Một số dạng bài tập về số phức - Nguyễn Trung Kiên

www.laisac.page.tl MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC Nguyễn Trung Kiên I) DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Dạng 1) Bài toán liên quan ñến biến ñổi số phức Ví dụ 1) Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z=x+yi thoả mãn z3 =18+26i Giải: z3 =18+26i Û (x+ yi)3 =18+26i Û xx2 3xy= 18 Û18(3x2 y y3 ) 26(x3 3xy2 ) Giải phương trình bằng cách ñặt y=tx ta ñược t = 1 x = 3, y =1. Vậy z=3+i Ví dụ 2) Cho hai số phức z1;z2 thoả mãn z1 = z2 ; z1 + z2 = 3 Tính z1 z2 Giải: Đặt z1 = a +bi;z2 = a2 +b2i . Từ giả thiết ta có a21 +b2 = + +1 + =12 = 3 2(a1b +a2b2 )=1 (a a2 )+ (b b2= 1 z1 z2= 1 Dạng 2) Bài toán liên quan ñến nghiệm phức Ví dụ 1) Giải phương trình sau: z2 8(1 i+)z 63 =16i 0 Giải: Ta có Δ`=16(1 i)2 (63 16i) 63 16i (1 8i)2 Từ ñó tìm ra 2 nghiệm là z1 = 5 12i,z= 3+ 4i Ví dụ 2) Giải phương trình sau: 2(1+i)z2 4(2 i)z 5= 3i 0 Giải: Ta có Δ’ = 4(2 – i)2 + 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. Vậy phương trình cho hai nghiệm là: 2(2 i)+ 4 4 i (4 i)(1 i) 3 5 1 2(1+i) 1+i 2 2 2 2(2 i) 4 i ( i)(1 i) 1 2 2(1+i) 1+i 2 2 1i Ví dụ 3) Giải phương trình z3 9z+ 14z =5 0 Giải: Ta có phương trình tương ñương với (2z 1) z2 4+z =5) 0. Từ ñó ta suy ra phương trình có 3 nghiệm là z1 = 1;z2 = 2 i;z= 2+ i Ví dụ 4) Giải phương trình: 2z3 5z+ 3z+ 3+ (2z+ 1)=i 0 biết phương trình có nghiệm thực Giải: Vì phương trình có nghiệm thực nên 2z +15z+ 3+ 3= 0 z = 1 thoả mãn cả hai phương trình của hệ:Phương trình ñã cho tương ñương với (2z+1)(z2 3+ 3+ i= 0. Giải phương trình ta tìm ñược z = 1;z= 2 i=;z +1 i 1 Ví dụ 5) Giải phương trình: z3 +(1 2i)z+ (1 i)z =2i 0 biết phương trình có nghiệm thuần ảo: Giải: Giả sử nghiệm thuần ảo của phương trình là z=bi thay vào phương trình ta có (bi)3 +(1 2i)(bi)+ (1 i)(bi) =2iÛ0 (b+ b2 )+ ( b+ 2b2 =b 2)i 0 b b= 0 b+ 2b+ b = ñương với (z i)(z2 b =1 z = i là nghiệm, từ ñó ta có phương trình tương 0 (1 +)z 2=) 0. Giải pt này ta sẽ tìm ñược các nghiệm Ví dụ 6) Tìm nghiệm của phương trình sau: z2 = z . Giải: Giả sử phương trình có nghiệm: z=a+bi thay vào ta có (a+bi)2 = a+bi Û aab b=ba Giải hệ trên ta tìm ñược (a,b) = (0;0),(1;0),( 1±; 3). Vậy phương trình có 4 nghiệm là z = 0;z =1;z = ± 3 i Dạng 3) Các bài toán liên quan ñến modun của số phức: Ví dụ 1) Tìm các số phức z thoả mãn ñồng thời các ñiều kiện sau: z +1 2i= z +2 i và z i= 5 Giải: x+1+(y 2)= x + (1 y)i Giả sử z=x+yi (x,y là số thực) .Từ giả thiết ta có x+(y 1)i=| 5 (x+1)2 +(y 2)= (x 2)2 x2 +(y 1)= 5 (1 y)2 y = 3x 10x2 6x =4 0 Û x =1, y = 3 hoặc x = 2, y 6 . Vậy có 2 số phức thoả mãn ñiều kiện. Ví dụ 2) Xét số phức z thoả mãn z = 1 m(m 2i);m∈R a) Tìm m ñể z.z = 1 b)Tìm m ñể z i 1 c) Tìm số phức z có modun lớn nhất. Giải: a) Ta có i m (i m) 1 m2 2mi 1 m+ 2mi (1 m2 2mi)(1 m2 2mi) m(1 m2) 2m (1+ m2 2m2 ) (1 m2 )2 4m2 2 = m(1+m2 )+i(1+m2 ) = 1 m 2 +1 1 2 i z = 1 m 2 1+1 2 i z.z = 1 Û (m2 +12 = 1 Û m2 +1= 2 Û m = ±1 b) Ta có z £ 1 m 4 1+m2 1 1 2 1£ 1 m 4 1+m2 2 1+ £ i 1 Û 2 4 2 Û (1+m2)2 + (1+m2 )2 £ 16 Û 1+m2 £ 6 Û16m2 £1+m2 Û 1 15 m£ 1 15 c) Ta có z = m2 +1 (m2 +1)2 1+1 £1| z |max =1Û m = 0 Ví dụ 3) Trong các số phức z thoả mãn ñiều kiện z 2 4=i 5 Tìm số phức z có modun lớn nhất, nhỏ nhất. Giải: Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra (x 2)+ (y 4= 5 Suy ra tập hợp ñiểm M(x;y) biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm I(2;4) bán kính R = 5 Dễ dàng có ñược M(2+ 5sina;4+ 5cosa). Modun số phức z chính là ñộ dài véc tơ OM. Ta có |z|2=OM2 = (2+ 5sina)2 +(4+ 5cosa)2 = 25+4 5(sina +2cosa) Theo BDT Bunhiacopxki ta có (sina +2cosa)2 £ (1+4)(sin2 a +cos2 a)= 5 5£ sin + 2cos £ 5 5 £ z £ 3 5 . Vậy | z |min = 5 sina +2cosa = Û sin = 1 ;cos = 2 5 = 1, y 2 z =1+2i | z |max = 3 5 Û sina +2cosa = 5 Û sina = 1 ;cosa = 2 Û x = 3, y = 6 z = 3+6i Ví dụ 4) Trong các số phức thoả mãn ñiều kiện z 2 4=i z 2i .Tìm số phức z có moodun nhỏ nhất. Giải: Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra (x 2)+ (y 4= x2 (y Û2 2 + x y 4 0 Suy ra tập hợp ñiểm M(x;y) biểu diễn số phức z là ñường thẳng y=-x+4 Ta có z = x2 + y2 = x2 +(4 x)= 2x2 +x 16 2(x 2)2³ 8 2 2 . Từ ñó suy z min = 2 2 Û x = 2 y = 2 z = 2+2i Dạng 4) Tìm tập hợp ñiểm biểu diễn số phức Ví dụ 1) Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z biết: a) z z i b) z = z 3+ 4i c) z + + = 4 3 Giải: Gọi z=x+yi a) Từ giả thiết ta có z = 3 z iÛ x+ y= 9(x+ (y Vậy tập hợp ñiểm M là ñường tròn tâm I(0;9),R = 3 b) Từ giả thiết ta có x2 + y2 = (x 3)+ (4 yÛ) 6+x M là ñường thẳng 6x+8y-25=0 1)Û) +x2 (y =)2 64 8y 25. Vậy tập hợp các ñiểm c) Giả sử z =x+yi thì z + + = 4 Û x2 +(y 1)+ x2 ( + 1)= 4Û x2 +(y+1)2 £ 4 x2 +(y 1)= 16 8 x2 +y + x2 +(y +1)2 £16 x2 +y 1)2 2 x2 +(y 1)= + Û 4 x2 +(y +1)2 £16 x2 +(y +1)2 £16(1) Û 4x2 +4y2 +8y+4 = y2 +8y+16 Û x2 + y2 =1(2) y ³ 4 y ³ 4(3) Ta thấy các ñiểm nằm trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung ñộ các ñiểm nằm trên (Elip) luôn thoả mãn ñiều kiện y >-4. Vậy tập hợp ñiểm M là Elip có pt x2 + y2 =1. Ví dụ 2) Tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn trong mặt phẳng phức số phứcω = 1+i 3 z +2 biết rằng số phức z thoả mãn: z 1 2. Giải: Đặt z = a+bi(a,b∈R) Ta có z £ 2Û (a 1)+ b2 4 (1) Từ ω = (1+i 3)z +2 x+ yi = (1+i 3)(a+bi)+2 Û y =a 3a+b 2 Û y 3 3=a 3(a +1) b Từ ñó (x 3)+ (y 3£2 4(a +1)2 £2 16 do (1) Vậy tập hợp các ñiểm cần tìm là hình tròn (x 3)+ (y 3£2 16; tâm I (3; 3), bán kính R=4. Ví dụ 3) Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M(z) trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho số z +2 có acgumen bằng 3 . Giải: 4 Giả sử z=x+yi, thì z +2 = (x+2++ yi = (x 2+ yi(+ 2+ yi (x+2)2 + y2 = x2 4+ y+ yi(x+ 2 +x (x+2)2 + y2 2) x2 + y2 (x 2)+ 4 + y x 4y 2+2 y2 i (1) Vì số phức z +2 có acgumen bằng 3 , nên ta có: (x2 2y+ y2 + (x 2+2 y2 i =t cosπ +isinπ với t > 0 x2 + y2 (x 2)+ 4y (x 2)2 4 t y2 2 t 3 y2 2 Từ ñó suy ra y>0 (1) và 4y x2 + y2 4 = 3 Û x2 + y2 4 4y 3 x+ y 2 2 3 4 2 (2).Từ (1) và (2) suy ra tập hợp các ñiểm M là ñường tròn tâm nằm phía trên trục thực(Trên trục Ox). Dạng 5) Chứng minh bất ñẳng thức: Ví dụ 1) Chứng minh rằng nếu z £1 thì 2 +i1 £1 Giải: Giả sử z =a+bi (a, b ∈R) thì z = a2 +b2 £1Û a2 +b2 £1. Ta có 2z 1 2a (2b 1)i 2+iz (2 b+ ai 4a2 +(2b 1)2 .Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương (2 b)2 a2 với 4a2 +(2b 1)2 £1Û 4a2 +(2b 1)2 (2 b)2 a2 a2 b2 1 dpcm (2 )2 2 Ví dụ 2) Cho số phức z khác không thoả mãn ñiều kiện z3 + 1 £ 2. Chứng minh rằng: z + 1 £ 2 Giải: Dễ dàng chứng minh ñược với 2 số phức z1,z2 bất kỳ ta có z1 + z2 £ z1 + z2 Ta có z + 13 = z3 + 1 +3z + 1 z + 1 3 £ z3 + 1 +3 z + 1 £ 2+3 z + 1 Đặt z + 1 =a ta có a3 3a £2 Û0 (a 2+(a £1)2 0 dpcm 5 ... - tailieumienphi.vn