Xem mẫu
- LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP
TOÁN HỌC CAO CẤP
- CHƯƠNG 1: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
1.1 Lý Thuyết.
1.1.1. Ma trận
1.1.1.1.Cho m và n là 2 số nguyên dương.Một ma trận A cấp m x n là một bảng gồm
m x n số được xếp thành m hàng và n cột, nghĩa là.
a11 a1n
A Ta kí hiệu A aij , .i 1, 2,3,...., m j 1, 2,3,....., n
a
m1 amn
1.1.1.2. Một số loại ma trận.
Ma trận hàng (cột) là ma trận chỉ có một hàng (cột)
Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử đều bằng không
Ma trận vuông là ma trận có số hàng bằng số cột m n
Ma trận chéo là ma trận vuông mà mọi phần tử năm ngoài đường chéo chính đều
bằng 0
Ma trận đơn vị là ma trận chéo mà mọi phần tử nằm trên đường chéo chính đều
bằng 1
Ma trận tam giác là ma trận vuông mà mọi phần tử năm phía trên (dưới)đường
chéo chính đều bằng 0
Ma trận bậc thang là ma trận mà các hàng khác 0 đều ở trên các hàng bằng không
, phần tử cơ sở của hàng dưới nằm bên phải phần tử cơ sở của hàng trên .
1.1.1.3. Các Phép Toán Trên Ma Trận
Ma trận bằng nhau : hai ma trận A,B M mn bằng nhau kí hiệu A=B nếu
Aij Bij , i 1.m , j 1, n
Phép nhân một số với ma trận :
ta có ( A)ij ( Aij ), i 1.m
Cho A M mn , R j 1, n
Phép cộng ma trận: Cho A,B Mmxn. Tổng của A và B là:
(A + B)ij = (A)ij + (B)ij, i = 1, m ; j = 1, n .
- .Phép nhân hai ma trận:Cho A Mmxn và B Mmxn(số cột của A bằng số
hàng của B).Tích của A và B là:
n
(AB)ij= (A)ik,(B)kj, i= 1, m ;j= 1, r .
k 1
.Phép chuyển vị ma trận:Cho A Mmxn.Ma trận chuyển vị của A, ký hiệu
AT:
(AT)ij=(A)ij, i= 1, n ; j=1, n .
.Lũy thừa ma trận:
Ap = Ap-1A (p là số tự nhiên 1)
1.1.1.4. Các phép biến đổi sơ cấp ma trận bậc thang:
Phép biến đổi sơ cấp:
Nhân các phần tử của 1 hàng với 1 số khác 0:hi hj ( 0)
Cộng vào các phần tử của 1 hàng các phần tử tương ứng của hàng khác đã
được nhân với 1 số bất kỳ: hi hi + hj.
Đổi chỗ 2 hàng cho nhau: hi hj .
Tương tự ta có các phép biến đổi sơ cấp với các cột.
Ma trận bậc thang: Là ma trận có các tính chất sau:
Các hàng khác không đều ở trên các hàng bằng không
Phần tử cơ sở của 1 hàng nằm cột bên phải so với phần tử cơ sở ở hàng trên
Định lý: Mọi ma trận đều đưa được về ma trận bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp
đối với hàng.
1.1.2.Định thức
1.1.2.1.Tính chất định thức
Cho định thức A, AT thu được bằng cách lấy hang i của A làm cột i của AT
det A = det AT
Đổi chổ 2 hàng của A được bảng mới là B: detA = -detB
Nếu Acó 2 hàng tỉ lệ, 2 hàng bằng nhau, 1 hàng có các phần tử bằng 0 thì
detA=0
0 thì detA cũng nhân
Nếu các phần tử hang thứ i nhân
- Nếu mọi phần tử trong một hang của A có dạng tổng của hai số hạng th ì định
thức có thể tách thành tổng hai định thức.
Cộng một hang thứ i của A với bội một dòng khácthì định thức của nó không
đổi.
Nếu cộng vào một hang thứ i của A tổ hợp tuyến tính của các dòng còn lại
thì định thức không đổi.
1.1.2.2.Một số phương pháp tính định thức:
a11 a12
a11a22 a12 a21
+Cấp hai: =
a21 a22
+Cấp ba: Qui tắc Sariuse.
(+) ( -)
Khai triển một hang một cột
+Hàng i : detA=
n
ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ... ain Ain aik Aik
k 1
Aij ( 1)i 1 Aij ( Aij
A Mn
n
ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ... ain Ain aik Aik
i1 i2
k 1
j1 j2 ... jk
Ai1i2....ik (1)i1 i2 ...ik j1 j2 ... jk i1i2....ik
j1 j2... jk j1 j2... jk
i1i2....ik
j1 j2... jk
n
+ Cột j: detA= a1 j A1 j a2 j A2 j ... anj Anj akj Akj
k 1
Trong đó Aij ( 1)i 1 Aij : ( Aij xoá đi hang i cột j )
- Khai triển laplace: khai triển theo k hang k cột
Cho A M n và k là số tự nhiên < n. Lấy k hang i1 i2 và k cột j1 j2 ... jk
Các phần tử nằm ở giao của k hang và k cột này tạo nên một ma trận vuông cấp k, định
thức của nó được ký hiệu là ai1i2....ik
j1 j2... jk
bỏ đi k hang k cột đó, ta được ma trận vuông cấp n-k
Ta có phần bù đại số của ai1i2....ik là Ai1i2....ik (1)i1 i2 ...ik j1 j2 ... jk i1i2....ik
j1 j2... jk j1 j2... jk j1 j2... jk
Định lý Laplace:
chọn k hang bất kỳ trong detA. Gọi M1, M2…Ms là tất cả các định thức con cấp k do k
hang vừa chọn kết hợp với k cột trong n cột của A và A1,A2,….As là phần bù đại số
tương ứng
Ta có : detA= M1A1+M1A2+….+MsAs
Phương pháp Gauss:
Sử dụng các phép biến đổi trên hang để biến đổi định thức về dạng tam giác. Khi đó
định thức
sẻ bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính
1.1.2.3.Ứng dụng định thức:
Hạng của ma trận: Cho ma trận A = (a ij)m*n. Định thức con cấp r của A là
1-
định thức có các
phần tử nằm trên r cột và r hang nào đó của A.
Hạng của A là cấp cao nhất của các định thức con khác không của A
Ma trận nghịch đảo:
2-
Để có ma trận nghịch đảo thì ma trận phải khả nghịch tức là detA khác không
1~
Dùng định thức để tìm ma trậm nghịch đảo bằng công thức A-1 = *A
A
- 1.2 Bài tập
Tính định thức:
1:
Giải:
0120
012
2270 7
1 (1) 2 2 7 2 4 2 2 4 8
7341
044
0440
Tính định thức:
2:
Giải:
7341
012
0120 5
1 (1) 2 2 7 2 4 2 2 4 8
2270
044
0440
Tính định
3:
Giải:
0120
012
7341 6
1 (1) 1 2 7 1 1 4 2 1 1 4 4
1270
044
0440
Tính định thức
4:
Giải:
0012
012
7134 4
1 (1) 1 2 7 1 (1 4 2 1 1 4) 4
1027
044
0044
Tính định thức:
5:
Giải:
7134
012
0012
1 (1)3 1 2 7 1 (1 4 2 1 1 4) 4
1027
044
0044
2m4
Tính định thức: 3 0 0 . Tìm m để 0
6:
1 1 2
Giải:
- 2m4
m4
0 3 (1) 3
3 3 (2m 4)
0
12
1 1 2
Để: 0 thì ta có: 2m 4 0 m 2
Tính định thức:.Tìm m để 0
7:
Giải:
2 m 4
m4
0 m (1)3 m(m 2 4)
m 0
1m
1 1 m
Để: 0 thì ta có: m(m 2 4) 0 m 0, m 2
4
2 0
Tính định thức: 0 m 0 . Tìm m để 0
8:
1 1 m
Giải:
4
2 0
2 4
0 m (1) 4
0 m m(2m 4)
1m
11 m
Để 0 thì ta có: m(2m 4) 0 m 0, m 2
11 3
Tính định thức: 1 2 m . Tìm m để 0
9:
11m
Giải:
11 3 11 3
h1 h 2
1 2 m 0 1 m 3 1 1 ( m 3) ( m 3)
h1 h 3
0 0 m3
11m
Để 0 thì ta có (m 3) 0 m 3
11m
Tính định thức: 1 2 0 , Tìm m để 0
10:
11 2
Giải:
11m
1 2 0 4 m 2m 2) 2 m
11 2
Để 0 thì ta có: 2 m 0 m 0
- 10 m
Tính định thức: 2 1 2m 2 . Tìm m để 0 .
11:
10 2
Giải:
10 m
2 1 2m 2 2 m
10 2
Để 0 thì ta có: 2 m 0 m 0
1 2 m
Tính định thức: 0 m 1 . Tìm m để 0 .
12:
1 0 1
Giải:
1 2 m
1 m 2 m2
0 m
10 1
Để 0 thì ta có: m 2 m 2 0 thoả m R
12 m
Tính A= 2 5 m 1 tìm m để A>0.
13:
3 7 m2
Giải:
12 m
A= 2 5 m 1 =1.5(m+2)+2.3.(m+1)+2.7.m – 3.5.m – 2.2(m+2) – 7.1.(m+1)
3 7 m2
= -m +1. A>0 -m +1 >0 m
- m0
Vậy =0
m 2
2m 2
2 4
Tính định thức m 1 2m 1 2 . Tìm m để 0
15:
1 2 2m
Giải:
4m 4m 3 4m(1 m 2 )
0 4m(1 m 2 ) 0 m 1 m 0
2 m 4
Tính định thức m
16: 0 0
m 1 4 m
3
2 m 4
m 4
m 0 0 m.( 1)3 0
Giải: 0
m 1 m 4
3 m 1 m 4
m0
m.(m 2 4) 0
m 2
m0
Vậy 0
m 2
17. Tìm m để ∆>0:
Giải
2 2m m 1 4m
1 4 0
d 1 d 3
3 1 m 3 1 m
d 2 d 3
m3 1m m 0 0
4m
0
m.( 1)13 m.(4 m) 0 m (0, 4);
1 m
18. Tìm m để ∆>0:
Giải:
- 2 2m 5 m 1 m4 12 3m
12
d 1 d 3
m3 m 1 3m 2m
0 0
d 2 d 3
m3 m 1 3m m 3 m 1 3m
m 4 12 3m 1
1
2m( 1) 21 6m( m 4).
m 1 m 1 m
3m
6m( m 4) 0 m 0 m 4;
2 2m 1 4
Tính định thức: m 3 1 m Tìm m để 0 .
19:
3 1m
Giải:
2 2m 1 4 2m 1 4
14
m 3 1 m m 3 1 m m(1)31 m(m 4)
1m
m 0 0
3 1m
0 m(m 4) 0 0 m 4
20. Tìm m để ∆=0 :
Giải:
m5 m5 5 3
5 3
m 1 m 1 0 (m 1) 1 10
1 1 1 1 11
m53
10
( m 1) 0 1 0 m( m 1)( 1)11
c1 c 2
11
011
m( m 1) 0; m 0; m 1;
m 0 2m m
1 m 1 m 0
Tính định thức . Tìm m để 0 .m >0
21:
1 1 00
m 0 00
m 0 2m m
1 m 1 m
1 m 1 m 0 5
0 m3
Giải: Ta có (1) m 1 1
1 1 00
m 0 0
m 0 00
0m0
- m 0 0 0
1 m 1 0 0
=m2.(m-1)>0 m>1
Tính =
22:
1 1 m 0
m 2m 0 1
m 3 m
Tính định thức 7 m 7 . Tìm m để 0
23: 2
3 m 3
Giải:
m2
0 3 0
m3 m 3
m
m2 7 m 7
h h
3 3 1 m 7 (1)1 3 (3 )
7 2 m 7 7 2
23 3
3m 3 3 m 3
m2
3(3 )(3m)
3
m2
0 3(3 )(3m) m 0, m 3
3
Tìm m để ∆=0:
24.
Giải:
m8 m8 7 6 m 1 7 1
7 6
d 2 d 3 c1c 2
m 1 2m 1 ( m 1) 2
1 m (m 1) 1
1 m 1
m c 3 c 2
m 1 m 1 m 1 1 11 0 1 0
m 1 1
( m 1)( 1) 23
m 1
1
(m 1)m 2 0; m 1; m 0;
1
m 2
Tính định thức 1 . Tìm m để 0
25: 4 m
m 4 m 1 5
Giải:
2m 2 8 0m
Không có giá trị m để 0
m8 7 6
Tính định thức m 1 2m 1 . Tìm m để 0 .m 1
26: m
m 1 m 1 m 1
- m 8 7 6
m 1 m 2m 1 0
Giải: 0
0 1 2m
m 8 6m 8 7
6
1.(1)5 (2 m).( 1) m 1 m 0
m 1 2m 1
m0
m2 .( m 1) 0 m 1
m 1
27. Tìm m để ∆
- Vậy: 2 41
2 3 4 2 4 6 8
1
b c d 2a 2b 2c 2d
a
30: Cho hai định thức: 1 ; 2
6 8 4 6 12 16 8
3
8 12 17 4 8 12 17
4
Giải:Ta có các định thức:
1 2 3 4 2 4 6 8
a b c d 2a 2b 2c 2d
1 ; 2 .
3 6 8 4 6 12 16 8
4 8 12 17 12 17
4 8
3 3
21 2 4 12 4
c c
2a b d ab d
Do ∆ 2 =8∆1.
=8.
8 8
23 6 4 36 4
4 8 12 17 4 8 12 17
Vậy đáp án đúng là ∆2=8∆1;
2 3 4 2 4 6 8
1
b c d 2a 2b 2c 2d
a
31: Cho hai định thức: 1 ; 2
6 8 4 6 12 16 8
3
8 12 17 8 16 24 34
4
2 3 4 2 4 6 8
1
b c d 2a 2b 2c 2d
a
1= 2=
6 8 4 6 12 16 8
3
8 12 17 8 16 24 34
4
2 3 4
1
b c d
a
2=(2.2.2.2) =161
6 8 4
3
8 12 17
4
1 234 246 8
2 547 2 5 4 14
32: Cho hai định thức: 1 ; 2
6 8 4 3 6 8 8
3
4 8 12 17 4 8 12 34
- 12 3 4 24 6 8
25 4 7 25 4 14
Ta có các định thức : 1 ; 2 .
4 8
36 8 36 8
4 8 12 17 4 8 12 34
12 3 2
25 4 7
4∆1.Do vậy trong các đáp án đã cho không
ta thấy ∆2=4
4
36 8
4 8 12 17
có đáp án nào đúng.
6 2x
12 3 x 12 3
2 5 4 8 2y
254 y
Cho hai định thức: 1
33: ; 2
3 6 8 16 2 z
368 z
4 8 12 24 2t
4 8 12 t
Khẳng định nào sau đây đúng?
a) 1 2 b) 2 21 c) 2 21 d) 2 41
Ta có
2(3 x)
12 3
2 5 4 2(4 y )
2
3 6 8 2(8 z )
4 8 12 2(12 t )
1 233 1 23 x 1 23 x
2 544 2 54 y 2 54 y
2. 2.0 2.
2.
3 688 3 68 z 3 68 z
4 8 12 12 4 8 12 t 4 8 12 t
21
Vậy c) 2 21 là đáp án đúng
1 1 2 0
2 3 4 1
34: Tính định thức:
1 1 7 0
2 2 2 1
- 1120 1120
112 112
2341 0120
d 2 d 4
(1) 4 4 d 3 d 1
0 1 2 0 1 2
1170 1170
117 0 0 5.
2221 2221
12
( 1)11 5
05
vậy ∆=5
4 1 0 0
2 3 0 0
Tính định thức
35:
0 0 7 1
0 0 2 1
410 410
Giải: ( 1)3 4 2 3 0 (1) 4 4 2 3 0 50
002 007
0 2 1 2
0 1 3 4
Tính định thức:
36:
2 1 0 0
1 1 0 0
0 2 1 2 0 2 1 2
2 1 2
0 1 3 4 0 1 3 4
1.(1)5 1 3 4 4 6 2
Giải:
2 1 0 0 2 1 0 0 1 0 0
1 0 0 1
1 0 0 0
0 0 1 2
0 0 3 4
Tính định thức:
37
1 1 1 2
2 1 3 5
0 0
12
012
0 0
34 12
1.(1) 0 3 4 ( 1).( 1)31
31
Ta có 2
1 1
12 34
1 1 1
0 1 1 1
1 1 1 2
2 0 3 2
Tính định thức:
38
1 1 2 4
2 4 4 8
- Ta có
11 12
2 1 2 2 1 2
0 2 1 2
1.(1)11
0 1 20 1 2
00 1 2
224 032
02 2 4
12
( 2).(1)11 8
32
2112
2012
Tính định thức:
39:
1144
1112
2112 2 112
2 12
2012 2 012 12
1 2
1 3 2 (1).(1) 31
Giải: 1.(1) 4
1 0 3 2
1144 32
1 0 0
1 0 0 0
1112
Tính định thức:
40.
2 1 1
211 1 0 1 0
1 0 1 1 0 1
1 1 1 1
c 3 2 c 2
1 1 4 2 1 1 6
1 1 2
1 1 1 1 1 1
2 0 2 0
0 1 2 0 1 0
0 0 0 0
2 1 2 1 1
1 0 0
1 1 1 d 3 2 d 2 1 1 1
1 1
1(1)5 2
1 6 1 4 1
1 2 0
1 1 1 1 2
2 0 0
2 1 1 0 9 3
9 3
4 2
1 4 1 1 4 1 ( 1)1 2
d 1 2 d 2
( 1) 24.
d 3 d 1
51
1 1 2 051
4 0 1 2
8 0 3 4
Tính định thức:
41:
6 1 1 2
14 1 3 5
- 4 0 1 2
412 412
8 0 3 4 5 6
Giải: Ta có (1) 8 3 4 (1) 8 3 4 8 4 4
6 1 1 2
14 3 5 612
14 1 3 5
Tính định thức:
42.
1 1 1 0 1 1 0 0 1
c a b c a b bc c 0
∆= a b b
bc ca ab ba ca ab b a cb a b
x22
Tính định thức: 2 x 2
43:
22 x
x4 x4 x4
x22 111
Giải: 2 x 2 ( x 4) 2 x 2
2 x 2
22x 2 2 x 22x
1 1 1
( x 4)( x 2) 2
( x 4) 0 x2 0
x2
0 0
x111
1x11
Tính định thức:
44:
11x1
111x
x 3 x 3 x 3 x 3
x111 1 1 1 1
0 x 1 0
1x11 1 x 1 1 0
x 3.
x 1 0
11x1 1 1 x 1 0 0
x 1
111x 1 1 1 x 0 0 0
( x 3).( x 1)3
x 1 x 11
x2
2 11
Tính định thức
45:
1 0 x1
x 0 1x
Giải:
x 1 1 1
211
1 2 2 2 2
x 1 x5 2x3 x
(1) x 1 (1)
x1 x 1
x1 x x 1 x
- 1 1
1x
1 x2 1 1
46: Tìm số nghiệm phân biệt r của phương trình. 0
01 11
02 02
1 1 1 1
1 x 1 x
2 1 x2
Giải: 1 x 1 1 1 1
0 0
0 1 1 1 0 1 1 1
0 2 0 2 0 0 2 0
1 x 1
x 0
( 2).(1)7 . 1 x 2 1 0 2( x 2 x ) 0
x 1
0 1 1
x 0
Vậy
x 1
Tìm số nghiệm r của phương trình ∆:
47.
1 2 x 1 1 1 2 x 0 1
1 2 x 1
1 x 1 1 1 x 0 1
0 2( 1) 4 3 1 x 1 0;
0
3111 3101
311
0 2 2 2
0202
0 2 x 1
2 x 1
2 0 x 1 0 8( 1)31 0;
x 1
411
8( 2 x x) 0; x 0; r 1;
Tìm số nghiệm phân biệt r
48.
1 1
1 2x
2
0 x 2x 0 x 0
0
=2x.(x2-2x)=0 pt có số nghiệm phân biệt r =2
x 1
0 0 x1
0 0 0 2
- x 1 1
1
1 x 1 1
Tìm số nghiệm phân biệt r của phương trình:
49: =0
01 1 1
02 0 2
1 x 1 1 1 x 1 1
022
1x 1 1 00 2 2 11
Giải: 0 0 1.(1) 1 1 1 0
01 1 1 01 1 1
202
02 0 2 02 0 2
22 22
1.(1) 21 2.(1)31 . 0 4 0 phương trình vô nghiệm
02 11
50. Giải pt
1 1
x x
x2
1 1 1
=0 (do có hai cột tỉ lệ) 0 0 vậy pt có nghiệm x
1 1 1 1
1 0 1 1
Giải phương trình:
51.
xx1x xx1 x
x 1 1 1 c 3 c1 x 1 1 1
( x x 2 )(3 x) 0 x 0;1;3;
c 4 c1
0 0 1 1 x
xx21
0 0 0 3 x
xx13
Vậy nghiệm của phương trình là:x=0;1;3;
Giải phương trình:
52.
xx10 xx10
1 2 1 1 c1c 4 0 1 1 1
x ( x 4) x 0;4.
2 2 1 2 c 2 c 4 0 0 1 2
xx2x 002x
vậy nghiệm của phương trình là x=0;x=4
x1 0 0
1x 0 0
Giải phương trình
53: 0
11 x 2
1 1 2 x
- x1 0 0
x10 x10
1x 0 0 4 3 4 4
Giải: (1) .2 1 x 0 ( 1) . x 1 x 0
11 x 2
1 1 2 11x
1 1 2 x
2(2 x 2 2) x ( x 3 x) x 4 5 x 2 4 x 2, x 1
x 1 2 2
1x14
Tìm nghiệm của phương trình:
54. 0
0 0 x 2
002x
x 1 2 2
1x14
( x 2 1)( x 2 4) VN
0 0 x 2
0 0 2 x
1 2 3 4 5
2 4 6 8 11
Tính hạng r(A) của ma trận A
55:
3 6 9 12 14
4 8 12 16 20
Giải:
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
A 2 4 6 8 11 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 r 2
3 6 9 12 14 0 0 0 0 1
æ3
1 5 7 9ö
÷
ç ÷
ç
6 9 10÷
ç2 4 ÷
ç ÷
Tính hạng r(A) của ma trận A = ç ÷
ç ÷
56: ç3 5 7 9 11÷÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç4 6 ÷
ç 8 10 12ø
÷
è
1 35 7
9 1 3 5 7 9
2 0 2 4 5 8
46 9
10
Giải: A
3 11 0 4 8 11 16
57 9
6 8 10 12 0 6 12 18 24
4
1 3 5 7 9 1 3 5 7 9
0 2 4 5 8 0 2 4 5 8
0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 3 0 0 0 0
0 0 0
nguon tai.lieu . vn