Xem mẫu
- Năm h c 07-08
Chuyên kh o sát hàm sô1
Vn 1: Phép bi n i th :
Phương pháp:
th (C1): y = f (x ) , v i các ghi nh :
1) D ng 1: T th (C): y = f(x) suy ra
* (C): y = f(x) và (C’): y = – f(x) i x ng nhau qua Ox
f(x) khi f (x) ≥ 0
* Vi t y = f ( x ) =
- f(x) khi f(x) < 0
th (C1) : y = f (x) ư c v b ng các bư c:
*
+ Gi l i th (C) n m phía trên Ox
+ L y i x ng qua Ox c a ph n th (C) n m phía dư i Ox
+ H p 2 ph n th ta ư c th (C1): y = f ( x )
th c a hàm (C2): y = f ( x )v i các ghi nh
2) D ng 2:T th (C):y = f(x) suy ra
* y = f ( x ) là hàm ch n nên có th i x ng qua Oy
th (C2) qua các bư c:
* Ta v
+ Gi l i ph n th (C) bên ph i Oy
+ L y i x ng qua Oy ph n v a gi l i c a (C)
+ H p 2 ph n th ta có th (C2): y = f ( x )
th (C): y = f(x) suy ra th c a hàm (C3): y = f ( x ) b ng cách k t
3) D ng 3: t
h p d ng 1 và d ng 2
+ L y i x ng ph n bên ph i tr c qua Oy (sau khi b i ph n bên trái Oy. Gi
nguyên ph n bên ph i, h p c a nó và ph n l y i x ng là th (C2) y = f ( x )
+ L y i x ng t t c các ph n th (C2) v a k t h p n m dư i tr c Ox lên trên
Ox
+ Gi nguyên ph n bên trên, lúc ó ta có th c a hàm (C3): y = f ( x )
4) D ng 4: Ta xét trư ng h p ơn gi n
Ax 2 + Bx + C
T th (C) : y = (gi s a > 0) suy ra th (C4)
ax + b
Ax 2 + Bx + C b
(x > − ; a > 0)
Ax 2 + Bx + C ax + b a
=
y=
Ax + Bx + C
ax + b 2
b
(x < − ; a > 0)
−
ax + b a
Qua các bư c :
b
+ V (C), và b i nhánh th c a (C) bên trái ti m c n ng (d): x = −
a
b
+L y i x ng ph n (C) bên trái ti m c n ng (d): x = − v ab i qua d
a
- Năm h c 07-08
Chuyên kh o sát hàm sô1
Tương t v i a < 0 (ta có th nhân t và m u v i –1)
P( x )
P( x )
ax + b
Tương t v i các th (C4) y = hay y = ... và các th y = hay
Q(x )
Q( x )
cx + d
y = P ( x ) Q ( x )...
th (C): y = f(x) suy ra ư ng cong bi u di n (C5): y = f (x )
5) D ng 5:T
f (x )
(ñk :f (x ) ≥ 0) qua các bư c
hay (C5): y =
− f ( x )
+ V (C): y = f(x) và b ph n dư i tr c Ox
+ L y i x ng ph n gi l i qua tr c Ox, (xuông phía dư i tr c Ox)
Bài toán 1 : (Phép suy th nh t)
x2
th (C ) : y =
a) Kh o sát và v
x −1
2
x
b) Suy ra th (C1 ) : y =
x −1
Gi i: th (C)
y
6
5
4
y=x+1
3
2
1
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
x=1
-2
-3
th (C1)
- Năm h c 07-08
Chuyên kh o sát hàm sô1
y
6
5
4
y=x+1
3
2
y=-x-1
1
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
x=1
-2
-3
Bài toán 2: (Phép suy th hai)
x2
th (C2 ) : y =
V
x −1
th (C2)
y
6
4
y=x+1
y=-x+1
2
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
x=-1 x=1
-2
Bài toán 3: (Phép suy th ba)
- Năm h c 07-08
Chuyên kh o sát hàm sô1
2
x
th (C3 ) : y =
V
x −1
th (C3)
y
6
4
y=x+1
y=-x+1
2
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
x=1
x=-1 -2
Bài toán 4 :(Phép suy th tư)
x2
th (C4 ) : y =
V
x −1
th (C4)
y
6
4
y=x+1
y=-x-1 2
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
x=-1 x=1
-2
Bài toán 5: (Phép suy th năm)
- Năm h c 07-08
Chuyên kh o sát hàm sô1
x2
th (C 5 ) : y =
V
x −1
y
8
6
4
y=x+1
y=-x-1 2
x
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
x=1
-2
-4
-6
-8
-10
Vn 2: Bi n lu n tương giao c a hai ư ng:
Phương pháp : Cho hai ư ng cong (C1): y = f(x) và (C2): y= g(x)
Bi n lu n s tương giao c a (C1) v i (C2)
* L p phương trình hoành giao i m c a (C1) và (C2)
f(x) = g(x) ⇔ f(x) – g(x) = 0 (1)
* Gi i và bi n lu n phương trình (1)
* K t lu n : s nghi m c a phương trình (1) chính là s giao i m c a (C1) v i (C2)
- Phương trình (1) có nghi m ơn : (C1) c t (C2)
- Phương trình (1) có nghi m k p : (C1) ti p xúc (C2)
Bài toán 1: Cho hàm s y = f(x) = x3 – 3x + 2 . (D) là ư ng th ng qua A(2; 4) có
h s góc m. Bi n lu n theo m s giao i m c a (C) và (D)
Gi i: (D) qua A(2; 4) , h s góc m : y = m(x – 2) + 4
(C) : y = x3 – 3x + 2
* Phương trình hoành giao i m c a (C) và (D)
3
x – 3x + 2 = m(x – 2) + 4
(x – 2)( x2 + 2x + 1 – m) = 0 (1)
- Năm h c 07-08
Chuyên kh o sát hàm sô1
* S giao i m c a (C) và (d) chính là s nghi m c a phương trình (1)
- Phương trình (1) luôn luôn có nghi m x = 2
- Xét phương trình g(x) = x2 + 2x + 1 – m = 0 (2)
N u g(x) = 0 có nghi m x = 2 thì 9 – m = 0 ⇔ m = 9
Do ó : m = 9 thì (1) có nghi m kép x = 2, nghi m ơn x = – 4
N u m ≠ 9 thì g(x) = 0 có nghi m x ≠ 2
Ta có ∆′ = m
⇔ ∆′ < 0 : (2) vô nghi m
m 0 : (2) có 2 nghi m phân bi t khác 2
- K t l u n:
m 0
af (− 2 ) = (1 − m )[4(1 − m ) − 2(2 − m ) + 2m − 3] > 0
9m 2 24m + 16 > 0
⇔
3( 1 − m) > 0
4
m ≠
⇔ 3
m. > 1
4
m ≠
K t lu n : ⇔ 3 thì (D) c t th (C) t i 2 i m phân bi t thu c cùng
m. > 1
m t nhánh c a (C)
- Năm h c 07-08
Chuyên kh o sát hàm sô1
x2
Bài toán 3:Cho hàm s y = . Tìm 2 i m A , B n m trên th (C) và i
x −1
x ng nhau qua ư ng th ng (d) y = x – 1
Gi i: Vì A , B i x ng nhau qua ư ng th ng (d) y = x – 1. Suy ra A, B thu c
ư ng th ng (d’) y = –x + m
Phương trình hoành giao i m c a (d’) và (C)
x2 = (x – 1)( – x + m) ( k : x ≠ 1)
⇔ 2x2 – (m + 1)x + m = 0 (*)
Ta có ∆ = (m + 1)2 – 8m > 0
⇔ m2 – 6m + 1 > 0
m < 3 − 5
⇔
m > 3 + 5
Gi s (d’) c t (C) t i 2 i m phân bi t A, B. G i I là trung i m A, B:
x + xB m + 1
xI = A =
2 4
⇒
y = − x + m = 3m − 1
I
I
4
A và B i x ng qua (d)
⇒ I thu c (d): y = x – 1
3m − 1 m + 1
⇒ = −1
4 4
⇒ m=–1
1
Lúc ó (*) thành tr thành : 2x2 – 1 = 0 ⇔ x = ±
2
−1 2 1 2
V y A B
; −1 + ; −1 −
2 2 2 2
2
Bài toán 4:Cho (P) y = x – 2x – 3 và ư ng th ng (d) cùng phương ư ng y = 2x sao
cho (d) c t (P) t i 2 i m A, B
a) Vi t phương trình (d) khi 2 ti p tuy n c a (P) t i A và B vuông góc
b) Vi t phương trình (d) khi AB = 10
Gi i: G i (d): y = 2x + m là ư ng th ng cùng phương v i ư ng y = 2x
Phương trình hoành giao i m c a (d) và (P)
x2 – 2x – 3 = 2x + m
⇔ x2 – 4x – 3 – m = 0
(d) c t (P) t i 2 i m phân bi t A và B
∆′ = 7 + m > 0
⇔
⇔ m > –7
Lúc ó g i xA , xB là 2 nghi m c a (1) ta có
S = xA + xB = 4
- Năm h c 07-08
Chuyên kh o sát hàm sô1
P = xA xB = – 3 – m
a) Ti p tuy n c a (P) t i A, B vuông góc f’(xA )f’(xB) = –1
⇔ (2 xA –2)(2 xB –2) = – 1
⇔ 4P – 4S + 5 = 0
⇔ 4(–3 –m) –16 + 5 = 0
23
⇔ m =− (nh n vì m > –7)
4
b) A, B thu c (d) ⇒ yA = 2 xA + m
yB = 2 xB + m
Ta có AB = 100 ⇔ (xA – xB)2 + (yB – yA)2 = 100
2
⇔ (xA – xB)2 + (2 xA –2 xB)2 = 100
⇔ (xA – xB)2 = 20
⇔ S2 – 4P = 20
⇔ 16 + 4(3+m) = 20
⇔ m = – 2 (nh n vì m > –7)
1
(H )
Bài toán 5 : Cho hàm s y = f ( x ) = x + 3 − m +
x+m
ư ng th ng (∆ ) : y = a(x+1) + 1 c t (H) t i 2 i m có hoành
Tìm a
trái d u
giao i m c (C) và (∆ ) :
Gi i:Phương trình hoành
1
= a( x + 1) + 1 (ñk : x ≠ −1)
x+2+
x +1
⇔ x 2 + 3x + 3 = a(x 2 + 2 x + 1) + x + 1
(*)
⇔ g ( x ) = (1 − x )x 2 + 2(1 − a )x + 2 − a = 0
(∆ ) c t (C) t i 2 i m có hoành trái dáu
⇔ (*) có 2 nghi m phân bi t x1 , x2 ≠ −1 Λ x1 < 0 < x2
(1 − a )g (0) < 0
(1 − a )(2 − a ) < 0
⇔ g (− 1) ≠ 0 ⇔ ⇔1< a < 2
(1 − a ) − 2(1 − a ) + 2 − a = 1 ≠ 0
1 − a ≠ 0
Vn 3: Vi t phương trình ti p tuy n :
Phương pháp :
1)Lo i 1: Vi t phương trình ư ng cong (C) y = f(x) t i i m M(x0; y0)
Tính y’ = f’(x) ⇒ y’(x0) = f’(x0)
Phương trình Ti p tuy n (C) t i M(x0;y0) là: (y – y0) = f’(x0)(x – x0)
2)Lo i 2: Vi t phương trình ư ng cong (C) y = f(x) và i qua i m A
- Cách 1:
- Năm h c 07-08
Chuyên kh o sát hàm sô1
* G i (D) là ti p tuy n c a (C) là ti p truy n c a (C) i qua A(xA; yA) và có h s
góc k : (D) : y =k(x – xA) + yA
* Phương trình hoành giao i m c a (C) và (D): f(x) = k(x – xA) + yA (1)
* (D) là ti p tuy n c a (C) khi (1) có nghi m kép, t ó xác nh u c k. T ó vi t
ư c phương trình (D)
- Cách 2:
* G i M(x0; y0) là ti p i m
* Phương trình ti p tuy n (D) t i M: (y – y0) = f’(x0)(x – x0)
* (D) i qua i m A nên : (yA – y0) = f’(x0)(xA – x0) (1)
Gi i (1) tìm ư c x0, t ó tìm ư c phương trình c a (D)
3)Lo i 3: Vi t phương trình ư ng cong (C) y = f(x) và có h s góc cho trư c
- Cách 1:
* G i (D) là ti p tuy n c a (C) là ti p truy n c a (C) và có h s góc k
(D) : y = kx + m (1)
* Phương trình hoành giao i m c a (C) và (D): f(x) = kx + m
* (D) là ti p tuy n c a (C) ⇔ (1) có nghi m kép. T ó tìm ư c giá tr c a m , t
ó vi t ư c phương trình c a (D)
- Cách 2:
* G i (D) là ti p tuy n c a (C) và M(x0; y0) là ti p i m:
(D) có h s góc k
(D) có h s góc f’(x0)
⇒ f’(x0) = k (1)
* Gi i (1) tìm ư c x0 ; y0 = f(x0). T ó vi t ư c phương trình c a (D)
x 2 − 3x + 4
Bài toán 1: Cho hàm s (C) y = . M là m t i m tuý ý trên (C) Ti p
2x − 2
tuy n c a (C) t i M c t ư ng ti m c n xiên và ng t i A và B .
Ch ng t r g M là trung i m c a AB, và tam giác IAB (I là giao i m
c a hai ư ng ti m c n) có di n tích không ph thu c vào M
2
x − 3x + 4 x 1
(x ≠ 1) (C)
Gi i: y = = −1+
2x − 2 x −1
2
1
a
M (a; b ) ∈ (C ) ⇒ ti p tuy n t i M là (d) y = y(′a ) (x − a ) + b b = −1+
a −1
2
1 1
(x − a ) + a − 1 + 1
⇔ y= − 2
2 (a − 1) a −1
2
1 2
Ti m c n ng c a (C) là (d1) : x = 1 ⇒ (d ) ∩ (d1 ) = A1;− +
2 a −1
3
x
Ti m c n xiên c a (C) là (d2) : y = − 1 ⇒ (d ) ∩ (d 2 ) = B 2a − 1; a −
2
2
- Năm h c 07-08
Chuyên kh o sát hàm sô1
1
(x A + xB ) = 1 (1 + 2a − 1) = a = xM
Ta có :
2 2
( y A + y B ) = 1 − 1 + 2 + a − 3 = a − 1 + 1 = y M
1
2 2 a −1 2 2
a −1
2
V y M là trung i m c a AB
1 1
Giao i m c a 2 ti m c n là I 1;− ⇒ S IAB = y A − y I xB − xI
2 2
12
=. . 2a − 2 = 2
2 a −1
V y SIAB không ph thu c vào M
Bài toán 2: Cho hàm s y = x3 + 3x2 – 9x + 5 (C) .
Tìm ti p tuy n c a th (C) có h s góc nh nh t
Gi i : G i M(x0; y0) ∈ (C ) : h s góc ti p tuy n t i M : k = f’(x0) = 3 x02 + 6 x0 − 9
Ta có k = 3( x0 + 1) − 12 ≥ −12 . D u “=” x y ra khi x0 = – 1
2
V y Min k = – 12 ⇔ M(–1; 16)
Do ó trong t t c các ti p tuy n c a (C) thì ti p tuy n t i i m u n có h s
góc nh nh t
Bài toán 3: Cho hàm s y = x3 + mx2 + 1 (Cm)
Tìm m (Cm) c t (d) y = – x + 1 t i 3 i m phân bi t A(0; 1), B, C sao
cho các ti p tuy n c a Cm) t i B và C vuông góc nhau
Gi i: Phương trình hoành giao i m (d) và (Cm)
x3 + mx2 + 1 = – x + 1
⇔ x(x2 + mx + 1) = 0 (*)
2
t g(x) = x + mx + 1 . (d) c t (Cm) t i 3 i m phân bi t
⇔ g(x) = 0 có 2 nghi m phân bi t khác 0
∆g = m 2 − 4 > 0 m > 2
⇔ ⇔
g (0 ) = 1 ≠ 0 m < −2
Vì xB , xC là nghi m c a g(x) = 0
S = x B + xC = − m
⇒
P = x B xC = 1
Ti p tuy n t i B và C vuông góc
⇔ f ′( xC ) f ′( xB ) = −1
⇔ x B xC (3 x B + 2m )(3 xC + 2m ) = −1
⇔ xB xC [9 xB xC + 6m( xB + xC ) + 4m 2 ] = −1
⇔ 1[9 + 6m(− m ) + 4m 2 ] = −1
- Năm h c 07-08
Chuyên kh o sát hàm sô1
⇔ 2m 2 = 10
⇔m=± 5 (nh n so v i i u ki n)
Bài toán 4: Cho hàm s y = x3 – 3x – 2 (H)
Xét 3 i m A, B, C th ng hàng thu c (H). G i A1, B1, C1 l n lu t là giao
i m c a (H) v i các ti p tuy n c a (H) t i A, B, C. Ch ng minh r ng A1,
B1, C1 th ng hàng.
Gi i: G i M(x0; y0) thu c (H). Phương trình ti p tuy n c a (H) t i M
(d ) y = 3(x02 − 1)(x − x0 ) + x 3 − 3 x0 − 2 = 3(x02 − 1)x − 2(x 3 + 1)
Phương trình hoành giao i m c a (d) và (H)
x 3 − 3 x − 2 = 3(x02 − 1)x − 2(x 3 + 1)
⇔ ( x − x0 ) ( x + 2 x0 ) = 0
2
x = x0 (nghieäm keùp )
⇔
x = −2 x0
G i A(a; yA) , B(b; yB) , C(c; yC)
⇒ giao i m A1, B1, C1 c a các ti p tuy n t i A, B, C v i (H)
A1 = (− 2a;−8a 3 + 6a − 2 )
B1 = (− 2b;−8b 3 + 6b − 2 )
C1 = (− 2c;−8c 3 + 6c − 2 )
* A, B, C th ng hàng :
b − a b 3 − a 3 − 3(b − a )
⇔ =
c − a c 3 − a 3 − 3(c − a )
b 2 + a 2 + ab − 3
⇔1= 2
c + a 2 + ac − 3
⇔ c 2 + ac = b 2 + ab
⇔ (c − b )(a + b + c ) = 0
(c ≠ b)
⇔ a+b+c =0
* A1, B1, C1 th ng hàng :
2a − 2b 8(a 3 − b 3 ) − 6(a − b )
⇔ =
2a − 2c 8(a 3 − c 3 ) − 6(a − c )
4(a 2 + ab + b 2 ) − 3
⇔1=
4(a 2 + ac + c 2 ) − 3
⇔ c 2 + ac = b 2 + ab
⇔ (b − c )(a + b + c ) = 0
(c ≠ b)
⇔ a+b+c =0
V y : A, B, C th ng hàng ⇔ A1, B1, C1 th ng hàng
- Năm h c 07-08
Chuyên kh o sát hàm sô1
Vn 4: Bi n lu n s nghi m phương trình, b t phương trình b ng th :
Phương pháp :
1)D ng 1: cho phương trình f(x m) = 0 (1)
* ưa v d ng : g(x) = m
*V th (C) : y = g(x) và (D) : y = m
* Xét s tương giao c a (C) và (D) trên th theo tham s m
* K t lu n : s giao i m trên th là s nghi m c a phương trình (1)
2)D ng 2: f(x) = g(m)
* y = g(m) là ư ng th ng luôn qua M(x0; y0) c nh
* y = g(m) là ư ng th ng có h s góc không i
* g(m) = f(m)
Bài toán 1: Cho hàm s y = x3 – 3x (C)
a) Kh o sát và v th
b) Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a hàm s y = − sin 3 x − 3 sin 3 x
Gi i: a) th (C)
y
4
2
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
-4
b) y = − sin 3 x − 3 sin 3 x
⇔ y = (− 3 sin x + 4 sin 3 x ) − 3 sin 3 x
⇔ y = sin 3 x − 3 sin 3 x
t t = sinx , t ∈ [− 1;1]
- Năm h c 07-08
Chuyên kh o sát hàm sô1
Xét y = t3 – 3t v i t ∈ [− 1;1]
Nhìn vào th (C) ta th y
Π
Maxy = 2 ⇔ t = −1 ⇔ x = − + k 2Π
2
t ∈[−1;1]
Π
(k, l ∈ Z)
Miny = 2 ⇔ t = 1 ⇔ x = + l 2Π
2
t ∈[−1;1]
2x2 + x + 1
Bài toán 2: Cho hàm s y = (C)
x +1
a) Kh o sát và v th hàm s
2 cos 2 x + cos x + 1
b) Tìm giá tr l n nh t , nh nh t c a bi u th c y =
cos x + 1
Gi i: a) th (C)
y
6
4
2
x
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-2
-4
-6
-8
-10
-12
t t = cos x ⇒ 0 ≤ t ≤ 1
b)
2t 2 + t + 1
v i D = [0;1]
V y A=
t +1
Nhìn vào th hàm s (1) trên khi xét t ∈ [0;1] ta th y:
t = 1
cos x = 1
MaxA = 2 ⇔ ⇔ ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kΠ
1
t = − ( loaïi) cos x = −1
2
- Năm h c 07-08
Chuyên kh o sát hàm sô1
Π
(k, l ∈ Z)
MinA = 1 ⇔ t = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = + lΠ
2
x2 + x − 3
Bài toán 3: Cho hàm s y = (C)
x+2
a) Kh o sát và v th
b) Bi n lu n theo m s nghi m c a: f (t ) = t 4 + (1 − m )t 2 − 3 − 2m = 0
Gi i: a)
y
2
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-2
-4
-6
b) t 4 + (1 − m )t 2 − 3 − 2m = 0 (*)
( )
⇔ t4 + t3 − 3 = m t2 + 2
t4 + t2 − 3
⇔2 =m
t +2
x2 + x − 3
v i x = t2 ≥ 0
Xét hàm s y =
x+2
3
Nhìn vào th ta th y khi m ≥ − thì (d) c t (C) t i 1 i m có hoành
2
không âm
3
V y khi m = − có nghi m x = t2 = 0
2
- Năm h c 07-08
Chuyên kh o sát hàm sô1
⇒ (*) có nghi m kép t1 = t 2 = 0
3
m > − thì (*) có 2 nghi m
2
3
m < − thì () vô nghi m
2
2x
Bài toán 4:Cho hàm s y = f ( x ) = (C)
x −1
a) Kh o sát và v th
b) Bi n lu n theo m s nghi m c a (m − 2 ) x − m = 0 v i x ∈ [− 1;2]
Gi i:a) th (C)
y
6
4
2
x
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
b) Xét phương trình (m − 2 ) x − m = 0 v i x ∈ [− 1;2]
⇔ m( x − 1) = 2 x (*)
Vì x = 1 không là nghi m c a (*)
2x
v i x ∈ [− 1;2]
V y m=
x −1
2x
v i x ∈ [− 1;2]
Xét ư ng y = m và y =
x −1
- Năm h c 07-08
Chuyên kh o sát hàm sô1
y
4
2
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
-4
Nhìn vào th ta th y
m ∈ (− ∞;0) : (*) có 2 nghi m
m ∈ {0} ∪ [4; + ∞ ) : (*) có 1 nghi m
m ∈ (0;4) : (*) vô nghi m
x2
Bài toán 5: Cho hàm s y = f ( x ) = (C)
x −1
a) Kh o sát và v th (C)
b) Bi n lu n s nghi m c a phương trình (1 − m )x 2 − (1 − x )x + 1 = 0
Gi i: a) th (C)
- Năm h c 07-08
Chuyên kh o sát hàm sô1
y
6
y=-3x+1
4
2
x
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
b) (1 − m )x 2 − (1 − x )x + 1 = 0 (*)
x2
Ta th y x = 1 không là nghi m c a (*) , ta có (*) ⇔ = mx + 1
x −1
t (d) : y = mx + 1 , (d) luôn i qua A(0;1)
S nghi m c a phương trình (*) chính là s giao i m c a (C) và (d) :
x2
(C) : y =
x −1
(d) là ti p tuy n c a (C) khi (*) có nghi m kép
1 − m ≠ 0 m ≠ 1 m = −3
⇔ ⇔ 2 ⇔
m = 1(loaïi )
(1 − m ) − 4(1 − m ) = 0
2
m + 2 m − 3 = 0
⇔ m = −3
V y ti p tuy n c a (C) qua A(0;1) : y = –3x + 1
* K t lu n
m = −3 : (d) ti p v i (C) ⇔ phương trình (*) có nghi m kép
m ∈ (− ∞;−3) ∪ (1;+∞) :(d) c t (C) t i 2 di m phân bi t ⇔ phương trình
(*)có 2 nghi m ơn
m ∈ (− 3;1] : (d ) ∩ (C ) = Φ phương trình vô nghi m
- Năm h c 07-08
Chuyên kh o sát hàm sô1
Bài toán 6: Gi i và bi n lu n theo m s nghi m phương trình
4 x 2 − 16 x + 12 − x − 2m = 0
Gi i: D = (− ∞;1] ∪ [3;+∞)
x
4 x 2 − 16 x + 12 − x − 2m = 0 ⇒ x 2 − 4 x + 3 = +m
2
x
t (d) : y = +m
2
Xét (C) : y = x 2 − 4 x + 3
y
6
4
x1
y= −
22
2
x3
y= −
22x
-2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
* D a vào th ta có
3
m ∈ − ∞;− : phương trình ã cho vô nghi m
2
3 1
m ∈ − ;− : phương trình có 1 nghi m
2 2
1
m ∈ − ;+∞ : phương trình có 2 nghi m
2
Bài toán 7: Cho hàm s y = 3 + 2 x 2 − x 4 (C)
a) Kh o sát và v th
- Năm h c 07-08
Chuyên kh o sát hàm sô1
b) Bi n lu n theo m s nghi m c a phương trình x 4 − 2 x 2 = m 4 − 2m 2
th (C) : y = 3 + 2 x 2 − x 4
Gi i: a)
y
y=4
4
y=3
3
2
1
x
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2
b) x 4 − 2 x 2 = m 4 − 2 m 2
⇔ − x 4 + 2 x 2 + 3 = −m 4 + 2 x 2 + 3
Xét y = f ( x ) = − x 4 + 2 x 2 + 3 (C)
y = t = − m 4 + 2m 2 + 3 = f (m )
Nhìn vào th ta th y :
Khi t = 4 ⇔ m = ±1 : (*) có 2 nghi m kép x = ±1
t = 3 ⇔ m = 0 V m = ± 2 : (*) có 3 nghi m ; 1 nghi m kép x = 0
và 2 nghi m ơn x = ± 2
− 2 < m < 2
3 < t < 4 ⇔ m ≠ ±1 : (*) có 4 nghi m phân bi t
m ≠ 0
m < − 2
t 2
Vn 5: Bi n lu n s ư ng cong i qua di m cho trư c:
- Năm h c 07-08
Chuyên kh o sát hàm sô1
Phương pháp: cho ư ng (Cm) = f(x, m) và i m M(x0; y0) cho trư c. Bi n lu n theo
m s ư ng (Cm) i qua M
* M(x0; y0) thu c (Cm) ⇔ y0 = f(x0, m)
* Bi n i phương trình có n m , và x0; y0 là tham s
Am + B = 0 (1) hay Am2 + Bm + C = 0 (2)
* Bi n lu n s nghi m c a phương trình (1) và (2) theo m . T ó suy ra s (Cm) i
qua M
(m − 1)x + m + 3
Bài toán 1: Cho hàm s y = (Cm)
x+m
Bi n lu n theo m s ư ng (Cm) i qua i m M (α ; β ) cho s n
(m − 1)α + m + 3 (m ≠ −α )
Gi i: M (α ; β )∈ (Cm ) ⇔ β =
α +m
⇔ (α + m)β = (m − 1)α + m + 3
⇔ (α − β + 1)m = αβ + α − 3 (*)
αβ + α − 3
* N u α − β + 1 ≠ 0 ⇒ β ≠ α + 1 thì (*) có 1 nghi m m =
α − β +1
V y β ≠ α + 1 thì có m t ương (Cm) i qua M
* N u α − β +1 = 0 ⇒ β = α +1
(*) ⇔ 0m = α (α + 1) + α − 3 ⇔ 0m = α 2 + 2α − 3
α ≠ 1
- N u α 2 + 2α − 3 ≠ 0 ⇔ thì (*) vô= nghi m .
α ≠ −3
V y β = α + 1; α ≠ 1 ∪ α ≠ −3 thì không có (Cm) i qua M
- N u β = α + 1; α = 1 ∪ α = −3 thì có vô s (Cm) i qua M 1 (1;2), M 2 (− 3,−2)
Nh n xét : M1, M2 chính là 2 i m có nh c a (Cm)
mx 2 − (m 2 + m − 1)x + m 2 − m + 2
Bài toán 2:Cho hàm s y = có th (Cm)
x−m
CMR luôn tìm ư c 2 giá tr c a m th (Cm) i qua M(x0; y0) v i
x0 > 1
mx02 − (m 2 + m − 1)x0 + m 2 − m + 2
Gi i: M ∈ (Cm) ⇔ y0 = ( x0 ≠ m )
x0 − m
⇔ (1− x0 )m2 + (x02 − x0 −1+ y0 )m + x0 − x0 y0 + 2 = 0 (x > 1) (*)
0
Ta gi i (*) tìm nghi m m
∆1 = (x02 − x0 − 1 + y0 ) + 4( x0 − 1)(x0 − x0 y0 + 2 )
2
= [x0 ( x0 − 1) + y0 − 1] + 4( x0 − 1)[2 − x0 ( y0 − 1)]
2
nguon tai.lieu . vn
