Xem mẫu

  1. Phương pháp gi i toán Sưu t m:Lê Ng c Sơn_SP Toán K07_TayNguyenUniversity M TS BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM_TÍCH PHÂN A. NGUYÊN HÀM: I. D ng 1: Tính nguyên hàm sau: dx I= ∫ ax 2 + bx + c Phương pháp : ð t t = 2ax + b ⇒ dt = 2adx khi ñó ta có : 1 ax 2 + bx + c = (t 2 + (b 2 − 4ac) 4 Do ñó ta có: dx 1 dt I= ∫ ∫12 = ax 2 + bx + c 2a (t − 4ac) 4a ð i v i d ng J= ∫ ax 2 + bx + c .dx ta cũng làm tương t . II. M t s d ng khác : mx + n A =∫ • dx ax 2 + bx + c B = ∫ (mx + n) ax 2 + bx + c dx • ⇒ Ta bi n ñ i mx + n = 2ax + b + f ( x) dx ∫ (mx + n) • C= ax 2 + bx + c 1 ⇒ð t t = mx + n III. D ng 2:Tính nguyên hàm b ng phép th Ơle : ∫ R ( x, ax 2 + bx + c dx ax 2 + bx + c = x a ± t . Sau ñó bình phương hai v ñ suy ra x • N ua>0:ð t theo t. N u c > 0 : ð t ax 2 + bx + c = xt ± c • N u tam th c ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x 2 ) : • x − x1 ð tt= x − x2 Trang 1
  2. Phương pháp gi i toán Sưu t m:Lê Ng c Sơn_SP Toán K07_TayNguyenUniversity IV. D ng 3 : Tính tích phân vi phân nh th c : ∫x (a + bx n ) p dx m D ng m, n, p là các s h u t . Trong ñó m t trong 3 s : m +1 m +1 + p ∈Ν ; p; n n Thì ta dùng phép ñ i ñ ñưa tích phân vi phân nh th c v d ng tích phân hàm h u t theo b ng sau: m +1 m +1 +p p Dùng phép bi n ñ i n n r a + bx n = t s Nguyên s r xn = t s Nguyên s a + bx n r = ts Nguyên n s x dx ∫ ( x + a ) m ( x + b) n V. D ng 4 : Tính nguyên hàm :I = x+a b−a • ð tt= ⇒ dt = dx x+b ( x + b) 2 1 ( x + b) − ( x + a ) 1  x + a  1− t 1 = ⋅ = 1 − = Ta có : x+b b−a x+b b−a x+b b−a Do ñó : b−a dx 1 dx ∫ ( x + a ) m ( x + b) n = b − a ∫  x + a  m ⋅ dx m+ n−2 ( x + b) 2 ⋅ ( x + b)    x+b (1 − t ) m+ n−2 1 ∫ t m dt = (b − a ) m+ n−2 VI. D ng 5:  ax + b  ∫  cx + d dx R  x, m Tính tích phân d ng    Trong ñó a, b, c, d là các h ng s th c , ad – bc ≠ 0 , m là s t nhiên : ax + b ax + b b − dt m ⇒ tm = • ð t t=m do ñó x = m cx + d cx + d ct − a Trang 2
  3. Phương pháp gi i toán Sưu t m:Lê Ng c Sơn_SP Toán K07_TayNguyenUniversity VII. D ng 6 : Tính tích phân d ng dx I= ∫ ( x + a ) 2 ( x + b )2 • S d ng ñ ng nh t th c :  (x − a ) − (x + b) 2  =1  a−b   VIII. D ng 7: Tính tích phân d ng : dx I= ∫ (x + a )(x + b ) • N u x + a > 0, x + b >0 ⇒ ð t t = x + a + x + b • N u x + a < 0, x + b
  4. Phương pháp gi i toán Sưu t m:Lê Ng c Sơn_SP Toán K07_TayNguyenUniversity Chú ý: Phương pháp trên cũng ñư c áp d ng cho các d ng sau: dx ∫ sin x + m v i m ≤1 A= dx dx ∫ cos x + cos a và D = ∫ cos x + m v i m ≤1 C= XII. D ng 11: Tính Nguyên hàm d ng : I = ∫ tgx.tg ( x + a ).dx • Ta bi n ñ i : sin x. sin (x + a ) I = ∫ tgx .tg ( x + a )dx = ∫ cos x. cos (x + a ) dx  cosx. cos(x + a) + sin x.sin(x + a)  = ∫ −1dx   cosx.cos(x + a)   dx = − x + cos a ∫ cos x. cos ( x + a ) ⇒ S d ng bài toán D ng 9 Chú ý: Phương pháp trên cũng ñư c áp d ng cho các d ng sau: A = ∫ tg ( x + a ) cot g ( x + b )dx B = ∫ cot g ( x + a ) cot g ( x + b )dx XIII. D ng 12:Tính Nguyên hàm d ng : dx I =∫ a sin x + b cos x • Cách 1: Ta có : 1 dx 1 dx ∫ sin (x + α ) = ∫ I=  x +α   x −α  a 2 + b2 a2 + b2 2. sin   cos  2 2   x + a  d  tg       2  1 ∫ x+a = a2 + b2 tg   2 • Cách 2: Ta có: d [cos( x + a )] 1 dx 1 ∫ sin (x + α ) = − a 2 + b 2 ∫ cos (x + a ) − 1 I= 2 a2 + b2 • Chú ý: Ta cũng có th th c hi n b ng : phương pháp ñ i s hoá b ng cách ñ t x t = tg   2 Trang 4
  5. Phương pháp gi i toán Sưu t m:Lê Ng c Sơn_SP Toán K07_TayNguyenUniversity XIV. D ng 13 : Tính Nguyên hàm d ng : a1 . sin x + b1 . cos x ∫ a2 . sin x + b2 . cos x dx I= Ta bi n ñ i : a1 sin x + b1 cos x = A(a 2 sin x + b2 cos x ) + B(a 2 cos x − b2 sin x ) • a1 . sin x + b1 . cos x ∫ (a .sin x + b . cos x ) dx Chú ý : ð i v i d ng I = ta cũng làm tương t trên. 2 2 2 a1 . sin x + b1 . cos x + c1 ∫ a . sin x + b . cos x + c • ð i v i d ng : I = dx ta bi n ñ i : 2 2 2 a1 sin x + b1 cos x + c1 = A(a 2 sin x + b2 cos x + c 2 ) + B(a 2 cos x − b2 sin x ) + C a1 . sin 2 x + b1 . cos x. sin x + c1 cos 2 x ∫ • ð i v i d ng : I = dx ta bi n ñ i : a 2 . sin x + b2 . cos x a1 sin 2 x + b1 cos x sin x + c1 cos 2 x ( ) = ( A sin x + B cos x )(a 2 sin x + b2 cos x ) + C sin 2 x + cos 2 x XV. D ng 14 : Tính Nguyên hàm d ng ; dx ∫ a sin I= x + b sin x cos x + c cos 2 x 2 dx ∫( • ) Bi n ñ i v d ng : I = atg x + btgx + c cos 2 x 2 XVI. D ng 15 : Tính Nguyên hàm d ng : sin x cos x ∫ I= dx (a ) α sin x + b cos x 2 2 2 2 • Ta có : ( ) d a 2 sin 2 x + b 2 cos 2 x 1 ) ∫ (a ( I= ) α 2 a − b2 2 sin 2 x + b 2 cos 2 x 2 Trang 5
  6. Phương pháp gi i toán Sưu t m:Lê Ng c Sơn_SP Toán K07_TayNguyenUniversity B. TÍCH PHÂN: CÁC L P TÍCH PHÂN ð C BI T: a 1. L p 1: N u hàm f ( x ) liên t c và là hàm l trên [− a, a ] thì : I = ∫ f (x )dx = 0 −a Ch ng minh : Bi n ñ i I v d ng : a 0 a ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx I= −a −a 0 0 ∫ f (x )dx . B ng cách ñ t x = −t và k t h p v i tính ch t hàm l ta có ñư c Xét tích phân : I = −a ñi u ph i ch ng minh. a a 2. L p 2: N u hàm f ( x ) liên t c và là hàm l trên [− a, a ] thì : I = ∫ f (x )dx = 2∫ f (x )dx −a 0 Ch ng minh : Làm tương t như L p 1. α α f ( x )dx ∫ f (x )dx V 3. L p 3: N u f ( x ) liên t c và ch n trên R thì : I = i α ∈ R + và ∫ = x a +1 −a 0 a > 0. Ch ng minh : Làm tương t như L p 1. π2 π2  π f (sin x )dx = ∫ f (cos x )dx 4. L p 4: N u f ( x ) liên t c trên 0,  thì : ∫  2 0 0 π Ch ng minh : ð t x = − t ta có ñi u ph i ch ng minh. 2 b b a−b ∫ x. f (x )dx = f ( x )dx 5. L p 5: N u f ( x ) liên t c và f (a + b − x ) = f ( x ) thì : 2∫ a a Ch ng minh : ð t x = a + b − t ⇒ ñpcm π −α π −α π H qu : N u f ( x ) liên t c trên [0,1] thì : I = x. f (sin x )dx = ∫ f (sin x )dx ∫ • 2 α α Trang 6
  7. Phương pháp gi i toán Sưu t m:Lê Ng c Sơn_SP Toán K07_TayNguyenUniversity b 6. L p 6: N u f ( x ) liên t c và f (a + b − x ) = − f ( x ) thì : ∫ f ( x )dx = 0 a Ch ng minh : ð t x = a + b − t ⇒ ñpcm a +T T ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx 7. L p 7: N u f ( x ) liên t c trên R và tu n hoàn v i chu kỳ T thì : a 0 a +T T+A T ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx Ch ng minh : Ta có : a a T T+A ∫ f (x )dx . B ng cách ñ t x = T + t ⇒ ñpcm. Xét tích phân : I = T Trang 7
nguon tai.lieu . vn