Xem mẫu
- Ph n th nh t
Lý thuy t xác su t
XSTK
2008
- 2 Xác su t − Th ng kê Ph m c Thông
Chương 1
Xác su t
Trong cu c s ng, trong nhi u trư ng h p, ngư i ta không th oán ch c
r ng m t s ki n nào ó có x y ra hay không, m c dù ã n m ư c nh ng thông
tin v s ki n ó. gi i quy t nh ng tình hu ng không ch c ch n ó, ngư i ta
ã nghiên c u và ưa vào s d ng lý thuy t xác su t
1. PHÉP TH , KHÔNG GIAN M U VÀ BI N C
Lý thuy t xác su t, hi n nay, là m t lý thuy t toán h c ư c xây d ng ch t
ch trên m t h tiên . Tuy nhiên, xây d ng ư c m t h tiên ch t ch v
m t toán h c cho lý thuy t xác su t, ngư i ta ã d a vào các khái ni m cơ b n
mang tính ch t kinh nghi m, tr c quan.
1.1. Phép th , không gian m u. B môn Xác su t nghiên c u v các lo i
thí nghi m có c trưng là: Trư c khi th c hi n, chúng ta không oán trư c ư c
k t qu nào s x y ra, nhưng chúng ta có th mô t ư c t p h p t t c các k t qu
có th x y ra. Lo i thí nghi m như v y có th ư c l p l i nhi u l n trong cùng
m t i u ki n; nó ư c g i là m t Thí nghi m ng u nhiên hay m t Phép th .
Khi m t phép th ư c th c hiên, m t và ch m t k t qu trong trong t p
h p nói trên xu t hi n, và ư c g i là m t k t qu sơ c p. T p h p t t c các k t
qu sơ c p ư c g i là Không gian các k t qu sơ c p. ti n l i, chúng ta
xem nh ng k t qu sơ c p như các i m và g i là các i m m u (hay i m cho
g n). Như v y, m i k t qu sơ c p ư c bi u di n b i m t và ch m t i m m u;
không gian các k t qu sơ c p ư c bi u di n b i m t t p h p mà các ph n t là
các i m m u; do ó còn ư c g i là Không gian m u và thư ng ư c ký hi u
là M.
Không gian m u M ư c g i là r i r c n u nó là m t t p h p không hơn
m ư c (h u h n ho c m ư c).
Thí d : Gieo m t con xúc x c và quan sát s xu t hi n m t trên c a con
xúc x c. Khi ó, không gian m u có 6 i m m u: M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- Chng 1 XÁC SU T 3
Quan sát xem m t x th b n m t viên n vào bia có trúng bia hay không.
Có hai k t qu sơ c p là: “trúng bia”, ký hi u là T, và “không trúng bia”, ký hi u
là B. Không gian m u là: M = {T, B}.
1.2. Bi n c . M t s ki n A ư c g i là liên k t v i m t phép th (hay v i
không gian m u M tương ng) n u, khi phép th ư c th c hi n, căn c vào k t
qu sơ c p m xu t hi n, ngư i ta bi t ư c A có x y ra hay không. Như v y,
ngư i ta có th ng nh t A v i m t t p con c a không gian m u M, v i c
i m: "A x y ra n u và ch n u m ∈ A", và g i A là m t bi n c trong M. Bi n
c không th x y ra, ng nh t v i t p h p ∅, còn ư c g i là bi n c r ng.
Bi n c ch c ch n x y ra, ng nh t v i c không gian m u M, còn ư c g i là
bi n c ch c ch n.
Ngư i ta nói r ng m t bi n c A kéo theo m t bi n c B n u khi A x y ra
thì nh t nh B x y ra, và ư c vi t là A ⊂ B (t p con). Bi n c {m} ch a m t
i m m u m ∈ M duy nh t ư c g i là m t bi n c sơ c p.
Có nh ng bi n c ư c xây d ng t các bi n c cho trư c.
1.3. nh nghĩa. Gi s A và B là hai bi n c trong không gian m u M
cho trư c.
(i) Bi n c "A không x y ra" ư c g i là bi n c i c a bi n c A, và
ư c ng nh t v i A , ph n bù c a A trong M.
(ii) Bi n c "A và B cùng x y ra" ư c ng nh t v i t p A ∩ B, và ư c
g i là Bi n c giao c a A và B. A ∩ B còn ư c ký hi u là AB.
N u AB = ∅, i.e. A và B không th x y ra ng th i, ngư i ta nói r ng
A và B xung kh c.
Tương t , chúng ta có th nh nghĩa giao c a m t h các bi n c
(Ai)i∈I , ký hi u:
∩ Ai
i∈ I
(iii) Bi n c " có ít nh t m t trong hai bi n c A ho c B x y ra" ư c
ng nh t v i t p A ∪ B và ư c g i là Bi n c h p c a A và B.
Trong trư ng h p A và B xung kh c, A ∪ B ư c vi t là A + B.
Tương t , chúng ta có th nh nghĩa h p c a m t h các bi n c
(Ai)i∈I ; ký hi u:
∪ Ai ho c ( ∑ Ai n u các Ai xung kh c t ng ôi )
i∈ I i∈ I
Thu t ng vi t t t: i.e. (id est): nghĩa là; e.g. (exempli gratia): thí d
(iv) Bi n c "A x y ra nhưng B không x y ra" ư c ng nh t v i t p
h p A − B, và ư c g i là Bi n c hi u c a A v i B. Rõ ràng,
A− B = AB .
- 4 Xác su t − Th ng kê Ph m c Thông
1.4. Thí d ..
1.4.1. Phép th : Gieo hai con xúc x c khác màu và quan sát các s xu t
hi n m t trên c a hai con xúc x c.
Không gian m u g m 36 c p th t (a,b), v i a và b thu c t p h p {1, 2, 3,
4, 5, 6}:
M = {(1,1); (1,2); …; (1,6); (2,1); (2,2); …; (6,1); …; (6,6)}.
G i A là bi n c “xu t hi n hai s có t ng b ng 8 ”. T nay, cho ti n,
chúng ta có th vi t bi n c như sau:
A: “xu t hi n hai s có t ng b ng 8”;
tương t , t
B: “xu t hi n hai s b ng nhau”
và C: “xu t hi n hai s ch n”;
chúng ta có:
A = {(2,6); (3,5); (4,4); (5,3); (6,2)};
B = {(1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5); (6,6)}
Khi ó,
AB: “xu t hi n hai s b ng nhau và có t ng b ng 8”;
AB = {(4,4)}.
A − B: “xu t hi n hai s khác nhau và có t ng b ng 8”;
A − B = {(2,6); (3,5); (5,3); (6,2)};
B n c hãy xác nh các i m m u c a C; mô t và xác nh các i m m u
c a các bi n c : B − A, AC, BC và A C .
1.4.2. Phép th : Gieo 3 ng ti n khác màu và quan sát dãy m t s p và
m t ng a xu t hi n. Ký hi u S và N l n lư t ch m t s p và m t ng a xu t hi n,
không gian m u M g m 8 ph n t , bi u di n b i:
{SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN}
Xét các bi n c :
A: “ xu t hi n ít nh t hai m t s p”
và B: “xu t hi n 3 m t gi ng nhau”,
chúng ta có:
A = {SSS, SSN, SNS, NSS}
và B = {SSS, NNN}.
Khi ó, AB = {SSS}.
Bi n c “xu t hi n 4 m t s p” là bi n c ∅.
- Chng 1 XÁC SU T 5
1.4.3. Phép th : Gieo m t con xúc x c cho n khi m t 6 xu t hi n thì
d ng và m s l n gieo con xúc x c. Không gian m u là M = *. (t p h p m
ư c).
1.4.4. Phép th : Quan sát th i gian s ng τ c a m t linh ki n i n t .
Không gian m u c a phép th là M = +
K t qu sơ c p " τ = to" có nghĩa là linh ki n làm vi c n úng th i i m
to thì b h ng. Bi n c " τ ≥ to" bi u th th i gian làm vi c c a s n ph m không
nh hơn to.
Trong trư ng h p này, không gian m u là m t t p h p không m ư c.
1.5. Chú ý. N u không gian m u M là m t t p h p không hơn m ư c
(g i là không gian m u r i r c ) thì m i t p con c a M u là m t bi n c .
Nhưng n u M là m t t p h p không m ư c thì có th có m t s t p con c a M
không ph i là các bi n c .
T ng quát, trong lý thuy t xác su t, m t không gian m u M luôn i ôi v i
m t h các bi n c , g m m t l p các t p con c a M, ư c g i là m t σ − trư ng
các t p con c a M. L p này tho mãn m t s tính ch t, nh m b o m ∅ và M là
các bi n c , và nó óng kín i v i m i phép toán h u h n ho c m ư c v t p
h p. L p này ư c xác nh b i m t h tiên . Tuy nhiên, vì giáo trình này
không i sâu vào lĩnh v c thu n tuý toán h c c a lý thuy t xác su t, nên chúng ta
s không c p n h tiên v xác su t.
2. KHÁI NI M XÁC SU T
Nói chung, khái ni m xác su t dùng ch “ kh năng “ (hay cơ may)
m t cái gì ó x y ra. Khái ni m xác su t b t u hình thành t vi c nghiên c u
các trò chơi may r i, e.g. trò roulette và ánh bài. Sau ó, các nhà toán h c và
các nhà khoa h c ã góp ph n xây d ng thành lý thuy t xác su t. Trong th c ti n,
giáo trình này gi i thi u vài phương pháp khác nhau ti p c n khái ni m xác
su t.
Trư c h t, chúng ta xét trư ng h p: Do nh ng c i m v t lý c a m t
phép th , m i i m c a không gian m u h u h n M tương ng có “ cùng kh
năng x y ra “; trong trư ng h p ó, M ư c g i là m t Không gian h u h n
ng xác su t hay Không gian h u h n u .
2.1. nh nghĩa. (theo phương pháp c i n)
Gi s A là m t bi n c có k i m trong m t không gian m u h u h n u
g m n i m. Ngư i ta g i s k là xác su t c a bi n c A, ký hi u: P(A).
n
P( A) = k
n
- 6 Xác su t − Th ng kê Ph m c Thông
Theo cách hi u c i n, nh ng i m c a không gian m u ư c g i là các
“trư ng h p” và nh ng i m c a A là các “ trư ng h p thu n l i cho A ”,
thì
Soá caùc tröôøng hôïp thuaän lôïi cho A
P(A) =
Toång soá caùc tröôøng hôïp cuûa pheùp thöû
Chúng ta s dùng c m t “ch n ng u nhiên“ hay “vô tư” trong các phát
bi u ch trư ng h p này.
Thí d . Gi s m t t p h p g m N ph n t , trong ó có T ph n t " ư c
ánh d u". T t p h p trên, ch n ng u nhiên ra n ph n t không hoàn l i, g i là
m t m u kích thư c n (hay c n). Tính xác su t c a bi n c :
Ak : “có k ph n t ư c ánh d u trong m u”,
v i k là m t s t nhiên không l n hơn min(T, n).
Ch n không hoàn l i n ph n t t t p g m N ph n t : Có C n cách.
N
tính P(Ak) , chúng ta lưu ý r ng không gian m u h u h n và u.
k n−k
S trư ng h p thu n l i cho Ak là CT .C N − T .
V y, v i m i k ∈ {max[0,n - (N - T)],…, min (T, n)},
n−k
CT . C N − T
k
P( Ak ) = n
, (1)
CN
Xác su t cho b i công th c (1) ư c g i là Phân ph i xác su t siêu hình
h c (hay còn g i là Phân ph i xác su t siêu b i).
• nh nghĩa xác su t theo phương pháp c i n d a trên i u ki n “ lý
tư ng ” c a phép th nên cũng có nh ng h n ch . N u s k t qu sơ c p c a phép
th là vô h n ho c h u h n nhưng không ng kh năng thì nh nghĩa c i n
c a xác su t không còn dùng ư c. Ch ng h n, khi m t x th b n m t phát súng
vào bia và quan sát xem n có trúng bia không. Có hai k t qu sơ c p, nhưng
chúng ta không th nói r ng xác su t cho m i trư ng h p là 0,5.
Như v y, làm th nào xác nh xác su t b n trúng bia c a x th này?
Ngay c vi c gieo m t ng ti n, d a vào âu kh ng nh r ng kh năng xu t
hi n c a hai “m t s p” và “m t ng a” là như nhau?.
Suy nghĩ v v n này, các nhà toán h c ã khám phá ra i u thú v sau:
Gi s khi th c hi n m t phép th , ngư i ta quan tâm n s xu t hi n m t
bi n c A. Bây gi n u chúng ta l p l i phép th trên N l n trong các i u ki n
như nhau, và th y A xu t hi n nA l n thì nA ư c g i là T n s xu t hi n c a
nA
bi n c A, và t s ư c g i là T n su t (hay T n s tương i ) xu t hi n
N
c a bi n c A trong m t dãy N phép th .
- Chng 1 XÁC SU T 7
B ng th c nghi m, ngư i ta nh n th y r ng:
Qua nhi u dãy phép th , có nhi u dãy t n su t khác nhau xu t hi n. Quan
sát dãy t n su t này, ngư i ta nh n th y có m t c i m, mang tính qui lu t. ó
là s n nh khi s phép th N khá l n. Chúng có khuynh hư ng ti n n m t giá
tr nào ó khi N tăng lên vô h n. Các s li u sau ây minh h a i u trên:
Các k t qu gieo ng ti n c a Buffon và Pearson.
Ngư i thí nghi m S l n gieo S l ns p T n su t
Buffon 4040 2048 0,5080
Pearson 12000 6019 0,5016
Pearson 24000 12012 0,5005
T s n nh c a t n su t, ngư i ta ưa ra:
2.2. nh nghĩa. (theo t n su t)
Gi s m t bi n c A xu t hi n nA l n trong m t dãy phép th ư cl pl i
nA
N l n. Khi ó, xác su t A x y ra, ký hi u P(A), là gi i h n c a t s khi
N
s phép th tăng lên vô h n:
nA
P ( A) = lim
N →∞ N
nA
Trong th c t , ngư i ta dùng ,v iN l n, ch P(A).
N
Thí d . k t lu n r ng m t x th có xác su t b n trúng bia là 80%, ngư i
ta ã ghi t n su t b n trúng bia c a x th này trong m t lo t b n v i khá nhi u
viên n. Cho x th này th c hi n nhi u lo t b n trong cùng m t i u ki n như
trên, ngư i ta có m t dãy t n su t Giá tr trung bình c a dãy t n su t này là 0,8.
nh nghĩa xác su t b ng t n su t có m t s như c i m như: Ch áp d ng
ư c cho các phép th ng u nhiên có th l p l i r t nhi u l n trong cùng m t i u
ki n. i u này không d th c hi n trong th c t . Ngoài ra, trong nhi u trư ng
h p, chúng ta cũng không th ánh giá s phép th “ l n” t o ra xác su t
theo t n su t.
Hai nh nghĩa trên c a xác su t cho chúng ta giá tr xác su t khách quan.
Khi các i u ki n khách quan không cho phép dùng chúng thì ngư i ta d a trên
tính ch quan xác nh xác su t.
2.3. nh nghĩa. (theo ch quan)
Xác su t ch quan c a m t bi n c là m c tin tư ng c a m t cá nhân
vào kh năng x y ra c a bi n c ó.
Xác su t ch quan c a m t bi n c ư c dùng khi bi n c ó ch có m t cơ
h i x y ra, và nó có th x y ra ho c không x y ra m t th i i m khác.
- 8 Xác su t − Th ng kê Ph m c Thông
Thí d . M t nhà u tư xác nh r ng s mua m t s lô t n u có xác su t
ít nh t 0,90 r ng giá t s tăng 50% hay nhi u hơn trong vòng 4 năm t i. D a
trên s nghiên c u các d án phát tri n kinh t và v trí a lý c a vùng, ông ta cho
r ng xác su t nói trên kho ng 0,75. Do ó, ông ta quy t d nh không u tư vào
các lô t nói trên. ( V n v i d ki n trên, m t nhà u tư khác, có th ưa ra xác
su t khác 0,75, theo ch quan c a ông ta).
Sau ây, chúng ta tr u tư ng hoá m t chút khái ni m xác su t cho không
gian m u r i r c.
2.4. nh nghĩa. Gi s M = {m1, m2, . . .} là m t không gian m u r i r c.
Ngư i ta gán cho m i i m mi ∈ M m t s th c ký hi u P({mi}), g i là xác su t
c a bi n c {mi}. ó là các m t s không âm và sao cho
∞
P({m1}) + P({m2}) + . . .= ∑ P ({m i}) = 1 (3)
i =1
Xác su t P(A) c a m t bi n c A b t kỳ trong M ư c nh nghĩa là t ng
các xác su t c a t t c các {mi} v i mi ∈ A.
ti n vi c ký hi u, chúng ta vi t P(mi) thay cho P({mi}).
Rõ ràng nh nghĩa 2.1. là m t trư ng h p ăc bi t c a nh nghĩa 2.4.; ó
là trư ng h p M = {m1, m2, . . ., mn} là h u h n và m i i m trong M có cùng
m t xác su t (b ng 1/n).
• Cho không gian m u M, trên ó có xác nh hàm xác su t P: A P(A)
cho m i bi n c A trong M. C p (M, P) ư c g i là m t Không gian xác su t.
Thông thư ng, n u không có s l m l n, ngư i ta cũng vi t M là m t không gian
xác su t.
3. TÍNH CH T C A XÁC SU T
Gi s M là m t không gian xác su t cho trư c; t (3), chúng ta có ngay:
P(M) = 1 và
N u A1, A2, … An là các bi n c t ng ôi xung kh c trong M thì
n n
P ∑ Ak = ∑ P ( Ak )
k =1 k =1
Ngoài ra, chúng ta cũng có:
3.1. nh lý. V i m i bi n c A và B trong không gian xác su t M,
(i) P(∅) = 0;
(ii) P( A) = 1 − P( A) ;
- Chng 1 XÁC SU T 9
(iii) P( A − B ) = P( A) − P( AB ) ;
(iv) P( A ∪ B ) = P( A) + P( B ) − P( AB ) ;
(v) N u A ⊂ B thì P(A) ≤ P(B);
(vi) P(A) ≤ 1.
Ch ng minh.
(i) Vì A = A + ∅ nên P(A) = P(A) + P(∅).
Do ó, P(∅ ) = 0
(ii) Vì M = A + A nên 1 = P(M) = P( A ) + P(A).
V y, P( A ) = 1 − P(A)
(iii) Vì A = ( A − B ) + AB nên P ( A) = P ( A − B ) + P ( AB )
V y, P ( A − B ) = P ( A) − P ( AB )
(iv) Vì A ∪ B = A + ( B − A) nên
P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( AB)
(v) N u A ⊂ B thì B = A + ( AB ) . Do ó:
P ( B ) = P ( A) + P( AB) ≥ P ( A)
(vi) Do A ⊂ M và (v).■
B ng phương pháp qui n p toán h c, chúng ta ch ng minh ư c công th c
m r ng c a công th c c ng xác su t:
3.2. H qu . Cho n bi n c A1, A2, ... , An (n > 1) trên cùng m t không
gian xác su t; ký hi u:
S1 = ∑ P( Ai ); S2 = ∑ P ( Ai A j ); S3 = ∑ P( Ai A j Ak );...; ,
i i, j i, j ,k
trong ó, 1 ≤ i < j < k ≤ n và trong m i t ng, m i nhóm ch s ( i, j, k, ...)
ch xu t hi n m t l n (Sr có Cr
n s h ng). Khi ó:
n
P ( ∪ Ak ) = S1 − S2 + S3 − S4 + ... + ( −1) n −1 S n . (4)
k =1
c bi t, v i 3 bi n c A, B và C, chúng ta có:
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(AC) − P(BC) + P(ABC)
3.3. Thí d . T m t l p có 8 n sinh viên và 12 nam sinh viên, ngư i ta
ch n ng u nhiên 5 sinh viên l p Ban cán b l p (BCB). Tính xác su t
- 10 Xác su t − Th ng kê Ph m c Thông
(i) BCB g m 3 n và 2 nam,
(ii) BCB có ít nh t m t n ,
(iii) BCB có ít nh t hai nam và hai n .
Gi i.
t Ak : “BCB có k nam sinh viên” ( k ∈ {0,1,2,3,4,5} ),
chúng ta có:
k 5−k
C12. C8
P ( Ak ) =
C5
20
(i) BCB g m 3 n và 2 nam.
Xác su t ph i tính:
2 3
C12. C 8
P( A2 ) = = 77
C5 323
20
(ii) t N: “BCB có ít nh t m t n ”, thì N = A5 .
Do ó,
P( N ) = P( A5 ) = 1 − P( A5 )
5 0
C12. C 8
=− = 1 − 33 = 613
C5 646 646
20
(iii) t H: “BCB có ít nh t hai nam và hai n ”, thì H = A 2 + A 3
Do ó,
P(H) = P(A2) + P(A3)
3 2
= 77 + C 12. C 8 = 616
323 C5 969
20
4. XÁC SU T IÊU KI N - BI N C CL P
Khi quan sát các hi n tư ng trong i s ng, chúng ta thư ng g p câu h i:
Vi c x y ra m t bi n c H có nh hư ng gì n kh năng x y ra c a m t bi n c
A hay không? Thí d ơn gi n nh t v m i quan h này là: “ Vi c x y ra bi n c
H làm cho bi n c A nh t nh ph i x y ra hay ngư c l i, lo i tr kh năng kh
năng x y ra bi n c A “.
tr l i câu h i này, ngư i ta ưa vào lý thuy t xác su t khái ni m “ xác
su t i u ki n và s c l p gi a các bi n c “.
4.1. nh nghĩa. Trong m t không gian xác su t M, cho bi n c H v i xác
su t dương. V i m i bi n c A trong M, ngư i ta vi t:
- Chng 1 XÁC SU T 11
P( A H )
P( A / H ) = (5)
P( H )
và g i i lư ng ó là xác su t i u ki n c a bi n c A v i gi thi t H
(ho c khi H ã x y ra).
Tính xác su t có i u ki n c a nh ng bi n c khác nhau trên cùng m t gi
thi t H ch ng khác gì ch n H làm không gian m u m i. Do ó các công th c v
xác su t các ph n trên v n úng cho xác su t có i u ki n. Ch ng h n:
* P (A / H) = 1 − P (A/ H) ,
* P ( A ∪ B / H ) = P ( A / H ) + P ( B / H ) − P ( AB / H ) .
T công th c (5), chúng ta có
4.2. nh lý. V i m i bi n c A và B trong m t không gian xác su t,
chúng ta có:
P( AB ) = P( B ).P( A / B ) neáu P(B ) > 0;
(6)
P( AB ) = P( A).P( B / A) neáu P(A) > 0
Ngư i ta g i (6) là Công th c nhân xác su t.
Công th c (6) có th ư c m r ng b ng phép qui n p như sau:
4.3. H qu . Trong m t không gian xác su t, cho các bi n c A1, A2, . . . ,
An (n ≥ 2) th a mãn i u ki n P(A1A2 … An - 1) > 0. Khi ó,
P(A1A2... An) = P(A1). P(A2 /A1). P(A3 /A1A2) . . . P(An /A1A2 ... An 1). (7)
V i hai bi n c A và B, thư ng thì P(A/B) không b ng P(A). Trư ng h p
P(A / B) = P(A) , nghĩa là thông tin v s x y ra c a bi n c B không làm thay
i xác su t c a bi n c A . Khi ó, ngư i ta nói bi n c A c l p v i bi n c B.
V i công th c (6), i u ki n P(A/B) = P(A) có th vi t dư i d ng P(AB) =
P(A).P(B). D ng này i x ng i v i A và B, nghĩa là n u A c l p v i B thì B
cũng c l p v i A.
4.4. nh nghĩa. Hai bi n c A và B trong m t không gian xác su t ư c
g i là cl p n u
P(AB) = P(A).P(B) (8)
Khái ni m c l p cũng ư c m r ng cho n (n > 2) bi n c .
4.5. nh nghĩa. Các bi n c A1, A2, ..., An ư c g i là c l p n u v i
m i s nguyên m t 2 n n và v i m i nhóm bi n c Ak1 , Ak2 ,..., Akm ( 1 ≤
k1 < k2 < ...< km ≤ n), chúng ta có:
P( Ak . Ak ... Ak ) = P( Ak ). P( Ak )... P( Ak ) .
1 2 m 1 2 m
Thông thư ng, d a vào b n ch t c a phép th , chúng ta m c nhiên công
nh n r ng các bi n c c l p mà không ph i ch ng minh.
- 12 Xác su t − Th ng kê Ph m c Thông
4.6. nh lý. Trong m t không gian xác su t, xét ba bi n c A, B và C.
(i) N u A và B c l p thì m i nhóm 2 bi n c sau ây u cl p
( A và B), (A và B ) và ( A và B ) cũng c l p.
(ii) N u A, B và C c l p thì m i nhóm 3 bi n c sau ây u c l p:
( A , B và C); (A, B và C); (A, B và C );
( A , B và C); ( A , B và C ); ( A , B và C ) và ( A , B và C )
Ch ng minh.
(i) P ( AB ) = P ( B ) − P ( AB )
= P ( B ) − P ( A).P ( B ) = (1 − P ( A)).P ( B )
= P( A)P( B )
V y, ( A và B) c l p.
T k t qu trên, d dàng suy ra ( A và B ) và (A và B ) c l p.
(ii) Dùng (i), ch ng minh ( A , B và C) c l p, chúng ta ch c n ch ng
minh
P ( ABC ) = P ( A) P ( B ) P (C ).
Tương t cho các nhóm 3 bi n c khác. (Dành cho b n c).■
4.7. Thí d .
4.7.1. T m t h p ch a 8 viên bi và 5 viên bi tr ng ngư i ta l y ng u
nhiên 2 l n, m i l n 1 viên bi, không hoàn l i. Tính xác su t l y ư c
(a) 2 viên bi ;
(b) hai viên bi khác màu;
(c) viên bi th hai là bi tr ng.
Gi i. V i i ∈ {1, 2}, ăt:
Ti : “viên bi l y ra l n th i là bi tr ng”,
Di : “viên bi l y ra l n th i là bi ”.
(a) t A: “l y ư c 2 viên bi ”, chúng ta có:
P(A) = P(D1D2) = P(D1).P(D2/D1) = 8 . 7 = 14
13 12 39
(b) t B: “l y ư c hai viên bi khác màu”, chúng ta có:
P(B) = P(T1D2 + D1T2) = P(T1D2) + P(D1T2)
= P(T1).P(D2/T1) + P(D1).P(T2/D1)
- Chng 1 XÁC SU T 13
P(B) = 5 8 + 8 5 = 20
13 12 13 12 39
(c) T2 = T1T2 + D1T2, nên xác su t ph i tính là:
P(T2) = P(T1T2) + P(D1T2)
= P(T1).P(T2/T1) + P(D1).P(D2/T1)
P(T2) = 5 4 + 8 5 = 5
13 12 13 12 13
4.7.2 Gi i l i Thí d 1.4.7.1, nhưng thay c m t “không hoàn l i” thành
“có hoàn l i”.
Gi i.
V i gi thi t này, các c p bi n c (T1, T2); (T1, D2); (D1, T2) và (D1, D2)
c l p. Do ó,
(a) P(A) = P(D1D2) = P(D1).P(D2) = 8 . 8 = 64
13 13 169
Tương t cho các câu sau. B n c t gi i.
5. S PHÂN HO CH KHÔNG GIAN M U - CÔNG TH C BAYES
Các bi n c H1, H2, . . ., Hn trong m t không gian m u M ư c g i là t o
thành m t phân ho ch c a M n u: ( t I = {1,2, …, n} )
∀( i, j ) ∈ I 2 , ( i ≠ j ⇒ H H = ∅ )
i j
n
∪ Hi = M
i =1
Có tài li u g i chúng là m t Nhóm y các bi n c .
V i bi n c A b t kỳ trong M:
A = MA = (H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn)A
= (H1A) + (H2A) + . . . + (HnA)
V y,
n
P ( A) = ∑ P ( H i ). P ( A / H i ) (9)
i =1
(9) ư c g i là công th c xác su t theo gi thi t. Các xác su t P(Hi) và
P(A/ Hi) thư ng ư c bi t trư c khi th c hi n phép th và ư c g i là các xác
su t ti n nghi m, còn các xác su t P ( H i / A ) , cho bi t kh năng tham gia c a Hi
- 14 Xác su t − Th ng kê Ph m c Thông
vào vi c x y ra bi n c A, ư c g i là xác su t h u nghi m. Chúng ta có th
tính xác su t h u nghi m t các xác su t ti n nghi m :
P( Hi A) P( Hi ). P( A / Hi )
P( Hi / A) = =
P( A) P( A)
Dùng (9), chúng ta có
5.1. nh lý BAYES. Gi s H1, H2, . . ., Hn là m t phân ho ch c a
không gian xác su t M và A là m t bi n c b t kỳ trong M. Khi ó, v i m i i ∈
{1, 2, ..., n }:
P ( H i ). P ( A / H i )
P ( H i / A) = n
(10)
∑ P ( H i ). P ( A / H i )
i =1
5.2. Thí d .
5.2.1. Ba ngư i cùng vào m t c a hàng. M i ngư i mu n mua m t cái Tivi,
nhưng c a hàng ch còn hai cái Tivi. Ngư i bán hàng làm 3 lá thăm, trong ó có
hai lá ư c ánh d u. M i ngư i l n lư t rút m t lá thăm. N u ai rút ư c lá có
ánh d u thì ư c mua Tivi. Ch ng minh r ng cách làm trên là công b ng cho c
3 ngư i mua hàng.
Gi i.
t Ai : “ngư i th i rút ư c lá thăm có ánh d u” ( i ∈ {1,2,3} ), chúng
ta có:
• P(A1) = 2 ,
3
• Vì A2 = A1 A2 + A1 A2 nên
P ( A2 ) = P ( A1 ).P ( A2 / A1 ) + P ( A1 ).P ( A2 / A1 )
= 2. 1 + 1.1 = 2
3 2 3 3
• Vì A3 = ( A1 A2 ) + A1 , nên
1
P( A3 ) = P( A1 ).P ( A2 / A1 ) + P( A1 )
= 2.1 + 1 = 2
3 2 3 3
Vì P(A1) = P(A2) = P(A3) = 2 nên cách làm trên là công b ng cho c 3
3
ngư i mua hàng.
Thí d 5.2.1 có th ư c m r ng như sau:
Trong m t t x s , công ty phát hành N vé s , trong ó có k vé trúng
thư ng (1 ≤ k ≤ N). n ngư i (1 ≤ n ≤ N) l n lư t mua m i ngư i m t vé s .
- Chng 1 XÁC SU T 15
Ch ng minh r ng n ngư i ó u có cơ h i trúng thư ng như nhau. ( xem như bài
t p)
5.2.2. M t lô h t gi ng g m làm 3 lo i l n l n. Lo i 1 chi m 2/3 s h t,
lo i 2 chi m 1/4, còn l i là lo i 3. T l n y m m c a lo i 1, lo i 2 và lo i 3, theo
th t , là 80%, 70% và 50%. L y ng u nhiên m t h t t lô h t gi ng .
(a) Tính xác su t h t gi ng l y ra là n y m m ư c. Ý nghĩa c a xác
su t này i v i lô h t gi ng là gì?
(b) Gi s h t gi ng l y ra là n y m m ư c. Tính xác su t h t gi ng ó
thu c lo i 2.
(c) Gi s h t gi ng l y ra là không n y m m ư c. Nhi u kh năng nh t là
h t gi ng ó thu c lo i nào? T i sao?
Gi i.
(a) G i A: “h t gi ng l y ra là h t n y m m ư c”
và Hi là bi n c " h t gi ng l y ra thu c lo i i" (i = 1, 2, 3),
chúng ta có:
P(H1) = 2/3, P (H2) = 1/4, P(H3) = 1/12,
P(A/H1) = 0,8; P (A/H2) = 0,7 và P(A/H3) = 0,5.
3
P ( A) = ∑ P ( H i ). P( A / H i )
i =1
= 2 .0,8 + 1 .0,7 + 1 .0, 5 = 0,75.
3 4 12
Xác su t P(A) chính là t l n y m m chung c a lô h t gi ng.
(b) Gi s h t gi ng l y ra là n y m m ư c.
Xác su t ph i tính là P(H2 /A).
Theo nh lý Bayes,
P ( H 2 ). P( A / H 2 ) 0,25 × 0,7
P( H 2 / A) = = = 7
P( A) 0,75 30
(c) Gi s h t gi ng l y ra là không n y m m ư c.
So sánh giá tr các xác su t:
P ( H1 / A) , P ( H 2 / A) và P ( H 3 / A) ;
s th y nhi u kh năng nh t là h t gi ng ó thu c lo i 1. ( P ( H1 / A) l n nh t).
B n c t gi i.
5.2.3. Có hai h p ng bi. H p th nh t có 2 bi tr ng và 8 bi ; h p th
hai có 3 bi tr ng và 5 bi .
- 16 Xác su t − Th ng kê Ph m c Thông
(a) L y ng u nhiên t m i h p ra 2 bi. Tính xác su t l y ư c 3 bi ;
l y ư c 4 bi cùng màu.
(b) L y ng u nhiên m t h p r i t h p ó l y ra 4 bi thì ư c 2 bi tr ng.
Tính xác su t 4 bi ó thuôc h p th nh t.
Gi i.
(a) L y ng u nhiên t m i h p ra hai viên bi:
V i i ∈ {0,1, 2} và j ∈ {0,1, 2}, ăt tên các bi n c :
Ai : “l y ư c i bi t h p 1”,
Bj : “l y ư c j bi t h p 2”;
K: “l y ư c 3 bi và 1 bi tr ng”;
và M: “l y ư c 4 bi cùng màu”.
Các c p bi n c (Ai, Bj) c l p.
K = A1B2 + A2B1 nên
P(K) = P(A1).P(B2) + P(A2).P( B1);
C1 .C1 C 2 C 2 C1 C1
P(K) = 8 2
. 5 + 8 . 5 3 = 29 .
2
C10 C 8 2 2
C10 C8 2 63
M = A 2 B2 + A 2 B2 nên
P(M) = P(A 2 ).P(B2 ) + P(A 2 ).P(B2 ) ;
2
C8 C 2 C2 C2
P(M) = . 5 + 2 . 3
2 2
C10 C 8 2 2
C10 C 8
(b) L y ng u nhiên m t h p r i t h p ó l y ra 4 bi:
t Hi : “l y ư c h p th i” ( i = 1, 2 )
và T : “l y ư c 2 bi tr ng”,
chúng ta có:
P(H1) = P(H2) = 1 ;
2
C2 .C2
P(T/H1) = 2 8 = 2
C4 15
10
C2 .C52
và P(T/H2) = 3 =3
C4 7
8
- Chng 1 XÁC SU T 17
Xác su t ph i tính là P(H1 / T).
Vì T = H1T + H2T
nên P(T) = P(H1).P(T/H1) + P(H2).P(T/H2)
= 1 . 2 + 1 . 3 = 59
2 15 2 7 210
V y,
P ( H1 ). P (T / H1 )
P( H1 / T ) =
P (T )
= 1 . 210 = 14 .
15 59 59
6. QUÁ TRÌNH BERNOULLI
6.1. nh nghĩa.
(a) Gi s m t phép th ch có hai k t qu sơ c p; m t ư c g i là "Thành
công" ký hi u là T, và k t qu kia ư c g i là "Th t b i", ký hi u là B. N u xác
su t cho thành công là p thì xác su t cho th t b i là q = 1 − p. M t phép th như
th ư c g i là m t phép th Bernoulli, v i xác su t cho thành công là p, ký hi u
là B(p).
(b) L p l i phép th B(p) n l n c l p nhau, chúng ta có m t phép th
ư c g i là m t Quá trình Bernoulli (n,p), ký hi u là B(n,p).
Không gian m u c a B(n,p) ch a 2n i m, m i i m ư c bi u di n b i m t
dãy n ký t g m các ch T và B. Theo nh nghĩa, P(TTBT...BT) = ppqp...qp.
S l n thành công trong m t quá trình B(n,p) có th là 0, 1, 2, ..., n và bài toán
t ra là: Tính xác su t có x thành công trong quá trình (0 ≤ x ≤ n). S trư ng
h p bi n c " có x thành công trong quá trình" có th x y ra b ng v i s trư ng
x
h p phân ph i x ch T trong n v trí; s ó là Cn . Nói cách khác, bi n c trên
x
ch a Cn i m, m i i m có xác su t pxq n − x.
V y, v i m i x ∈ {0,1,…, n}, bi n c
Tx : “có x thành công trong B(n, p)”
có xác su t là
P(Tx ) = Cn p x ( 1 − p) n − x
x
(11)
c bi t, xác su t không có l n thành công nào là qn và xác su t có ít
nh t m t l n thành công là 1 − qn. ( v i q = 1 − p)
(11) ư c g i là công th c Bernoulli.
- 18 Xác su t − Th ng kê Ph m c Thông
• N u gi n và p c nh thì xác su t P(Tx), ký hi u là Pn(x), là m t hàm
theo x. Chúng ta kh o sát s bi n thiên c a Pn(x) khi x tăng t 0 n n.
V im ix {1, 2, . . . , n },
Pn ( x) (n − x + 1) p (n + 1) p − x
= = 1+
Pn ( x − 1) xq xq
Do ó,
Pn(x) > Pn(x −1) ⇔ x < (n + 1)p.
Ký hi u [(n + 1)p] là ph n nguyên c a (n + 1)p, chúng ta có
6.2. nh lý. Trong quá trình B(n,p), xác su t có x thành công, x ∈ {0,
1,…, n}, là:
Pn x ) = Cn p x ( 1 − p) n − x
x
(14)
Ngoài ra, khi x tăng d n t 0 n n thì Pn(x) tăng d n và t giá tr l n nh t
khi
x = [(n + 1)p],
sau ó Pn(x) gi m d n.
Ngư i ta g i xo = [(n + 1)p] là S thành công có xác su t l n nh t hay
còn g i là S thành công có kh năng nh t. Th c ra, khi n có giá tr l n, t t c
các s h ng Pn(x) u bé.
6.3. Thí d .
6.3.1. T l s n xu t ra ph ph m c a m t máy là 8%. Kh o sát m t lô hàng
g m 75 s n ph m do máy ó s n xu t ra.
(a) Tính xác su t trong lô hàng, có 10 ph ph m
(b) Trong lô hàng, nhi u kh năng nh t là có bao nhiêu ph ph m? Tính xác
su t tương ng.
Gi i.
N u xem vi c máy s n xu t ra m t s n ph m là m t phép th Bernoulli, v i
xác su t cho “thành công” là p = 0,08, thì khi máy ó s n xu t 75 s n ph m, nó ã
th c hi n quá trình B(75; 0,08).
(a) Xác su t ph i tính:
P75(10) = C10 (0, 08)10 .(0, 92)65 = 0, 03941
75
(b) S ph ph m nhi u kh năng nh t trong lô hàng là:
[(75 + 1). 0,08] = 6,
v i xác su t tương ng:
- Chng 1 XÁC SU T 19
P75(6) = C6 (0, 08)6 .(0, 92)69 = 0,16745
75
6.3.2. Ngư i ta mu n l y ng u nhiên m t s h t gi ng t m t lô h t gi ng
có t l h t lép là 3% nghiên c u. H i ph i l y ít nh t bao nhiêu h t sao cho
xác su t có ít nh t m t h t lép không bé hơn 95% ?.
Gi i.
G i n là s h t ph i l y, chúng ta có B(n; 0,03). Xác su t có ít nh t m t
h t lép là 1 − (1 − 0,03)n = 1 − (0,97)n .
Theo gi thi t, chúng ta có:
1 − (0,97)n ≥ 0,95
⇔ (0,97)n ≤ 0,05
ln 0, 05
⇔ n≥ = 98,3523
ln 0, 97
V y, ph i l y ít nh t 99 h t gi ng.
7. NGUYÊN LÝ BI N C HI M
Chúng ta ã bi t, m t trong nh ng cơ s c a khái ni m xác su t c a m t
bi n c là tính n nh t n su t c a bi n c ó. Như v y quy lu t xác su t s xu t
hi n khi có m t s l n các phép th . Tuy nhiên, trong th c t , khi ch ti n hành
m t phép th , nguyên lý sau ây, g i là Nguyên lý bi n c hi m, s ư c áp
d ng.
M t bi n c có xác su t r t bé là bi n c r t khó x y ra. Khi ch ti n hành
m t phép th v bi n c ó, trong th c hành, bi n c ó ch c ch n s không x y
ra.
Tùy theo m i lĩnh v c ng d ng, ngư i ta qui nh m t m c α khác nhau;
xác su t dư i m c α ó ư c coi là r t bé. M c α có th là 5%, 1%, có khi là vài
ph n nghìn, e.g. trong sinh h c, m t bi n c có xác su t không qu 5% thư ng
ư c xem là hi m, g n như không th có. N u ch th c hi n m t phép th ã th y
m t bi n c A x y ra thì xác su t c a bi n c A ph i l n hơn α.
Nguyên lý bi n c hi m ư c dùng làm cơ s lôgic cho nhi u phán oán
th ng kê mà chúng ta s g p ph n th hai c a giáo trình.
Thí d . M t l p có m t 50 h c sinh. Th y giáo g i ng u nhiên 2 h c sinh
lên b ng, th y c hai u không thu c bài. Hãy d oán xem, hôm nay, l p có bao
nhiêu h c sinh không thu c bài?
Gi i.
Gi s trong l p có x h c sinh không thu c bài, xác su t hai h c sinh,
ư c g i ng u nhiên, u không thu c bài là:
- 20 Xác su t − Th ng kê Ph m c Thông
C2
x x ( x −1)
=
2
C50 50. 49
Bi n c “hai h c sinh ư c g i lên u không thu c bài” x y ra ngay phép
th u tiên, nên không ph i là m t bi n c hi m.
Theo nguyên lý bi n c h m, n u l y m c α = 5% thì chúng ta có:
x ( x −1)
> 5
50. 49 100
⇔ 2x2 − 2x − 245 > 0
V y, hôm nay, l p có ít nh t 12 h c sinh không thu c bài.
TK
XS
2008
BÀI T P
1.1. Cho ba bi n c A, B và C. Hãy vi t thành bi u th c theo A, B và C
các bi n c sau:
(a) c A, B và C u x y ra;
(b) ít nh t m t trong các bi n c A, B ho c C x y ra;
(c) ch có A x y ra;
nguon tai.lieu . vn
