Xem mẫu
- Phương pháp gi i toán Sưu t m:Lê Ng c Sơn_SP Toán K07_TayNguyenUniversity
M TS BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM_TÍCH PHÂN
A. NGUYÊN HÀM:
I. D ng 1:
Tính nguyên hàm sau:
dx
I= ∫
ax 2 + bx + c
Phương pháp :
ð t t = 2ax + b ⇒ dt = 2adx khi ñó ta có :
1
ax 2 + bx + c = (t 2 + (b 2 − 4ac)
4
Do ñó ta có:
dx 1 dt
I= ∫ ∫12
=
ax 2 + bx + c 2a
(t − 4ac)
4a
ð i v i d ng J= ∫ ax 2 + bx + c .dx ta cũng làm tương t .
II. M t s d ng khác :
mx + n
A =∫
• dx
ax 2 + bx + c
B = ∫ (mx + n) ax 2 + bx + c dx
•
⇒ Ta bi n ñ i mx + n = 2ax + b + f ( x)
dx
∫ (mx + n)
• C=
ax 2 + bx + c
1
⇒ð t t =
mx + n
III. D ng 2:Tính nguyên hàm b ng phép th Ơle :
∫ R ( x, ax 2 + bx + c dx
ax 2 + bx + c = x a ± t . Sau ñó bình phương hai v ñ suy ra x
• N ua>0:ð t
theo t.
N u c > 0 : ð t ax 2 + bx + c = xt ± c
•
N u tam th c ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x 2 ) :
•
x − x1
ð tt=
x − x2
Trang 1
- Phương pháp gi i toán Sưu t m:Lê Ng c Sơn_SP Toán K07_TayNguyenUniversity
IV. D ng 3 : Tính tích phân vi phân nh th c :
∫x (a + bx n ) p dx
m
D ng
m, n, p là các s h u t .
Trong ñó m t trong 3 s :
m +1 m +1
+ p ∈Ν
; p;
n n
Thì ta dùng phép ñ i ñ ñưa tích phân vi phân nh th c v d ng tích phân hàm h u t theo
b ng sau:
m +1 m +1
+p
p Dùng phép bi n ñ i
n n
r
a + bx n = t s
Nguyên
s
r
xn = t s
Nguyên
s
a + bx n
r
= ts
Nguyên n
s x
dx
∫ ( x + a ) m ( x + b) n
V. D ng 4 : Tính nguyên hàm :I =
x+a b−a
• ð tt= ⇒ dt = dx
x+b ( x + b) 2
1 ( x + b) − ( x + a ) 1 x + a 1− t
1
= ⋅ = 1 − =
Ta có :
x+b b−a x+b b−a x+b b−a
Do ñó :
b−a
dx 1 dx
∫ ( x + a ) m ( x + b) n = b − a ∫ x + a m ⋅ dx
m+ n−2 ( x + b)
2
⋅ ( x + b)
x+b
(1 − t ) m+ n−2
1
∫ t m dt
=
(b − a ) m+ n−2
VI. D ng 5:
ax + b
∫ cx + d dx
R x, m
Tính tích phân d ng
Trong ñó a, b, c, d là các h ng s th c , ad – bc ≠ 0 , m là s t nhiên :
ax + b ax + b b − dt m
⇒ tm =
• ð t t=m do ñó x = m
cx + d cx + d ct − a
Trang 2
- Phương pháp gi i toán Sưu t m:Lê Ng c Sơn_SP Toán K07_TayNguyenUniversity
VII. D ng 6 : Tính tích phân d ng
dx
I= ∫
( x + a ) 2 ( x + b )2
• S d ng ñ ng nh t th c :
(x − a ) − (x + b)
2
=1
a−b
VIII. D ng 7: Tính tích phân d ng :
dx
I= ∫
(x + a )(x + b )
• N u x + a > 0, x + b >0 ⇒ ð t t = x + a + x + b
• N u x + a < 0, x + b
- Phương pháp gi i toán Sưu t m:Lê Ng c Sơn_SP Toán K07_TayNguyenUniversity
Chú ý: Phương pháp trên cũng ñư c áp d ng cho các d ng sau:
dx
∫ sin x + m v i m ≤1
A=
dx dx
∫ cos x + cos a và D = ∫ cos x + m v i m ≤1
C=
XII. D ng 11: Tính Nguyên hàm d ng :
I = ∫ tgx.tg ( x + a ).dx
• Ta bi n ñ i :
sin x. sin (x + a )
I = ∫ tgx .tg ( x + a )dx = ∫ cos x. cos (x + a ) dx
cosx. cos(x + a) + sin x.sin(x + a)
= ∫ −1dx
cosx.cos(x + a)
dx
= − x + cos a ∫
cos x. cos ( x + a )
⇒ S d ng bài toán D ng 9
Chú ý: Phương pháp trên cũng ñư c áp d ng cho các d ng sau:
A = ∫ tg ( x + a ) cot g ( x + b )dx
B = ∫ cot g ( x + a ) cot g ( x + b )dx
XIII. D ng 12:Tính Nguyên hàm d ng :
dx
I =∫
a sin x + b cos x
• Cách 1: Ta có :
1 dx 1 dx
∫ sin (x + α ) = ∫
I=
x +α x −α
a 2 + b2 a2 + b2 2. sin cos
2 2
x + a
d tg
2
1
∫ x+a
=
a2 + b2 tg
2
• Cách 2: Ta có:
d [cos( x + a )]
1 dx 1
∫ sin (x + α ) = − a 2 + b 2 ∫ cos (x + a ) − 1
I= 2
a2 + b2
• Chú ý: Ta cũng có th th c hi n b ng : phương pháp ñ i s hoá b ng cách ñ t
x
t = tg
2
Trang 4
- Phương pháp gi i toán Sưu t m:Lê Ng c Sơn_SP Toán K07_TayNguyenUniversity
XIV. D ng 13 : Tính Nguyên hàm d ng :
a1 . sin x + b1 . cos x
∫ a2 . sin x + b2 . cos x dx
I=
Ta bi n ñ i : a1 sin x + b1 cos x = A(a 2 sin x + b2 cos x ) + B(a 2 cos x − b2 sin x )
•
a1 . sin x + b1 . cos x
∫ (a .sin x + b . cos x ) dx
Chú ý : ð i v i d ng I = ta cũng làm tương t trên.
2
2 2
a1 . sin x + b1 . cos x + c1
∫ a . sin x + b . cos x + c
• ð i v i d ng : I = dx ta bi n ñ i :
2 2 2
a1 sin x + b1 cos x + c1 = A(a 2 sin x + b2 cos x + c 2 ) + B(a 2 cos x − b2 sin x ) + C
a1 . sin 2 x + b1 . cos x. sin x + c1 cos 2 x
∫
• ð i v i d ng : I = dx ta bi n ñ i :
a 2 . sin x + b2 . cos x
a1 sin 2 x + b1 cos x sin x + c1 cos 2 x
( )
= ( A sin x + B cos x )(a 2 sin x + b2 cos x ) + C sin 2 x + cos 2 x
XV. D ng 14 : Tính Nguyên hàm d ng ;
dx
∫ a sin
I=
x + b sin x cos x + c cos 2 x
2
dx
∫(
•
)
Bi n ñ i v d ng : I =
atg x + btgx + c cos 2 x
2
XVI. D ng 15 : Tính Nguyên hàm d ng :
sin x cos x
∫
I= dx
(a )
α
sin x + b cos x
2 2 2 2
• Ta có :
( )
d a 2 sin 2 x + b 2 cos 2 x
1
) ∫ (a
(
I=
)
α
2 a − b2
2
sin 2 x + b 2 cos 2 x
2
Trang 5
- Phương pháp gi i toán Sưu t m:Lê Ng c Sơn_SP Toán K07_TayNguyenUniversity
B. TÍCH PHÂN:
CÁC L P TÍCH PHÂN ð C BI T:
a
1. L p 1: N u hàm f ( x ) liên t c và là hàm l trên [− a, a ] thì : I = ∫ f (x )dx = 0
−a
Ch ng minh : Bi n ñ i I v d ng :
a 0 a
∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx
I=
−a −a 0
0
∫ f (x )dx . B ng cách ñ t x = −t và k t h p v i tính ch t hàm l ta có ñư c
Xét tích phân : I =
−a
ñi u ph i ch ng minh.
a a
2. L p 2: N u hàm f ( x ) liên t c và là hàm l trên [− a, a ] thì : I = ∫ f (x )dx = 2∫ f (x )dx
−a 0
Ch ng minh : Làm tương t như L p 1.
α α
f ( x )dx
∫ f (x )dx V
3. L p 3: N u f ( x ) liên t c và ch n trên R thì : I = i α ∈ R + và
∫ =
x
a +1
−a 0
a > 0.
Ch ng minh : Làm tương t như L p 1.
π2 π2
π
f (sin x )dx = ∫ f (cos x )dx
4. L p 4: N u f ( x ) liên t c trên 0, thì : ∫
2 0 0
π
Ch ng minh : ð t x = − t ta có ñi u ph i ch ng minh.
2
b b
a−b
∫ x. f (x )dx = f ( x )dx
5. L p 5: N u f ( x ) liên t c và f (a + b − x ) = f ( x ) thì :
2∫
a a
Ch ng minh : ð t x = a + b − t ⇒ ñpcm
π −α π −α
π
H qu : N u f ( x ) liên t c trên [0,1] thì : I = x. f (sin x )dx = ∫ f (sin x )dx
∫
•
2
α α
Trang 6
- Phương pháp gi i toán Sưu t m:Lê Ng c Sơn_SP Toán K07_TayNguyenUniversity
b
6. L p 6: N u f ( x ) liên t c và f (a + b − x ) = − f ( x ) thì : ∫ f ( x )dx = 0
a
Ch ng minh : ð t x = a + b − t ⇒ ñpcm
a +T T
∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx
7. L p 7: N u f ( x ) liên t c trên R và tu n hoàn v i chu kỳ T thì :
a 0
a +T T+A
T
∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx
Ch ng minh : Ta có :
a a T
T+A
∫ f (x )dx . B ng cách ñ t x = T + t ⇒ ñpcm.
Xét tích phân : I =
T
Trang 7
nguon tai.lieu . vn