of x

Một số dạng Toán về số phức cấp THPT

Đăng ngày | Thể loại: | Lần tải: 0 | Lần xem: 1 | Page: 0 | FileSize: 0.33 M | File type: PDF
1 lần xem

Một số dạng Toán về số phức cấp THPT. Nhằm phục vụ quá trình học tập và giảng dạy của giáo viên và học sinh. Một số dạng Toán về số phức cấp THPT sẽ là tư liệu hữu ích, giúp các bạn ôn tập lại kiến thức đã học, có cơ hội đánh giá lại năng lực của mình trước kỳ thi sắp tới. Chúc các bạn thành công. Mời các bạn tham khảo.. Cũng như những tài liệu khác được bạn đọc chia sẽ hoặc do sưu tầm lại và chia sẽ lại cho các bạn với mục đích nghiên cứu , chúng tôi không thu phí từ người dùng ,nếu phát hiện nội dung phi phạm bản quyền hoặc vi phạm pháp luật xin thông báo cho chúng tôi,Ngoài tài liệu này, bạn có thể download bài giảng,luận văn mẫu phục vụ học tập Một số tài liệu download lỗi font chữ không hiển thị đúng, nguyên nhân máy tính bạn không hỗ trợ font củ, bạn tải các font .vntime củ về cài sẽ xem được.

https://tailieumienphi.vn/doc/mot-so-dang-toan-ve-so-phuc-cap-thpt-j1j7tq.html

Nội dung

tailieumienphi.vn giới thiệu đến mọi người bài Một số dạng Toán về số phức cấp THPTTài liệu Một số dạng Toán về số phức cấp THPT thuộc chuyên mục ,Tài Liệu Phổ Thông,Trung học phổ thông được chia sẽ bởi trunghocphothong tới bạn đọc nhằm mục đích nâng cao kiến thức , tài liệu này đã giới thiệu vào danh mục ,Tài Liệu Phổ Thông,Trung học phổ thông , có tổng cộng 0 trang , thuộc file PDF, cùng thể loại Các dạng đại số của số phức, Số phức liên hợp, Phương trình có 3 nghiệm, Tài liệu ôn tập môn Toán, Các dạng Toán về số phức, Bài tập về số phức : Nhằm dùng cho quá trình học tập và giảng dạy của cô giáo và học sinh, bên cạnh đó Một số dạng Toán về số phức cấp THPT sẽ là tư liệu có ích, giúp những bạn ôn tập lại kiến thức đã học, có cơ hội đánh giá lại năng lực của mình trước kỳ thi sắp đến, tiếp theo là Chúc những bạn thành công, ngoài ra Mời những bạn tham khảo, ngoài ra www, tiếp theo là MATHVN, kế tiếp là com MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC Biên soạn: NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 I) DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Dạng 1) Bài toán liên hệ ñến biến ñổi số phức Ví dụ 1) Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z=x+yi thoả nguyện z3 =18+26i Giải: z3 =18+26i Û (x+ yi)3 =18+26i Û xx2 3xy= 18 Û18(3x2 y y3 ) 26(x3 3xy2 ) Giải phương trình bằng cách ñặt y=tx ta ñược t = 1 x = 3, y =1, bên cạnh đó Vậy z=3+i Ví dụ 2) Cho hai số phức z1;z2 thoả nguyện z1 = z2 ; z1 + z2 = 3 Tính z1 z2 Giải: Đặt z1 = a +bi;z2 = a2 +b2i , tiếp theo là Từ giả định ta có a21+b 2 = a2 +b2 =12 = 3 2(a1b +a2b2 )=1 (a a2 )+ (b b2= 1 z1 z2= 1 Dạng 2) Bài toán liên q
www.MATHVN.com MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC Biên soạn: NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 I) DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Dạng 1) Bài toán liên quan ñến biến ñổi số phức Ví dụ 1) Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z=x+yi thoả mãn z3 =18+26i Giải: z3 =18+26i Û (x+ yi)3 =18+26i Û xx2 3xy= 18 Û18(3x2 y y3 ) 26(x3 3xy2 ) Giải phương trình bằng cách ñặt y=tx ta ñược t = 1 x = 3, y =1. Vậy z=3+i Ví dụ 2) Cho hai số phức z1;z2 thoả mãn z1 = z2 ; z1 + z2 = 3 Tính z1 z2 Giải: Đặt z1 = a +bi;z2 = a2 +b2i . Từ giả thiết ta có a21+b 2 = a2 +b2 =12 = 3 2(a1b +a2b2 )=1 (a a2 )+ (b b2= 1 z1 z2= 1 Dạng 2) Bài toán liên quan ñến nghiệm phức Ví dụ 1) Giải phương trình sau: z2 8(1 i+)z 63 =16i 0 Giải: Ta có Δ`=16(1 i)2 (63 16i) 63 16i (1 8i)2 Từ ñó tìm ra 2 nghiệm là z1 = 5 12i,z= 3+ 4i Ví dụ 2) Giải phương trình sau: 2(1+i)z2 4(2 i)z 5= 3i 0 Giải: Ta có Δ’ = 4(2 – i)2 + 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. Vậy phương trình cho hai nghiệm là: 2(2 i)+ 4 4 i (4 i)(1 i) 3 5 1 2(1+i) 1+i 2 2 2 2(2 i) 4 i ( i)(1 i) 1 2 2(1+i) 1+i 2 2 1i Ví dụ 3) Giải phương trình z3 9z+ 14z =5 0 Giải: Ta có phương trình tương ñương với (2z 1) z2 4+z =5) 0. Từ ñó ta suy ra phương trình có 3 nghiệm là z1 = 1;z2 = 2 i;z= 2+ i Ví dụ 4) Giải phương trình: 2z3 5z+ 3z+ 3+ (2z+ 1)=i 0 biết phương trình có nghiệm thực Giải: Vì phương trình có nghiệm thực nên 2z +15z+ 3+ 3= 0 z = 1 thoả mãn cả hai phương trình của hệ:Phương trình ñã cho tương ñương với (2z+1)(z2 3+ 3+ i= 0. Giải phương trình ta tìm ñược z = 1;z= 2 i=;z +1 i www.MATHVN.com 1 www.MATHVN.com Ví dụ 5) Giải phương trình: z3 +(1 2i)z+ (1 i)z =2i 0 biết phương trình có nghiệm thuần ảo: Giải: Giả sử nghiệm thuần ảo của phương trình là z=bi thay vào phương trình ta có (bi)3 +(1 2i)(bi)+ (1 i)(bi) =2iÛ0 (b+ b2 )+ ( b+ 2b2 =b 2)i 0 b b= 0 b+ 2b+ b = ñương với (z i)(z2 b =1 z = i là nghiệm, từ ñó ta có phương trình tương 0 (1 +)z 2=) 0. Giải pt này ta sẽ tìm ñược các nghiệm Ví dụ 6) Tìm nghiệm của phương trình sau: z2 = z . Giải: Giả sử phương trình có nghiệm: z=a+bi thay vào ta có (a+bi)2 = a+bi Û aab ==ba Giải hệ trên ta tìm ñược (a,b) = (0;0),(1;0),( 1±; 3). Vậy phương trình có 4 nghiệm là z = 0;z =1;z = ± 3 i Dạng 3) Các bài toán liên quan ñến modun của số phức: Ví dụ 1) Tìm các số phức z thoả mãn ñồng thời các ñiều kiện sau: z +1 2i= z +2 i và z i= 5 Giải: x+1+(y 2)= x + (1 y)i Giả sử z=x+yi (x,y là số thực) .Từ giả thiết ta có x+(y 1)i=| 5 (x+1)2 +(y 2)= (x 2)2 x2 +(y 1)= 5 (1 y)2 y = 3x 10x2 6x =4 0 Û x =1, y = 3 hoặc x = 2, y 6 . Vậy có 2 số phức thoả mãn ñiều kiện. Ví dụ 2) Xét số phức z thoả mãn z = 1 m(m 2i);m∈R a) Tìm m ñể z.z = 1 b)Tìm m ñể z i 1 c) Tìm số phức z có modun lớn nhất. Giải: a) Ta có i m (i m) 1 m2 2mi 1 m+ 2mi (1 m2 2mi)(1 m2 2mi) m(1 m2) 2m (1+ m2 2m2 ) (1 m2 )2 4m2 www.MATHVN.com 2 www.MATHVN.com = m(1+m2 )+i(1+m2 ) = 1 m 2 +1 1 2 i z = 1 m 2 1+1 2 i z.z = 1 Û (m2 +12 = 1 Û m2 +1= 2 Û m = ±1 b) Ta có z £ 1 m 4 1+m2 1 1 2 1£ 1 m 4 1+m2 2 1+ £ i 1 Û 2 4 2 Û (1+m2)2 + (1+m2 )2 £ 16 Û 1+m2 £ 6 Û16m2 £1+m2 Û 1 15 m£ 1 15 c) Ta có z = m2 +1 (m2 +1)2 1+1 £1| z |max =1Û m = 0 Ví dụ 3) Trong các số phức z thoả mãn ñiều kiện z 2 4=i 5 Tìm số phức z có modun lớn nhất, nhỏ nhất. Giải: Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra (x 2)+ (y 4= 5 Suy ra tập hợp ñiểm M(x;y) biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm I(2;4) bán kính R = 5 Dễ dàng có ñược M(2+ 5sina;4+ 5cosa). Modun số phức z chính là ñộ dài véc tơ OM. Ta có |z|2=OM2 = (2+ 5sina)2 +(4+ 5cosa)2 = 25+4 5(sina +2cosa) Theo BDT Bunhiacopxki ta có (sina +2cosa)2 £ (1+4)(sin2 a +cos2 a)= 5 5£ sin + 2cos £ 5 5 £ z £ 3 5 . Vậy | z |min = 5 sina +2cosa = 5Û sin = 1 ;cos = 2 5 x= 1, y= 2 z =1+2i | z |max = 3 5 Û sina +2cosa = 5 Û sina = 1 ;cosa = 2 Û x = 3, y = 6 z = 3+6i Ví dụ 4) Trong các số phức thoả mãn ñiều kiện z 2 4=i z 2i .Tìm số phức z có moodun nhỏ nhất. Giải: Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra (x 2)+ (y 4= x2 (y Û2 2 + x y 4 0 Suy ra tập hợp ñiểm M(x;y) biểu diễn số phức z là ñường thẳng y=-x+4 Ta có z = x2 + y2 = x2 +(4 x)= 2x2 +x 16 2(x 2)2³ 8 2 2 . Từ ñó suy z min = 2 2 Û x = 2 y = 2 z = 2+2i Dạng 4) Tìm tập hợp ñiểm biểu diễn số phức Ví dụ 1) Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z biết: a) z z i b) z = z 3+ 4i c) z + + = 4 www.MATHVN.com 3 www.MATHVN.com Giải: Gọi z=x+yi a) Từ giả thiết ta có z = 3 z iÛ x+ y= 9(x+ (y Vậy tập hợp ñiểm M là ñường tròn tâm I(0;9),R = 3 b) Từ giả thiết ta có x2 + y2 = (x 3)+ (4 yÛ) 6+x M là ñường thẳng 6x+8y-25=0 1)Û) +x2 (y =)2 64 8y 25. Vậy tập hợp các ñiểm c) Giả sử z =x+yi thì z + + = 4 Û x2 +(y 1)+ x2 ( + 1)= 4Û x2 +(y+1)2 £ 4 x2 +(y 1)= 16 8 x2 +y + x2 +(y +1)2 £16 x2 +y 1)2 2 x2 +(y 1)= + Û 4 x2 +(y +1)2 £16 x2 +(y +1)2 £16(1) 2 2 Û 4x2 +4y2 +8y+4 = y2 +8y+16 Û 3 + 4 =1(2) y ³ 4(3) Ta thấy các ñiểm nằm trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung ñộ các ñiểm nằm trên (Elip) luôn thoả mãn ñiều kiện y >-4. Vậy tập hợp ñiểm M là Elip có pt x2 + y2 =1. Ví dụ 2) Tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn trong mặt phẳng phức số phứcω = 1+i 3 z +2 biết rằng số phức z thoả mãn: z 1 2. Giải: Đặt z = a+bi(a,b∈R) Ta có z £ 2Û (a 1)+ b2 4 (1) Từ ω = (1+i 3)z +2 x+ yi = (1+i 3)(a+bi)+2 Û y =a 3a+b 2 Û y 3 3=a 3(a +1) b Từ ñó (x 3)+ (y 3£2 4(a +1)2 £2 16 do (1) Vậy tập hợp các ñiểm cần tìm là hình tròn (x 3)+ (y 3£2 16; tâm I (3; 3), bán kính R=4. Ví dụ 3) Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M(z) trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho số z +2 có acgumen bằng 3 . Giải: www.MATHVN.com 4 www.MATHVN.com Giả sử z=x+yi, thì z +2 = (x+2++ yi = (x 2+ yi(+ 2+ yi (x+2)2 + y2 = x2 4+ y+ yi(x+ 2 +x (x+2)2 + y2 2) x2 + y2 (x 2)+ 4 + y x 4y 2+2 y2 i (1) Vì số phức z +2 có acgumen bằng 3 , nên ta có: (x2 2y+ y2 + (x 2+2 y2 i =t cosπ +isinπ với t > 0 x2 + y2 (x 2)+ 4y (x 2)2 4 t y2 2 t 3 y2 2 Từ ñó suy ra y>0 (1) và 4y x2 + y2 4 = 3 Û x2 + y2 4 4y 3 x+ y 2 2 3 4 2 (2).Từ (1) và (2) suy ra tập hợp các ñiểm M là ñường tròn tâm nằm phía trên trục thực(Trên trục Ox). Dạng 5) Chứng minh bất ñẳng thức: Ví dụ 1) Chứng minh rằng nếu z £1 thì Giải: 2z 1 2+iz Giả sử z =a+bi (a, b ∈R) thì z = a2 +b2 £1Û a2 +b2 £1. Ta có 2z 1 2a (2b 1)i 2+iz (2 b) ai 4a2 +(2b 1)2 .Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương (2 b)2 a2 với 4a2 +(2b 1)2 £1Û 4a2 +(2b 1)2 (2 b)2 a2 a2 b2 1 dpcm (2 )2 2 Ví dụ 2) Cho số phức z khác không thoả mãn ñiều kiện z3 + 1 £ 2. Chứng minh rằng: z + 1 £ 2 Giải: Dễ dàng chứng minh ñược với 2 số phức z1,z2 bất kỳ ta có z1 + z2 £ z1 + z2 Ta có z + 13 = z3 + 1 +3z + 1 z + 1 3 £ z3 + 1 +3 z + 1 £ 2+3 z + 1 Đặt z + 1 =a ta có a3 3a £2 Û0 (a 2+(a £1)2 0 dpcm www.MATHVN.com 5 ... - tailieumienphi.vn 923813

Sponsor Documents