Xem mẫu

  1. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c ta có: a b c 3    bc ca ab 2 Giải: Xét các biểu thức sau a b c S   bc ca ab b c a c a b A   B   bc ca ab cb ca a b Ta có A + B = 3. Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy thì: ab bc ca S A   3 bc ca a b ab bc ca S A   3 bc ca a b Cộng theo vế ta có 3 A + B +2S ≥3  S≥ (Điều phải chứng minh) 2 Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c, d ta có: a b c d    2 bc cd d a a b Giải : Đặt a b c d S    bc c d d a a b b c a a c d a b A    B    bc cd d a ab bc cd d a ab Theo bất đẳng thức Cauchy thì: 1
  2. ab bc cd d a SB    4 bc cd d a a b ac bd ca d b S A    bc cd d a a b ac ca bd d b     bc d a cd ab 4(a  c) 4(b  d )   4 abcd abcd Cộng theo vế ta có A+B+2S ≥8 mà A+B=4 vậy S≥ 4 (Điều phải chứng minh) Bài 3: Cho x, y, z >0 và xyz = 1, chứng minh rằng: x3 y3 z3 3    (1  y)(1  z ) (1  z )(1  x) (1  x)(1  y) 4 Ta có: x3 1 y 1 z x   3 (1  y)(1  z ) 8 8 4 Tương tự ta có: y3 1 x 1 z y   3 (1  z )(1  x) 8 8 4 z3 1 x 1 y z   3 (1  x)(1  y) 8 8 4 Cộng theo vế rồi rút gọn ta có: x3 y3 z3 3     (1  y )(1  z ) (1  z )(1  x) (1  x)(1  y) 4 x  y  z 3 3 xyz 3   2 2 2 x3 y3 z3 3    vậy (1  y )(1  z ) (1  z )(1  x) (1  x)(1  y) 4 2
  3. Bài 4: Cho a, b, c, d >0 và ab+bc+cd+da = 1, chứng minh rằng: a3 b3 c3 d3 1     bcd cd a abd abc 3 Ta có (a + b + c + d)2 = [(a + c)+(b + d)]2 ≥4(a + c)(b + d) = 4(ab + bc + cd + da) = 4  a + b + c + d ≥ 2 ( a, b, c, d >0) a3 b  c  d a 1 2a     bcd 8 6 12 3 Tương tự ta có b3 a  c  d b 1 2b     cd a 8 6 12 3 c3 a  b  d c 1 2c     abd 8 6 12 3 d3 a  b  c d 1 2d     abc 8 6 12 3 Cộng theo vế các bất đẳng thức ta có: a3 b3 c3 d3 a bcd 1 2 1 1         bc d c d a a bd a bc 3 3 3 3 3 a3 b3 c3 d3 1 vậy     bcd cd a abd abc 3 Bài 5: Cho a, b, c>0, chứng minh rằng: 1 1 1 27    a(a  b) b(b  c) c(a  c) 2(a  b  c) 2 (1) Giải: 1 3 VT(1) ≥ 3 3 abc(a  b)(b  c)(c  a)  3 abc 3 (a  b)(b  c)(c  a) 3
  4. 3 27   a  b  c 2(a  b  c) 2(a  b  c) 2 * 3 3 a  b  c Dấu ‘=’ xảy ra    a=b=c a  b  b  c  c  a Bài 6:Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có: 1 1 1 1  3 3  3 3  a3  b3  abc b  c  abc a  c  abc abc Giải  a, b, c >0 ta luôn có (a - b)2(a + b) ≥0  (a - b)(a2 - b2) ≥0  a3+b3-a2b-ab2≥0 3 3 2 2 3 3  a +b ≥ a b+ab  a +b ≥ab(a+b) abc abc c  3   a  b3  abc ab(a  b)  abc a  b  c Tương tự ta có abc abc a   b  c  abc bc(b  c)  abc a  b  c 3 3 abc abc b   a3  c3  abc ac(a  c)  abc a  b  c Cộng theo vế ta có: abc abc abc a b c  3 3  3 3  1 a  b  abc b  c  abc a  c  abc a  b  c 3 3 1 1 1 1   3 3  3 3  a3  b3  abc b  c  abc a  c  abc abc Bài 7: Cho các số thực dương x, y, z dương thoả mãn điều kiện x2+ y2+z2=3. Chứng minh rằng: xy yz zx    3 (1) z x y 4
  5. Giải : Ta có:  x2 y 2 y 2 z 2 z 2 x2   x2 y 2 y 2 z 2   x2 y 2 z 2 x2   y 2 z 2 z 2 x2  2 2  2  2    2  2    2  2    2  2   z x y   z x   z y   x y  x2 y 2 y 2 z 2 z 2 x2  2x  y  z   2  2  2 2 2 2  x 2  y2  z 2 z x y VT(1) bình phương ta được: x2 y 2 y 2 z 2 z 2 x2 z 2 x y   2  2 + 2 x 2  y2  z 2  x 2  y2  z 2 + 2  x  y  z  = 3  x 2  y2  z 2  =VP(1) bình 2 2 2  phương Lấy căn bậc hai hai vế (hai vế đều dương) ta được điều phải chứng minh Bài 8:Cho các số dương x, y, z có tích bằng 1. Chứng minh rằng: xy yz xz  5  5 1 x5  xy  y 5 y  y  z 5 x  xz  z 5 Giải: 2 2 2  x, y, z dương ta luôn có: (x-y) (x+y)(x +xy+y )  0 2 2 3 3 5 5 2 2  (x -y )(x -y )  0  x -y  x y (x+y) xy xy 1 z  5    xy  x 2 y2 x  y 1  xy( x  y) x  y  z x  xy  y 5   Tương tự ta có yz x xz y   zy  z 2 y2  z  y  x  y  z , zx  z 2 x 2  z  x  x  y  z cộng theo vế các bất đẳng thức ta có xy yz xz x yz  5  5  1 x5  xy  y 5 y  y  z 5 x  xz  z 5 x  y  z 5
  6. Bài 9: Cho các số thực dương x1, x2, ..., xn thoả mãn 1 1 1   ...  1 1  x1 1  x2 1  xn Chứng minh rằng: x1.x2..... xn  (n-1)n Giải:Ta có x1 1  1 1  n 1  1   ...   1  x1 1  x1  1  x2 1  xn  n 1 (1  x )(1  x ).....(1  x ) 2 3 n x2 1  1 1  n 1  1   ...   1  x2 1  x2  1  x1 1  xn  n 1 (1  x )(1  x ).....(1  x ) 1 3 n .... xn 1  1 1  n 1  1   ...   1  xn 1  xn  1  x1 1  xn 1  n 1 (1  x )(1  x ).....(1  x 1 2 n 1 ) Nhân hai vế của n bất đẳng thức trên ta có:  n  1 n x1.x2 .....xn  1  x1 1  x2  .....1  xn    n 1 n 1 (1  x1 )(1  x2 )(1  x3 ).....(1  xn ) n  x1.x2..... xn  (n-1) Bài 10: Cho các số dương a, b, c, d thoã mãn điều kiện a+b+c+d=4. Chứng minh rằng: a b c d    2 1 b c 1 c d 1 d a 1 a b 2 2 2 2 Giải: Ta có: 6
  7. a ab 2c ab 2c ab c b a.a.c b(a  ac) a  a  a  a  a 1  b2c 1  b2c 2b c 2 2 4 a ba  abc a 1  b2c 4 Tương tự ta có: b bc  bcd c cd  cda b , c , 1  c2d 4 1  c2d 4 d da  dab d 1  d 2a 4 Cộng theo vế 4 bất đẳng thức trên ta có: a b c d     1 b c 1 c d 1 d a 1 a b 2 2 2 2 1 abcd   ab  bc  cd  da  abc  bcd  cda  dab  4 Mặt khác ta có: 42 = (a+b+c+d)2  4(a+c)(b+d) = 4(ab+bc+cd+da) hay ab+bc+cd+da  a+b+c+d Tương tự abc+bcd+cda+dab  a+b+c+d vậy a b c d     1 b c 1 c d 1 d a 1 a b 2 2 2 2 1 abcd  a  b  c  d  2 1 1 = (a  b  c  d )  .4  2 (điều phải chứng minh) 2 2 Bài 11:Cho các số dương a, b, c có tổng bằng 3, chứng minh rằng: a2 b2 c2   1 a  2b b  2c c  2a 2 2 2 Giải: 7
  8.  a 2  b2  c 2  2 2 2 2 a b c    a  2b2 b  2c 2 c  2a 2 a3  b3  c3  2  a 2b2  b 2c 2  c 2 a 2  Do đó ta chỉ cần chứng minh (a2 +b2+c2)2  a3+ b3+ c3+2(a2b2+ c2b2+ a2c2) 4 4 4 3 3 3 a + b + c  a + b + c Thật vậy 3(a3+ b3+ c3) = (a3+ b3+ c3)(a+b+c)  (a2 +b2+c2)2 2 2 2 2  (a +b +c )(1+1+1)  (a+b+c) =9 Do đó a2 +b2+c2  3, suy ra a3+ b3+ c3  a2 +b2+c2 (a4+ b4+ c4)( a2 +b2+c2)  (a3+ b3+ c3)2  a4+ b4+ c4  a3+ b3+ c3 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 Bài 12: Giả sử x  y  z  0, chứng minh rằng: x2 y y 2 z z 2 x    x2  y 2  z 2 z x y Giải:Từ giả thiết ta có: x2 y y 2 z z 2 x x2 z y 2 x z 2 y      z x y y z x   xy  yz  zx  x  y  y  z  x  z   0 xyz x2 y y 2 z z 2 x x2 z y 2 x z 2 y       z x y y z x 2  x 2 y y 2 z z 2 x   x 2 y y 2 z z 2 x  x 2 z y 2 x z 2 y              z x y   z x y  y z x  Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwars ta có:  x 2 y y 2 z z 2 x  x 2 z y 2 x z 2 y    x2  y 2  z 2  2         z x y  y z x  8
  9. 2  x2 y y 2 z z 2 x    x2  y 2  z 2  2      z x y  x2 y y 2 z z 2 x    x 2  y 2  z 2  x, y , z  0  z x y 1 1 1 Bài 13:Giả sử x, y, z  1 và x  y  z  2 , chứng minh rằng: x  y  z  x 1  y 1  z 1 Giải: 1 1 1 x 1 y 1 z 1   2  Ta có: x y z   1 x y z Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwars ta có:  x 1 y 1 z 1    2 x+y+z=( x+y+z)  x  y  z   x  1  y  1  z  1    x  y  z  x 1  y 1  z 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=3/2 Bài 14:Chứng minh rằng nếu a, b, c  1 và abc=1 ta luôn có: 1 1 1   1 2a 2b 2c Giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với: 2 2 2 a b c 1 1 1 1    1 2a 2b 2c 2a 2b 2c Luôn tồn tại các số thực dương x, y, z sao cho a = x/y, b = y/z, c = z/x. Khi đó bất đẳng thức trên trở thành: 9
  10. x/ y y/ z z/ x   1 2 x/ y 2 y / z 2 z / x x y z    1 x  2y y  2z z  2x theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:  x  y  z 2 x y z    1 x  2 y y  2 z z  2 x x( x  2 y )  y ( y  2 z )  z ( z  2 x) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z hay a = b = c= 1 Bài 15:Cho các số thực không âm a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: a b c   1 3 a  2b 3 b  2c 3 c  2a Giải:Xét các biểu thức: a b c   S= 3 a  2b 3 b  2c 3 c  2a P  a(a  2a)  b(b  2c)  c(c  2a)  (a  b  c) 2  1 Theo bất đẳng thức Holder ta có: S3.P  (a +b +c)4  S3  (a +b +c)2 = 1  S  1 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1/3 Bài 16: Cho a1, a2,..., an dương và có tổng bằng 1, tìm GTNN của biếu a1 a2 an   ...  thức: 1  a 1  a2 1  an 1 Giải: 10
  11. a1 a2 an A   ...  1  a1 1  a2 1  an B = a1(1 - a1) + a2(1 – a2) + ...+ an(1 – an) Theo bất đẳng thức Holder ta có : A2B  (a1 + a2 + ... + an)3 = 1  a1  a 2  ...  a n   n  1 2 Dễ thấy B =1-(a12+ a22+...+ an2)≤ 1-  n n n 1 1 do đó A  n Đẳng thức xáy ra khi ai = n i  1, n Bài 17: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn xy + yz + zx = 1. 1 1 1 1 Chứng minh :    2 x y yz zx 2 Giả sử x = max(x, y, z) và đặt a = y + z > 0 ta có ax = 1 – yz  1 1  x a Xét hàm số sau 1 1 1 1 2x  y  z  2 x2  1 f  x      x y yz zx yz x2  1 1 2 x  a  2 x2  1   a x2  1 Mặt khác: yz  x 2  x x 2  1 f  x   0, nên f  x  nghịch biến ' 2 3   x  1 2 x  a  2 x  1 2  1 1 a Ta có f  x  f    a   2 a a a 1 11
  12.     2 a 1   a 1  1 2 1 2   a    2 a  a 2  1  2  a 2  1  2   1 1 Nên f  x  f    2  a 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y =1, z = 0 hoặc các hoán vị 12
nguon tai.lieu . vn