Xem mẫu
- MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c ta có:
a b c 3
bc ca ab 2
Giải:
Xét các biểu thức sau
a b c
S
bc ca ab
b c a c a b
A B
bc ca ab cb ca a b
Ta có A + B = 3. Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy thì:
ab bc ca
S A 3
bc ca a b
ab bc ca
S A 3
bc ca a b
Cộng theo vế ta có
3
A + B +2S ≥3 S≥ (Điều phải chứng minh)
2
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c, d ta có:
a b c d
2
bc cd d a a b
Giải : Đặt
a b c d
S
bc c d d a a b
b c a a c d a b
A B
bc cd d a ab bc cd d a ab
Theo bất đẳng thức Cauchy thì:
1
- ab bc cd d a
SB 4
bc cd d a a b
ac bd ca d b
S A
bc cd d a a b
ac ca bd d b
bc d a cd ab
4(a c) 4(b d )
4
abcd abcd
Cộng theo vế ta có A+B+2S ≥8 mà A+B=4 vậy S≥ 4 (Điều phải chứng
minh)
Bài 3: Cho x, y, z >0 và xyz = 1, chứng minh rằng:
x3 y3 z3 3
(1 y)(1 z ) (1 z )(1 x) (1 x)(1 y) 4
Ta có:
x3 1 y 1 z x
3
(1 y)(1 z ) 8 8 4
Tương tự ta có:
y3 1 x 1 z y
3
(1 z )(1 x) 8 8 4
z3 1 x 1 y z
3
(1 x)(1 y) 8 8 4
Cộng theo vế rồi rút gọn ta có:
x3 y3 z3 3
(1 y )(1 z ) (1 z )(1 x) (1 x)(1 y) 4
x y z 3 3 xyz 3
2 2 2
x3 y3 z3 3
vậy (1 y )(1 z ) (1 z )(1 x) (1 x)(1 y) 4
2
- Bài 4: Cho a, b, c, d >0 và ab+bc+cd+da = 1, chứng minh rằng:
a3 b3 c3 d3 1
bcd cd a abd abc 3
Ta có (a + b + c + d)2 = [(a + c)+(b + d)]2 ≥4(a + c)(b + d)
= 4(ab + bc + cd + da) = 4 a + b + c + d ≥ 2 ( a, b, c, d >0)
a3 b c d a 1 2a
bcd 8 6 12 3
Tương tự ta có
b3 a c d b 1 2b
cd a 8 6 12 3
c3 a b d c 1 2c
abd 8 6 12 3
d3 a b c d 1 2d
abc 8 6 12 3
Cộng theo vế các bất đẳng thức ta có:
a3 b3 c3 d3 a bcd 1 2 1 1
bc d c d a a bd a bc 3 3 3 3 3
a3 b3 c3 d3 1
vậy
bcd cd a abd abc 3
Bài 5: Cho a, b, c>0, chứng minh rằng:
1 1 1 27
a(a b) b(b c) c(a c) 2(a b c) 2 (1)
Giải:
1 3
VT(1) ≥ 3 3 abc(a b)(b c)(c a) 3
abc 3 (a b)(b c)(c a)
3
- 3 27
a b c 2(a b c) 2(a b c) 2
*
3 3
a b c
Dấu ‘=’ xảy ra a=b=c
a b b c c a
Bài 6:Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có:
1 1 1 1
3 3 3 3
a3 b3 abc b c abc a c abc abc
Giải
a, b, c >0 ta luôn có
(a - b)2(a + b) ≥0 (a - b)(a2 - b2) ≥0 a3+b3-a2b-ab2≥0
3 3 2 2 3 3
a +b ≥ a b+ab a +b ≥ab(a+b)
abc abc c
3
a b3 abc ab(a b) abc a b c
Tương tự ta có
abc abc a
b c abc bc(b c) abc a b c
3 3
abc abc b
a3 c3 abc ac(a c) abc a b c
Cộng theo vế ta có:
abc abc abc a b c
3 3 3 3 1
a b abc b c abc a c abc a b c
3 3
1 1 1 1
3 3 3 3
a3 b3 abc b c abc a c abc abc
Bài 7: Cho các số thực dương x, y, z dương thoả mãn điều kiện
x2+ y2+z2=3. Chứng minh rằng:
xy yz zx
3 (1)
z x y
4
- Giải : Ta có:
x2 y 2 y 2 z 2 z 2 x2 x2 y 2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 z 2 x2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
z x y z x z y x y
x2 y 2 y 2 z 2 z 2 x2
2x y z 2 2 2
2 2 2
x 2 y2 z 2
z x y
VT(1) bình phương ta được:
x2 y 2 y 2 z 2 z 2 x2
z 2
x y
2 2 + 2 x 2 y2 z 2
x 2 y2 z 2 + 2 x y z = 3 x 2 y2 z 2 =VP(1) bình
2 2 2
phương
Lấy căn bậc hai hai vế (hai vế đều dương) ta được điều phải chứng
minh
Bài 8:Cho các số dương x, y, z có tích bằng 1. Chứng minh rằng:
xy yz xz
5 5 1
x5 xy y 5 y y z 5 x xz z 5
Giải:
2 2 2
x, y, z dương ta luôn có: (x-y) (x+y)(x +xy+y ) 0
2 2 3 3 5 5 2 2
(x -y )(x -y ) 0 x -y x y (x+y)
xy xy 1 z
5
xy x 2 y2 x y 1 xy( x y) x y z
x xy y 5
Tương tự ta có
yz x xz y
zy z 2 y2 z y x y z , zx z 2 x 2 z x x y z
cộng theo vế các bất đẳng thức ta có
xy yz xz x yz
5 5 1
x5 xy y 5 y y z 5 x xz z 5 x y z
5
- Bài 9: Cho các số thực dương x1, x2, ..., xn thoả mãn
1 1 1
... 1
1 x1 1 x2 1 xn
Chứng minh rằng: x1.x2..... xn (n-1)n
Giải:Ta có
x1 1 1 1 n 1
1 ...
1 x1 1 x1 1 x2 1 xn n 1 (1 x )(1 x ).....(1 x )
2 3 n
x2 1 1 1 n 1
1 ...
1 x2 1 x2 1 x1 1 xn n 1 (1 x )(1 x ).....(1 x )
1 3 n
....
xn 1 1 1 n 1
1 ...
1 xn 1 xn 1 x1 1 xn 1 n 1 (1 x )(1 x ).....(1 x
1 2 n 1 )
Nhân hai vế của n bất đẳng thức trên ta có:
n 1
n
x1.x2 .....xn
1 x1 1 x2 .....1 xn
n 1
n 1 (1 x1 )(1 x2 )(1 x3 ).....(1 xn )
n
x1.x2..... xn (n-1)
Bài 10: Cho các số dương a, b, c, d thoã mãn điều kiện a+b+c+d=4.
Chứng minh rằng:
a b c d
2
1 b c 1 c d 1 d a 1 a b
2 2 2 2
Giải:
Ta có:
6
- a ab 2c ab 2c ab c b a.a.c b(a ac)
a a a a a
1 b2c 1 b2c 2b c 2 2 4
a ba abc
a
1 b2c 4
Tương tự ta có:
b bc bcd c cd cda
b , c ,
1 c2d 4 1 c2d 4
d da dab
d
1 d 2a 4
Cộng theo vế 4 bất đẳng thức trên ta có:
a b c d
1 b c 1 c d 1 d a 1 a b
2 2 2 2
1
abcd ab bc cd da abc bcd cda dab
4
Mặt khác ta có:
42 = (a+b+c+d)2 4(a+c)(b+d) = 4(ab+bc+cd+da)
hay ab+bc+cd+da a+b+c+d
Tương tự abc+bcd+cda+dab a+b+c+d
vậy
a b c d
1 b c 1 c d 1 d a 1 a b
2 2 2 2
1
abcd a b c d
2
1 1
= (a b c d ) .4 2 (điều phải chứng minh)
2 2
Bài 11:Cho các số dương a, b, c có tổng bằng 3, chứng minh rằng:
a2 b2 c2
1
a 2b b 2c c 2a
2 2 2
Giải:
7
- a 2 b2 c 2
2
2 2 2
a b c
a 2b2 b 2c 2 c 2a 2 a3 b3 c3 2 a 2b2 b 2c 2 c 2 a 2
Do đó ta chỉ cần chứng minh
(a2 +b2+c2)2 a3+ b3+ c3+2(a2b2+ c2b2+ a2c2)
4 4 4 3 3 3
a + b + c a + b + c
Thật vậy
3(a3+ b3+ c3) = (a3+ b3+ c3)(a+b+c) (a2 +b2+c2)2
2 2 2 2
(a +b +c )(1+1+1) (a+b+c) =9
Do đó a2 +b2+c2 3, suy ra a3+ b3+ c3 a2 +b2+c2
(a4+ b4+ c4)( a2 +b2+c2) (a3+ b3+ c3)2 a4+ b4+ c4 a3+ b3+ c3
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Bài 12: Giả sử x y z 0, chứng minh rằng:
x2 y y 2 z z 2 x
x2 y 2 z 2
z x y
Giải:Từ giả thiết ta có:
x2 y y 2 z z 2 x x2 z y 2 x z 2 y
z x y y z x
xy yz zx x y y z x z 0
xyz
x2 y y 2 z z 2 x x2 z y 2 x z 2 y
z x y y z x
2
x 2 y y 2 z z 2 x x 2 y y 2 z z 2 x x 2 z y 2 x z 2 y
z x y z x y y z x
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwars ta có:
x 2 y y 2 z z 2 x x 2 z y 2 x z 2 y
x2 y 2 z 2
2
z x y y z x
8
- 2
x2 y y 2 z z 2 x
x2 y 2 z 2
2
z x y
x2 y y 2 z z 2 x
x 2 y 2 z 2 x, y , z 0
z x y
1 1 1
Bài 13:Giả sử x, y, z 1 và x y z 2 , chứng minh rằng:
x y z x 1 y 1 z 1
Giải:
1 1 1 x 1 y 1 z 1
2
Ta có: x y z 1
x y z
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwars ta có:
x 1 y 1 z 1
2
x+y+z=( x+y+z) x y z x 1 y 1 z 1
x y z x 1 y 1 z 1
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=3/2
Bài 14:Chứng minh rằng nếu a, b, c 1 và abc=1 ta luôn có:
1 1 1
1
2a 2b 2c
Giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
2 2 2 a b c
1 1 1 1 1
2a 2b 2c 2a 2b 2c
Luôn tồn tại các số thực dương x, y, z sao cho a = x/y, b = y/z, c = z/x.
Khi đó bất đẳng thức trên trở thành:
9
- x/ y y/ z z/ x
1
2 x/ y 2 y / z 2 z / x
x y z
1
x 2y y 2z z 2x
theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
x y z
2
x y z
1
x 2 y y 2 z z 2 x x( x 2 y ) y ( y 2 z ) z ( z 2 x)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z hay a = b = c= 1
Bài 15:Cho các số thực không âm a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh
rằng:
a b c
1
3
a 2b 3
b 2c 3
c 2a
Giải:Xét các biểu thức:
a b c
S= 3
a 2b 3
b 2c 3
c 2a
P a(a 2a) b(b 2c) c(c 2a) (a b c) 2 1
Theo bất đẳng thức Holder ta có:
S3.P (a +b +c)4 S3 (a +b +c)2 = 1 S 1
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1/3
Bài 16: Cho a1, a2,..., an dương và có tổng bằng 1, tìm GTNN của biếu
a1 a2 an
...
thức: 1 a 1 a2 1 an
1
Giải:
10
- a1 a2 an
A ...
1 a1 1 a2 1 an
B = a1(1 - a1) + a2(1 – a2) + ...+ an(1 – an)
Theo bất đẳng thức Holder ta có : A2B (a1 + a2 + ... + an)3 = 1
a1 a 2 ... a n n 1
2
Dễ thấy B =1-(a12+ a22+...+ an2)≤ 1-
n n
n 1 1
do đó A n Đẳng thức xáy ra khi ai = n
i 1, n
Bài 17: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn xy + yz + zx = 1.
1 1 1 1
Chứng minh : 2
x y yz zx 2
Giả sử x = max(x, y, z) và đặt a = y + z > 0 ta có ax = 1 – yz 1
1
x
a
Xét hàm số sau
1 1 1 1 2x y z 2 x2 1
f x
x y yz zx yz x2 1
1 2 x a 2 x2 1
a x2 1
Mặt khác:
yz x 2 x x 2 1
f x 0,
nên f x nghịch biến
'
2 3
x 1 2 x a 2 x 1 2
1 1 a
Ta có f x f a 2
a a a 1
11
-
2
a 1
a 1
1 2 1
2
a
2 a a 2 1 2 a 2 1 2
1 1
Nên f x f 2
a 2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y =1, z = 0 hoặc các hoán
vị
12
nguon tai.lieu . vn