Xem mẫu
- Bài 1. Bài tập sử dụng công th ức nguyên hàm, tích phân
CHƯƠNG II. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN B ẤT ĐỊNH
1. Định nghĩa:
• Giả sử y = f(x) liên tục trên khoảng ( a, b), khi đó hàm s ố y = F(x) là một
nguyên hàm c ủa hàm số y = f(x) khi và chỉ khi F′ (x) = f(x), ∀x∈(a, b).
• Nếu y = F(x) là một nguyên hàm c ủa hàm s ố y = f(x) thì tập hợp tất c ả các
nguyên hàm c ủa hàm số y = f(x) là tập hợp I = { F( x ) + c c ∈ R} và t ập hợp
∫ f ( x )dx = F( x ) + c
này còn được kí hi ệu d ưới d ấu tích phân b ất đ ịnh I =
2. Vi phân:
Giả sử y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại điểm x∈(a,b).
2.1
Cho x một số gia ∆ x sao cho (x + ∆ x) ∈ (a,b), khi đó ta có:
dy = y ′ ( x ) ∆x
• Công thức vi phân theo số gia :
df ( x ) = f ′ ( x ) ∆x
• Công thức bi ến đ ổi vi phân:
Chọn hàm số y = x ⇒ dy = dx = x’.∆ x = ∆ x ⇒ dx = ∆ x.
dy = y ′ ( x ) ∆x dy = y ′ ( x ) dx
⇔
Vậy ta có:
df ( x ) = f ′ ( x ) ∆x df ( x ) = f ′ ( x ) dx
• N ếu hàm s ố f(x) có vi phân tại điểm x thì ta nói f(x) khả vi tại đi ểm x.
Do df ( x ) = f ′ ( x ) ∆x nên f(x) khả vi tại điểm x ⇔ f(x) có đ ạo hàm tại đi ểm x
Giả sử u và v là 2 hàm s ố cùng kh ả vi t ại đi ểm x. Khi đó:
2.2. T ính chất:
() udv − vdu
d ( u ± v ) = du ± dv ; d ( uv ) = udv + vdu ; d u =
v v2
2.3 Vi phân c ủ a hàm hợp
y = f (u )
và f, g khả vi thì dy = f ′ ( u ) du = f ( u ) u′ ( x ) dx
Nếu
u = g( x )
1
- Chươ ng II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương
3. Quan hệ giữa đ ạo hàm − nguyên hàm và vi phân:
∫ f ( x ) dx = F ( x ) + c ⇔ F ′ ( x ) = f ( x ) ⇔ dF ( x ) = f ( x ) dx
4. Các tính ch ất c ủa nguyên hàm và tích phân
Nếu f(x) là hàm số có nguyên hàm thì
4.1.
( ∫ f ( x ) dx ) = f ( x ) dx
′
( ∫ f ( x ) dx ) = f ( x) ; d
Nếu F( x) có đạo hàm thì:
4.2.
∫ d ( F ( x) ) = F ( x) + c
4.3. Phép c ộng: Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:
∫ f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx
Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:
4.4. Phép tr ừ:
∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx
4.5. Phép nh ân v ới một hằng số thực khác 0:
∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx , ∀k ≠ 0
4.6. C ông thức đổi biến số: Cho y = f(u) và u = g(x).
∫ f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) dx = ∫ f ( u ) du = F ( u ) + c
∫ f ( x ) dx = F ( x ) + c
Nế u thì
∫ f ( x ) dx = F ( x ) + c
5. Nhận xét: Nếu với F( x) là hàm s ơ c ấp thì ta nói tích
∫ f ( x ) dx biểu diễn được dưới dạng hữu hạn. Ta có nhận xét:
phân bất đ ịnh
Nếu một tích phân bất đ ịnh bi ểu di ễn đ ược d ưới d ạng h ữu h ạn thì hàm s ố
dưới dấu tích phân là hàm s ơ c ấp và đi ều ng ược l ại không đúng, t ức là có
nhiều hàm số d ưới dấu tích phân là hàm s ơ c ấp nh ưng tích phân b ất đ ịnh
không biểu di ễn được d ưới d ạng h ữu h ạn m ặc dù nó t ồn t ại. Ch ẳng h ạn
b ất đ ịnh t ồn t ại
các tích phân sau
2
- Bài 1. Bài tập sử dụng công th ức nguyên hàm, tích phân
dx sin x cos x
∫e ∫ ln x ; ∫ ∫ ∫
− x2
dx ; sin x dx ; dx ; dx
x x
nhưng chúng không th ể bi ểu di ễn đ ược d ưới d ạng h ữu h ạn.
3
- Chươ ng II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương
II. TÍCH PHÂN XÁC Đ ỊNH
1. Định nghĩa:
Giả sử hàm số f(x) xác đ ịnh và b ị ch ặn trên đo ạn [ a, b]. Xét một phân ho ạch
π bất kì c ủa đo ạn [ a, b], tức là chia đo ạn [ a, b] thành n ph ần tuỳ ý b ởi các
điểm chia: a = x0 < x1 < ... < xn −1 < xn = b . Trên mỗi đoạn [ xk −1 , xk ] lấy bất kì
điểm ξk ∈ [ xk −1 , xk ] và gọi ∆ k = xk − xk −1 là độ dài c ủa [ xk −1 , xk ] . Khi đó:
n
∑ f (ξ ) ∆ = f ( ξ1 ) ∆1 + f ( ξ 2 ) ∆2 + ... + f ( ξ n ) ∆n gọi là tổng tích phân c ủa hàm
k k
k =1
f(x) trên đoạn [ a, b]. Tổng tích phân này ph ụ thu ộc vào phân ho ạch π, số
khoảng chia n và ph ụ thu ộc vào cách ch ọn đi ểm ξk.
n
∑ f (ξ ) ∆
lim
Nếu t ồn t ại (là một số xác định) thì gi ới h ạn này g ọi là
k k
Max∆k →0
k =1
b
∫ f ( x ) dx
tích phân xác đ ịnh c ủa hàm s ố f(x) trên đo ạn [ a, b] và kí hiệu là:
a
Khi đó hàm s ố y = f(x) được gọi là khả tích trên đo ạn [ a, b]
2. Điều kiện kh ả tích:
Các hàm liên tục trên [ a, b], các hàm b ị chặn có h ữu hạn đi ểm gián đo ạn trên
[a, b] và các hàm đơn điệu b ị ch ặn trên [ a, b] đều khả tích trên [a, b].
3. Ý nghĩa hình h ọc:
b
∫ f ( x ) dx
Nếu f(x) > 0 trên đo ạn [ a, b] thì là diện tích c ủa hình thang cong
a
giới hạn bởi các đ ường: y = f(x), x = a, x = b, y = 0
y
C3 N k-1
C 2 B2 Bk
Ck Nk
C n Bn
Bk+1
Nn
C 1 B1
N1 C n-1
O
ξ1 x1 ξ2 x2 ... ... ξk-1 xk-1 ξk xk ... ... ... ... ξn-1 xn-1ξn xn =b x
a =x0
4
- Bài 1. Bài tập sử dụng công th ức nguyên hàm, tích phân
4. Các định lý, tính chất và công th ức c ủa tích phân xác đ ịnh:
4.1. Định lý 1: N ếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên đoạn [a, b]
f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(x) ≤ g(x),∀x∈[a, b]
4.2. Định lý 2: N ếu
b b
∫ ∫
f ( x ) dx ≤ g ( x ) dx . Dấu bằng xảy ra ⇔ f(x) ≡ g(x), ∀x∈[a, b]
thì
a a
4.3. C ông thức Newton Leipnitz:
b
f ( x ) dx = F ( x ) + c thì ∫ f ( x ) dx = F ( x ) = F ( b) − F ( a )
b
∫
Nế u a
a
b b b
f ( x ) + g ( x ) dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx
∫ ∫ ∫
4.4. Phép c ộng:
a a a
b b b
f ( x ) − g ( x ) dx = f ( x ) dx − g ( x ) dx
∫ ∫ ∫
4.5. Phép tr ừ:
a a a
b b
∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx , ∀k ≠ 0
4.6. Phép nh ân v ới một hằng số khác 0:
a a
b a a
f ( x ) dx = − f ( x ) dx ; ∫ f ( x ) dx = 0
∫ ∫
4.7. C ông thức đả o c ận t ích phân:
a b a
b c b
f ( x ) dx = f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
∫ ∫
4.8. C ông thức tách cận t ích ph ân:
a a c
4.9. C ông thức đổi biến số:
Cho y = f(x) liên tục trên đo ạn [ a, b] và hàm x = ϕ(t) khả vi, liên t ục trên
đoạn [m, M] và t∈[ m,M ] ϕ ( t ) = a; t∈[ m,M ] ϕ ( t ) = b ; ϕ ( m ) = a;ϕ ( M ) = b .
Min Max
b M
f ( x ) dx = ∫ f [ ϕ ( t ) ] ϕ ′ ( t ) dt
∫
Khi đó ta có:
a m
4.10. C ông thức t ích ph ân t ừng phần:
Giả sử hàm s ố u(x), v(x) khả vi, liên tục trên [ a, b], khi đó:
b b
b
∫ ∫
u ( x ) v ′ ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) − v ( x ) u ′ ( x ) dx
a
a a
5
- Chươ ng II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương
Iii. B¶ng c«ng thøc nguyªn hµm më réng
α +1
( ax + b ) α dx = 1 ax + b
1
∫ cos ( ax + b ) dx = a sin ( ax + b )
∫ +c
+ c ,α ≠ −1
÷
a α +1
−1
dx 1
∫ ax + b = a ln ax + b + c ∫ sin ( ax + b ) dx = cos ( ax + b ) + c
+c
a
1 ax +b 1
∫e ∫ tg ( ax + b ) dx = − a ln cos ( ax + b )
ax + b
dx = +c +c
e
a
1 1
∫m ∫ cotg ( ax + b ) dx = a ln sin ( ax + b )
ax + b
m ax + b + c
dx = +c
a ln m
−1
dx
dx 1 x
∫ sin
∫a = cotg ( ax + b ) + c
= arctg + c
( ax + b ) a
2
2 2
+x a a
a+x dx 1
dx 1
∫ cos tg ( ax + b ) + c
∫a =
= +c
ln
( ax + b )
2
2a a − x a
2 2
−x
= ln ( x + x 2 + a 2 ) + c
dx x x
∫ ∫ arcsin a dx = x arcsin a + a2 − x2 + c
2 2
x +a
dx x x x
∫ ∫ arccos a dx = x arccos a −
= arcsin +c a2 − x2 + c
a
2 2
a −x
dx 1 x x x a
∫ arctg a dx = x arctg a − 2 ln ( a + x2 ) + c
∫x = arccos + c 2
a a
2 2
x −a
1 a + x2 + a2 x xa
dx
∫ arc cotg a dx = x arc cotg a + 2 ln ( a + x2 ) + c
∫
2
= − ln +c
a x
x x2 + a2
ax + b
b dx 1
∫ ln ( ax + b ) dx = x + a ÷ln ( ax + b ) − x + c ∫ sin ( ax + b ) = a ln tg +c
2
ax + b
dx 1
x a2 − x2 a2 x
∫ sin ( ax + b ) = a ln tg
∫ +c
a 2 − x 2 dx = + arcsin + c
2
2 2 a
eax ( a sin bx − b cos bx ) e ax ( a cos bx + b sin bx )
∫ ∫
eax sin bx dx = +c e ax cos bx dx = +c
a 2 + b2 a2 + b2
6
- Bài 1. Bài tập sử dụng công th ức nguyên hàm, tích phân
IV. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG TH ỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12
Các công thức có m ặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi s ử d ụng ph ải
chứng minh lại bằng cách trình bày d ưới d ạng b ổ đ ề. Có nhi ều cách ch ứng
minh bổ đ ề nh ưng cách đ ơn gi ản nh ất là ch ứng minh b ằng cách l ấy đ ạo
hàm
x−a a+x
dx 1 dx 1
∫x ∫a
= +c; = +c
ln ln
Chứng minh:
1. Ví dụ 1:
2a x + a 2a a − x
2 2 2 2
−a −x
x−a
11 1 1 dx dx 1
dx
∫x ∫ ∫ ∫
= − ÷ dx = − ÷ = ln +c
Chứng minh:
2a x − a x + a 2a x − a x + a 2a x + a
2 2
−a
d( a − x)
1 dx 1 a+x
11 1
dx
∫a ∫ ∫ ∫
= + ÷dx = − ÷= +c
ln
2a a + x a − x 2a a + x a−x 2a a − x
2 2
−x
= ln ( x + x 2 + a2 ) + c
dx
∫
Chứng minh rằng:
2. Ví dụ 2:
2 2
x +a
( )′
′ 1 + x2 + a2
( )
Chứng minh: Lấy đạo hàm ta có: ln x + x 2 + a 2 + c = =
x + x2 + a2
x + x2 + a2
1 x 1 1
= 1 + = × =
÷
x + x2 + a2 x2 + a2 x + x2 + a2 x2 + a2 x2 + a2
dx 1 x
∫a = u + c (với tg u = )
Chứng minh rằng:
3. Ví dụ 3: 2 2
a
+x a
d ( a tg u )
)
(
dx 1 1
x ππ
∫ ∫ ∫
=2 = du = u + c
, u∈ − ,
Đặt tg u = ⇒2
a ( 1 + tg u ) a
2
a
a +x 2
22
a
dx
= u + c (với sin u = x , a > 0)
∫
Chứng minh rằng:
4. Ví dụ 4: 2 2
a −x a
d ( a sin u )
dx
x
∫ ∫ ∫
ππ
,u∈ − , ⇒ = = du = u + c
Đặt sin u =
a 2 ( 1 − sin 2 u )
2 2
2 2
a −x
a
Trướ c năm 2001, SGK12 có cho s ử d ụng công th ức nguyên hàm
Bình luận:
dx x
dx 1 x
∫
∫ = arcsin + c (a > 0) nhưng sau đó không
= arctg + c và
a
2 2
a +x a a 2 2
a −x
giống bất cứ n ước nào trên th ế gi ới, h ọ l ại c ấm không cho s ử d ụng khái ni ệm
hàm ngược arctg x, arcsin x. Cách trình bày trên để khắc phục lệnh cấm này.
7
- Chươ ng II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương
V. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN Đ ƠN GI ẢN
V.1. CÁC KỸ NĂNG C Ơ B ẢN:
1. Biểu di ễn luỹ thừa d ạng chính t ắc:
m m
1
x = xn ;
nk
n
xm = x n ; x m = x nk
n
−m
1
−m
1
−1
1 1 =x nk
= x−n ; n = x n ; =x n
;
xn n nk
xm
x xm
2. Biến đổi vi phân:
dx = d(x ± 1) = d(x ± 2) = … = d(x ± p)
adx = d(ax ± 1) = d(ax ± 2) = … = d(ax ± p)
)( )
( x± p
1
dx = d x ± 1 = d x ± 2 = L = d ÷
a a a
a
V.2. CÁC BÀI T ẬP MẪU MINH HO Ạ
( x 3 − 1) + 1
x3 1
dx = ∫ dx = ∫ x 2 + x + 1 +
∫ x −1
1. ÷dx
x −1 x −1
d ( x − 1) 13 12
∫( x )
+ x + 1 dx + ∫
= = x + x + x + ln x − 1 + c
2
x −1 3 2
1
( 4 x + 7 ) − 7 4 x + 7 dx
∫x 4∫
4 x + 7 dx =
2.
1 2 3
1 2
3 5
1
∫ ( 4 x + 7 ) 2 − 7 ( 4 x + 7 ) 2 d ( 4 x + 7 ) = 16 5 ( 4 x + 7 ) 2 − 7 ×3 ( 4 x + 7 ) 2 + c
=
16
d ( 2 x) 10
dx 1 1
3. I 17 = ∫ ∫
= = x ÷+ c
arctg
( 2 x) + ( 5 )
2x + 5
2 2 2
2 5
10
d ( 2x ) 2x
1 1
dx 1 1 1
()
∫ 2 x + 5 ln 2 ∫ 2 x ( 2 x + 5) 5 ln 2 ∫ 2 2 + 5
= = x− x ÷d 2 = +c
x
ln x
4.
5 ln 2 2 + 5
cos 5 x
∫ 1 − sin x dx = ∫ cos x ( 1 + sin x ) dx = ∫ ( 1 − sin x ) cos x + cos x sin x dx
3 2 3
5.
sin 3 x cos 4 x
= ∫ ( 1 − sin 2 x ) d ( sin x ) − ∫ cos 3 xd ( cos x ) = sin x − − +c
3 4
8
- Bài 1. Bài tập sử dụng công th ức nguyên hàm, tích phân
V.3. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN Đ ỌC T Ự GI ẢI
( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 ) 7x − 3 3x 2 − 7x + 5
J1 = ∫ dx ; J 2 = ∫ dx ; J 3 = ∫ dx
2x + 5 x−2
xx
2x 3 − 5x 2 + 7x − 10 4x 2 − 9x + 10 2x 2 − 3x + 9
J4 = ∫ dx ; J 5 = ∫ dx ; J 6 = ∫ dx
( x − 1) 10
x −1 2x − 1
x 3 − 3x 2 + 4x − 9 2x 3 + 5x 2 − 11x + 4
J7 = ∫ dx ; J 8 = ∫ dx
( x − 2 ) 15 ( x + 1) 30
∫ (x )
∫ ( x + 3) ( x − 1) ∫ ( x − 1) ( 5x + 2) + 3x − 5 ( 2x − 1) dx
100 3 2 15 33
J9 = dx ; J 10 = dx ; J 11 = 2
x 2 − 3x + 5
( ) ( )
4
J12 = ∫ 2x 2 + 3 . 5 ( x − 1) dx ; J13 = ∫
3
dx ; J14 = ∫ x 4 . 9 2x 5 + 3 dx
( 2x + 1) 4
7
x9 x3
x
J15 = ∫ dx ; J16 = ∫ dx ; J17 = ∫ dx
( 2 − 3x )
4
x + x2 −1 x − x2 −1
10
5
dx dx dx
J18 = ∫ ; J19 = ∫ 2 ; J 20 = ∫ 2
( )( ) ( )( )
( x − 2) ( x + 5) 2
x − 2 x2 + 3
x +2 x +6
x dx dx dx
J 21 = ∫ ; J 22 = ∫ ; J 23 = ∫
(x )( ) ( 3x )( ) ( 2x )( )
2
− 3 x2 − 7 2
+ 7 x2 + 2 2
+ 5 x2 − 3
ln 2 ln 2 ln 2 ln 2
e 2x dx 1 − ex
dx
∫ ∫ ∫ ∫
e x + 1 dx ; J 27 =
J 24 = ; J 25 = ; J 26 = dx
1 + ex
ex − 1 ex + 1
1 0 0 0
( ) ( )
2 2
1 1 + ex 1 1 + ex
dx
1 1
e − x dx dx
=∫ ; J 29 = ∫ ; J 30 = ∫ 2x ; J 31 = ∫
J 28 dx
−x
1 + e 2x + ex e3x
0 1+ e 0e
0 0
ln 2 ln 4 1 e
e −3x dx 1 + ln x
dx dx
∫ ∫ ; J 34 = ∫ ; J 35 = ∫
J 32 = ; J 33 = dx
e x +3 −x −x
x
e − 4e 0 1+ e
x
0 0 1
3 1 1
( )
6
∫ x 5 1 + x 2 dx ; J 37 = ∫ x 5 1 − x 3 dx ; J 38 = ∫ x 3 1 − x 2 dx
J 36 =
0 0 0
( )
2
1 2 x + 1 dx
1 1 1
dx dx
=∫ x ; J 40 = ∫ x ; J 41 = ∫ ; J 42 = ∫ e 2x 1 + e x dx
J 39 −x
4− x
0 4 +3 0 4 +2 0 0
9
nguon tai.lieu . vn
