Xem mẫu

www.MATHVN.com MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC Biên soạn: NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 I) DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Dạng 1) Bài toán liên quan ñến biến ñổi số phức Ví dụ 1) Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z=x+yi thoả mãn z3 =18+26i Giải: z3 =18+26i Û (x+ yi)3 =18+26i Û xx2 3xy= 18 Û18(3x2 y y3 ) 26(x3 3xy2 ) Giải phương trình bằng cách ñặt y=tx ta ñược t = 1 x = 3, y =1. Vậy z=3+i Ví dụ 2) Cho hai số phức z1;z2 thoả mãn z1 = z2 ; z1 + z2 = 3 Tính z1 z2 Giải: Đặt z1 = a +bi;z2 = a2 +b2i . Từ giả thiết ta có a21+b 2 = a2 +b2 =12 = 3 2(a1b +a2b2 )=1 (a a2 )+ (b b2= 1 z1 z2= 1 Dạng 2) Bài toán liên quan ñến nghiệm phức Ví dụ 1) Giải phương trình sau: z2 8(1 i+)z 63 =16i 0 Giải: Ta có Δ`=16(1 i)2 (63 16i) 63 16i (1 8i)2 Từ ñó tìm ra 2 nghiệm là z1 = 5 12i,z= 3+ 4i Ví dụ 2) Giải phương trình sau: 2(1+i)z2 4(2 i)z 5= 3i 0 Giải: Ta có Δ’ = 4(2 – i)2 + 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. Vậy phương trình cho hai nghiệm là: 2(2 i)+ 4 4 i (4 i)(1 i) 3 5 1 2(1+i) 1+i 2 2 2 2(2 i) 4 i ( i)(1 i) 1 2 2(1+i) 1+i 2 2 1i Ví dụ 3) Giải phương trình z3 9z+ 14z =5 0 Giải: Ta có phương trình tương ñương với (2z 1) z2 4+z =5) 0. Từ ñó ta suy ra phương trình có 3 nghiệm là z1 = 1;z2 = 2 i;z= 2+ i Ví dụ 4) Giải phương trình: 2z3 5z+ 3z+ 3+ (2z+ 1)=i 0 biết phương trình có nghiệm thực Giải: Vì phương trình có nghiệm thực nên 2z +15z+ 3+ 3= 0 z = 1 thoả mãn cả hai phương trình của hệ:Phương trình ñã cho tương ñương với (2z+1)(z2 3+ 3+ i= 0. Giải phương trình ta tìm ñược z = 1;z= 2 i=;z +1 i www.MATHVN.com 1 www.MATHVN.com Ví dụ 5) Giải phương trình: z3 +(1 2i)z+ (1 i)z =2i 0 biết phương trình có nghiệm thuần ảo: Giải: Giả sử nghiệm thuần ảo của phương trình là z=bi thay vào phương trình ta có (bi)3 +(1 2i)(bi)+ (1 i)(bi) =2iÛ0 (b+ b2 )+ ( b+ 2b2 =b 2)i 0 b b= 0 b+ 2b+ b = ñương với (z i)(z2 b =1 z = i là nghiệm, từ ñó ta có phương trình tương 0 (1 +)z 2=) 0. Giải pt này ta sẽ tìm ñược các nghiệm Ví dụ 6) Tìm nghiệm của phương trình sau: z2 = z . Giải: Giả sử phương trình có nghiệm: z=a+bi thay vào ta có (a+bi)2 = a+bi Û aab ==ba Giải hệ trên ta tìm ñược (a,b) = (0;0),(1;0),( 1±; 3). Vậy phương trình có 4 nghiệm là z = 0;z =1;z = ± 3 i Dạng 3) Các bài toán liên quan ñến modun của số phức: Ví dụ 1) Tìm các số phức z thoả mãn ñồng thời các ñiều kiện sau: z +1 2i= z +2 i và z i= 5 Giải: x+1+(y 2)= x + (1 y)i Giả sử z=x+yi (x,y là số thực) .Từ giả thiết ta có x+(y 1)i=| 5 (x+1)2 +(y 2)= (x 2)2 x2 +(y 1)= 5 (1 y)2 y = 3x 10x2 6x =4 0 Û x =1, y = 3 hoặc x = 2, y 6 . Vậy có 2 số phức thoả mãn ñiều kiện. Ví dụ 2) Xét số phức z thoả mãn z = 1 m(m 2i);m∈R a) Tìm m ñể z.z = 1 b)Tìm m ñể z i 1 c) Tìm số phức z có modun lớn nhất. Giải: a) Ta có i m (i m) 1 m2 2mi 1 m+ 2mi (1 m2 2mi)(1 m2 2mi) m(1 m2) 2m (1+ m2 2m2 ) (1 m2 )2 4m2 www.MATHVN.com 2 www.MATHVN.com = m(1+m2 )+i(1+m2 ) = 1 m 2 +1 1 2 i z = 1 m 2 1+1 2 i z.z = 1 Û (m2 +12 = 1 Û m2 +1= 2 Û m = ±1 b) Ta có z £ 1 m 4 1+m2 1 1 2 1£ 1 m 4 1+m2 2 1+ £ i 1 Û 2 4 2 Û (1+m2)2 + (1+m2 )2 £ 16 Û 1+m2 £ 6 Û16m2 £1+m2 Û 1 15 m£ 1 15 c) Ta có z = m2 +1 (m2 +1)2 1+1 £1| z |max =1Û m = 0 Ví dụ 3) Trong các số phức z thoả mãn ñiều kiện z 2 4=i 5 Tìm số phức z có modun lớn nhất, nhỏ nhất. Giải: Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra (x 2)+ (y 4= 5 Suy ra tập hợp ñiểm M(x;y) biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm I(2;4) bán kính R = 5 Dễ dàng có ñược M(2+ 5sina;4+ 5cosa). Modun số phức z chính là ñộ dài véc tơ OM. Ta có |z|2=OM2 = (2+ 5sina)2 +(4+ 5cosa)2 = 25+4 5(sina +2cosa) Theo BDT Bunhiacopxki ta có (sina +2cosa)2 £ (1+4)(sin2 a +cos2 a)= 5 5£ sin + 2cos £ 5 5 £ z £ 3 5 . Vậy | z |min = 5 sina +2cosa = 5Û sin = 1 ;cos = 2 5 x= 1, y= 2 z =1+2i | z |max = 3 5 Û sina +2cosa = 5 Û sina = 1 ;cosa = 2 Û x = 3, y = 6 z = 3+6i Ví dụ 4) Trong các số phức thoả mãn ñiều kiện z 2 4=i z 2i .Tìm số phức z có moodun nhỏ nhất. Giải: Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra (x 2)+ (y 4= x2 (y Û2 2 + x y 4 0 Suy ra tập hợp ñiểm M(x;y) biểu diễn số phức z là ñường thẳng y=-x+4 Ta có z = x2 + y2 = x2 +(4 x)= 2x2 +x 16 2(x 2)2³ 8 2 2 . Từ ñó suy z min = 2 2 Û x = 2 y = 2 z = 2+2i Dạng 4) Tìm tập hợp ñiểm biểu diễn số phức Ví dụ 1) Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z biết: a) z z i b) z = z 3+ 4i c) z + + = 4 www.MATHVN.com 3 www.MATHVN.com Giải: Gọi z=x+yi a) Từ giả thiết ta có z = 3 z iÛ x+ y= 9(x+ (y Vậy tập hợp ñiểm M là ñường tròn tâm I(0;9),R = 3 b) Từ giả thiết ta có x2 + y2 = (x 3)+ (4 yÛ) 6+x M là ñường thẳng 6x+8y-25=0 1)Û) +x2 (y =)2 64 8y 25. Vậy tập hợp các ñiểm c) Giả sử z =x+yi thì z + + = 4 Û x2 +(y 1)+ x2 ( + 1)= 4Û x2 +(y+1)2 £ 4 x2 +(y 1)= 16 8 x2 +y + x2 +(y +1)2 £16 x2 +y 1)2 2 x2 +(y 1)= + Û 4 x2 +(y +1)2 £16 x2 +(y +1)2 £16(1) 2 2 Û 4x2 +4y2 +8y+4 = y2 +8y+16 Û 3 + 4 =1(2) y ³ 4(3) Ta thấy các ñiểm nằm trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung ñộ các ñiểm nằm trên (Elip) luôn thoả mãn ñiều kiện y >-4. Vậy tập hợp ñiểm M là Elip có pt x2 + y2 =1. Ví dụ 2) Tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn trong mặt phẳng phức số phứcω = 1+i 3 z +2 biết rằng số phức z thoả mãn: z 1 2. Giải: Đặt z = a+bi(a,b∈R) Ta có z £ 2Û (a 1)+ b2 4 (1) Từ ω = (1+i 3)z +2 x+ yi = (1+i 3)(a+bi)+2 Û y =a 3a+b 2 Û y 3 3=a 3(a +1) b Từ ñó (x 3)+ (y 3£2 4(a +1)2 £2 16 do (1) Vậy tập hợp các ñiểm cần tìm là hình tròn (x 3)+ (y 3£2 16; tâm I (3; 3), bán kính R=4. Ví dụ 3) Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M(z) trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho số z +2 có acgumen bằng 3 . Giải: www.MATHVN.com 4 www.MATHVN.com Giả sử z=x+yi, thì z +2 = (x+2++ yi = (x 2+ yi(+ 2+ yi (x+2)2 + y2 = x2 4+ y+ yi(x+ 2 +x (x+2)2 + y2 2) x2 + y2 (x 2)+ 4 + y x 4y 2+2 y2 i (1) Vì số phức z +2 có acgumen bằng 3 , nên ta có: (x2 2y+ y2 + (x 2+2 y2 i =t cosπ +isinπ với t > 0 x2 + y2 (x 2)+ 4y (x 2)2 4 t y2 2 t 3 y2 2 Từ ñó suy ra y>0 (1) và 4y x2 + y2 4 = 3 Û x2 + y2 4 4y 3 x+ y 2 2 3 4 2 (2).Từ (1) và (2) suy ra tập hợp các ñiểm M là ñường tròn tâm nằm phía trên trục thực(Trên trục Ox). Dạng 5) Chứng minh bất ñẳng thức: Ví dụ 1) Chứng minh rằng nếu z £1 thì Giải: 2z 1 2+iz Giả sử z =a+bi (a, b ∈R) thì z = a2 +b2 £1Û a2 +b2 £1. Ta có 2z 1 2a (2b 1)i 2+iz (2 b) ai 4a2 +(2b 1)2 .Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương (2 b)2 a2 với 4a2 +(2b 1)2 £1Û 4a2 +(2b 1)2 (2 b)2 a2 a2 b2 1 dpcm (2 )2 2 Ví dụ 2) Cho số phức z khác không thoả mãn ñiều kiện z3 + 1 £ 2. Chứng minh rằng: z + 1 £ 2 Giải: Dễ dàng chứng minh ñược với 2 số phức z1,z2 bất kỳ ta có z1 + z2 £ z1 + z2 Ta có z + 13 = z3 + 1 +3z + 1 z + 1 3 £ z3 + 1 +3 z + 1 £ 2+3 z + 1 Đặt z + 1 =a ta có a3 3a £2 Û0 (a 2+(a £1)2 0 dpcm www.MATHVN.com 5 ... - tailieumienphi.vn
nguon tai.lieu . vn