Xem mẫu
- ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
Soạn: Lưu Hải Vĩnh – GV Toán Trường THPT NG
I/ Lý thuyết rr
1/Tọa độ: Hệ tọa độ Oxy hay (O, i , j )
uuuur uuuu
r r r
* Tọa độ của điểm; véc tơ: M(x;y) � OM = ( x; y ) � OM = x.i + y. j
uuu
r
* Độ dài của một véc tơ; đoạn thẳng: AB = AB = ( x A − xB ) + ( y A − yB ) = ( xB − x A ) + ( yB − y A )
2 2 2 2
x1 = x2
r r
* Hai véc tơ bằng nhau: a ( x1; y1 ) = b( x2 ; y2 )
y1 = y2
r r
* Các phép toán về véc tơ: Cho a ( x1; y1 ) , b( x2 ; y2 )
rr rr
+ / a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) + / a − b = ( x1 − x2 ; y1 − y2 )
r rr
+ / k . a = (k .x1; k . y1 ) + / a.b = x1.x2 + y1. y2
x = t . x2
r rr r
+ / a cung phuong b ; b �� ∃t �ᄀ : 1
0
y1 = t. y2
rr
+ / a ⊥ b � x1.x2 + y1. y2 = 0
rr
rr x1.x2 + y1. y2
a.b
+ / cos(a; b) = r r =
x12 + x2 2 . y12 + y2 2
a. b
* Các công thức liên quan đến tọa độ điểm:
x + xB
xM = A
uuu uuu r
r r uuuu 1 uuu uuu
r r r
2
+/ M là trung điểm AB � MA + MB = 0 � (hay với mọi điểm O; OM = (OA + OB ) )
y + yB 2
yM = A
2
x − k . xB
xM = A
1− k
uuur uuur
+/ M chia đoạn AB theo tỉ số k ( A;B phân biệt; k 1 ) � MA = k .MB
y − k . yB
yM = A
1− k
uuuur uuu
r uuu
r
1
( hay với mọi điểm O; OM = (OA − k .OB ) )
1− k
x + xB + xC
xM = A
uuu uuu uuur r
r r u 3
+/ M là trọng tâm tam giác ABC � MA + MB + MC = 0 �
y + yB + yC
yM = A
3
uuuu 1 uuu uuu uuu
r r r r
(hay với mọi điểm O; OM = (OA + OB + OC ) )
3
* Một số tính chất của tam giác ABC: uuu uuu
rr
+/ Tam giác ABC vuông tại C � CA.CB = 0 (hay � CA2 + CB 2 = AB 2 � .....)
uuu
r uuu
r
+/ Tam giác ABC cân tại B � BA = BC � .......
- uuu uuu
rr
AB. AC = 0
+/ Tam giác ABC vuông cân tại A uuu uuu
r r
AB = AC
uuu uuu uuu
r r r
+ Tam giác ABC đều � BA = BC = AC
2/ Liên hệ tọa độ và bất đẳng thức Bunhiacopxki:
rr
rr u.v ax+by
r r
Với hai véc tơ u (a; b) và v( x; y ) ; ta có cos(u; v) = r r =
a2 + b2 . x2 + y 2
u. v
rr ax+by
cos(u; v) +1+ a 2 b2 . x2 y2
�
Do 1 ax+by
a2 + b2 . x2 + y 2
(ax+by) 2 + (a 2 b 2 ).( x 2 y 2 )
+
rr rr
ax=by
Dấu bằng xảy ra cos(u; v) = 1 u; v cùng phương
3/ Đường thẳng r
a/ Đường thẳng đi qua M0(x0;y0) và nhận véc tơ u (a; b) (a 2 + b 2 0) làm véc tơ chỉ phương có
x = x0 + at
(t R)
phương trình tham số là :
y = y0 + bt
* Nếu a 0 thì hệ số góc của đường thẳng là k = b/a.
r
b/ Đường thẳng đi qua M0(x0;y0) và nhận véc tơ u (a; b) (a; b 0) làm véc tơ chỉ phương có
x − x0 y − y0
=
phương trình chính tắc là : .
a b
c/ Đường thẳng đi qua M0(x0;y0) và có hệ số góc k ; pr ương trình là : y = k(x-x0) + y0
h
d/ Đường thẳng đi qua M0(x0;y0) và nhận véc tơ n(a; b) (a; b 0) làm véc tơ pháp tuyến có
phương trình tổng quát là : a(x-x0) + b(y-y0) =0
e/ Đường thẳng đi qua A(x1;y1) và B(x2 ;y2) có phương trình là :
• Nếu x1 = x2 : Phương trình là x = x1
• Nếu y1 = y2 : Phương trình là y = y1
x − x1 y − y1
x1 x2
• Nếu y y : Phương trình là x − x = y − y
2 1 2 1
1 2
f/ Chú ý : r r
• Nếu u (a; b) (a 2 + b 2 0) là 1 véc tơ chỉ phương của (d) thì k. u = (ka; kb) ∀k 0 cũng là một
véc tơ chỉ phương của (d).
r r
• Nếu n(a; b) (a 2 + b 2 0) là 1 véc tơ chỉ phương của (d) thì k. n = (ka; kb) ∀k 0 cũng là một
véc tơ chỉ phương của (d).
r r
• Nếu u (a; b) (a 2 + b 2 0) là 1 véc tơ chỉ phương của (d) thì n = (−b; a) là một véc tơ pháp
tuyến của (d).
4/ Góc giữa hai đường thẳng u uu
rr
Giả sử α là góc giữa hai đường thẳng có véc tơ pháp tuyến theo thứ tự là n1; n2
ur uu
ur
n1.n2
ur ur
uu
� cosα = cos(n1; n2 ) = ur uu (có thể tính theo véc tơ chỉ phương)
ur
n1 . n 2
- 5/ Khoảng cách từ điểm M đến (d) : ax + by +c = 0
ax M + byM + c
d ( M ;( d )) =
a2 + b2
6/ Đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng
Cho (d1) : a1x + b1y +c1 = 0 và (d2) : a2x + b2y +c2 = 0
Phương trình đường phân giác của góc hợp bởi (d1) ; (d2) là :
a1 x + b1 y + c1 a2 x + b2 y + c2
=
a +b a2 + b2
2 2 2 2
1 1
II/ Bài tập
Bài 1 : A-2010
Cho tam giác ABC cân tại A(6;6), đường thẳng đi qua trung điểm canh AB và AC có phương trình
x + y – 4 = 0. Tìm tọa độ B và C biết E(1;-3) nằm trên đường cao đi qua C của tam giác đã cho.
Bài 2: B-2010
Cho tam giác ABC vuông tại A; đỉnh C(-4;1); phân giác trong góc A có phương trình
x + y -5 = 0. Viết phương trình BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đ ỉnh A có hoành đ ộ
dương.
Bài 3: D-2010
• Câu VIa: Cho tam giác ABC; A(3;-7); trực tâm H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2;0).
Xác định tọa độ C biết hoành độ C dương.
• Câu VIb: Cho A(0;2); ∆ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
∆ . Viết phương trình ∆ biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH.
Bài 4: D-2009
• Câu VIa: Cho tam giác ABC; M(2;0) là trung điểm của AB. Đường trung tuyến và đường
cao đi qua A lần lượt có phương trình là: 7x-2y-3=0 và 6x-y-4=0. Viết phương trình AC.
• Câu VIb: Cho đường tròn (C): (x-1)2 +y2 =1. Gọi I là tâm của (C). Xác định tọa độ điểm M
ᄀ
thuộc (C) sao cho IMO = 300 .
Bài 5 : B-2009
• Câu VIb: Cho tam giác ABC cân tại A(-1;4). Các đỉnh B;C thuộc ∆ : x-y-4=0. Xác định tọa
độ B ; C biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
Bài 6: A-2009
• Câu VIa: Cho hình chữ nhật ABCD có I(6;2) là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Điểm
M(1;5) thuộc AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc ∆ : x+y-5=0. Viết phương trình AB.
• Câu VIb: Cho đường tròn (C): x2 +y2+4x+4y+6 =0 và ∆ :x+my-2m+3=0. Gọi I là tâm của
(C). Tìm m để ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A; B sao cho diện tích tam giác IAB max.
Bài 7: D-2008
Trong Oxy; cho (P) có phương trình y 2 = 16 x ; A(1;4). Hai điểm phân biệt B; C không trùng với A
di động trên (P) sao cho � BAC = 900 . CMR đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 8: B-2008
Trong Oxy; cho tam giác ABC; hình chiếu vuông góc của C lên AB là H(-1;-1); đường phân giác
trong của góc A: x-y+2=0; đường cao kẻ từ B: 4x+3y-1=0; Tìm tọa độ C?
Bài 9: B-2007
Cho A(2;2); (d1): x+y-2=0; (d2): x+y-8=0. Tìm tọa độ B thuộc (d1) ; C thuộc (d2) sao cho tam giác
ABC vuông cân tại A.
- Bài 10: B-2006
Cho đường tròn (C): x2 +y2-2x-6y+6 =0 và M(-3 ;1). Gọi T1 ; T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến
kẻ từ M đến (C). Viết phương trình T1T2.
Bài 11: A-2006
Cho (d1) : x+y+3=0 ; (d2) : x-y-4=0 ; (d3) : x-2y=0.
Tìm tọa độ M thuộc (d3) sao cho khoảng cách từ M đến d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến d2.
Bài 12: A-2005
Cho (d1) : x-y=0 ; (d2) : 2x+y-1=0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết A thuộc d 1 ; C
thuộc d2 và B ; D thuộc trục hoành.
Bài 13: D-2004
Trong Oxy; cho tam giác ABC; A(-1;0); B(4;0); C(0;m). Tìm tọa độ trọng tâm G theo m; m 0 . Tìm
m để tam giác GAB vuông tại G.
Bài 14: B-2004
Cho A(1;1); B(4;-3). Tìm C thuộc đương thẳng x-2y-1=0 sao cho khoảng cách từ C đ ến AB bằng
6.
Bài 15: A-2004
Cho A(0;2); B(- 3 ;-1). Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.
Bài 16: B-2003
2
ᄀ
Cho tam giác ABC có AB=AC; BAC = 900 . Điểm M(1;-1) là trung điểm BC và G( ;0) là trọng tâm
3
tam giác ABC. Tìm tọa độ A;B;C.
Bài 17: B-2002
Trong Oxy; cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1/2;0); đường thẳng AB có pt: x-2y+2 = 0 và AB
=2AD. Tìm tọa độ A; B; C; D biết hoành độ A âm.
Bài 18: 2002
Trong Oxy; cho tam giác ABC vuông tại A. Đường thẳng BC có phương trình: 3x − y − 3 = 0 ; A
và B thuộc Ox. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G c ủa
tam giác.
Bài 19: Trong Oxy; cho tam giác ABC; A(-5;6); B(-4;-1); C(4;3).
a/ Tìm toạ độ D để ABCD là hình bình hành.
b/ Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A lên BC.
Bài 20: Trong Oxy; cho tam giác ABC; A(0;2); B(-2;-2); C(4;-2). H là chân đường cao hạ từ B; M
và N lần lượt là trung điểm AB và BC. Lập phương trình đường tròn qua H; M; N.
Bài 21: Trong Oxy; cho đường tròn (C): ( x − 2) 2 + ( y − 3)2 = 2 ; đường thẳng (d): x-y-2=0.
Tìm M thuộc (C) để khoảng cách từ M đến (d):
a/ max? b/ min?
Bài 22: Trong Oxy; cho tam giác ABC; C(-2;3). Đường cao kẻ từ A có phương trình: 3x-2y-25=0;
đường phân giác trong góc B có phương trình: x-y=0. Lập phương trình AC?
Bài 23: Trong Oxy; cho hình vuông ABCD; CD có phương trình: 4x-3y+4=0; M(2;3) thộc BC;
N(1;1) thuộc AB. Viết phương trình các cạnh còn lại.
Bài 24: Trong Oxy; cho parabol (P): y 2 = 4 x . Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A
trùng đỉnh O; hai điểm B; C thuộc (P); trực tâm trùng với tiêu điểm của (P).
Bài 25: Trong Oxy; cho tam giác ABC; A(5;2); đường trung trực của BC có phương trình x+y-6=0;
đường trung tuyến CM có phương trình 2x-y+3=0. Tìm tọa độ A; B; C.
- Bài 26: Trong Oxy; cho tam giác ABC; A thuộc (d): x-4y-2=0; BC song song với (d); đường cao BH
có phương trình: x+y+3=0; M(1;1) là trung điểm của AC. Tìm tọa độ A; B; C.
Bài 27: Trong Oxy; Lập phương trình qua A(1;1) cách đều B(-2;3) và C(0;4).
Bài 28: Trong Oxy; cho tam giác ABC; B(1;0); hai đường cao có phương trình lần lượt là: x-
2y+1=0; 3x+y-1=0. Tính diện tích tam giác ABC.
41
Bài 29: Trong Oxy; cho tam giác ABC cân tại A; G( ; ) là trọng tâm; đường thẳng chứa cạnh BC
33
có phương trình là: x-2y-4=0; đường BG có pt: 7x-4y-8=0. Tìm tọa độ A; B; C.
Bài 30: Lập phương trình đườr thẳng qua I(-2;0); cắt (d1): 2x-y+5=0 và cắt (d2): x+y-3=0 lần
ng
uu
r uu
lượt tại A và B sao cho: IA = 2 IB
Bài 31: Cho đường thẳng (d1): x+y+5=0 và (d2): x+2y-7=0. A(2;3); Tìm B thuộc (d1); C thuộc (d2)
sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(2;0).
5
Bài 32: Llập phương trình đường thẳng qua M( ; 2 ); cắt (d1): x-2y=0 và cắt (d2): 2x-y=0 lần lượt
2
tại A và B sao cho: M là trung điểm AB.
Bài 33: Trong Oxy; cho đường thẳng (d): 2x-y-5=0 và A(1;2); B(4;1). Tìm M thuộc (d) sao cho
MA − MB max.
Bài 34: Trong Oxy; cho hình vuông ABCD; CD có phương trình: 4x-3y+4=0; M(2;3) thuộc BC;
N(1;1) thuộc AB. Lập phương trình AD.
Bài 35: Trong Oxy; lập phương trình (d1); (d2) lần lượt đi qua A(4;0); B(0;5) và nhận (d): 2x-2y-
1=0 là phân giác.
Bài 36: Cho tam giác ABC cân tại A; đường thẳng AB: 2x-y+5=0; đường thẳng AC:3x+6y-1=0;
M(2;-1) thuộc BC. Lập phương trình cạnh BC.
Bài 37: Trong Oxy; cho tam giác ABC; A(-1;2); B(2;0); C(-3;1).
a/ Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
1
b/ Tìm M thuộc BC sao cho S ∆AMB = S ∆ABC .
3
Bài 38: Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1; 0); B(2;0); giao điểm hai đường
chéo I thuộc đường thẳng y =x. Tìm tọa độ C; D?
5
Bài 39: Cho (d1): x-2y=0; (d2): 2x-y=0; M( ; 2 ). Lập phương trình đường thẳng đi qua M cắt (d 1);
2
(d2) tại A và B sao cho:
a/ M là trung điểm AB b/ MB=2MA.
Bài 40: Cho hình thoi có một đường chéo: x+2y-7=0; một cạnh: x+3y-3=0; một đ ỉnh (0;1). Lập
phương trình các cạnh.
Bài 41: Cho tam giác ABC; A(-6;3); B(-4;3); C(9;2).
a/ Lập phương trình đường phân giác trong góc A.
b/ Tìm M trên AB; điểm N trên AC sao cho MN//BC và AM=CN.
Bài 42: Cho tam giác ABC; A(-6;3); B(-4;3); C(9;2). Tìm P thuộc đường phân giác trong góc A sao
cho ABPC là hình thang.
Bài 43: Cho tam giác ABC; A(-2;3); trực tâm H trùng với trung điểm của đường cao AK. Đ ường
cao BM có hệ số góc bằng 2. Tìm tọa độ B; C.
Bài 44: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;-1); AB: 4x+y+15=0; AC: 2x+5y+3=0. Tìm trên
đường cao AH của tam giác điểm M sao cho tam giác BMC vuông tại M.
Bài 45: Cho A(1;0); B(3;-1); (d):x-2y-1=0. Tìm C thuộc (d) sao cho S ∆ABC = 6 .
- 1 1 87
Bài 46: Cho tam giác ABC; cạnh AB: y=2x; cạnh AC: y= − x + ; trọng tâm G( ; ). Tính diện
4 4 33
tích tam giác ABC.
Bài 47: Tìm toạ độ điểm M trên (d): x-2y-2=0 sao cho 2 MA2 + MB 2 nhỏ nhất; A(0;1); B(3;4).
Bài 48: Cho A(2;-1); B(1;-2); trọng tâm G thuộc (d):x+y-2=0. Tìm C biết diện tích tam giác ABC
bằng 3/2.
Bài 49: Tìm M nằm phía trên Ox sao cho góc MAB=300; góc AMB = 900; A(-2;0); B(2;0).
1
Bài 50: Cho tam giác ABC vuông tại A; A(-1;4); B(1;-4); M( 2; ) thuộc BC. Tìm tọa độ C?
2
nguon tai.lieu . vn