Xem mẫu
- PHAÀN MOÄT: OÂN TAÄP TOÙM TAÉT CHÖÔNG TRÌNH THI ÑAÏI HOÏC
MOÂN TOAÙN
I- GIAÛI TÍCH TOÅ HÔÏP
1. Giai thöøa : n! =1.2...n
0! =1
n! /(n – k)! =(n – k +1).(n– k +2) ... n
2. Nguyeân taéc coäng : Tröôøng hôïp 1 coù m caùch choïn, tröôønghôïp 2 coù n
caùch choïn; moãi caùch choïn ñeàu thuoäc ñuùng moät tröôøng hôïp. Khi ñoù,
toångsoácaùchchoïnlaø :
m +n.
3. Nguyeân taéc nhaân : Hieäntöôïng 1 coù m caùchchoïn, moãi caùchchoïn naøy
laïi coùn caùchchoïnhieäntöôïng2. Khi ñoù,toångsoácaùchchoïnlieântieáphai
hieäntöôïnglaø : m x n.
4. Hoaùn vò : Coù n vaätkhaùcnhau,xeápvaøon choãkhaùcnhau.Soácaùchxeáp:
Pn = n !.
5. Toå hôïp : Coù n vaät khaùc nhau, choïn ra k vaät. Soá caùch choïn :
k n!
Cn =
k!(n − k)!
6. Chænh hôïp : Coù n vaät khaùc nhau. Choïn ra k vaät, xeáp vaøo k choã khaùc
n!
nhausoácaùch: A n = , A n = Cn.Pk
k k k
(n − k)!
Chænhhôïp=toåhôïproài hoaùnvò
7. Tam giaùc Pascal :
1 C0
0
1 1 C1 C1
0
1
1 2 1 C2 C2 C2
0 1
2
1 3 3 1
C3 C3 C3 C3
0 1 2
3
1 4 6 4 1
C4 C4 C4 C4 C 4
0 1 2 3
4
Tính chaát :
C0 = Cn = 1 Cn = Cn−k
n n , k n
Cn−1 + Cn = Cn+1
k k k
8. Nhò thöùc Newton :
* (a + b)n = C0anb0 + C1an−1b1 + ...+ Cna0bn
n n n
a =b =1 : ... C0 + C1 + ... + Cn = 2n
n n n
Vôùi a, b ∈ {± 1, ± 2, ...}, ta chöùng minh ñöôïc nhieàu ñaúng thöùc
chöùa:
C0,C1 ,..., n
n n Cn
* (a + x)n = C0an + C1an−1x + ...+ Cnxn
n n n
TRANG 1
- Ta chöùng minh ñöôïc nhieàu ñaúng thöùc chöùa C0,C1 ,..., nn n Cn
baèng caùch :
- Ñaïo haøm 1 laàn, 2 laàn, cho x = ± 1, ± 2, ... a = ± 1, ± 2, ...
- Nhaân vôùi xk , ñaïo haøm 1 laàn, 2 laàn, cho x = ± 1, ± 2, ... ,
a = ± 1, ± 2, ...
±1 ±2 β
- Cho a = ± 1, ± 2, ..., ∫ hay ∫ ... hay ∫
α
0 0
Chuù yù :
* (a + b)n : a, b chöùa x. Tìm soá haïng ñoäc laäp vôùi x :
Ck a n −k b k = Kx m
n
Giaûi pt : m = 0, ta ñöôïc k.
* (a + b)n : a, b chöùa caên . Tìm soá haïng höõu tyû.
m r
k n −k
Ca
n b = Kc d
k p q
m/ p∈ Z
Giaûi heä pt : , tìm ñöôïc k
r / q∈ Z
k k
* Giaûi pt , bpt chöùa A n ,Cn ...: ñaët ñieàu kieän k, n ∈ N* ..., k ≤
n. Caàn bieát ñôn giaûn caùc giai thöøa, qui ñoàng maãu soá,
ñaët thöøa soá chung.
* Caàn phaân bieät : qui taéc coäng vaø qui taéc nhaân; hoaùn
vò (xeáp, khoâng boác), toå hôïp (boác, khoâng xeáp), chænh
hôïp (boác roài xeáp).
* AÙp duïng sô ñoà nhaùnh ñeå chia tröôøng hôïp , traùnh truøng
laép hoaëc thieáu tröôøng hôïp.
* Vôùi baøi toaùn tìm soá caùch choïn thoûa tính chaát p maø khi
chia tröôøng hôïp, ta thaáy soá caùch choïn khoâng thoûa tính
chaát p ít tröôøng hôïp hôn, ta laøm nhö sau :
soá caùch choïn thoûa p.
= soá caùch choïn tuøy yù - soá caùch choïn khoâng
thoûa p.
Caàn vieát meänh ñeà phuû ñònh p thaät chính xaùc.
* Veù soá, soá bieân lai, baûng soá xe ... : chöõ soá 0 coù theå
ñöùng ñaàu (tính töø traùi sang phaûi).
* Daáu hieäu chia heát :
- Cho 2 : taän cuøng laø 0, 2, 4, 6, 8.
- Cho 4 : taän cuøng laø 00 hay 2 chöõ soá cuoái hôïp thaønh
soá chia heát cho 4.
- Cho 8 : taän cuøng laø 000 hay 3 chöõ soá cuoái hôïp thaønh
soá chia heát cho 8.
- Cho 3 : toång caùc chöõ soá chia heát cho 3.
- Cho 9 : toång caùc chöõ soá chia heát cho 9.
- Cho 5 : taän cuøng laø 0 hay 5.
- Cho 6 : chia heát cho 2 vaø 3.
TRANG 2
- - Cho 25 : taän cuøng laø 00, 25, 50, 75.
II- ÑAÏI SOÁ
b = c = 0
1. Chuyeån veá : a +b =c ⇔ a =c – b; ab=c ⇔ b ≠ 0
a = c/ b
a = bc
a/b=c ⇔ ; a2n+1 = b ⇔ a = 2n+1 b
b≠ 0
b = a 2n
a 2n
= b ⇔ a = ± b, a =
2n 2n
b ⇔
a ≥0
b = ±a
a= b ⇔ ,a = logα b ⇔ b = α a
a≥ 0
b = 0,c > 0
b> 0
a + b < c ⇔ a < c − b ; ab< c ⇔
a < c/ b
b< 0
a > c/ b
2. Giao nghieäm :
x> a x< a
⇔ x > max{, b ;
a } ⇔ x < min{, b
a }
x> b x< b
p
x> a a < x < b(neá a < b) p ∨ q
u Γ
⇔ ; ⇔
x< b VN(neá a ≥ b)
u Γ q
Γ
Nhieàudaáuv : veõtruïc ñeågiaonghieäm.
3. Coâng thöùc caàn nhôù :
a. : chæñöôïc bìnhphöôngneáu2 veákhoângaâm.Laømmaát phaûiñaëtñieàu
kieän.
b ≥ 0 b ≥ 0
a = b⇔ 2
, a ≤ b⇔ 2
a = b 0 ≤ a ≤ b
b < 0 b ≥ 0
a ≥ b⇔ ∨
a ≥ 0 a ≥ b2
a. b (neáub≥ 0)
a,
ab =
− a. − b (neáub < 0)
a,
b. . : phaù . baèngcaùchbìnhphöông: a 2 = a2 haybaèngñònhnghóa:
TRANG 3
- a (neáu≥ 0)
a
a =
− a(neáu< 0)
a
b ≥ 0
a = b⇔ ; a = b ⇔ a = ±b
a = ± b
a ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b
b ≥ 0
a ≥ b ⇔ b < 0hay
a ≤ − b ∨ a ≥ b
a ≤ b ⇔ a2 − b2 ≤ 0
c. Muõ : y = ax , x ∈ R,y > 0,y ↑ neáu> 1 y ↓ neáu< a < 1.
a , 0
a0 = 1; a− m/ n = 1/ n am ; am.an = am+n
am / an = am−n ; (am)n = am.n ; an / bn = (a/ b)n
an.bn = (ab)n ; am = an ⇔ (m = n,0 < a ≠ 1 ∨ a =1
)
m < n(neáu> 1)
a
am < an ⇔ , α = aloga α
m > n(neáu< a < 1)
0
d. log : y = logax , x > 0 , 0 < a ≠ 1, y ∈ R
α
y↑ neáu a > 1, y↓ neáu 0 < a < 1, α = logaa
loga(MN) = logaM + logaN ( ⇐ )
loga(M/N) = logaM – logaN ( ⇐ )
loga M 2 = 2loga M ,2loga M = loga M 2 (⇒)
logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc
1
logbc = logac/logab, logaα M = loga M
α
loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN ⇔ M = N
0 < M < N(neáa > 1)
u
loga M < loga N ⇔
M > N > 0(neá 0 < a < 1
u )
Khi laøm toaùn log, neáu mieàn xaùc ñònh nôùi roäng : duøng
ñieàu kieän chaën laïi, traùnh duøng coâng thöùc laøm thu heïp
mieàn xaùc ñònh. Maát log phaûi coù ñieàu kieän.
4. Ñoåi bieán :
a. Ñôn giaûn :
t = ax+ b∈ R, t = x2 ≥ 0, t = x ≥ 0,t = x ≥ 0,t = ax > 0,t = loga x ∈ R
Neáu trong ñeà baøi coù ñieàu kieän cuûa x, ta chuyeånsang ñieàu kieän cuûa t
baèngcaùchbieánñoåi tröïc tieápbaátñaúngthöùc.
b. Haømsoá: t =f(x) duøngBBT ñeåtìm ñieàukieäncuûat. Neáux coù theâmñieàu
kieän,chovaøomieànxaùcñònhcuûaf.
TRANG 4
- c. Löôïng giaùc : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Duøng pheùp chieáu
löôïng giaùc ñeå tìm ñieàu kieän cuûa t.
d. Haøm soá hôïp : töøng böôùc laøm theo caùc caùch treân.
5. Xeùt daáu :
a. Ña thöùchay phaânthöùchöõutyû, daáuA/B gioángdaáuA.B; beânphaûi cuøng
daáuheäsoábaäccao nhaát;quanghieämñôn (boäi leû) : ñoåi daáu;quanghieäm
keùp(boäi chaün): khoângñoåidaáu.
b. Bieåuthöùcf(x) voâtyû: giaûi f(x) 0.
c. Bieåuthöùcf(x) voâ tyû maøcaùchb khoânglaømñöôïc : xeùttính lieântuïc vaø
ñônñieäucuûaf, nhaåm1 nghieämcuûapt f(x) =0, phaùchoïañoàthòcuûaf , suy
ra daáucuûaf.
6. So saùnh nghieäm phöông trình baäc 2 vôùi α :
f(x) = ax bx + c = 0 (a ≠ 0)
2
+
* S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a
Duøng S, P ñeå tính caùc bieåu thöùc ñoái xöùng nghieäm.
Vôùi ñaúng thöùc g(x1,x2) = 0 khoâng ñoái xöùng, giaûi heä pt :
g= 0
S = x1 + x2
P = x .x
1 2
Bieát S, P thoûa S2 – 4P ≥ 0, tìm x1, x2 töø pt : X2 – SX + P = 0
* Duøng ∆, S, P ñeå so saùnh nghieäm vôùi 0 :
∆ >0
x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0, 0 < x1 < x2 ⇔ P > 0
S> 0
∆ >0
x1 < x 2 < 0 ⇔ P > 0
S< 0
* Duøng ∆, af(α), S/2 ñeå so saùnh nghieäm vôùi α : x1 < α < x2
⇔ af(α) < 0
∆ >0 ∆ >0
α < x1 < x2 ⇔ a.f (α ) > 0 ; x1 < x2 < α ⇔ a.f (α ) > 0
α < S/ 2 S/ 2 < α
a.f(β) < 0 a.f (α ) < 0
α < x1 < β < x2 ⇔ a.f(α) > 0 ; x1 < α < x2 < β ⇔ a.f (β) > 0
α
- Bieát x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C
thì x1, x2, x3 laø 3 nghieäm phöông trình : x3 – Ax2 + Bx – C = 0
b. Soá nghieäm phöông trình baäc 3 :
• x = α ∨ f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) :
∆ > 0
3 nghieäm phaân bieät ⇔
f (α ) ≠ 0
∆ > 0 ∆ = 0
2 nghieäm phaân bieät ⇔ ∨
f (α ) = 0 f (α) ≠ 0
∆ =0
1 nghieäm ⇔ ∆ 0
2 nghieäm ⇔
yCÑ .yCT = 0
∆ y' > 0
1 nghieäm ⇔ ∆ y' ≤ 0 ∨
yCÑ .yCT > 0
c. Phöông trình baäc 3 coù 3 nghieäm laäp thaønh CSC :
∆ y' > 0
⇔
=
yuoán 0
d. So saùnh nghieäm vôùi α :
• x = xo ∨ f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) : so saùnh nghieäm
phöông trình baäc 2 f(x) vôùi α.
• Khoâng nhaåm ñöôïc 1 nghieäm, m taùch ñöôïc sang 1 veá :
duøng söï töông giao cuûa f(x) = y: (C) vaø y = m: (d) , ñöa α
vaøo BBT.
• Khoâng nhaåm ñöôïc 1 nghieäm, m khoâng taùch ñöôïc sang 1
veá : duøng söï töông giao cuûa (C m) : y = ax3 + bx2 + cx + d
(coù m) ,(a > 0) vaø (Ox)
TRANG 6
- ∆ y' > 0
yCÑ .yCT < 0
α < x1 < x2 < x3 ⇔
αx 1
x2 x
3
y(α) < 0
α< x
CÑ
∆ y' > 0
y .y < 0
CÑ CT
x1 < α < x 2 < x 3 ⇔
y(α) > 0
x1
αx x 2
3
α < xCT
∆ y' > 0
y .y < 0
CÑ CT
x1 < x 2 < α < x 3 ⇔
x1 α
x2 x3
y(α) < 0
xCÑ < α
∆ y' > 0
yCÑ .yCT < 0
x1 x2 α
x3
x1 < x 2 < x 3 < α ⇔
y(α) > 0
x 0
f (α) ≠ 0 f (α) = 0
2 nghieäm ⇔ , 1 nghieäm ⇔
∆ >0 ∆ =0
f (α) ≠ 0
∆ =0
Voâ nghieäm ⇔ ∆ < 0 ∨
f (α) = 0
Neáu a coù tham soá, xeùt theâm a = 0 vôùi caùc tröôøng hôïp 1
nghieäm, VN.
9. Phöông trình baäc 4 :
t = x2 ≥ 0
a. Truøng phöông : ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) ⇔
4 2
f (t) = 0
t = x2 ⇔ x = ± t
∆ >0
P=0
4 nghieäm ⇔ P > 0 ; 3 nghieäm ⇔
S> 0 S> 0
TRANG 7
- P=0
P 0
S/ 2 = 0
∆ ≥0
VN ⇔ ∆ < 0 ∨ P > 0 ⇔ ∆ < 0 ∨ P > 0
S< 0 S
- 12. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi 2 :
Phöôngtrình naøy ñoái xöùngvôùi phöôngtrình kia. Tröø 2 phöôngtrình, duøng
caùchaèngñaúngthöùcñöaveàphöôngtrìnhtíchA.B =0.
Nghieämduynhaátlaømnhöheäñoáixöùngloaïi 1.
ax2 + bxy+ cy2 = d
13. Heä phöông trình ñaúng caáp : 2 2
a'x + b'xy + c'y = d'
Xeùty =0. Xeùty ≠ 0 : ñaëtx =ty, chia2 phöôngtrìnhñeåkhöût. Coøn1 phöông
trình theoy, giaûi ra y, suy ra t, suy ra x. Coù theåxeùtx =0, xeùtx ≠ 0, ñaëty =
tx.
14. Baát phöông trình, baát ñaúng thöùc :
* Ngoaøi caùcbaátphöôngtrình baäc1, baäc2, daïngcô baûncuûa , . , log,
muõ coù theågiaûi tröïc tieáp, caùc daïng khaùccaànlaäp baûngxeùt daáu.Vôùi
baátphöôngtrìnhdaïngtích AB
- Treân ñöôøng troøn löôïng giaùc, goùc α ñoàng nhaát vôùi
cung AM, ñoàng nhaát vôùi ñieåmM. Ngöôïc laïi, 1 ñieåm
treânñöôøngtroøn löôïng giaùc öùng vôùi voâ soá caùc soá −2π 0 2π
thöïcx +k2π.
Treânñöôøngtroønlöôïng giaùc,naémvöõngcaùcgoùcñaëc M
π 1 π 1
bieät: boäi cuûa ( cungphaàntö) vaø ( cungphaàn
6 3 4 2 α0
A
tö)
x+k2
2kπ
x =α + : α laø 1 goùc ñaïi dieän, n : soá ñieåmcaùch
n
sin tg
ñeàutreânñöôøngtroønlöôïnggiaùc.
M cotg
cos M
2. Haøm soá löôïng giaùc :
chieáu chieáu
3. Cung lieân keát : xuyeân taâm
* Ñoåi daáu,khoângñoåi haøm: ñoái, buø, hieäuπ (öu tieânkhoângñoåi daáu:
sin buø,cosñoái, tg cotghieäuπ).
* Ñoåi haøm,khoângñoåi daáu: phuï
π
* Ñoåi daáu,ñoåi haøm: hieäu (sin lôùn=cosnhoû: khoângñoåi daáu).
2
4. Coâng thöùc :
a. Cô baûn: ñoåi haøm,khoângñoåi goùc.
b. Coäng: ñoåi goùca ± b, ra a, b.
c. Nhaânñoâi : ñoåi goùc2ara a.
d. Nhaânba: ñoåi goùc3ara a.
e. Haï baäc: ñoåi baäc2 ra baäc1. Coângthöùcñoåi baäc3 ra baäc1 suytöøcoâng
thöùcnhaânba.
a
f. Ñöaveà t = tg : ñöalöôïnggiaùcveàñaïi soá.
2
g. Toångthaønhtích: ñoåi toångthaønhtíchvaøñoåi goùca, b thaønh(a ± b) / 2.
h. Tích thaønhtoång: ñoåi tíchthaønhtoångvaøñoåi goùca, b thaønha ± b.
5. Phöông trình cô baûn : sinα =0⇔ cos =– 1 haycos = 1⇔ α =kπ,
α α
π π
sinα =1 ⇔ α = +k2π; sinα = –1 ⇔ α =– +k2π,
2 2
π
cos =0 ⇔ sinα =–1 haysinα =1 ⇔ α = +kπ,
α
2
TRANG 10
- cosα = 1 ⇔ α = k2π, cosα = – 1 ⇔ α = π + k2π
sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨ u = π – v + k2π
cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π
tgu = tgv ⇔ u = v + kπ
cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ
6. Phöông trình baäc 1 theo sin vaø cos : asinu+bcosu=c
* Ñieàu kieän coù nghieäm b2 ≥ c2
2
+:a
* Chia 2 veá cho a2 + b2 , duøng coâng thöùc coäng ñöa veà
phöông trình cô baûn.
u
(caùch khaùc : ñöa veà phöông trình baäc 2 theo t = tg )
2
7. Phöông trình ñoái xöùng theo sin, cos :
Ñöacaùcnhoùmñoái xöùngveàsin +cosvaøsin.cos.
π t2 − 1
Ñaët: t =sinu+cosu= 2sin u + ÷, − 2 ≤ t ≤ 2,sinu.cosu =
4 2
8. Phöông trình chöùa sinu + cosu vaø sinu.cosu :
π t 2 −1
Ñaët: t = sin u + cos u = 2 sin u + ÷ , 0 ≤ t ≤ 2 ,sin u.cos u =
4 2
9. Phöông trình chöùa sinu – cosu vaø sinu.cosu :
π 1− t2
Ñaët: t = sinu − cosu = 2sin u − ÷, − 2 ≤ t ≤ 2,sinu.cosu =
4 2
10. Phöông trình chöùa sinu – cosu vaø sinu.cosu :
π 1− t2
Ñaët: t = sin u − cos u = 2 sin u − ÷ , 0 ≤ t ≤ 2 ,sin u.cos u =
4 2
11. Phöông trình toaøn phöông (baäc 2 vaø baäc 0 theo sinu vaø cosu) :
Xeùt cosu = 0; xeùt≠ 0, chia 2 veá chou, duøng coâng thöùc
cosu 2
cos
1/cos2u = 1 + tg2u, ñöa veà phöông trình baäc 2 theo t = tgu.
12. Phöông trình toaøn phöông môû roäng :
* Baäc 3 vaø baäc 1 theo sinu vaø cosu : chia 2u. cho cos
3
veá
* Baäc 1 vaø baäc – 1 : chia 2 veá cho cosu.
13. Giaûi phöông trình baèng caùch ñoåi bieán :
Neáukhoângñöañöôïcphöôngtrìnhveàdaïngtích,thöûñaët:
* t =cosx : neáuphöôngtrìnhkhoângñoåi khi thayx bôûi – x.
* t =sinx : neáuphöôngtrìnhkhoângñoåi khi thayx bôûi π – x.
* t =tgx : neáuphöôngtrìnhkhoângñoåi khi thayx bôûi π +x.
* t =cos2x: neáucaû3 caùchtreânñeàuñuùng
x
* t =tg : neáucaû3 caùchtreânñeàukhoângñuùng.
2
14. Phöông trình ñaëc bieät :
TRANG 11
- u= 0
* u2 + v2 = 0 ⇔
v= 0
u= v
u= C
* u≤ C ⇔
v≥ C v= C
u≤ A
u= A
* v≤ B ⇔
u+ v = A + B v = B
sinu = 1 sinu = −1
* sinu.cosv=1 ⇔ ∨
cos = 1 cos = −1
v v
sinu = 1 sinu = −1
* sinu.cosv=– 1 ⇔ ∨
cos = −1 cos = 1
v v
Töôngtöï cho: sinu.sinv=± 1, cosu.cosv=± 1.
15. Heä phöông trình : Vôùi F(x) laø sin, cos,tg, cotg
F(x) ± F(y) = m (1)
a. Daïng1 : . Duøngcoângthöùcñoåi +thaønhnhaân,
x± y = n (2)
x+ y = a
theá(2) vaøo(1) ñöaveàheäphöôngtrình:
x− y = b
F(x).F(y) = m
b. Daïng2 : . Töôngtöï daïng1, duøngcoângthöùcñoåi nhaân
x± y = n
thaønh+.
F(x) / F(y) = m
c. Daïng3 : .
x± y = n
a c a+ c a− c
Duøng tæ leä thöùc : = ⇔ = bieán ñoåi phöôngtrình (1) roài
b d b+ d b− d
duøng
coângthöùcñoåi +thaønhx.
d. Daïngkhaùc: tìmcaùchphoáihôïp2 phöôngtrình,ñöaveàcaùcpt cô baûn.
16. Toaùn ∆ :
* Luoâncoùsaün1 pt theoA, B, C : A +B +C =π
* A +B buøvôùi C, (A +B)/2 phuï vôùi C/2.
* A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2)
A +B ∈ (0, π) ; (A +B)/2 ∈ (0, π/2) ;
A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2)
Duøngcaùctínhchaátnaøyñeåchoïnk.
* Ñoåi caïnhra goùc(ñoâikhi ñoåi goùcra caïnh): duøngñònhlyù haømsin :
TRANG 12
- a = 2RsinA hay ñònh lyù haøm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA
1 1 abc
* S = ah = absinC =
a = pr
2 2 4R
= p(p − a)(p − b)(p − c)
1
* Trung tuyeán : ma = 2b2 + 2c2 − a2
2
A
2bccos
* Phaân giaùc : ℓa = 2
b+ c
IV- TÍCH PHAÂN
1. Ñònh nghóa, coâng thöùc, tính chaát :
* F laø 1 nguyeânhaømcuûaf ⇔ f laø ñaïohaømcuûaF.
Hoï taátcaûcaùcnguyeânhaømcuûaf :
∫ f (x)dx=F(x) +C (C ∈ R)
uα+1
∫ du = u + C ; ∫ u du =
α
* +C, α ≠ – 1
α +1
du
∫ = ln u + C; ∫ eudu = eu + C; ∫ audu= au / lna + C
u
∫ sin udu = − cos u + C ; ∫ cosudu= sinu + C
∫ du/ sin u = − cotgu+ C ∫ du/ cos u = tgu+ C
2 2
;
b
∫ f(x)dx = F(x) = F(b) − F(a)
b
* a
a
a b a c b c
* ∫a = 0 ; ∫a = −∫b , ∫a= ∫a + ∫b
b b b b b
∫ (f + g) = ∫ f + ∫ g ; ∫ kf = k∫ f
a a a a a
2. Tích phaân töøng phaàn :
∫ udv = uv − ∫ vdu
Thöôøngduøngkhi tínhtích phaâncaùchaømhoãnhôïp.
a. ∫ xnex , ∫ xn sinx ; ∫ xn cos : u = xn
x
∫ x lnx : u = lnx
n
b.
∫ e sinx , ∫ e cosx : u = e haydv= e dx
x x x x
c.
töøngphaàn2 laàn,giaûi phöôngtrìnhaånhaømʃ
3. Caùc daïng thöôøng gaëp :
a. ∫ sinm x.cos n+1 x
2
: u =sinx.
TRANG 13
- ∫ cos x.sin x :
m 2n+1
u = cosx.
∫ sin x.cos x
2m 2n
: haï baäc veà baäc 1
∫ tg x / cos x
2m 2n
b. : u = tgx (n ≥ 0)
∫ cotg x / sin x :
2m 2n
u = cotgx (n ≥ 0)
c. ∫ chöùa a – u 2 2
: u = asint
∫ chöùa u – a 2 2
: u = a/cost
∫ chöùa a + u 2 2
: u = atgt
d. ∫ R(sinx,cosx) , R : haøm höõu tyû
R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx
R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx
R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx ∨ u = cotgx
x
R ñôn giaûn : u = tg
2
π/2
π
∫ :thöû u =
ñaët
2
−x
0
π
∫ :thöû u = π − x
ñaët
0
∫ x (a+ bx ) , (m+ 1) / n∈ Z : u = a+ bx
m n p/ q q n
e.
m+ 1 p
f. ∫ xm(a + bxn )p/ q,
n
+ ∈ Z : uqxn = a + bxn
q
1
∫ dx/[(hx+ k) ax + bx+ c : hx+ k =
2
g.
u
h. ∫ R(x, (ax+ b) /(cx+ d) , R laø haøm höõu tyû : u = (ax+ b) /(cx+ d)
i. ∫ chöùa (a + bx ) k m/n
: thöû ñaët un = a + bxk.
4. Tích phaân haøm soá höõu tyû :
∫ P(x) / Q(x) : baäcP
- b
a. D giôùi haïn bôûi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : SD = ∫ f (x) dx
a
f(x) : phaân thöùc höõu tæ : laäp BXD f(x) treân [a,b] ñeå môû ;
.
f(x) : haøm löôïng giaùc : xeùt daáu f(x) treân cung [a, b] cuûa
ñöôøng troøn löôïng giaùc.
b. D giôùi haïn bôûi x = a, x = b , (C) : y = f(x)
b
(C') : y = g(x) : SD = ∫ f (x) − g(x) dx
a
Xeùt daáu f(x) – g(x) nhö tröôøng hôïp a/.
c. D giôùi haïn bôûi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0
f(x)
b
α/ SD = ∫ f(x) − g(x) dx
g(x a
)
x= x=
a b y= b
β/ SD = ∫ f(y) − g(y) dy
g(y b
f(y) a
) y=
Vôùi tröôøng hôïp α) : neáu bieân treân hay bieân döôùi bò
a
gaõy, ta caét D baèng caùc ñöôøng thaúng ñöùng ngay choã
gaõy.
Vôùi tröôøng hôïp β) : neáu bieân phaûi hay bieân traùi bò
gaõy, ta caét D baèng caùc ñöôøng ngang ngay choã gaõy.
Choïn tính ∫ theo dx hay dy ñeå ∫ deã tính toaùn hay D ít bò
chia caét.
Caàn giaûi caùc heä phöông trình toïa ñoä giao ñieåm.
Caàn bieát veõ ñoà thò caùc hình thöôøng gaëp : caùc haøm cô
baûn, caùc ñöôøng troøn, (E) , (H), (P), haøm löôïng giaùc, haøm
muõ, haøm . .
Caàn bieát ruùt y theo x hay x theo y töø coâng thöùc f(x,y) =
0 vaø bieát choïn + hay −
( y = ...+ : treân = ...−
,y : döôùi = ...+
,x : phaûi = ...−
,x )
: traùi
6. Tính theå tích vaät theå troøn xoay :
a. D nhö 5.a/xoayquanh (Ox) : f(x
b
)
V = π ∫ [ f (x)] 2dx a b
a
b f(y
a )
TRANG 15
- b
b. V = π ∫ [ f (y)] 2dy
a f(x)
b g(x
c. V = π ∫ [f 2(x) − g2(x)]dx
a ) b
a
b
b
f(y
d. V = π ∫ [f 2(y) − g2(y)]dy g(y)
)
a a
f(x f(x) -g(x)
c b
a ) b
e. V = π ∫ f 2(x)dx+ π ∫ g2(x)dx
a c c
a b
g(x
0)
c b b f(y)
f. V = π ∫ g (y)dy+ π ∫ f 2(y)dy
2
a c
c
a -g(y)
Chuù yù : xoay quanh (Ox) : ∫ ...dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ ... dy.
V- KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ
0 ∞
1. Tìm lim daïng , daïng 1 :
0
P(x) (x − a)P1(x) P
a. Phaânthöùchöõutyû: lim (daïng/ 0) = lim
0 = lim 1
x→a Q(x) x→a (x − a)Q1(x) x→a Q1
f (x) sinu
b. Haømlg : lim (daïng/ 0),duøng thöùc
0 coâng lim =1
x→a g(x) u→0 u
f (x)
c. Haømchöùacaên: lim (daïng/ 0) , duønglöôïnglieânhieäp:
0
x→a g(x)
a2 – b2 = (a – b)(a + b) ñeå phaù , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab +
b2) ñeå phaù 3
∞
d. Haøm chöùa muõ hay log (daïng 1 ) : duøng coâng thöùc
lim(1+ u)1/ u = e
u→0
2. Ñaïo haøm :
f (x) − f (xo )
a. Tìm ñaïohaømbaèngñònhnghóa: f '(x0) = lim
x→xo x − xo
TRANG 16
- Taïi ñieåm xo maø f ñoåi coâng thöùc, phaûi tìm ñaïo haøm töøng
phía :
/ /
f+ (xo ) = lim ,f− (xo ) = lim . Neáu f / (x ) = f / (x ) thì f coù ñaïo haøm
x→x + x→x− + o − o
o o
taïi xo.
b. YÙ nghóa hình hoïc :
k = tgα = f/(xM)
α
c. f/ + : f ↑ , f/ – : f ↓ f(x M
f// + : f loõm , f// – : f loài )
f / (xM ) = 0
d. f ñaït CÑ taïi M ⇔ //
f (xM ) < 0
f / (xM ) = 0
f ñaït CT taïi M ⇔ //
f (xM ) > 0
M laø ñieåm uoán cuûa f ⇔ f//(xM) = 0 vaø f// ñoåi daáu khi qua xM.
α α
e. Tính ñaïo haøm baèng coâng thöùc : C/ = 0, (x )/ = αx –1 , (lnx)/ =
1
1/x , ( loga x) ′ = , (ex)/ = ex
xlna
(a ) = a .lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x,
x / x
(cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u ± v)/ = u/ ± v/, (uv)/ = u/v + uv/ ,
(u/v)/ = (u/v – uv/)/v2
* Haøm hôïp : (gof)/ = g/[f(x)] . f/(x)
* Ñaïo haøm loâgarit : laáy log (ln : cô soá e) 2 veá , roài ñaïo
haøm 2 veá; aùp duïng vôùi haøm [f(x)] g(x) hay f(x) daïng tích,
thöông, chöùa n ...
f. Vi phaân : du = u/dx
3. Tieäm caän :
x a limy = ∞ ⇒ x =a : tcñ
x→a
y ∞ ∞
x −∞ +∞
lim y = b ⇒ y =b : tcn
x→∞
y b
x −∞ +∞
lim[y − (ax+ b)] = 0 ⇒ y =ax +b : tcx
x→∞
y ∞ ∞
* Veõ ñoàthòcoùtieämcaän:
- t c ñ : khi y caøngtieánveà± ∞ thì ñöôøngcongcaønggaànñöôøngt c .
- t c x :khi x vaøy caøngtieánveà± ∞ thì ñöôøngcongcaønggaànñöôøngt c.
- t c n :khi x caøngtieánveà± ∞ thì ñöôøngcongcaønggaànñöôøngt c.
TRANG 17
- P(x)
* Xeùt y =
Q(x)
• Coù tcñ x = a khi Q(a) = 0, P(a) ≠ 0
• Coù tcn khi baäc P ≤ baäc Q : vôùi x → ∞, tìm lim y baèng
caùch laáy soá haïng baäc cao nhaát cuûa P chia soá haïng baäc
cao nhaát cuûa Q.
• Coù tcx khi P hôn Q 1 baäc, khi ñoù chia ña thöùc ta coù :
P (x)
f (x) = ax+ b + 1 , tcx laø y = ax + b. Neáu Q = x – α, coù theå
Q(x)
chia Honer.
* Bieän luaän tieäm caän haøm baäc 2 / baäc 1 :
c
y = ax + b + (d≠ 0)
dx + e
• a ≠ 0, c ≠ 0: coù tcñ, tcx
• a = 0, c ≠ 0 : coù tcn, tcñ.
• c = 0 : (H) suy bieán thaønh ñt, khoâng coù tc.
4. Ñoà thò caùc haøm thöôøng gaëp :
a/ y =ax +b : a< a=
a>
b/ y = ax bx + c
2
+ 0 0
0
c/ y = ax3 + bx2 + c + d
a>0 a 0 :
0
a0
a
0 0
e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c ≠ 0)
ad - bc > 0 ad - bc < 0
ax2 + bx+ c
f/ y = (ad ≠ 0)
dx+ e
0 =0
- ad > 0
ad < 0
5. ÑOÁI XÖÙNG ÑOÀ THÒ : x= y>
g(x) =f(–x) : ñx qua(Oy) a y=
b
g(x) =– f(x) : ñx qua(Ox) b y< b
x < ax > b
(C/) : y = f (x) : giöõ nguyeân phaàn (C) beân treân y = 0, laáy
a a
phaàn (C) beân döôùi y = 0 ñoái xöùng qua (Ox).
(C/) : y = f ( x ) : giöõ nguyeân phaàn (C) beân phaûi x = 0, laáy
phaàn (C) beân phaûi x = 0 ñoái xöùng qua (Oy).
6. ÑIEÅM ÑAËC BIEÄT CUÛA (Cm) : y = f(x, m)
a/ Ñieåm coá ñònh : ,M(x ∈ (Cm), ∀m ⇔ yo = f(xo, m), ∀m ⇔ Am +
o yo)
A =0
A =0
B = 0, ∀m (hay Am2 + Bm + C = 0, ∀m) ⇔ (hay B = 0 ).
B=0 C= 0
Giaûi heä, ñöôïc M.
b/ Ñieåm (Cm) khoâng ñi qua, ∀m : M(xo, yo) ∉ (Cm), ∀m ⇔ yo ≠
f(xo,m), ∀m ⇔ yo = f(xo, m) VN m ⇔ Am + B = 0 VN m (hay Am 2 +
A =0
A = 0 A ≠ 0
Bm + C = 0 VN m) ⇔ (hay B = 0 ∨ ). Giaûi heä ,
B≠ 0 C≠ 0 ∆ < 0
ñöôïc M.
A B ≠ 0
Chuù yù : = C VN ⇔ B = 0 ∨
B A = BC VN
c/ Ñieåm coù n ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñi qua : Coù n ñöôøng
(Cm) qua M(xo, yo) ⇔ yo = f(xo, m) coù n nghieäm m. Caàn naém
vöõng ñieàu kieän coù n nghieäm cuûa caùc loaïi phöông trình :
baäc 2, baäc 2 coù ñieàu kieän x ≠ α, baäc 3, truøng phöông.
7. TIEÁP XUÙC, PHÖÔNG TRÌNH TIEÁP TUYEÁN :
a. (C) : y = f(x), tx /)(C y = g(x) khi heä phöông trình sau coù
:
yC = yC/
nghieäm : / /
. Nghieäm x cuûa heä laø hoaønh ñoä tieáp
y C = y C/
ñieåm.
b. Tìm tieáp tuyeán vôùi (C) : y = f(x)
TRANG 19
- * Taïi M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo.
* Qua M (xo, yo): vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua M : (d) : y
= k(x – xo) + yo. Duøng ñieàu kieän tx tìm k. Soá löôïng k = soá
löôïng tieáp tuyeán (neáu f baäc 3 hay baäc 2 / baäc 1 thì soá
nghieäm x trong heä phöông trình ñk tx = soá löôïng tieáp
tuyeán).
* // (∆) : y = ax + b : (d) // (∆) ⇒ (d) : y = ax + m. Tìm m nhôø ñk
tx.
1
* ⊥ (∆) : y = ax + b (a ≠ 0) : (d) ⊥ (∆) ⇒ (d) : y = − x + m. Tìm m
a
nhôø ñk tx.
c. Baøi toaùn soá löôïng tieáp tuyeán : tìm M ∈ (C/) : g(x, y) = 0 sao
cho töø M keû ñöôïc ñeán (C) ñuùng n tieáp tuyeán (n = 0, 1,
2, ...), M(xo,yo) ∈ (C/) ⇔ g(xo,yo) = 0; (d) qua M : y = k(x – x o) + yo;
yC = yd
(d) tx (C) : / (1). Theá k vaøo (1) ñöôïc phöông trình aån x,
y C = k
tham soá xo hay yo. Ñaët ñk ñeå phöông trình naøy coù n
nghieäm x (soá nghieäm x = soá tieáp tuyeán), tìm ñöôïc x o hay
yo.
8. TÖÔNG GIAO :
* Phöông trình hñ ñieåm chung cuûa (C) : y =/)f(x) = g(x) laø : f(x)
: y vaø (C
= g(x). Soá nghieäm pt = soá ñieåm chung.
* Tìm m ñeå (Cm) : y = f(x, m) vaø (C/m) : y = g(x, m) coù n giao
ñieåm : Vieát phöông trình hoaønh ñoä ñieåm chung; ñaët ñk ñeå
pt coù n nghieäm. Neáu pt hoaønh ñoä ñieåm chung taùch ñöôïc
m sang 1 veá : F(x) = m : ñaët ñieàu kieän ñeå (C) : y = F(x) vaø
(d) : y = m coù n ñieåm chung.
* Bieän luaän söï töông giao cuûa (Cm) vaø (C/m) :
• Neáu pt hñ ñieåm chung daïng : F(x) = m : laäp BBT cuûa F;
soá ñieåm chung cuûa (Cm) vaø (C/m) = soá ñieåm chung cuûa (C)
vaø (d).
• PThñ ñieåm chung, khoâng taùch ñöôïc m, daïng f(x) = ax 2 +
bx + c = 0 (x ≠ α) hay daïng baäc 3 : x = α ∨ f(x) = 0 : laäp ∆,
xeùt daáu ∆, giaûi pt f(x) = 0 ñeå bieát m naøo thì α laø nghieäm
cuûa f, vôùi m ñoù, soá nghieäm bò bôùt ñi 1.
9. CÖÏC TRÒ :
⇔ f/
* f coù ñuùng n cöïc tròñoåi daáu n laàn.
f / (xo ) = 0
* f ñaït cöïc ñaïi taïi xo ⇔ //
f (xo ) < 0
f / (xo ) = 0
f ñaït cöïc tieåu taïi xo ⇔ //
f (xo ) > 0
TRANG 20
nguon tai.lieu . vn
