Mô hình hóa với phương pháp tích cực trong dạy học toán (Tài liệu bồi dưỡng giáo viên)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM TS. VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG và PGS. TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU MÔ HÌNH HÓA VỚI PHƯƠNG PHÁP TÍCH CỰC TRONG DẠY HỌC TOÁN (TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG GIÁO VIÊN) KIÊN GIANG - THÁNG 6 -7 NĂM 2013 CHƯƠNG 1 MÔ HÌNH HÓA I. KHÁI NIỆM MÔ HÌNH HÓA I.1. Toán học hóa các tình huống thực tế (mô hình hóa) Để vận dụng kiến thức toán học vào việc giải quyết những tình huống của thực tế như trên, người ta phải toán học hóa tình huống đó, tức là xây dựng một mô hình toán học thích hợp cho phép tìm câu trả lời cho tình huống. Quá trình này gọi là quá trình mô hình hóa toán học (mà dưới đây, để ngắn gọn, chúng tôi sẽ gọi là mô hình hóa). Theo Từ điển bách khoa toàn thư, mô hình hóa toán học là sự giải thích toán học cho một hệ thống toán học hay ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt ra trên hệ thống này. Quá trình mô hình hóa toán học được mô tả qua 4 bước. Bước 1: Xây dựng mô hình trung gian của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất trong hệ thống và xác lập các qui luật mà chúng ta phải tuân theo. Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình trung gian. Lưu ý là ứng với vấn đề đang xem xét có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau, tùytheo chỗ các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa chúng được xem là quan trọng. Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước hai. Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù hợp. Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba. Ở đây người ta phải xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế hoặc áp dụng phương pháp phân tích chuyên gia. Ở bước này có thể xảy ra một trong hai khả năng : Khả năng 1 : Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế. Khi đó chỉ cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mô hình toán học đã xây dựng, các thuật toán đã sử dụng, kết quả thu được. Khả năng 2 : Mô hình và kết quả không phù hợp với thực tế. Lúc này phải tìm nguyên nhân. Có thể đặt ra những câu hỏi sau : - Các kết quả tính ở bước thứ ba có đủ độ chính xác không ? Để trả lời, người ta phải kiểm tra lại các thuật toán, các quy trình, các tính toán đã sử dụng. Ở đây, người ta tạm chấp nhận rằng mô hình toán học (và cũng có nghĩa là mô hình trung gian) xây dựng như vậy là thỏa đáng. - Mô hình toán học xây dựng như thế đã thỏa đáng chưa ? Nếu chưa thì phải xây dựng lại. Với loại câu hỏi này, ta tạm chấp nhận mô hình trung gian đã xây dựng, nhưng phải xem xét lại mô hình toán học đã lựa chọn. - Mô hình trung gian xây dựng có phản ánh được đầy đủ hiện tượng thực tế không ? Nếu không thì cần phải rà soát lại bước một xem có yếu tố, qui luật nào bị bỏ sót không. Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Kiên Giang, Tháng 6 – 7/2013 1 - Các số liệu ban đầu (các thông số, hệ số) có phản ánh đúng thực tế không ? Nếu không thì phải điều chỉnh lại một cách nghiêm túc và chính xác. Hai câu hỏi cuối đặt ra cho mô hình trung gian đã được xây dựng. Quá trình mô hình hóa có thể được tóm lược qua sơ đồ sau : HỆ THỐNG NGOÀI TOÁN HỌC Câu hỏi liên quan đến hệ thống Câu trả lời cho câu hỏi ban đầu Rút gọn hệ thống (giữ lại những thông tin thỏa đáng) Mô hình trung gian (duy trì mối liên hệ về ngữ nghĩa đối với hệ thống mà ta tìm cách mô hình hóa) Trình bày lại các câu hỏi Giải bài toán MÔ HÌNH TOÁN HỌC Câu trả lời cho bài toán toán học Như thế, mô hình hóa toán học là quá trình cấu trúc lại vấn đề cần giải quyết nhờ những khái niệm toán học được lựa chọn một cách phù hợp. Quá trình ấy được thực hiện thông qua việc xây dựng mô hình phỏng thực tế bằng cách “cắt tỉa” – hay ngược lại, bổ sung thông tin - để có thể gắn vấn đề ban đầu với các quy trình toán học. Trong bước tìm kiếm mô hình phỏng thực tế này người ta thường phải thực hiện những việc như đặt giả thuyết, tổng quát hóa, hình thức hóa,… Bài toán toán học cuối cùng được xây dựng phải đại diện trung thực cho bối cảnh thực tế. Trở lại với bài toán nêu trong ví dụ 1 ở trên. - Bắt đầu bằng một vấn đề thực tế : Đặt cây đèn ở chỗ nào trong công viên? - Xây dựng mô hình phỏng thực tiễn : Công viên có thể được thể hiện như là một tam giác. Vùng chiếu sáng của đèn là một hình tròn mà điểm đặt cột đèn là tâm. Vấn đề là phải đặt cây đèn sao cho toàn bộ tam giác nằm trong hình tròn. - Chuyển về bài toán toán học : xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Dùng kiến thức về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác các đường trung trực để giải bài toán : dựng hai đường trung trực của hai cạnh tam giác. Giao điểm của hai đường trung trực là tâm của đường tròn. - Liên hệ kết quả này với công viên thực tế : Chẳng hạn, nếu một trong ba góc của công viên là tù, thì lời giải này không hợp lý vì cây đèn sẽ nằm ra ngoài công viên. Nếu ba góc của tam giác đều nhọn thì vẫn còn phải biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác có vượt quá bán kính chiếu sáng của đèn không. Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Kiên Giang, Tháng 6 – 7/2013 2 Như vậy là cần phải biết hình dạng, các kích thước của tam giác và bán kính chiếu sáng của đèn. Tìm hiểu những thông tin bổ sung này rồi lại chuyển về bài toán toán học. … I.2. Dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa Để nâng cao năng lực hiểu biết toán cho học sinh, không thể coi nhẹ việc dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học để giải quyết một vấn đề nào đó do thực tiễn đặt ra. Đối với các nhà toán học, mô hình ấy thường là chưa tồn tại, hoặc đã tồn tại nhưng không cho phép giải quyết mọi trường hợp, hay ngược lại, không mang đến lời giải tối ưu cho một lớp các trường hợp đặc biệt nào đó. Việc tìm ra mô hình mới của họ thường dẫn đến một phát minh mới (một khái niệm, một định lý mới). Song đối với giáo viên thì mô hình ấy đã tồn tại. Điều đó dẫn đến chỗ việc dạy học có thể được tổ chức theo hai tiến trình: - Trình bày tri thức toán học lý thuyết (giới thiệu định nghĩa khái niệm hay định lý, công thức) ® Vận dụng tri thức vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn, ở đó phải xây dựng mô hình toán học. - Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn ® Xây dựng mô hình toán học ® Câu trả lời cho bài toán thực tiễn ® Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định nghĩa hay định lý, công thức ® Vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác mà tri thức đó cho phép xây dựng một mô hình toán học phù hợp. Tiến trình dạy học thứ nhất, gọi là dạy học mô hình hóa, tiết kiệm được thời gian nhưng lại làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức toán học, và do đó làm mất nghĩa của tri thức. Hơn nữa, trong trường hợp này, một cách rất tự nhiên học sinh sẽ không lưỡng lự gì và hướng ngay đến việc xây dựng một mô hình toán học phù hợp với tri thức vừa đưa vào. Liệu vượt ra khỏi bối cảnh ấy, họ có thể xây dựng được mô hình toán học phù hợp hay không ? Tiến trình thứ hai, bản chất là dạy học toán thông qua dạy học mô hình hóa, cho phép khắc phục khiếm khuyết này. Ở đây tri thức cần giảng dạy sẽ hình thành từ quá trình nghiên cứu các vấn đề thực tiễn, nảy sinh với tư cách là kết quả hay phương tiện giải quyết vấn đề. Người ta gọi đây là dạy học bằng mô hình hóa. Với những điểm lý luận vừa trình bày trên thì rõ ràng dạy học bằng mô hình hóa và dạy học mô hình hóa là một con đường để nâng cao năng lực hiểu biết toán cho học sinh. Như vậy, để đạt được mục đích dạy học toán thì cần thiết phải tính đến vấn đề mô hình hóa trong dạy học. II. THỰC TẾ GIẢNG DẠY : Ví dụ 11 : Kiểu nhiệm vụ “Tìm biểu thức hàm số” Bài tập số 3 tr.30 SGK toán 9 tập 2 : “Lực F của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc v của gió, tức là F= av2 (a là hằng số). Biết rằng khi vận tốc gió bằng 2m/s thì lực tác động lên cánh buồm của một con thuyền bằng 120N (Niu-tơn). a. Tính hằng số a. b. Hỏi khi v=10m/s thì lực F bằng bao nhiêu? Cùng câu hỏi này khi v=20m/s = ? 1 Đinh Quốc Khánh (2008), Hàm số và đồ thị trong dạy học toán ở trường phổ thông. Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Kiên Giang, Tháng 6 – 7/2013 3 c. Biết rằng cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là 12000N. Hỏi con thuyền có thể đi trong gió bão với vận tốc gió 90km/h hay không ?” Phân tích: Kĩ thuật: - Thay giá trị của F (với F là lực gió tác động lên cánh buồm) và v đã cho ban đầu vào công thức F=av2 để tìm a. - Với a vừa tìm được, lần lượt thay v=10 & v=20 vào công thức ta F = 30v2 để tìm F. - Nhận xét gió bão có vận tốc 90 km/h = 25m/s nên so sánh với kết quả đã tìm được ở trên để kết luận. Nhận xét : Kĩ thuật chỉ tương ứng với bước 3, trong bốn bước giải cần tiến hành để thực hiện mô hình hóa toán học. Các bài tập có nội dung thực tiễn được đưa vào SGK toán 9 đều được viết dưới dạng một bài toán, việc của học sinh chỉ là giải toán. Không có bài tập nào yêu cầu thực hiện bước 1 và bước 2 - bước chuyển từ hệ thống hay tình huống ngoài toán học vào trong mô hình toán học Kết luận 1 : Vấn đề mô hình hóa toán học đã không được tính đến ở lớp 9. Ví dụ 2 2 : Kiểu nhiệm vụ “Tìm biểu thức và tính giá trị hàm số” Bài tập 25 tr.54 SGK toán 10 nâng cao: Một hãng taxi quy định giá thuê xe đi mỗi kilômét là 6 nghìn đồng đối với 10km đầu tiên và 2,5 nghìn đồng đối với các kilômét tiếp theo. Một hành khách thuê taxi đi quãng đường x kilômét phải trả y nghìn đồng. Khi đó, y là một hàm số đối với x, xác định với mọi x ≥ 0. a. Hãy phát biểu y như một hàm số bậc nhất trên từng khoảng ứng với đoạn [0;10], và khoảng (10; +∞). b. Tính f(8), f(10), f(18). Phân tích : Kĩ thuật: - Xác định yêu cầu bài toán: Tìmcông thức hàm mô tả tổng số tiền cần trả theo quãng đường đã đi”. - Tìm các đại lượng liên quan và thiết lập mối liên hệ: + Khi quãng đường đã đi nhỏ hơn 10km thì: Tổng số tiển phải trả bằng số kilômét đã đi×6 ngàn + Khi quãng đường đã đi lớn hơn 10km thì số tiền phải trả gồm hai khoản: Khoản 1: Trong 10km phải trả với giá 6 ngàn đồng cho mỗi kilômét nên số tiền phải trả cho 10km đầu là 60 ngàn Khoản 2: Trong (x−10) km tiếp theo phải trả với giá 2,5 ngàn/km. 2 Đinh Quốc Khánh (2008), Hàm số và đồ thị trong dạy học toán ở trường phổ thông. Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Kiên Giang, Tháng 6 – 7/2013 4 ... - tailieumienphi.vn