Một số dạng toán về số phức

Đăng ngày | Thể loại: | Lần tải: 0 | Lần xem: 0 | Page: 5 | FileSize: M | File type: PDF
of x

Một số dạng toán về số phức. Số phức là một vấn đề còn mới ở giải tích 12. Do vậy mà các em học sinh không thể tránh khỏi lúng túng khi gặp các bài toán về số phức.. Giống những thư viện tài liệu khác được thành viên giới thiệu hoặc do tìm kiếm lại và giới thiệu lại cho các bạn với mục đích học tập , chúng tôi không thu phí từ bạn đọc ,nếu phát hiện nội dung phi phạm bản quyền hoặc vi phạm pháp luật xin thông báo cho website ,Ngoài thư viện tài liệu này, bạn có thể download tài liệu, bài tập lớn phục vụ nghiên cứu Một số tài liệu download thiếu font chữ không xem được, nguyên nhân máy tính bạn không hỗ trợ font củ, bạn download các font .vntime củ về cài sẽ xem được.

https://tailieumienphi.vn/doc/mot-so-dang-toan-ve-so-phuc-ol7utq.html

Nội dung


  1. Mét sè d¹ng to¸n vÒ sè phøc Lª xu©n ®¹i (GV THPT Chuyªn VÜnh Phóc) Sè phøc lµ mét vÊn ®Ò cßn míi ë ch-¬ng tr×nh to¸n gi¶i tÝch líp 12. Do vËy mµ c¸c em häc sinh kh«ng thÓ tr¸nh khái lóng tóng khi gÆp c¸c bµi to¸n vÒ sè phøc. Bµi viÕt nµy giíi thiÖu mét sè d¹ng to¸n vÒ sè phøc nh»m gióp c¸c b¹n «n thi §H-C§ tèt h¬n. Do khu«n khæ cña bµi viÕt nªn t¸c gi¶ chØ nªu ra mét sè d¹ng to¸n liªn quan ®Õn d¹ng ®¹i sè cña sè phøc. D¹ng 1: Bµi to¸n liªn quan ®Õn c¸c phÐp biÕn ®æi sè phøc 2 2 4 4 ThÝ dô 1: Gäi z1 , z2 lµ hai nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh z 2  2 z  10  0 . TÝnh z1  z2 ; z1  z2 . Lêi gi¶i. Gi¶i ph-¬ng tr×nh t×m ra hai nghiÖm lµ z1  1  3i; z2  1  3i , suy ra z1  z2  10 . 2 2 4 4 Do ®ã z1  z2  20 vµ z1  z2  200 . ThÝ dô 2: Cho hai sè phøc z1, z2 tho¶ m·n z1  z2  1; z1  z2  3 . TÝnh z1  z2 . a 2  b2  a 2  b2  1 Lêi gi¶i. §Æt z1  a1  b1i; z2  a2  b2i . Tõ gi¶ thiÕt ta cã  1 1 2 2  ( a1  a2 )  (b1  b2 )2  3 2  Suy ra 2(a1b1  a2b2 )  1  (a1  a2 )2  (b1  b2 )2  1  z1  z2  1 z Bµi to¸n t-¬ng tù: Cho hai sè phøc z1, z2 tho¶ m·n z1  3; z2  4; z1  z2  37 . T×m sè phøc z  1 . z2 D¹ng 2: Bµi to¸n liªn quan ®Õn ph-¬ng tr×nh nghiÖm phøc ThÝ dô 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh nghiÖm phøc: z 2  8(1  i ) z  63  16i  0 Lêi gi¶i. Ta cã  '  16(1  i )2  (63  16i )  63  16i  (1  8i )2 Tõ ®ã ta t×m ra hai nghiÖm z1  5  12i ; z2  3  4i . ThÝ dô 4: T×m hai sè thùc x,y tho¶ m·n: x(3  5i )  y(1  2i )3  9  14i Lêi gi¶i. Ta cã x(3  5i )  y(1  2i )3  x(3  5i )  y(11  2i )  (3 x  11y )  (5 x  2 y )i 3 x  11 y  9 172 3 . Gi¶i hÖ ta ®-îc x  vµ y   . 5 x  2 y  14 61 61 Do ®ã x,y tho¶ m·n hÖ  ThÝ dô 5: Gi¶i ph-¬ng tr×nh z 3  2(1  i ) z 2  4(1  i ) z  8i  0 biÕt r»ng ph-¬ng tr×nh cã mét nghiÖm thuÇn ¶o. Lêi gi¶i. Gäi nghiÖm thuÇn ¶o lµ z  bi (b   ) . Ta cã:  2b 2  4b  0 3 2 (bi )  2(1  i )(bi )  4(1  i )(bi )  8i  0   3 b2  2  b  2b  4b  8  0   z  2i Khi ®ã ph©n tÝch PT ®· cho t-¬ng ®-¬ng: ( z  2i )  z 2  2 z  4   0   2  z  2z  4  0   Tõ ®ã t×m ra 3 nghiÖm cña PT lµ: z  2i; z  1  i 3 . ThÝ dô 6: Gi¶i ph-¬ng tr×nh nghiÖm phøc: z 2  z
  2. a 2  b2  a Lêi gi¶i. §Æt z  a  bi ( a, b   ) , ta cã: z 2  z  ( a  bi )2  a  bi     2ab  b  1 3 1 3 Gi¶i hÖ trªn ta t×m ®-îc ( a; b)  (0; 0); (1; 0);   ;   . VËy z  0; z  1; z    i. 2 2 22   ThÝ dô 7: T×m c¸c sè nguyªn x,y sao cho sè phøc z  x  yi tho¶ m·n z 3  18  26i .  x3  3 xy 2  18 3  18(3 x 2 y  y 3 )  26( x3  3 xy 2 ) . Lêi gi¶i. Ta cã ( x  yi )  18  26i    2 3 3 x y  y  26  1 Gi¶i PT b»ng c¸ch ®Æt y  tx ( x  0) ta ®-îc t   x=3,y=1. VËy z  3  i . 3 Trong nhiÒu tr-êng hîp, dïng sè phøc cã thÓ gi¶i ®-îc c¸c hÖ ph-¬ng tr×nh khã, ta xÐt thÝ dô sau: 3x  y x  2 3  x  y2 ( x, y   )  x  3y ThÝ dô 8: Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh:  y  0 x2  y 2   (3 x  y )  ( x  3 y )i 3( x  yi ) i( x  yi ) Lêi gi¶i. Tõ hÖ suy ra: x  yi   3  x  yi  3 2 2 2 2 x2  y 2 x y x y  (3  i ) z (3  i ) §Æt z  x  yi ta ®-îc PT Èn z   : z  3 z 3 2 z z Gi¶i PT bËc hai t×m ®-îc z  2  i vµ z  1  i . Tõ ®ã t×m ra 2 nghiÖm cña hÖ lµ ( x, y )  ( 2,1); (1, 1) . D¹ng 3: T×m tËp hîp c¸c ®iÓm biÓu diÔn sè phøc tháa m·n ®iÒu kiÖn cho tr-íc ThÝ dô 9: T×m tËp hîp c¸c ®iÓm biÓu diÔn trong mÆt ph¼ng phøc c¸c sè phøc z tho¶ m·n: z i a) z  z  3  4i 1 z i b) Lêi gi¶i. a) §Æt z  x  yi ( x, y   ) , ta cã z  z  3  4i  x 2  y 2  ( x  3)2  (4  y )2  6 x  8 y  25 VËy tËp hîp c¸c ®iÓm cÇn t×m lµ ®-êng th¼ng cã ph-¬ng tr×nh 6 x  8 y  25 . z i b) §Æt z  x  yi ( x, y   ) , ta cã  1  z  i  z  i  x  ( y  1)i  x  ( y  1)i zi  x 2  ( y  1)2  x 2  ( y  1)2  y  0 . VËy tËp hîp c¸c ®iÓm cÇn t×m lµ trôc thùc Ox ThÝ dô 10: T×m tËp hîp c¸c ®iÓm biÓu diÔn trong mÆt ph¼ng phøc sè phøc   (1  i 3 ) z  2 biÕt r»ng sè phøc z tho¶ m·n: z  1  2 . z  a  bi (a, b   ) vµ   x  yi ( x, y  ) Lêi gi¶i. §Æt
  3. Ta cã z  1  2  ( a  1)2  b 2  4 (1) x  a  b 3  2 x  3  a 1 b 3 Tõ   (1  i 3 ) z  2  x  yi  (1  i 3 )(a  bi )  2      y  3a  b  y  3  3(a  1)  b    Tõ ®ã ( x  3)2  ( y  3 )2  4 ( a  1)2  b 2   16 (do (1)).   VËy tËp hîp c¸c ®iÓm cÇn t×m lµ h×nh trßn ( x  3)2  ( y  3 )2  16 , t©m I (3; 3 ) , b¸n kÝnh R=4. D¹ng 4: Sè phøc vµ bÊt ®¼ng thøc ThÝ dô 11: Chøng minh r»ng víi mçi sè phøc z, cã Ýt nhÊt mét trong hai bÊt ®¼ng thøc sau x¶y ra: 1 hoÆc z 2  1  1 z 1  2 1 vµ z 2  1  1 . §Æt z  a  bi ( a, b   ) Lêi gi¶i. Gi¶ sö ta cã ®ång thêi z  1  2 21 2 2(a 2  b 2 )  4a  1  0 (1) (1  a )  b   2  (1  a 2  b 2 )2  4a 2b 2  1 (a 2  b 2 )2  2(a 2  b 2 )  0 (2)  Ta cã:    Céng tõng vÕ (1) víi (2) ta ®-îc ( a 2  b 2 )2  (2a  1)2  0 (v« lý). Suy ra ®pcm. 1 1 ThÝ dô 12: Cho sè phøc z  0 tho¶ m·n z 3   2 . Chøng minh r»ng: z   2. 3 z z Lêi gi¶i. DÔ chøng minh ®-îc r»ng víi hai sè phøc z1, z2 ta cã z1  z2  z1  z2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 Tõ  z    z 3  3  3  z   , suy ra z   z3  3  3 z   2  3 z    z z z z z z z   1 ta ®-îc a3  3a  2  0  ( a  2)( a  1)2  0  a  2 (®pcm). §Æt a  z  z ThÝ dô 13: Cho sè phøc z tho¶ m·n z  2  2i  1 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña z . Lêi gi¶i. §Æt z  a  bi ( a, b   ) . Ta cã z  2  2i  1  a 2  b2  7  4(a  b) . Ðãt t  z  a 2  b 2 , ta cã a  b  2(a 2  b 2 )  2.t . Suy ra t 2  7  4 2.t  2 2  1  t  2 2  1 . a  b  0 4 2 4 2 4 2 4 2 * t  2 2  1   a  b a ;b   . Khi ®ã z  i.  2 2 2 2  2 2  a  b  2 2 1
  4. a  b  0 4 2 4 2 4 2 4 2 * t  2 2  1   a  b a ;b   . Khi ®ã z  i.  2 2 2 2  2 2  a  b  2 2 1 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña z b»ng 2 2  1 vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña z b»ng 2 2  1 . Bµi t-¬ng tù: Cho sè phøc z tho¶ m·n z  1  2i  1 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña z . D¹ng 5: TÝnh to¸n c¸c biÓu thøc tæ hîp 0 2 4 2008 2010 ThÝ dô 14: TÝnh gi¸ trÞ cña A  C2010  C2010  C2010  ...  C2010  C2010 Lêi gi¶i. XÐt khai triÓn: 2010 (1  i)2010   C2010 .i k   C2010  C2010  C2010  ...  C2010  C2010    C1010  C2010  C2010  ...  C2010  i k 0 2 4 2008 2010 3 5 2009 2 k 0 1005 MÆt kh¸c (1  i)2010  (1  i )2   (2i)1005  21005.i   So s¸nh phÇn thùc vµ phÇn ¶o cña (1  i )2010 ta ®-îc A  0 . + Tõ trªn còng suy ra kÕt qu¶ sau: B  C1010  C2010  C2010  ...  C2010  21005 3 5 2009 2 2010 + B©y giê, ta xÐt khai triÓn (1  x)2010   C2010 .xk k (*) k 0 C 0  C1 2 2009 2010 2010 2010  C2010  ...  C2010  C2010  2  2010 C2010  C1010  C2010  ...  C2010  C2010  0 0 2 2009 2010 Trong (*) lÇn l-ît thay x=1 vµ x=-1 ta ®-îc:  2  C  C 0  C 2  C 4  ...  C 2008  C 2010  22009 2010 2010 2010 2010 2010   D  C2010  C2010  C2010  ...  C2010  C2010  22009 1 3 5 2007 2009 Suy ra   Tõ kÕt qu¶ cña A vµ C ta suy ra tæng sau: P  C2010  C24010  C2010  ...  C22001004  C22010  22008 0 8 008 Tõ kÕt qu¶ cña B vµ D ta suy ra tæng sau: Q  C2010  C2010  C2010  ...  C201005  C22001009  21004  22008 . 1 5 9 20 Cuèi cïng lµ mét sè bµi tËp cho c¸c b¹n luyÖn tËp Bµi 1: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc 1. z 3  z 2. z  z  3  4i 3. (1  i ) z 2  2  11i  0 Bµi 2: T×m sè phøc z sao cho A  ( z  2)( z  i ) lµ mét sè thùc
  5. z  7i z 1 Bµi 3: T×m tÊt c¶ c¸c sè phøc z tháa m·n ®ång thêi c¸c ®iÒu kiÖn: |z| = 5 vµ lµ sè thùc Bµi 4: Cho n nguyªn d-¬ng. Chøng minh r»ng: 1C8 n  3C83n  ...  (8n  1)C88n 1  4n.24 n 1 n 1  3x 1  2    x y ( x, y   ) .   7 y 1  1   4 2 Bµi 5: Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh:   x y    
347818