
x 8 x x10
⇒ =C + C1
0
9 9 + C2 9 + ... + C9 + C9 9
10 2
12 2 2 3 2 9 2 10 2
4 −3
10 10
3 −2 1
2 2
3 −2 8 3 −2
9 9 10 10
⇒ = C9 +
0
C9 + ... + C9 + 9
C9 .
10 2 9 10
410 − 310
V yS= .
10
Ví d 14. Rút g n t ng sau:
22 23 24 3 2n n 2 n +1 n
S = 2C0 + C1 + C2 + Cn + ... + Cn −1 + C .
n
2 n
3 n
4 n n +1 n
Gi i
Ta có khai tri n:
( 1 + x )n = C0 + C1 x + C2 x 2 + C3 x 3 + ... + Cn −1x n −1 + Cn x n
n n n n
n n
2 2 2 2 2
⇒ ∫ (1 + x ) dx = C ∫ dx + C ∫ xdx + C ∫ x dx + ... + C ∫ x dx
n 0 1 2 2 n n
n n n n
0 0 0 0 0
n +1 2 2 2 2
(1 + x ) x 2
x n 2
x x n +1
⇒ = C0 + C1 + ... + Cn −1 + Cn
n +1 0
n
1 0
n
2 0
n
n 0
n
n +1 0
13
- 22 1 23 2 2n 2n +1 n 3 n +1 − 1
⇒ 2C0 + Cn + Cn + ... + Cn −1 + Cn = .
n
2 3 n n n +1 n +1
3 n +1 − 1
V yS= .
n +1
Ví d 15. Rút g n t ng sau:
22 − 1 1 23 + 1 2 2100 − 1 99 2101 + 1 100
S = 3C100 +
0
C100 + C100 + ... + C100 + C100 .
2 3 100 101
Gi i
Ta có khai tri n:
( 1 + x )100 = C100 + C1 x + C100 x 2 + ... + C100 x 99 + C100 x100
0
100
2 99
100
2 2 2 2 2
⇒ ∫ (1 + x ) dx = C ∫ dx + C ∫ xdx + ... + C ∫ x dx + C ∫x
100 0 1 99 99 100 100
100 100 100 100 dx .
−1 −1 −1 −1 −1
2 2 2 2
( 1 + x )101 x2 x2 99 x
100
x101
⇒ = C100
+ C1
0
100 + ... + C100 + C100
100
101 −1
1 −1 2 −1 100 −1 101 −1
3101
2 −1 1
2
2 − 1 99
100
2 + 1 100
101
⇒ = 3C100 +
0
C100 + ... + C100 + C100 .
101 2 100 101
3101
V yS= .
101
3. Tìm s h ng trong khai tri n nh th c Newton
3.1. D ng tìm s h ng th k
S h ng th k trong khai tri n (a + b)n là Ck −1a n −(k −1)bk −1 .
n
Ví d 16. Tìm s h ng th 21 trong khai tri n (2 − 3x)25 .
Gi i
S h ng th 21 là C25 2 (−3x)20 = 25.320 C25 x 20 .
20 5 20
3.2. D ng tìm s h ng ch a xm
+ S h ng t ng quát trong khai tri n (a + b)n là Ck a n −k bk = M(k).x f(k) (a, b ch a x).
n
+ Gi i phương trình f(k) = m ⇒ k 0 , s h ng c n tìm là:
Ck0 a n −k0 bk0 và h s c a s h ng ch a xm là M(k0).
n
Ví d 17. Tìm s h ng không ch a x trong khai tri n +
2 x (
x 4 18
. )
Gi i
S h ng t ng quát trong khai tri n
x 4 18
+
2 x ( )
= ( 2−1 x + 4x−1 ) là:
18
18 − k
C18 ( 2−1 x ) ( 4x−1 ) = C18 23k −18 x18−2k .
k k k
S h ng không ch a x ng v i 18 − 2k = 0 ⇔ k = 9 .
V y s h ng c n tìm là C18 29 .
9
Ví d 18. Tìm s h ng ch a x37 trong khai tri n ( x 2 − xy ) .
20
Gi i
S h ng t ng quát trong khai tri n ( x − xy ) là C20 (x 2 )20−k (−xy)k = (−1)k C20 x 40− k y k .
2 20 k k
14
- S h ng ch a x37 ng v i 40 − k = 37 ⇔ k = 3 .
V y s h ng c n tìm là −C20 x 37 y 3 = −1140x 37 y 3 .
3
Cách khác:
S h ng t ng quát trong khai tri n ( x 2 − xy ) = x 20 ( x − y )20 là:
20
x 20C20 x 20− k (−y)k = (−1)k x20C20 x 20−k y k .
k k
S h ng ch a x37 ng v i 20 − k = 17 ⇔ k = 3 .
V y s h ng c n tìm là −x 20C20 x17 y 3 = −1140x 37 y 3 .
3
Ví d 19. Tìm s h ng ch a x3 trong khai tri n ( 1 + x + x 2 ) .
10
Gi i
S h ng t ng quát trong khai tri n ( 1 + x + x ) = [ 1 + x ( 1 + x ) ]10 là C10 x k (1 + x)k .
2 10 k
Suy ra s h ng ch a x3 ng v i 2 ≤ k ≤ 3 .
+ V i k = 2: C10 x 2 (1 + x)2 = C10 (x 2 + 2x 3 + x 4 ) nên s h ng ch a x3 là 2C10 x 3 .
2 2 2
+ V i k = 3: C10 x 3 (1 + x)3 có s h ng ch a x3 là C10 x 3 .
3 3
V y s h ng c n tìm là ( C10 + 2C10 ) x 3 = 210x 3 .
3 2
Cách khác:
Ta có khai tri n c a ( 1 + x + x 2 ) = [ 1 + x ( 1 + x ) ]10 là:
10
C10 + C10 x(1 + x) + C10 x 2 (1 + x)2 + C10 x 3 (1 + x)3 + ... + C10 x10 (1 + x)10 .
0 1 2 3
10
S h ng ch a x ch có trong C10 x (1 + x) và C10 x (1 + x) .
3 2 2 2 3 3 3
+ C10 x 2 (1 + x)2 = C10 (x 2 + 2x 3 + x 4 ) ⇒ 2C10 x 3 .
2 2 2
+ C10 x 3 (1 + x)3 = C10 (x 3 + 3x 4 + 3x 5 + x 6 ) ⇒ C10 x 3 .
3 3 3
V y s h ng c n tìm là 2C10 x 3 + C10 x 3 = 210x 3 .
2 3
3.3. D ng tìm s h ng h u t
+ S h ng t ng quát trong khai tri n (a + b)n là:
m r
C a b = C .a b (a, b là vô t ).
k
n
n −k k k
n
p q
m
p ∈ℕ
+ Gi i h phương trình r
(k ∈ ℕ, 0 ≤ k ≤ n) ⇒ k 0 .
∈ℕ
q
k0 n −k0 k0
S h ng c n tìm là Cn a b .
( )
10
1
Ví d 20. Tìm s h ng h u t trong khai tri n +35 .
2
Gi i
1 1 10
1 + 2 2.5 3
( )
10 k k
S h ng t ng quát trong khai tri n
1
+ 5 =
3 là 1 Ck 2 2.5 3 .
2
2
32 10
S h ng h u t trong khai tri n th a ñi u ki n:
15
- k
∈ℕ
2 k = 0
( k ∈ ℕ, 0 ≤ k ≤ 10 ) ⇒
k k = 6.
∈ℕ
3
1 0 1
+ V i k = 0: s h ng h u t là C10 = .
32 32
1 6 3 2 2625
+ V i k = 6: s h ng h u t là C10 2 .5 = .
32 2
1 2625
V y s h ng c n tìm là và .
32 2
3.4. D ng tìm h s ch a xk trong t ng n s h ng ñ u tiên c a c p s nhân
T ng n s h ng ñ u tiên c a c p s nhân v i công b i q khác 1 là:
1 − qn
Sn = u1 + u2 + ... + u n = u1 .
1−q
Xét t ng S(x) = (1 + bx)m +1 + (1 + bx)m +2 + ... + (1 + bx)m + n như là t ng c a n s h ng ñ u tiên c a c p
s nhân v i u1 = (1 + bx)m +1 và công b i q = (1 + bx) .
Áp d ng công th c ta ñư c:
m +1 1 − (1 + bx)
n
(1 + bx)m + n +1 − (1 + bx)m +1
S(x) = (1 + bx) = .
1 − (1 + bx) bx
1
Suy ra h s c a s h ng ch a xk trong S(x) là nhân v i h s c a s h ng ch a x k +1 trong khai tri n:
b
(1 + bx)m + n +1 − (1 + bx)m +1 .
Ví d 21. Tìm h s c a s h ng ch a x4 trong khai tri n và rút g n t ng sau:
S(x) = ( 1 + x )4 + ( 1 + x )5 + ( 1 + x )6 + ... + ( 1 + x )15 .
Gi i
T ng S(x) có 15 – 4 + 1 = 12 s h ng nên ta có:
1 − (1 + x)12 (1 + x)16 − (1 + x)4
S(x) = (1 + x)4 = .
1 − (1 + x) x
Suy ra h s c a s h ng ch a x4 là h s c a s h ng ch a x5 trong (1 + x)16 .
V y h s c n tìm là C16 = 4368 .
5
Nh n xét:
B ng cách tính tr c ti p h s c a t ng s h ng trong t ng ta suy ra ñ ng th c:
C4 + C5 + C6 + ... + C15 = C16 .
4
4 4 4 5
Ví d 22*. Tìm h s c a s h ng ch a x2 trong khai tri n và rút g n t ng sau:
S(x) = ( 1 + x ) + 2 ( 1 + x )2 + ... + 99 ( 1 + x )99 + 100 ( 1 + x )100 .
Gi i
Ta có:
S(x) = ( 1 + x )[ 1 + 2 ( 1 + x ) + ... + 99 ( 1 + x )98 + 100 ( 1 + x )99 ] .
ð t:
f(x) = 1 + 2 ( 1 + x ) + 3 ( 1 + x )2 + ... + 99 ( 1 + x )98 + 100 ( 1 + x )99
F(x) = (1 + x) + ( 1 + x )2 + ( 1 + x )3 + ... + ( 1 + x )99 + ( 1 + x )100
⇒ S(x) = f(x) + xf(x) và F/ (x) = f(x) .
16
- Suy ra h s c a s h ng ch a x2 c a S(x) b ng t ng h s s h ng ch a x và x2 c a f(x), b ng t ng 2 l n h
s s h ng ch a x2 và 3 l n h s s h ng ch a x3 c a F(x).
T ng F(x) có 100 s h ng nên ta có:
1 − (1 + x)100 (1 + x)101 − (1 + x)
F(x) = (1 + x) = .
1 − (1 + x) x
+ H s s h ng ch a x2 c a F(x) là C101 .
3
+ H s s h ng ch a x3 c a F(x) là C101 .
4
V y h s c n tìm là 2C101 + 3C101 = 12582075 .
3 4
Nh n xét:
B ng cách tính tr c ti p h s c a t ng s h ng trong t ng ta suy ra ñ ng th c:
2C2 + 3C2 + 4C2 + ... + 99C2 + 100C100 = 2C101 + 3C101 .
2 3 4 99
2 3 4
Ví d 23*. Tìm h s c a s h ng ch a x trong khai tri n và rút g n t ng sau:
S(x) = ( 1 + x ) + 2 ( 1 + x )2 + ... + (n − 1) ( 1 + x )n−1 + n ( 1 + x )n .
Gi i
Ta có:
S(x) = ( 1 + x )[ 1 + 2 ( 1 + x ) + ... + (n − 1) ( 1 + x )n −2 + n ( 1 + x )n −1 ] .
ð t:
f(x) = 1 + 2 ( 1 + x ) + 3 ( 1 + x )2 + ... + (n − 1) ( 1 + x )n−2 + n ( 1 + x )n−1
F(x) = (1 + x) + ( 1 + x )2 + ( 1 + x )3 + ... + ( 1 + x )n −1 + ( 1 + x )n
⇒ S(x) = f(x) + xf(x) và F/ (x) = f(x) .
Suy ra h s c a s h ng ch a x c a S(x) b ng t ng h s s h ng không ch a x và ch a x c a f(x), b ng
t ng h s s h ng ch a x và 2 l n h s s h ng ch a x2 c a F(x).
T ng F(x) có n s h ng nên ta có:
1 − (1 + x)n (1 + x)n +1 − (1 + x)
F(x) = (1 + x) = .
1 − (1 + x) x
+ H s s h ng ch a x c a F(x) là C2 +1 .
n
2
+ H s s h ng ch a x c a F(x) là C3 +1 . n
n(n + 1)(2n + 1)
V y h s c n tìm là C2 +1 + 2C3 +1 =
n n .
6
Nh n xét:
B ng cách tính tr c ti p h s c a t ng s h ng trong t ng ta suy ra ñ ng th c:
n(n + 1)(2n + 1)
12 + 22 + 32 + ... + (n − 1)2 + n2 = .
6
3.5. D ng tìm h s l n nh t trong khai tri n Newton
Xét khai tri n (a + bx)n có s h ng t ng quát là Ck a n −k bk x k .
n
ð t u k = Cna n− k bk , 0 ≤ k ≤ n ta có dãy h s là { u k } . ð tìm s h ng l n nh t c a dãy ta th c hi n các
k
bư c sau:
u
Bư c 1: gi i b t phương trình k ≥ 1 ta tìm ñư c k0 và suy ra u k0 ≥ u k0 +1 ≥ ... ≥ u n .
u k +1
u
Bư c 2: gi i b t phương trình k ≤ 1 ta tìm ñư c k1 và suy ra u k1 ≥ u k1 −1 ≥ ... ≥ u 0 .
u k +1
Bư c 3: s h ng l n nh t c a dãy là max { u k0 , u k1 } .
17
- Chú ý:
ð ñơn gi n trong tính toán ta có th làm g n như sau:
u k ≥ u k +1
Gi i h b t phương trình
⇒ k 0 . Suy ra h s l n nh t là Ck0 a n−k0 bk0 .
u k ≥ u k −1
n
Ví d 24. Tìm h s l n nh t trong khai tri n ( 1 + 0,2x )17 .
Gi i
Khai tri n ( 1 + 0,2x ) có s h ng t ng quát là C17 (0,2)k x k .
17 k
Ta có:
17 ! 17 !
k
C17 (0,2) ≥ C17 (0, 2)
k k +1 k +1
5 k ! ( 17 − k ) ! ≥ (k + 1)! ( 16 − k ) !
⇔
k
C17 (0,2) ≥ C17 (0, 2)
k k −1 k −1
17 ! 17 !
( ≥5
k ! 17 − k ) !
(k − 1)! ( 18 − k ) !
5(k + 1) ≥ 17 − k
⇔ ⇔ 2 ≤ k ≤ 3.
18 − k ≥ 5k
+ V i k = 2: h s là C17 (0,2)2 = 5, 44 .
2
+ V i k = 3: h s là C17 (0,2)3 = 5, 44 .
3
V y h s l n nh t là 5,44.
Ví d 25. Tìm h s l n nh t trong khai tri n 1 + ( 2x 10
3 )
.
Gi i
( )
10
2x 1 1 k
Khai tri n 1 + = 10 ( 3 + 2x )10 có s h ng t ng quát là 10 C10 310−k2k x k .
3 3 3
Ta có:
10! 10!
C10 310− k2k ≥ C10+1 39− k2k +1
k k 3
k ! ( 10 − k ) ! ≥2
(k + 1)! ( 9 − k ) !
k 10− k k ⇔
C10 3 2 ≥ C10−1 311− k2k −1
k
10! 10!
2 ( ≥3
k ! 10 − k ) !
(k − 1)! ( 11 − k ) !
3(k + 1) ≥ 2(10 − k)
17 22
⇔ ⇔ ≤k≤ ⇒ k = 4.
2(11 − k) ≥ 3k
5 5
1 4 1120
V y h s l n nh t là 10 C10 3624 = .
3 27
II. PHƯƠNG TRÌNH – H PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp gi i toán
Bư c 1: ñ t ñi u ki n cho bài toán.
+ Px có ñi u ki n là x ∈ ℕ .
+ A y , Cy có ñi u ki n là x ∈ ℕ, y ∈ ℕ và 0 ≤ y ≤ x .
x x
Bư c 2: áp d ng công th c tính ñ ñưa bài toán v phương trình, h phương trình quen thu c.
Bư c 3: gi i phương trình, h phương trình r i d a vào ñi u ki n ñ ch n nghi m.
18
- Chú ý:
Do tính ch t ñ c bi t nghi m là s t nhiên nên ñôi khi ta ph i th và ñoán nghi m.
Ch ng h n:
x! = 1 ⇔ x = 0 ∨ x = 1.
(x − 5)(x − 4)(x − 3)(x − 2)x = 120 ( = 6 ! ) ⇔ x = 6 .
30
Ví d 26. Gi i phương trình A x −1 + 2Px −1 =
x +1 P.
7 x
Gi i
x ∈ ℕ
x ∈ ℕ
ði u ki n
⇔
.
x − 1 ≥ 0
x ≥ 1
Ta có:
30 (x + 1)! 30
A x −1 + 2Px −1 =
x +1 Px ⇔ + 2(x − 1)! = x!
7 2! 7
4
x =
⇔ 7(x − 1)! x(x + 1) + 28(x − 1)!− 60(x − 1)! x = 0 ⇔ 7x − 53x + 28 = 0 ⇔
2
7.
x = 7
So v i ñi u ki n ta ñư c nghi m là x = 7.
Ví d 27. Gi i phương trình:
Cx −10 + Cx −9 + Cx −8 + ... + Cx −2 + Cx −1 = 1023 .
x
x
x x x
Gi i
x ∈ ℕ
x ∈ ℕ
ði u ki n
⇔ .
x − 10 ≥ 0
x ≥ 10
Ta có:
Cx −10 + Cx −9 + Cx −8 + ... + Cx −2 + Cx −1 = 1023
x
x
x x x
⇔ Cx −10 + Cx −9 + Cx −8 + ... + Cx −2 + Cx −1 + Cx = (1 + 1)10 + Cx − 1 .
x
x
x x x x x
V y x = 10.
A y : Py−1 + Cx − y = 126
x
Ví d 28. Gi i h phương trình
x
.
Py +1 = 720
Gi i
x, y ∈ ℕ
x, y ∈ ℕ
ði u ki n 0 ≤ y ≤ x ⇔
.
1 ≤ y ≤ x
y − 1 ≥ 0
Ta có:
x! x!
A x : Py −1 + Cx = 126
x−y
y
( x − y ) !(y − 1)! + (x − y)! y ! = 126
⇔
Py +1 = 720
(y + 1)! = 6 !
x! x! 6.x !
( x − 5 ) ! 4 ! + (x − 5)! 5! = 126 ⇔ (x − 5)! 5! = 126 ⇔
x = 7
⇔ .
y = 5
y=5 y=5
19
nguon tai.lieu . vn
