Xem mẫu
- PP tìm GTLN và GTNN trong Đại số THCS
MỘT SỐ DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
TÌM GTLN VÀ GTNN TRONG ĐẠI SỐ THCS
A/ NỘI DUNG GỒM:
Dạng I: Các bài toán mà biểu thức là đa thức
Dạng II: Các bài toán mà biểu thức là phân thức
Dạng III: Các bài toán mà biểu thức là căn thức
Mỗi dạng gồm có:
- Các ví dụ
- Cách giải chung của các ví dụ
- Bài tập tự giải và kết quả của từng bài
B/ MỘT SỐ ĐIỀU CẦN GHI NHỚ:
Có nhiều phương pháp để giải bài toán tìm GTLN và GTNN của một hàm
số, một biểu thức. Một trong những phương pháp có hiệu quả là dùng bất đẳng
thức quen thuộc, nhưng cũng chính phương pháp này đã gây ra những sai l ầm,
nếu chúng ta không nắm vững bản chất của nó.
Khi dùng bất đẳng thức ta chứng minh được f ( x ) ≥ K hay f ( x ) ≤ K ( K là
một hằng số) thì không được kết luận vội vàng là K là GTLN (hay GTNN) c ủa
f ( x ) . Mà ta phải chứng tỏ rằng dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi nhận được giá trị
cụ thể, thỏa điều kiện của bài toán rồi mới kết luận.
C/ CÁC DẠNG TOÁN CỤ THỂ:
Dạng I: Các bài toán mà biểu thức là đa thức
1/ Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a / f ( x) = x 2 + 3x + 3 b / g ( x) = x( x − 5)
Giải
2
3 9 3 3 3
a / f ( x) = x + 3x + 3 = x + 2 x.. + + = x + +
2 2
2 4 4 2 4
2 2
3 3 3 3
Ta có x + ≥ 0, nên x + + ≥
2 2 4 4
2
3 3 3
Vậy: f(x) đạt GTNN bằng khi x + = 0 ⇔ x=−
4 4 2
Phạm Văn Tung-Trường THCS Chu Văn An-Đăk Hà-Kon Tum
1
- PP tìm GTLN và GTNN trong Đại số THCS
2
5 25
b / g ( x) = x( x − 5) = x − 5 x = x − −
2
2 4
2 2
5 5 25 25
Ta có x − ≥ 0, nên x − − ≥ −
2 2 4 4
2
25 5 5
Vậy: g(x) đạt GTNN bằng − khi x − = 0 ⇔ x=
4 2 2
Cách giải chung của bài toán trên là:
Ta biến đổi đa thức đã cho về dạng: [ h( x ) ] 2 + a trong đá a là một hằng số.
Vì [ h( x ) ] 2 ≥ 0 nên [ h( x ) ] 2 + a ≥ a . Do đó GTNN của biểu thức đã cho bằng a khi h(x)
=0.
Ví dụ 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau:
a / f ( x) = − x 2 − 2 x + 14 b / g ( x) = x − x 2
Giải
a / f ( x) = − x − 2 x + 14 = −( x + 1) + 15
2 2
Ta có ( x + 1) 2 ≥ 0 nên − ( x + 1) 2 ≤ 0 ⇒ − ( x + 1) + 15 ≤ 15
2
Vậy: f(x) đạt GTLN bằng 15 khi ( x + 1) 2 = 0 ⇔ x = −1
2
1 1
b / g ( x) = x − x 2 = − x − +
2 4
2 2 2
1 1 1 1 1
Ta có x − ≥ 0 nên − x − ≤ 0 ⇒ − x − + ≤
2 2 2 4 4
2
1 1 1
Vậy: g(x) đạt GTLN bằng khi x − = 0 ⇔ x =
4 2 2
Cách giải chung của bài toán trên là:
Ta biến đổi đa thức đã cho về dạng: − [ h( x ) ] 2 + a trong đá a là một hằng số.
Vì [ h( x ) ] 2 ≥ 0 nên − [ h( x ) ] 2 + a ≤ a . Do đó GTLN của biểu thức đã cho bằng a khi h(x)
=0.
2/ Bài tập tự giải:
Bài tập 1: Tìm GTLN của các biểu thức sau: f ( x ) = −2 x 2 + 3 x + 1
17 3
Đáp số: f(x) đạt GTLN bằng khi x =
8 4
Phạm Văn Tung-Trường THCS Chu Văn An-Đăk Hà-Kon Tum
2
- PP tìm GTLN và GTNN trong Đại số THCS
1 x
Bài tập2 : Tìm GTNN của các biểu thức sau: g ( x) = x 2 − − 1
4 6
37 1
Đáp số: g(x) đạt GTNN bằng − khi x =
36 3
Bài tập 3: a/ Tìm GTNN của các biểu thức sau: f ( x) = ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4)
−5± 5
Đáp số: f(x) đạt GTNN bằng − 1 khi x1, 2 =
2
b/ Giải phương trình trên khi f(x)=3
− 5 ± 13
Đáp số: Phương trình có nghiệm x1, 2 =
2
Bài 4: Cho phương trình ( m 2 + m + 1) x 2 − ( m 2 + 8m + 3) x − 1 = 0
Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm GTLN và GTNN c ủa
biểu tổng S= x1 + x 2
2 13 13 − 4 3
Đáp số: S đạt GTLN bằng khi m =
3 3 − 2 13
2 13 13 + 4 3
S đạt GTNN bằng − khi m = −
3 3 + 2 13
Bài 5: Cho x và y thỏa mãn điều kiện : 3x + y = 1
a/ Tìm GTNN của biểu thức: M = 3x 2 + y 2
1 1 1
Đáp số: M đạt GTNN bằng khi x = ; y =
4 4 4
b/ Tìm GTLN của biểu thức: N = 2xy
1 1 1
Đáp số: N đạt GTLN bằng khi x = ; y =
6 6 2
Phạm Văn Tung-Trường THCS Chu Văn An-Đăk Hà-Kon Tum
3
- PP tìm GTLN và GTNN trong Đại số THCS
Dạng II: Các bài toán mà biểu thức là phân thức
F ( x)
Đường lối chung để giải dạng toán này: Cho biểu thức A = G ( x) . Biểu thức A
đạt GTLN khi F(x) đạt GTLN và G(x) đạt GTNN; bi ểu thức A đ ạt GTNN khi F(x)
đạt GTNN và G(x) đạt GTLN.
1/ Ví dụ:
3x 2 − 18 x + 35
Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức: A = 2
x − 6 x + 10
Giải
3x − 18 x + 35
2
5 5
A= = 3+ 2 = 3+
x − 6 x + 10
2
x − 6 x + 10 ( x − 3) 2 + 1
A đạt GTLN khi ( x − 3) 2 + 1 đạt GTNN, mà ( x − 3) 2 + 1 ≥ 1
5
Vậy GTLN của A = 3 + = 8 khi ( x − 3) 2 = 0 ⇔ x = 3
1
Cách giải chung của bài toán trên là:
Ta thấy bậc của tử thức bằng bậc của mẫu thức, ta thực hiện phép chia để
N
đưa biểu thức về dạng A = M + f (x) (M, N là hằng số). Do đó biểu thức A đạt
GTLN khi biểu thức f(x) đạt GTNN.
2x + 1
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = ( x ≠ 0)
x2
Giải
Ta có thể viết:
2 x + 1 x 2 + 2 x + 1 − x 2 ( x + 1) − x 2 x + 1
2 2
A= = = = −1
x2 x2 x2 x
Do đó:
2
x + 1
A +1 = ⇒ A +1 ≥ 0 ⇔ A ≥ −1
x
x +1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi =0 ⇔ x +1 = 0 ⇔ x = −1
x
Phạm Văn Tung-Trường THCS Chu Văn An-Đăk Hà-Kon Tum
4
- PP tìm GTLN và GTNN trong Đại số THCS
Vậy biểu thức A đạt GTNN bằng -1 khi x=-1
Cách giải chung của bài toán trên là:
Ta thấy bậc của tử thức nhỏ hơn bậc của mẫu th ức, ta th ực hi ện phép
2
f ( x)
biến đổi để đưa biểu thức về dạng A = F + K (K là hằng số). Do đó
g ( x )
f ( x)
biểu thức A đạt GTNN là K khi biểu thức g ( x) =0.
2/ Bài tập tự giải:
Bài 1: Tìm GTLN của hàm số:
x2 1
f ( x) = ( x ≠ 0) ; Đáp số: f(x) đạt GTLN bằng khi x = ±1
x4 +1 2
Bài 2: Cho x>0. Tìm giá trị của x để biểu thức
x
M =
( x + 2009) 2 đạt GTLN.
1
Đáp số: M đạt GTLN bằng khi x=2009
4.2009
x 2 − 2 x + 2009 x3
Bài 3: Cho biểu thức: M = : 3
( x − 1) ( x − 2) x − 3x 2 + 2 x
x 2 − 2 x + 2009
a/ Rút gọn M Đáp số: M = ( x ≠ 1; x ≠ 2; x ≠ 0)
x2
2008
b/ Tìm GTNN của M. Đáp số: M đạt GTNN bằng khi x = 2009
2009
3 x 2 − x 3 x 3 − x 2 + 12 x − 4
Bài 4: Cho biểu thức: N = :
3x + 2 x + 2( x + 1)
x 1 2
a/ Rút gọn N . Đáp số: N = x ≠ ;x ≠ −
x +4
2
3 3
b/ Tìm GTNN và GTLN của N
1
Đáp số: N đạt GTNN bằng − khi x = −2
4
1
Đáp số: N đạt GTLN bằng khi x = 2
4
1 1 1
Bài 5: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: + + =2
1+ a 1+ b 1+ c
Tìm GTLN của biểu thức abc:
Phạm Văn Tung-Trường THCS Chu Văn An-Đăk Hà-Kon Tum
5
- PP tìm GTLN và GTNN trong Đại số THCS
1 1
Đáp số: abc đạt GTLN bằng khi a = b = c =
8 2
Dạng III: Các bài toán mà biểu thức là căn thức
1/ Ví dụ:
Ví dụ 1:Cho biểu thức: f ( x) = 2 − x − 1 + x . Tìm giá trị của x để f(x) đạt GTLN.
Giải
Biểu thức f(x) có nghĩa khi:
2 − x ≥ 0
⇔ −1 ≤ x ≤ 2
1 + x ≥ 0
Trong điều kiện này ta có f(x) ≥ 0 nên f(x)đạt GTLN khi và chỉ khi [ f ( x ) ] 2 đạt
GTLN.
Ta có: [ f ( x ) ] 2 = 2 − x + 1 + x + 2 ( 2 − x )(1 + x ) = 3 + 2 2 + x − x 2
2
9 1 9 1
= 3+ 2 − x2 + x + = 3 + 2 −x−
4 4 4 2
1 1
Do đó [ f ( x ) ] 2 đạt GTLN khi và chỉ khi x − = 0 ⇔ x =
2 2
1 1 1
Vậy khi x = thì GTLN của biểu thức f (x) = 2 − + 1 + = 6
2 2 2
Cách giải chung của bài toán trên là:
Ta cần xác điều kiện các biểu thức dưới dấu căn để cho căn thức có nghĩa,
sau đó tìm điều kiện để biểu thức [ f ( x ) ] 2 đạt GTLN . Điều kiện đó cũng chính là
điều kiện để biều thức f(x) đạt GTLN.
x−3
Ví dụ 2: Cho biểu thức: f ( x) = . Tìm giá trị của x để f(x) đạt GTNN.
x −1 − 2
Giải
Biểu thứ f(x) có nghĩa khi:
x − 1≥ 0 x ≥ 1
⇔
x−1− 2 ≠ 0 x ≠ 3
Ta biến đổi:
x− 3 x − 1− 2 ( x − 1 − 2 )( x − 1 + 2)
f ( x) = = = = x−1+ 2
x−1− 2 x−1− 2 x−1 2
Phạm Văn Tung-Trường THCS Chu Văn An-Đăk Hà-Kon Tum
6
- PP tìm GTLN và GTNN trong Đại số THCS
Do đó: f ( x) = x − 1 + 2 nên f ( x ) đạt GTNN khi và chỉ khi x −1 đạt
GTNN mà x − 1 ≥ 0 nên x − 1 đạt GTNN bằng 0 khi x = 1
Vậy f(x) đạt GTNN bằng 2 khi x = 1
Cách giải chung của bài toán trên là:
Ta cần xác điều kiện để biểu thức có nghĩa và phân tích đa thức thành nhân
tử sau đó rút gọn biểu thức đã cho.
2/ Bài tập tự giải:
1 x2 + 21
Bài 1: Cho biểu thức: M = + −
(
2(1 + x ) 2 1 − x 1 − x
2
)
1
a/ Rút gon biểu thức M. Đáp số: M = − 2 ( x ≥ 0; x ≠ 1)
x + x +1
b/ Tìm GTNN của M Đáp số: M đạt GTNN bằng -1 khi x=0
x−2 x+2 −2
Bài 2: Cho biểu thức M =
x − 1 − x + 2 x + 1 : (1 − x ) 2
a/ Rút gọn biểu thức M. Đáp số: M= x − x ( x ≥ 0; x ≠ 1)
1 1
b/Tìm GTLN của M. Đáp số: M đạt GTLN bằng khi x =
4 4
1
Bài 3: Tìm GTLN của biểu thức M =
2x − x + 1
8 1
Đáp số: M đạt GTLN bằng khi x =
7 16
1
Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: M =
3 − 1− x2
1
Đáp số: M đạt GTLN bằng khi x = 0
2
1
M đạt GTNN bằng khi x = ±1
3
Bài 5:Tìm GTNN của biểu thức: M = ( x − 2008) 2 + ( x − 2009) 2
Đáp số: M đạt GTNN bằng1 khi 2008 ≤ x ≤ 2009
Phạm Văn Tung-Trường THCS Chu Văn An-Đăk Hà-Kon Tum
7
nguon tai.lieu . vn
