Xem mẫu
- 1/23/2009
MAXIMA
PH N M M TOÁN H C NGU N M
- CENTEA -
CENTEA xin gi i thi u v i quý Th y Cô nh ng tính năng cơ b n nh t
c a ph n m m l p trình tính toán Maxima – m t ph n m m mã ngu n m
nhưng r t hi u qu , ñ s c thay th các ph n m m thương m i như Maple,
Mathematica
www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 1/17
centea.info@gmail.com
- 1/23/2009
I. Gi i thi u chương trình:
ð u tiên quý Th y Cô c n t i chương trình Maxima phiên b n 5.17.0 (phiên b n m i
nh t) dành cho HðH Windows t i ñ a ch :
http://sourceforge.net/project/showfiles.php?group_id=4933&package_id=4960 .
Ngoài ra, chương trình này còn có 1 b n dành cho h ñi u hành ngu n m Linux v i
nhi u tính năng hơn nh m h tr vi c l p trình tính toán.
Website c a chương trình: http://maxima.sourceforge.net/
V i file v a t i v , Th y Cô ti n hành cài ñ t bình thư ng Sau khi cài xong, trên
desktop, chúng ta s có 2 shortcut là xmaxima và wxMaxima.
Trong ñó:
- xmaxima dùng ñ cho ngư i dùng vi t các bi u th c tính toán b ng câu l nh
(v n dành cho nh ng ngư i ñã thành th o và thích dùng câu l nh hơn là click chu t, tính
năng này tương ng v i Maple Classic);
- wxMaxima có nh ng menu l nh tr c quan giúp cho nh ng ngư i m i làm quen
v i ph n m m này có th thi t l p ñư c các bi u th c c n tính toán thông qua các menu mà
không c n nh câu l nh.
Cũng gi ng như Maple và Mathematica, ph n m m Maxima cho phép ngư i dùng
khai báo và tính toán v i nh ng tham s b ng ch .
Khi kích ho t wxMaxima, Th y Cô ch c n ñ i trong nháy m t thì chương trình s
kh i ñ ng xong và hi n ra giao di n như sau:
www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 2/17
centea.info@gmail.com
- 1/23/2009
Trong ñó: các l nh c n tính toán ñư c thi t k trong các menu l nh theo t ng ch ñ ,
bao g m các menu:
1. File
2. Edit
3. Maxima (thi t l p các thông s cho Maxima),
4. Equations (tìm nghi m c a ña th c, phương trình, h phương trình tuy n tính,
phương trinh vi phân, ...) ,
5. Algebra (các bài toán v ma tr n như: ma tr n ngh ch ñ o, ña th c ñ c trưng, giá
tr riêng, vecto riêng, ma tr n ph h p...)
6. Calculus (các bài toán tìm gi i h n, ñ o hàm, tính tích phân b t ñ nh, tích phân
xác ñ nh, tính g n ñúng tích phân, chia ña th c, khai tri n Taylor – Maclaurin,
kh o sát chu i s , tìm t ng c a chu i s , phép bi n ñ i Laplace, phép bi n ñ i
Laplace ngư c...)
7. Simplify (khai tri n, rút g n các bi u th c),
8. Plot (v các ñ th 2D, 3D trong t a ñ vuông góc, t a ñ c c,...),
9. Numeric: công c chuy n ñ i các phân s , bi u th c ra d ng s th c.
10. Help
www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 3/17
centea.info@gmail.com
- 1/23/2009
Sau khi kh i ñ ng chương trình xong, Th y Cô nh p chu t vào phía dư i cùng c a
khung nh p l nh và nh n phím Spacebar (d u cách) ñ hi n khung nh p l nh vào. B y gi ,
Th y Cô có th ch n các l nh t các menu tương ng ñ yêu c u chương trình tính toán.
N u Th y Cô nh các câu l nh và mu n t nh p dòng l nh thay vì ch n các nút l nh trên
menu thì Th y Cô c n k t thúc dòng l nh b ng d u ; sau ñó, nh n Ctrl + Enter (ho c Shift
+ Enter) ñ chương trình tính toán.
II. Các hàm và toán t thông d ng:
ð thu n l i trong vi c nh p các bi u th c c n tính toán Th y Cô c n chú ý m t s hàm
và toán t thông d ng sau:
1. Các h ng s :
Câu l nh %a %e %pi %phi acos(x) infinity (inf) minf
π
Hàm khai báo a e=2.7182... arccosx +∞ -∞
1+ 5
2
là h ng s
2. Các hàm s lư ng giác, hàm lư ng giác ngư c:
Câu l nh sin(x) cos(x) tan(x) cot(x) acos(x) asin(x) atan(x)
Hàm sinx cosx tgx cotgx arccosx arcsinx arctgx
3. Các hàm s hyprebol, hàm s mũ, hàm log
Câu l nh cosh(x) sinh(x) tanh(x) a^x exp(x) log(x)
%e^x
ax
Hàm Cosine sin tangent e^x lnx
Hyperbol hyperbol hyperbol
4. Các toán t thông d ng:
“!”: Ký hi u x! trong maxima ñư c ñ nh nghĩa cho hàm
- Toán t
∞
Gamma x ! = Γ( x + 1) = ∫ t x e − t dt , ∀x ∈ R , trong ñó n u x ∈ N ta có x! = 1.2.3...x
0
Toán t “!!” (giai th a b i): nghĩa là:
-
www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 4/17
centea.info@gmail.com
- 1/23/2009
2m.(2m − 2).(2m − 4)...2, n = 2m
n !! =
(2k + 1).(2k − 1).(2k − 3)...1, n = 2k + 1
- Toán t “#”: a # b ñư c hi u là a ≠ b
- Toán t “.” : ñư c dùng ñ nhân 2 ma tr n A, B, nghĩa là: A.B
Toán t “:” : (toán t gán) Ta s d ng câu l nh ten_bien : gia_tri_gan; ñ gán 1
-
giá tr nào ñó cho bi n. Ví d : ñ gán giá tr cho bi n a là 10 thì ta c n khai báo là: a:10. N u
gán giá tr ñ ng th i nhi u bi n ta có th dùng câu l nh sau: [a , b, c] : [1, 5, 12] (nghĩa là a =
1 , b = 5, c = 12)
Toán t “:=” : dùng ñ khai báo hàm s . Ví d : f (x,y) := x^2 + y^2 – exp(x*y),
-
nghĩa là gán hàm f là hàm theo 2 bi n x, y xác ñ nh b i bi u th c: x 2 + y 2 − e xy
Toán t “and”: phép giao
-
Toán t “or” : phép h p
-
Toán t “abs(x)”: tr tuy t ñ i c a x , n u x là s phúc, thì toán t này chính là
-
phép l y modun c a s ph c x.
Toán t “ceiling(x)”: làm tròn giá tr ñ n s nguyên nh nh t l n hơn x. Ví d :
-
ceiling(2.3) ta ñư c k t qu là 3.
Toán t “compare(x,y)”: so sánh giá tr c a x v i y. K t qu tr v là các phép
-
toán logic : , = , =, # .
Ví d : compare(1/x,0) k t qu s là # ; compare(x,abs(x)) ta ñư c k t qu
- 1/23/2009
Toán t “min(x_1,x_2,...x_n)”: tr v giá tr l n nh t trong các giá tr x_1, x_2,
-
..., x_n
Toán t “random(x)” : t o 1 s ng u nhiên có giá tr trong kho ng t [0;x]
-
Toán t “round(x)”: làm tròn giá tr c a x. Ví d : round(2.49) = 2 ; round(2.51)
-
=3
1, x > 0
Toán t “signum(x)”: signum( x) = 0, x = 0
-
−1, x < 0
Toán t “sqrt(x)” : tr v giá tr căn b c hai c a x
-
III. Ví d minh h a các ch c năng c a Maxima:
Chúng ta s l n lư t tìm hi u các ch c năng c a Maxima thông qua các menu l nh c a
wxmaxima
1. Menu File:
- Open
- Save
- Save as
- Load Package (t i các gói m r ng c a wxmaxima vào chương trình)
- Batch file (ch y các file th c thi ñư c t o b i Maxima)
- Export ( xu t file ñang tính toán ra ñ nh d ng web ho c LaTex)
- Print
- Exit
2. Menu Edit:
- Cut
- Copy
- Copy as TeX : copy ño n công th c thành ño n mã c a LaTex. Ch c năng
này ch có hi u nghi m khi v ñ th
www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 6/17
centea.info@gmail.com
- 1/23/2009
- Copy as Image : copy ñ th dư i d ng file hình ñ dán vào các chương
trình khác như: Word, PP, Paint, HTML Editor,...
- Paste
- Select All
- Select To Image
- Cell
- Zoom In: phóng to ; Zoom Out: thu nh
- Configure: c u hình các thông s cho chương trình wxmaxima.
3. Menu Maxima:
- Interrupt (phím t t: Ctrl + G ): ng t b quá trình
th c hi n tính toán. Thư ng g p trong nh ng trư ng h p
bi u th c quá ph c t p, d n ñ n treo máy.
- Restart Maxima: xóa b h t b nh c a chương trình
và các bi u th c file ñang th c thi.
- Clear memory: xóa các k t qu và các bi n lưu trong
b nh
- Show function: th hi n các hàm s ñã khai
báo.
- Show defination: th hi n các bi n ñã ñư c ñ nh nghĩa (gán).
- Show variables: hi n th các bi n ñã s d ng
- Delete function: xóa t t c các hàm ñã khai báo
- Delete variable: xóa t t c giá tr c a các bi n
- Toogle time Display:
- Change 2d display
- Display Tex form: hi n k t qu tính toán ñư c theo ñ nh d ng c a LaTeX
Configure: c u hình các thông s cho chương trình wxmaxima
www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 7/17
centea.info@gmail.com
- 1/23/2009
4. Menu Equations:
Bao g m các l nh liên quan ñ n vi c gi i phương trình, h phương trình tuy n tính ho c
vi phân, gi i g n ñúng phương trình.
- Solve: gi i các phương trình ña th c, phương trình lư ng giác, Tuy nhiên, ch c năng
này không gi i ñư c phương trình mũ... Khi ch n l nh này, khung h p tho i s hi n ra như
sau:
Dòng Equation(s): nh p phương trình c n
tìm nghi m.
Dòng Variable(s): khai báo n s .
- Ví d : v i phương trình: sin(2x) = 1,
ta s có ñư c k t qu sau:
π
- Nghi m c a phương trình là và Maxima cũng ñưa ra 1 thông báo là chương trình
4
ñã s d ng phương pháp hàm lư ng giác ngư c ñ tìm nghi m. Do ñó s có m t s nghi m
khác không th hi n ñư c
- Find root: tìm nghi m g n ñúng c a phương trình trong 1 kho ng [a; b] cho trư c.
tìm nghi m g n ñúng c a phương trình: x3 + x − 1 = 0 trong kho ng [0;1]
Ví d : ñ
CENTEA làm như sau: Ch n Equation, ch n Find root
www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 8/17
centea.info@gmail.com
- 1/23/2009
- Khi ñó, CENTEA s thu ñư c k t qu như sau:
- ð tìm h t t t c các nghi m c a ña th c, Th y Cô dùng câu l nh sau:
allroots(phương trình); Ví d : v i phương trình x3 + x – 1 = 0 trên ta s có:
- N u ch mu n tìm nghi m th c, quý Th y Cô dùng câu l nh: realroots(phương
trình) . Ví d : v i phương trình x4 + 2x3 + x2 – 2x – 2 = 0 ta s có:
- Solve linear system: gi i h phương
trình tuy n tính. Khi ch n ch c năng này,
chương trình s yêu c u Th y Cô khai báo s
phương trình c a h tuy n tính. ( ñây
CENTEA ch n h 3 phương trình). Sau khi
khai báo xong, chương trình s hi n ra h p
www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 9/17
centea.info@gmail.com
- 1/23/2009
tho i, yêu c u nh p các phương trình và khai báo các bi n như hình trên. V i h 3 phương
trình và 4 n như trên, theo lý thuy t chúng ta bi t h phương trình tuy n tính thu n nh t trên
s có vô s nghi m v i 1 n là tham s . CENTEA ñã th nghi m và thu ñư c k t qu như
sau v i t là tham s :
- Solve algebraic system: gi i h
phương trình ñ i s . Cũng tương t như trên,
Khi ch n ch c năng này, chương trình s yêu
c u Th y Cô khai báo s phương trình c a h
và các phương trình cũng như khai báo các
bi n như hình bên.
V i h phương trình: a2 – b2 = 0 ; ab = 2, CENTEA thu ñư c k t qu như sau:
- V i h phương trình ch a tham s thì maxima ch gi i quy t trong trư ng h p
có duy nh t nghi m. ð bi n lu n các trư ng h p khác, ta c n ph i suy ra t các k t
qu ñã tính toán ñư c.
- Ví d :
- Solve ODE: ch c năng này dùng ñ gi i phương trình vi phân thư ng c p 1 ho c
phương trình vi phân tuy n tính c p 2 h s h ng không có ñi u ki n ñ u. Khi ch n ch c
năng này thì 1 h p tho i s hi n ra yêu c u chúng ta ph i nh p phương trình c n gi i, và khai
www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 10/17
centea.info@gmail.com
- 1/23/2009
báo tham s nào là hàm s , tham s nào là bi n s . Ho c quý Th y Cô có th s d ng c u
trúc l nh như sau: ode2(phuong trinh, tham s bi n, tham s hàm).
Trong ñó, bi u th c l y ñ o hàm s ñư c ký hi u như sau:
ð o hàm c p 1: ‘diff(y,x)
ð o hàm c p n: ‘diff(y,x,n)
Ví d : v i phương trình: y’ – y = 0 (1), CENTEA s có câu l nh và k t qu như sau:
V i phương trình vi phân c p 2: y” – 2y’ + y = 0 (2), CENTEA s có k t qu là:
Ho c v i phương trình vi phân h s hàm: y’’-3y’+4y=sin(2x) (3), ta s có k t qu là:
- ð gi i phương trình vi phân c p 1 v i ñi u ki n ñ u y(x0) = y0 thì quý Th y Cô c n
gi i phương trình trư c và ghi nh n k t qu nghi m t ng quát c a phương trình, ví d : v i
phương trình (1), nghi m là bi u th c %o5, Khi ñó, quý Th y Cô dùng ch c năng Initial
value Problem (1) (ñi u ki n ñ u c a phương trình vi phân c p 1) và nh p vào bi u th c
như sau: Dòng solution nh p %o5 , dòng Point x = nh p giá tr x0 và dòng value y = : ta
nh p giá tr y0 ho c s d ng câu l nh ic1(%o5, x = x0 ; y = y0) Ví d :
www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 11/17
centea.info@gmail.com
- 1/23/2009
- V i phương trình vi phân tuy n tính c p 2 h s h ng thì Maxima ch gi i quy t ñư c
bài toán có ñi u ki n ñ u d ng Cauchy: y(x0) = y0 và y’(x0) = y’0 ð tìm nghi m riêng th a
mãn ñi u ki n ñ u d ng này, Th y Cô dùng ch c năng Initial Value Problem (2) sau khi ñã
tìm nghi m t ng quát (tương t như trên)
- - Trong trư ng h p phương trình vi phân c p 2 có ñi u ki n biên y(a) = y0 ; y(b) = y1
thì sau khi gi i tìm nghi m t ng quát, Th y cô s d ng ch c năng Boundary Value
Problem.
- M c cu i cùng c a menu Equation ñó là ng d ng Solve ODE by Laplace (Gi i
phương trình vi phân b ng phép bi n ñ i Laplace)
5. Menu Algebra:
Bao g m các bài toán liên quan ñ n ñ nh th c ,
ma tr n. ð dùng các ch c năng menu này, thì ñ u
tiên, quý Th y Cô c n ph i khai báo 1 ma tr n cho
trư c.
- ð nh p 1 ma tr n, CENTEA dùng l nh Enter
matrix và khai báo s dòng, s c t và d ng c a ma
tr n m c Type: General (ngư i dùng s nh p h t
ttc các ph n t ), Diagonal (ma tr n chéo),
symmetric (ma tr n tam giác trên), antisymmetric
(ma tr n tam giác dư i).
- Invert Matrix: dùng ñ tìm ma tr n ngh ch
ñ o (n u có) c a 1 ma tr n cho trư c. Tuy nhiên, n u
ch n l nh này, thì chương trình s l y k t qu li n trư c ñó nên s ñúng ñúng yêu c u c a
Th y Cô. Do ñó, CENTEA ñ ngh dùng câu l nh: invert(ma tr n ñã nh p);
www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 12/17
centea.info@gmail.com
- 1/23/2009
- Ví d : xem hình bên
- Characteristic Polynomial : dùng ñ tìm ña th c ñ c trưng c a ma tr n. Tuy nhiên,
cũng gi ng như ma tr n ngh ch ñ o, Maxima ch tìm ña th c ñ c trưng cho k t qu li n
trư c ñó. Do ñó, n u k t qu ngay trư c, không ph i d ng ma tr n thì chương trình s báo
l i. Vì v y, CENTEA ñ ngh quý th y cô s d ng câu l nh:
charpoly(bi u th c xác ñ nh ma tr n, tên bi n c a giá tr riêng), expand;
Ví d : charpoly(%o29,x), expand; s cho k t qu là:
- Determinant: tính ñ nh th c c a ma tr n vuông
- Eigenvalues: tìm giá tr riêng c a ma tr n cho trư c
- Eigenvector: tìm vectơ riêng tương ng v i giá tr riêng c a ma tr n cho trư c.
- Adjoint: tìm ma tr n ph h p c a ma tr n cho trư c
- Transpose: tìm ma tr n chuy n v c a ma tr n cho trư c
6. Menu Caculus:
Bao g m các l nh ñ gi i các bài toán
gi i tích như gi i h n, ñ o hàm, tích phân,
chu i s , khai tri n Taylor, chia ña th c...
- Integrate: tính tích phân b t ñ nh và
tích phân xác ñ nh, ho c tính tích phân b ng
phương pháp s . Khi Th y Cô ch n menu
này, s xu t hi n h p tho i như hình bên.
Th y cô nh p bi u th c tính tích phân vào
khung Expression , nh p bi n l y tích phân
vào khung Variable. Trong trư ng h p Th y cô c n tính tích phân xác ñ nh thì ch n
Definite integration và ñi n c n dư i vào m c From và c n trên vào m c To. Các nút
Special ñ giúp chúng ta ch n nh ng h ng s ñ c bi t như e , π. Trong trư ng h p tích phân
www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 13/17
centea.info@gmail.com
- 1/23/2009
không th tích ñư c thông qua các hàm sơ c p, thì ñ tính g n ñúng tích phân xác ñ nh, Th y
Cô ch n numeric integration
sin 2 x
∫ sin 2 x + cos 2 x dx , CENTEA có k t qu
- V i bi u th c như sau:
- Tuy nhiên, k t qu này khá ph c t p. N u bài này ta xét t ng hi u c a 2 tích phân
sin 2 x cos 2 x
∫ sin 2 x + cos 2 x dx , ∫ sin 2 x + cos 2 x dx thì s có k t qu nhanh chóng và g n hơn nhi u.
- Differentiate: tính ñ o hàm các c p c a hàm s . Ví d : tìm ñ o hàm c p 5 c a hàm
s arctgx. Ta có:
- Find Limit: tìm gi i h n hàm s v i ch c năng tìm gi i h n trái, gi i h n ph i và
gi i h n 2 phía.
sin x
1 + x − x(1 − x)
Ví d : tìm gi i h n c a bi u th c: lim . Ta có:
x3
x →0
www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 14/17
centea.info@gmail.com
- 1/23/2009
tgx
1
( )
x + 2 − 2 + arcsin + 3arctg 2 x
sin
2
2
M t ví d khác: lim
- . Ta s có k t qu là:
sin x3 + x
x→ 0
- Get series: tìm khai tri n Taylor t i
ñi m x = x0 c a 1 hàm s b t kỳ. Sau khi
ch n l nh trên, khung h p tho i hi n ra. Quý
Th y Cô ch vi c nh p bi u th c c n khai
tri n. Khai báo bi n và giá tr x0 cũng như b c
c n khai tri n như hình bên. ñây, CENTEA
ch n khai tri n Maclaurin cho hàm cos(xsinx)
ñ n b c 8. Khi ñó ta s có k t qu như sau:
- Hay c n khai tri n hàm s sin(sinx) ñ n b c 13, ta s có:
∞
1
∑k
- Calculate sum: tìm t ng c a chu i s dương. Ví d : tính t ng c a chu i ta s
2
k =1
có:
www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 15/17
centea.info@gmail.com
- 1/23/2009
- Laplace transform: tìm phép bi n ñ i Laplace c a 1 hàm cho trư c.
- Invert Laplace transform: tìm phép bi n ñ i Laplace ngư c c a 1 hàm cho trư c.
- Greatest common divisor: tìm ư c s chung l n nh t c a 2 bi u th c, 2 ña th c.
- Devide polynomials: th c hi n phép chia ña th c, k t qu tr v g m 2 thành ph n
có d ng như sau: [thương , ph n dư]
- Partial Fraction: phân tích 1 phân th c thành các phân th c ñơn gi n. Ví d :
- Continued fraction: bi u di n 1 s dư i d ng liên phân s
7. Menu Simlify:
- Bao g m các l nh nh m phân tích, rút g n, t i gi n, ho c khai tri n các bi u th c.
8. Menu Plots:
- Bao g m các l nh ñ v ñư ng cong 2 chi u trong m t ph ng, ho c m t cong trong
không gian.
- Tuy nhiên, ñ v ñư ng cong trong t a ñ c c, ta ph i chuy n v ñư ng cong r=
r(p) v d ng tham s là x = r(p).cos(p) ; y = r(p).sin(p).
- Ngoài ra, ñ v ñư ng cong d ng t ng quát (d ng hàm n), ví d phương trình d ng
n 2x2 + 3y2 = 4: ta dùng câu l nh có c u trúc như sau:
draw2d(implicit(2*x^2+3*y^2=4, x,-2,2, y,-2,2))
www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 16/17
centea.info@gmail.com
- 1/23/2009
III. L i k t:
Như v y, CENTEA v a trình bày các v n ñ cơ b n c a ph n m m Toán h c mã
ngu n m Maxima. Ngoài nh ng tính năng cơ b n trên, quý Th y Cô và các b n có th tìm
hi u thêm nh ng tính năng m r ng (thông qua m c Help) c a chương trình này. CENTEA
hy v ng ñây s là món quà ñ u năm có ý nghĩa ñ i v i Th y Cô và các b n yêu thích b
môn Toán h c.
Th c hi n: Nguy n Vũ – www.giaovien.net
www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 17/17
centea.info@gmail.com
nguon tai.lieu . vn
