Xem mẫu
- BÀI GIẢI NGÂN HÀNG ĐỀ THI TOÁN CAO CẤP A2
HỆ 5 NĂM KHÓA 1
PHẦN I: DÙNG CHO NGÀNH ĐTVT và CNTT (4 tín chỉ)
A. LOẠI CÂU HỎI 1 ĐIỂM
Câu 2: Hệ vectơ sau của không gian 3 4 độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
v1 = (4, −5, 2,6); v2 = (2, −2,1,3); v3 = (6, −3,3,9) ; v4 = (4, −1,5,6) .
Bài giải:
Ta có:
2 −2 1 3 2 −2 1 3
2 −2 1 3
4 −5 2 6 0 −1 0 0
⇒ ⇒ 0 −1 0 0
A = 4 −1 5 6 0 3 3 0
0 3 3 0
6 −3 3 9 0 3 0 0
⇔ r (A) = 3 < n = 4
Vậy không gian 3 4 phụ thuộc tuyến tính.
Câu 3: Hệ vectơ sau của không gian 3 4 độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
v1 = (1,3,5, −1) ; v2 = (2, −1, −3, 4) ; v3 = (5,1, −1,7) ; v4 = (7,7,9,1) .
Bài giải:
Ta có:
1 3 5 −1 1 3 5 −1
1 3 5 −1
2 −1 −3 4 0 −7 −13 6
A= ⇒ ⇒ 0 −7 −13 6
5 1 −1 7 0 −14 −26 12
0 −14 −26 8
7 7 9 1 0 −14 −26 8
⇔ r (A) = 3 < n = 4
Vậy không gian 3 4 phụ thuộc tuyến tính.
Câu 4: Tìm hạng của hệ vectơ sau của không gian 4 4:
v1 = (3,1, − 2,4) ; v2 = (2,4,5, − 3) ; v3 = (13,7,6, − 3) ; v4 = (− 1,7,5,2) .
Bài giải:
Ta có:
−1 7 5 2
−1 7 5 2 −1 7 5 2 0 18 15
1 −1 7 2
5
2 4 5 −3 0 18 15 1 79 ⇒ 0 18 15
A= ⇒ ⇒ 0 0 − 16 1
3 1 −2 4 0 22 13 10 3 9
16 79
13 7 6 −3 0 98 71 23 32 158 0 0 −
0 0 − 3 9
3 9
⇒ r (A) = 3 < n = 4
- Vậy không gian 3 4 phụ thuộc tuyến tính.
8 4 6 2
3 1 4 2
Câu 13: Tìm hạng của ma trận: A= .
6 2 8 3
4 2 3 1
Bài giải:
3 1 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2
1 3 4 2
4 2 3 1 2 4 3 1 0 −2 −5 −3
Ta có: A = ⇒ ⇒ ⇒ 0 −2 −5 −3
6 2 8 3 2 6 8 3 0 0 0 −1
0 0 0 −1
8 4 6 2 4 8 6 2 0 −4 −10 −6
Vậy: r (A) = 3
5 2 3 1
4 1 2 3
Câu 14: Tìm hạng của ma trận: A= .
1 1 1 −2
3 4 1 2
1 1 1 −2 1 1 1 −2
1 1 1 −2
3 4 1 2 0 1 −2 8
Ta có: A = ⇒ ⇒ 0 1 −2 8
4 1 2 3 0 −3 −2 11
0 −3 −2 11
5 2 3 1 0 −3 −2 11
Vậy: r (A) = 3
B. LOẠI CÂU HỎI 2 ĐIỂM
Câu 3: Giả sử 3 véc tơ u , v và w độc lập tuyến tính. Chứng minh rằng:
a) u + v − 2 w , u − v − w và u + w là độc lập tuyến tính.
b) u + v − 3w , u + 3v − w và v + w là phụ thuộc tuyến tính.
Bài giải:
a) Từ đề bài ta có:
1 1 −2 1 1 −2 1 1 −2
A = 1 −1 −1 ⇒ 0 2 1 ⇒ 0 2 1
1 0 1 0 −1 3 0 0 1
⇒ r (A) = 3 = n là điều cần chứng minh.
b) Từ đề bài ta có:
1 1 −3 1 1 −3
1 1 −3
A = 1 3 −1 ⇒ 0 2 2 ⇒
0 1 1 0 1 1 0 2 2
⇒ r (A) = 2 < n = 3 là điều cần chứng minh.
- 3 −1
Câu 6: Viết E= thành tổ hợp tuyến tính của:
1 2
1 1 1 1 1 −1
A= , B = −1 0 và C= .
0 −1 0 0
Bài giải:
E biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua A, B, C:
Ta có: E = aA + bB + cC
a + b + c = 3
a + b − c = −1 a = −2
⇔ ⇔ b = −1
−b = 1
−a = 2 c = 3 − ( −2) − (−1) = 6
Thay nghiệm vào phương trình còn lại:
a + b – c = -1 ⇔ - 2 – 1 – 6 ≠ - 1 ⇒ Không thỏa ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm
Vậy E không biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua A, B, C.
2 1
Câu 7: Viết E= thành tổ hợp tuyến tính của:
−1 −2
1 1 1 1 1 −1
A= , B = −1 0 C=
0 0
và .
0 −1
Bài giải:
E biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua A, B, C:
Ta có: E = aA + bB + cC
a + b + c = 2
a + b − c = 1 b = 1
⇔ ⇔ a = 2
−b = −1 c = 2 − 2 − 1 = −1
− a = −2
Thay nghiệm vào phương trình còn lại:
a + b – c = 1 ⇔ 2 + 1 – (-1) ≠ 1 ⇒ Không thỏa ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm
Vậy E không biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua A, B, C.
Câu 8: Biểu diễn véc tơ u = (3, 6, −6, 0) thành tổ hợp tuyến tính của 3 véc tơ sau:
v1 = (3, 2, −4,1) , v2 = (1,5, 0,3) , v3 = (4,3, −2,5) .
Bài giải:
Vectơ u biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua v ,v ,v
1 2 3
:
Giả sử: u = a v 1 + bv 2 − c v 3
- 3a + b + 4c = 3
2a + 5b + 3c = 6 a = 2
⇔ ⇒ b = 1 ⇒ Nghiệm a, b, c thỏa hệ phương trình
−4a − 2c = −6 c = −1
a + 3b + 5c = 0
Vậy: u = 2v1 + v 2 − v 3
Câu 9: Chứng tỏ rằng hệ vectơ v1 = (1, −1,1); v2 = (2,1, −3); v3 = (3, 2, −5) là một cơ sở của không gian
3 3 . Tìm toạ độ của vectơ u = (5,3, −4) trong cơ sở này.
Bài giải:
Từ đề bài ta có:
1 −1 1 1 −1 1
A = 2 1 −3 ⇒ 0 3 −5
3 2 −5 0 5 −8
⇒ r (A) = 3 = n
Vậy: E = {v1,v 2, v 3} là một cơ sở của không gian 3 3 .
Giả sử tọa độ của vectơ u = (5,3, −4) trong cơ sở E = {v1,v 2, v 3} là: u E = ( x, y , z )
Ta có: u = xv 1 + y v 2 + z v 3
x + 2 y + 3z = 5 x = 4
⇒ − x + y + 2 z = 3 ⇒ y = −19
x − 3 y − 5 z = −4 z = 13
Vậy: tọa độ của vectơ u = (5,3, −4) trong cơ sở này là u E
= (4, −19,13)
Câu 10: Chứng tỏ rằng hệ vectơ v1 = (5,3, −8); v2 = (3, 2, −5); v3 = (4,1, −4)
là một cơ sở của không gian 3 3 . Tìm toạ độ của vectơ u = (6,2,−7) trong cơ sở này.
Bài giải:
Từ đề bài ta có:
5 3 −8 4 1 −4 1 4 −4 1 4 −4
A = 3 2 −5 ⇒ 5 3 −8 ⇒ 3 5 −8 ⇒ 0 −7 4
4 1 −4 3 2 −5 2 3 −5 0 −5 3
⇒ r (A) = 3 = n
Vậy: E = {v1,v 2, v 3} là một cơ sở của không gian 3 3 .
Giả sử tọa độ của vectơ u = (6,2,−7) trong cơ sở E = {v1,v 2, v 3} là: u E = ( x, y , z )
Ta có: u = xv 1 + y v 2 + z v 3
- 5 x + 3 y + 4 z = 6 x = 1
⇒ 3 x + 2 y + z = 2 ⇒ y = −1
−8 x − 5 y − 4 z = −7 z = 1
Vậy: tọa độ của vectơ u = (6, 2, −7) trong cơ sở này là u E
= (1, −1,1)
Câu 12: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:
8 x1 + 12 x2 + mx3 + 8 x4 = 3
4 x + 6 x + 3 x − 2 x = 3
1 2 3 4
2 x1 + 3x2 + 9 x3 − 7 x4 = 3
2 x1 + 3x2 − x3 + x4 = 1
Bài giải:
Từ đề bài ta có:
2 3 −1 1 1 1 3 2 −1 1 1 3 2 −1 1
⇒ 2 3 9 −7 3 ⇒ −7 3 2 9 3 0 24 16
⇒
2 10
4 6 3 −2 3 −2 6 4 3 3 0 12 8 1 5
8 12 m 8 3 8 12 8 m 3 0 −12 −8 m + 8 −5
1 3 2 −1 1 1 3 2 −1 1
⇒ 0 12 8 1 5 ⇒ 0 12 8 1 5
0 −12 −8 m + 8 −5 0 0 0 m + 9 0
Vậy với ∀ m hệ phương trình có vô số nghiệm
Câu 13: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:
5 x1 − 3x 2 + 2 x3 + 4 x 4 = 3
7 x − 3 x + 7 x + 17 x = m
1 2 3 4
4 x1 − 2 x 2 + 3x 3 + 7 x 4 = 1
8 x1 − 6 x 2 − x3 − 5 x 4 = 9
Bài giải:
Từ đề bài ta có:
- 5 3 2 4 3 8 −6 −1 −5 9 −1 −6 8 −5 9
⇒ 7 −3 7 17 m ⇒ 5 3 2 4 3 ⇒ 2 3 5 4 3
4 −2 3 7 1 4 −2 3 7 1 3 −2 4 7 1
8 −6 −1 −5 9 7 −3 7 17 m 7 −3 7 17 m
−1 −6 8 −5 9 −1 −6 8 −5 9
−1 −6 8 −5 9
0 −9 21 −6 21 0 −9 21 −6 21
0 −9 21 −6 21
⇒ ⇒ 56 16 56 ⇒ 56 16 56
0 −20 28 −8 28 0 0 − − 0 0 − −
3 3 3 3 3 3
0 −45 63 −18 m + 63 0 0 −42 12 m − 42 0 0 0 0 m
- Với m = 0⇒ Hệ phương trình vô số nghiệm.
- Với m ≠ 0 ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm.
Câu 14: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:
2 x1 + 7 x 2 + 3 x3 + x 4 = 5
5 x + mx + 4 x + 5 x = 13
1 2 3 4
x1 + 3 x 2 + 5 x3 − 2 x 4 = 3
x1 + 5 x 2 − 9 x3 + 8 x 4 = 1
Bài giải:
Từ đề bài ta có:
1 3 5 −2 3 1 −2 5 3 3 1 −2 5 3 3
⇒ 1 5 −9 8 1 ⇒ 1 8 −9 5 1 ⇒ 0 10 −14 2 −2
2 7 3 1 5 2 1 3 7 5 0 5 −7 1 −1
5 m 4 5 13 5 5 4 m 13 0 15 −21 m − 15 −2
1 −2 5 3 3 1 −2 5 3 3
⇒ 0 5 −7 1 −1 ⇒ 0 5 −7 1 −1
0 15 −21 m − 15 −2 0 0 0 m − 18 1
- Với m - 18 = 0⇒ m = 18 ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm.
- Với m - 18 ≠ 0 ⇒ m ≠ 18 ⇒ Hệ phương trình vô số nghiệm.
Câu 15: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:
2x1 + 5x 2 + x 3 + 3x 4 = 2
2x1 − 3x 2 + 3x 3 + mx 4 = 7
4x1 + 6x 2 + 3x 3 + 5x 4 = 4
4x1 + 14x 2 + x 3 + 7x 4 = 4
- Bài giải:
Từ đề bài ta có:
2 5 1 3 2 2 5 1 3 2 1 5 2 3 2
2 −3 3 m 7 4 6 3 5 4 3 6 4 5 4
⇒ ⇒ ⇒
4 6 3 5 4 4 14 1 7 4 1 14 4 7 4
4 14 1 7 4 2 −3 3 m 7 3 −3 2 m 7
1 5 2 3 2
1 5 2 3 2 1 5 2 3 2
0 −9 −2 −4 −2
⇒ ⇒ 0 −9 −2 −4 −2 ⇒ 0 −9 −2 −4 −2
0 9 2 4 2
0 −18 −4 m − 9 1 0 0 0 m − 1 5
0 −18 −4 m − 9 1
- Với m - 1 = 0 ⇒ m = 1 ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm.
- Với m - 1 ≠ 0 ⇒ m ≠ 1 ⇒ Hệ phương trình vô số nghiệm
C. LOẠI CÂU HỎI 3 ĐIỂM
Câu 1: Đặt V1 , V2 lần lượt là hai không gian vectơ con của 4 4 gồm các véctơ v = ( x1 , x 2 , x3 , x 4 ) thoả
mãn hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II):
2 x1 − 3x 2 − 3 x3 − 2 x 4 = 0 2 x1 + x 2 − 10 x3 + 9 x 4 = 0
( I ) 3x1 − 5 x 2 − 4 x3 − 4 x 4 = 0 , ( II ) x1 + 2 x 2 + 4 x 3 − 3x 4 = 0
x − 2x − x − 2x = 0 3x + 5 x + 6 x − 4 x = 0
1 2 3 4 1 2 3 4
Hãy tìm số chiều của các không gian con V1 , V2 , V1 + V2 , V1 ∩ V2 .
Bài giải:
1 −2 −1 −2 0 1 −2 −1 −2 0
1 −2 −1 −2 0
( I ) ⇒ 2 −3 −3 −2 0 ⇒ 0 1 −1 2 0 ⇒ (1)
3 −5 −4 −4 0 0 1 −1 2 0 0 1 −1 2 0
x − x + 2x = 0 ⇒ x = x − 2x
2 3 4 2 3 4
x − 2( x − 2 x ) − x − 2 x = 0 ⇒ x − 3x
1 3 4 3 4 1 3
+ 2 x 4 = 0 ⇒ x1 = 3 x 3 − 2 x 4
V = (x x x , x )
1 1, 2, 3 4
= (3 x − 2 x , x − 2 x , x , x )
3 4 3 4 3 4
= (3 x , x , x , 0) + (−2 x − 2 x 0, x )
3 3 3 4 4 4
= x (3,1,1, 0) + x (−2, −2, 0,1)
3 4
⇒ V 1 = {(3,1,1, 0), (−2, −2, 0,1)} là một cơ sở , cũng là tập sinh.
⇒ dimV 1 = 2
- 1 2 4 −3 0 1 2 4 −3 0
1 2 4 −3 0
( II ) ⇒ 2 1 −10 9 0 ⇒ 0 −3 −18 15 0 ⇒ (2)
3 5 6 −4 0 0 −1 −6 5 0 0 −1 −6 5 0
− x 2 − 6 x 3 + 5 x 4 = 0 ⇒ x 2 = −6 x 3 + 5 x 4
x + 2(−6 x + 5 x ) + 4 x − 3x = 0 ⇒ x = 8 x − 7 x
1 3 4 3 4 1 3 4
V = (x x x , x )
2 1, 2, 3 4
= (8 x − 7 x , −6 x + 5 x , x , x )
3 4 3 4 3 4
= (8 x , −6 x , x , 0) + (−7 x ,5 x , 0, x )
3 3 3 4 4 4
= x (8, −6,1, 0) + x (−7,5, 0,1)
3 4
⇒ V = {(8, −6,1, 0), ( −7,5, 0,1)} là một cơ sở , cũng là tập sinh.
2
⇒ dimV = 2 2
Do: x ∈V ; x ∈V ⇒ x ∈V IV
1 2 1 2
Từ (1) và (2) ta có:
1 −2 −1 −2 0 1 −2 −1 2 0 1 −2 −1 −2 0
1 −2 −1 −2 0
0 1 −1 2 0 0 1 −1 2
⇒
0 0 1 −1 2 0
⇒
⇒ 0 1 −1 2 0
1 2 4 −3 0 0 4 5 −1 0 0 0 9 −9 0
0 0 9 −9 0
0 −1 −6 5 0 0 −1 −6 5 0 0 0 −7 −7 0
⇒ 9x3 − 9x4 = 0 ⇒ x3 = x4
x − x + 2x = 0 ⇒ x − x + 2x = 0 ⇒ x = −x
2 3 4 2 4 4 2 4
x − 2x − x − 2x = 0 ⇒ x + 2x − x − 2x ⇒ x = x
1 2 3 4 1 4 4 4 1 4
V IV = ( x , − x , x , x ) = x (1, −1,1,1)
1 2 4 4 4 4 4
V IV = {(1, −1,1,1)} là một cơ sở , cũng là tập sinh.
1 2
dimV IV = 1 1 2
Tacó: dimV + V = dimV + dimV − dimV IV
1 2 1 2 1 2
= 2 + 2 −1 = 3
Câu 2: Trong không gian 4 4 xét các vectơ: v1 = (2,4,1,− 3) ; v2 = (1,2,1,− 2) ; v3 = (1,2,2,− 3) ;
u1 = (2,8,3,− 7) ; u2 = (1,0,1,− 1) ; u 3 = (3,8,4,−8) .
Đặt V1 , V2 là hai không gian vectơ con của 4 4 lần lượt sinh bởi hệ vectơ { v1 , v 2 , v3 } và { u1 , u 2 , u 3 }
. Hãy tìm số chiều của các không gian con V1 , V2 , V1 + V2 , V1 ∩ V2 .
Bài giải:
Ta có:
- 2 4 1 −3 1 2 1 −2 1 2 1 −2 1 2 1 −2
V 1 = 1 2 1 −2 ⇒ 1 2 2 −3 ⇒ 0 0 1 −1 ⇒ 0 0 1 −1 (1)
1 2 2 −3 2 4 1 −3 0 0 −1 3 0 0 0 2
⇒ dim V1 = 3
1 0 1 −1 1 0 1 −1
1 0 1 −1
V 2 = 2 8 3 −7 ⇒ 0 8 1 −5 ⇒ 0 8 1 −5 (2)
3 8 4 −8 0 8 1 −5
⇒ dim V2 = 2
Từ (1) và (2) ta có:
1 2 −2 1
1 2 1 −2 1 2 1 −2 1 2 1 −2
1 2 1 −2
0 0 −1 1
1 0 1 −1 0 −2 0 1 0 −2 0 1
0 −2 0 1
0 0 2 ⇒ 0
0 8 1 −1 ⇒ 0 8 1 −5 ⇒ 0 0 1 −1 ⇒
0 0 1 −1
1 0 −1 0
1 0 1 −1 0 0 1 −1 0 0 1 −1
0 0 0 0 2
8 −5 0
1
0 0 2 0 0
0 2 0 0
0 2
⇒ dimV 1 + V 2 = 4
Tacó: dimV 1 + V 2 = dimV 1 + dimV 2 − dimV 1 IV 2
⇒ dimV 1 IV 2 = dimV 1 + dimV 2 − dimV 1 + V 2 = 3 + 2 − 4 = 1
Câu 3: Đặt V1 , V2 lần lượt là hai không gian vectơ con của 4 4 gồm các véctơ v = ( x1 , x 2 , x3 , x 4 ) thoả
mãn hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II):
4 x1 + 5 x 2 − 2 x3 + 3 x 4 = 0 2 x1 − 3x 2 − 3 x3 − 2 x 4 = 0
( I ) 3x1 + 5 x 2 + 6 x 3 − 4 x 4 = 0 , ( II ) 4 x1 − 7 x 2 − 5 x3 − 6 x 4 = 0
x + 2 x + 4 x − 3x = 0 x − 2x − x − 2x = 0
1 2 3 4 1 2 3 4
Hãy tìm số chiều của các không gian con V1 , V2 , V1 + V2 , V1 ∩ V2 .
Bài giải:
1 2 4 −3 0 1 2 4 −3 0
1 2 4 −3 0
( I ) ⇒ 3 5 6 −4 0 ⇒ 0 −1 −6 5 0 ⇒ (1)
4 5 −2 3 0 0 −3 −18 15 0 0 −1 −6 5 0
(1) ⇒ − x2 − 6 x3 + 5 x4 = 0 ⇒ x2 = −6 x3 + 5 x4
⇒ x1 + 2(−6 x3 + 5 x4 ) + 4 x3 − 3x4 = 0 ⇒ x1 = 8 x3 − 7 x4
Ta có:
V1 = ( x1 , x2 , x3 , x4 )
V1 = (8 x3 − 7 x4 , −6 x3 + 5 x4 , x3 , x4 )
V1 = (8 x3 , −6 x3 , x3 , 0) + (−7 x4 ,5 x4 , 0, x4 ) = x3 (8, −6,1, 0) + x4 (−7,5, 0,1)
Vậy: E = {(8, −6,1, 0), (−7,5, 0,1)} là một cơ sở , cũng là tập sinh.
⇒ dim V1 = 2
- 1 −2 −1 −2 0 1 −2 −1 −2 0
1 −2 −1 −2 0
( II ) ⇒ 2 −3 −3 2 0 ⇒ 0 1 −1 2 0 ⇒ (2)
4 −7 −5 −6 0 0 1 −1 2 0 0 1 −1 2 0
(2) ⇒ x2 − x3 + 2 x4 = 0 ⇒ x2 = x3 − 2 x4
⇒ x1 − 2( x3 − 2 x4 ) − x3 − 2 x4 = 0 ⇒ x1 = 3 x3 − 2 x4
Ta có:
V2 = ( x1 , x2 , x3 , x4 )
V2 = (3 x3 − 2 x4 , x3 − 2 x4 , x3 , x4 )
V3 = (3 x3 , x3 , x3 , 0) + (−2 x4 , −2 x4 , 0, x4 ) = x3 (3,1,1, 0) + x4 (−2, −2, 0,1)
Vậy: F = {(3,1,1, 0), (−2, −2, 0,1)} là một cơ sở , cũng là tập sinh.
⇒ dim V2 = 2
Ta có: R = {(3,1,1, 0), (−2, −2, 0,1), (8, −6,1, 0), (−7,5, 0,1)}
là một cơ sở , cũng là tập sinh của V1 + V2
3 1 1 0 −2 −2 0 1 1 −2 0 −2 1 −2 0 −2
1 −2 0 −2
−2 −2 0 1 3 1 1 0 0 1 1 3 0 1 1 3
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 0 1 1 3
8 −6 1 0 −7 5 0 1 1 5 0 −7 0 0 −7 −26
0 0 −7 −26
−7 5 0 1 8 −6 1 0 0 −6 1 8 0 0 7 26
⇒ dim V1 + V2 = 3
Ta có : dim V1 IV2 = dim V1 + dim V2 − dim V1 + V2 = 2 + 2 − 3 = 1
Câu 4: Trong không gian 4 4 xét các vectơ: v1 = (2,1,2,1) ; v 2 = (3,4,2,3) ; v3 = (2,3,1,2) ;
u1 = (− 1,− 1,1,3) ; u 2 = (1,1,0,− 1) ; u 3 = (1,1,1,1) . Đặt V1 là không gian vectơ con của 4 4 sinh bởi hệ
vectơ { v1 , v 2 , v 3 } và V2 là không gian vectơ con của 4 4 sinh bởi hệ vectơ { u1 , u 2 , u 3 } . Hãy tìm số
chiều của các không gian con V1 , V2 , V1 + V2 , V1 ∩ V2 .
Bài giải: Từ đề bài ta có:
2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
3 4 2 3 ⇒ 4 3 2 3 ⇒ 0 −5 −6 −1 ⇒ dim V1 = 3
2 3 1 2 3 2 1 2 0 −4 −1 0
Tương tự:
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 0 −1 ⇒ 0 0 −1 −2 ⇒ ⇒ dim V2 = 2
−1 −1 1 3 0 0 2 4 0 0 −1 −2
Ta có:
- 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
0 −5 −6 −1 0 −5 −6 −1 0 1 1 0 0 1 1 0
0 −4 −1 0 ⇒ 0 −4 −1 0 ⇒ 0 −4 −1 0 ⇒ 0 0 3 0
1 1 1 1 0 1 1 0 0 −5 −6 −1 0 0 −1 −1
0 0 −1 −2 0 0 −1 −2 0 0 −1 −2 0 0 −1 −2
⇒ E = {(1, 2, 2,1), (0,1,1, 0), (0, 0,3, 0), (0, 0, −1, −1)} là một cơ sở , cũng là tập sinh của V1 + V2
Vậy : ⇒ dim V1 + V2 = 4
Ta có : dim V1 IV2 = dim V1 + dim V2 − dim V1 + V2 = 3 + 2 − 4 = 1
nguon tai.lieu . vn
