Xem mẫu
- GV: Nguy n T t Thu ( 0918927276) http://www.toanthpt.net
E LÍP
1)ð nh nghĩa : T p h p các ñi m M c a m t ph ng sao cho MF1 + MF2 = 2a (2a không ñ i
và a > c > 0 ) là m t ñư ng elíp.
* F1,F2: c ñ nh là hai tiêu ñi m và F1F2=2c là tiêu c c a elíp.
* MF1, MF2: là các bán kính qua tiêu.
x2 y 2
2) Phương trình chính t c c a elíp: 2 + 2 = 1 v i b 2 = a 2 − c 2 .
a b
2 2
x y
V y ñi m M ( x0 ; y0 ) ∈ ( E ) ⇔ 0 + 0 = 1 và | x0 |≤ a ; | y0 |≤ b .
2
a b2
3) Tính ch t và hình d ng c a elíp:
*Tr c ñ i x ng Ox (ch a tr c l n); Oy (ch a tr c bé).Tâm ñ i x ng O.
*ð nh: A1 (−a;0), A2 ( a;0 ) , B1 (0; −b) và B2 ( 0; b ) . ð dài tr c l n: 2a và ñ dài tr c bé :2b.
*Tiêu ñi m: F1(−c; 0), F2( c; 0).
*N i ti p trong hình ch nh t cơ s PQRS có kích thư c 2a và 2b v i b 2 = a 2 − c 2 .
y
x
O
c a2 − b2
* Tâm sai: e = =
- GV: Nguy n T t Thu ( 0918927276) http://www.toanthpt.net
CÁC VÍ D
x2 y 2
Ví d 1: Cho (E): + = 1.
9 4
1) Xác ñ nh tiêu ñi m,tiêu c ,ñ dài tr c l n,tr c bé c a (E).
3
2) Vi t phương trình ti p tuy n c a (E) t i M ( ; 3)
2
3) Vi t phương trình ti p tuy n c a (E) vuông góc v i ñư ng th ng 2 x − 3 y + 1 = 0 .
4) Vi t phương trình ti p tuy n c a (E) ñi qua M (3;3) .
Gi i:
a 2 = 9
1) 2
b = 4
{
⇒ a = 3 , c2 = a 2 − b2 = 5 ⇒ c = 5
b=2
T ñó suy ra: Tr c l n : A1 A2 = 2a = 6 ;Tr c bé: B1B2 = 2b = 4 ;
( ) (
Tiêu ñi m : F1 − 5;0 , F2 )
5;0 ; Tiêu c : F1 F2 = 2c = 2 5
3 x 3y
2) Ti p tuy n c a (E) t i M ( ; 3) : + = 1 ⇔ 2 x + 3 3 y − 12 = 0
2 6 4
3) Vì ti p tuy n vuông góc v i ñư ng th ng 2 x − 3 y + 1 = 0 nên phương trình có d ng
3x + 2 y + C = 0 .
ði u ki n ti p xúc A2 a 2 + B 2b2 = C 2 ⇔ 81 + 16 = C 2 ⇔ C = ± 97
V y ti p tuy n c n tìm có phương trình: 3 x + 2 y ± 97 = 0 .
4) Cách 1: Phương trình ti p tuy n có d ng:
A( x − 3) + B ( y − 3) = 0 ⇔ Ax + By − 3 A − 3B = 0
B = 0
ði u ki n ti p xúc: 9 A + 4 B = (3 A + 3B) ⇔ 5 B + 18 AB = 0 ⇔
2 2 2 2
18 .
B = − A
5
* B = 0 ⇒ pttt : x − 3 = 0
18
* B = − A , ch n A = 5 ⇒ B = −18 ⇒ pttt : 5 x − 18 y + 39 = 0 .
5
xx yy
Cách 2: G i ( x0 ; y0 ) là t a ñ ti p ñi m ⇒ pttt : 0 + 0 = 1
9 4
x 3y 3
Ti p tuy n ñi qua M (3;3) nên 0 + 0 = 1 ⇒ x0 = (4 − 3 y0 )
3 4 4
Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 2
- GV: Nguy n T t Thu ( 0918927276) http://www.toanthpt.net
2 2 y0 = 0 ⇒ x0 = 3
x0 y0
M t khác: + = 1 ⇒ (4 − 3 y0 ) + 4 y0 = 16 ⇔
2 2
.
9 4 y0 = 24 ⇒ x0 = − 15
13 13
Thay vào ta cũng ñư c hai phương trình như trên.
Nh n xét:* Cách gi i 2 bài 4 giúp chúng ta xác ñ nh ñư c t a ñ ti p ñi m.
x2 y2
*(E): 2 + 2 = 1 có hai ti p tuy n th ng ñ ng x = ± a , nh ng ti p tuy n còn l i luôn có h
a b
s góc.
1
Ví d 2: Bi t Elips (E) có tâm sai e = và tiêu c b ng 8.
2
1) L p phương trình (E).
2) Tìm ñi m M ∈ ( E ) sao cho MF1 = 2 MF2
3) Cho N là m t ñi m b t kì thu c (E). Ch ng minh r ng ON 2 + NF1.NF2 không ph thu c
vào N.
4) Tìm trên (E) hai ñi m A,B sao cho A và B ñ i x ng nhau qua Ox, ñ ng th i ∆ABC v i
C (2;0) là tam giác ñ u.
Gi i:
{
1
c 1 x2 y 2
1) Ta có: e = 2 ⇒ a = 2 ⇒ a = 2c = 8 ⇒ b 2 = a 2 − c 2 = 48 ⇒ ( E ) : + = 1.
c=4
2c = 8 c = 4
64 48
1 1
2) G i M ( x0 ; y0 ) ∈ ( E ) ⇒ MF1 = 8 + x0 ; MF2 = 8 − x0
2 2
1 16 4 15
⇒ MF1 = 2 MF2 ⇔ 8 + x0 = 16 − x0 ⇔ x0 = ⇒ y0 = ±
2 3 3
16 4 15
V y M ( ;± ).
3 3
3) Gi s : N ( x0 ; y0 ) ∈ ( E ) ⇒ 3 x0 + 4 y0 = 192
2 2
1 2
⇒ ON 2 = x0 + y0 ; NF1.NF2 = a 2 − e2 x0 = 64 − x0
2 2 2
4
3 2 1
⇒ ON 2 + NF1 NF2 = x0 + y0 + 64 = (3 x0 + 4 y0 ) + 64 = 112 không ph thu c vào N.
2 2 2
4 4
4) Vì A, B ñ i x ng nhau qua Ox nên A( x0 ; y0 ), B( x0 ; − y0 ) v i 3 x0 + 4 y0 = 192 (1) và ta có
2 2
th gi s y0 > 0 .
Vì ∆ABC cân t i C nên ∆ABC ñ u ⇔ AB = BC ⇔ 3 y0 = ( x0 − 2) 2 thay vào (1) ta ñư c
2
Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 3
- GV: Nguy n T t Thu ( 0918927276) http://www.toanthpt.net
4 8 ± 12 51
3 x0 + ( x0 − 2)2 = 192 ⇔ 13 x0 − 16 x0 − 560 = 0 ⇔ x0 =
2 2
3 13
8 + 12 51 12 51 − 5
*V i x0 = ⇒ y0 = .
13 13 3
8 − 12 51 12 51 + 5
* V i x0 = ⇒ y0 = .
13 13 3
V y có hai c p ñi m th a mãn yêu c u bài toán.
x2 y2
Ví d 3.Cho (E): + = 1.Tìm M thu c (E) nhìn hai tiêu ñi m dư i m t góc 1200
100 25
( ) ( )
Gi i: Ta có : F1 −5 3;0 , F2 5 3;0 và e =
2
3
F1 F2 2 = MF12 + MF22 − 2 MF1MF2 cos1200 ⇔ 4c 2 = ( MF1 + MF2 ) − MF1MF2
2
⇔ 4c 2 = 3a 2 + e2 x 2 M ⇔ xM = 0 ⇔ yM = ±5 ⇒ M ( 0; ±5 )
Bài t p
1/ Tìm tiêu ñi m,tiêu c ,ñ dài các tr c,tâm sai và to ñ các ñ nh c a các elip sau
a) 4 x 2 + 9 y 2 = 36 b) x 2 + 9 y 2 = 36
2/ Vi t pt chính t c c a (E) bi t :
3 3
a) (E) ñi qua M (1;0 ) , N ;1
2
( )
b) F1 − 3,0 và M 1; ∈ (E)
2
3/Cho (E): 9 x + 25 y = 225 . Tìm M ∈ ( E ) bi t
2 2
a) MF1 = 2MF2 b) MF2 = 2MF1
x2 y2
4/ Cho (E): + = 1 ( a > b > 0 ) và M ∈ ( E ) . Ch ng minh r ng :
a2 b2
a) MF1.MF2 + OM 2 = a 2 + b 2 (
b) ( MF1 − MF2 ) = 4 OM 2 − b2
2
)
x2 y2
5/ Cho (E): + = 1 ( a > b > 0)
a2 b2
a) Ch ng minh r ng b ≤ OM ≤ a ∀M ∈ ( E )
b) A;B là hai ñi m thu c (E) sao cho OA vuông góc v i BO.Ch ng minh AB luôn ti p xúc
v i m t ñư ng tròn c ñ nh
c) Tìm giá tr l n nh t ,giá tr nh nh t c a di n tích tam giác OAB.
Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 4
- GV: Nguy n T t Thu ( 0918927276) http://www.toanthpt.net
6/ Ch ng minh r ng tích các kho ng cách t hai tiêu ñi m c a m t Elíp ñ n m t ti p tuy n
tuỳ ý c a nó thì luôn b ng bình phương c a bán tr c bé.
x2 y 2 x2 y 2
7/ Vi t phương trình ti p tuy n chung c a hai Elíp: ( E1 ) : + = 1 và ( E2 ) : + =1
16 9 9 16
8/ a) Hãy l p phương trình chính t c c a Elíp (E), bi t nó có hai tiêu ñi m là F1 (− 10;0)
F2 ( 10;0) và bán tr c l n a = 18 .
b) Xét ñư ng th ng ( d ) ti p xúc v i (E) và c t tr c hoành t i A, c t tr c tung t i B. Hãy xác
ñ nh ñư ng th ng ( d ) sao cho tam giác OAB có di n tích l n nh t.
9/ Cho Elíp ( E ) : 4 x 2 + 16 y 2 = 64
a) Hãy xác ñ nh các tiêu ñi m F1 , F2 c a Elíp.
b) Gi s M là m t ñi m di ñ ng trên (E). Ch ng minh r ng t s kho ng cách t M ñ n tiêu
8
ñi m ph i F2 và ñ n ñư ng th ng x = là luôn luôn không ñ i.
3
c) Cho ñư ng tròn ( C ) : x 2 + y 2 + 4 3x − 4 = 0 . Xét m t ñư ng tròn ( C ') thay ñ i nhưng
luôn ñi qua F2 và ti p xúc ngoài v i ñư ng tròn ( C ) . Hãy tìm qu tích tâm N c a ñư ng tròn
( C ') .
x2 y2
10/ Cho Elíp ( E ) : + = 1 . Xét các ñi m A1 ( −a;0 ) ; A2 ( a;0 ) ; M ( − a; m ) ; N ( a; n ) ; ( m; n
a2 b2
thay ñ i ).
a) Ch ng minh r ng ñư ng th ng MN ti p xúc v i (E) khi và ch khi mn = b 2
b) Gi s M, N thay ñ i nhưng ñư ng th ng MN luôn ti p xúc v i (E). Tìm qu tích giao
ñi m I c a hai ñư ng th ng A1 N và A2 M .
c) V i gi thi t như câu b) , hãy xác ñ nh to ñ M,N sao cho tam giác F2 MN có di n tích
nh nh t.
d) Gi s MN ti p xúc v i (E). Ch ng minh r ng ño n th ng MN ñư c nhìn t hai tiêu ñi m
c a (E) dư i m t góc vuông.
x2 y 2
11/ Trong m t ph ng t a ñ cho Elip: + = 1 và ñ/th ng d m : mx − y − 1 = 0
9 4
a) Ch ng minh r ng d m luôn c t (E) t i hai ñi m phân bi t v i m i m.
b) Vi t phương trình ti p tuy n c a (E) xu t phát t N (1; −3)
x2 y 2 x2 y 2
12) Vi t phương trình ti p tuy n chung c a hai Elíp: ( E ) : + = 1 và ( E ') : + =1
36 9 9 36
x2 y 2
13) Vi t pt tt chung c a ( E ) : + = 1 và ñư ng tròn ( C ) : x 2 + y 2 = 16
25 16
Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 5
nguon tai.lieu . vn
