Xem mẫu
- LUY N THI I H C 2010 CHUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC
CHUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC
I. KI N TH C CƠ B N:
1. Vòng tròn lư ng giác
2. M i liên h gi a các góc có liên quan c bi t
3 Các công th c lư ng giác
- Các h ng ng th c lư ng giác
- Công th c c ng
- Công th c nhân ôi, nhân ba
- Công th c h b c
- Công th c bi n i t ng thành tích, tích thành t ng
x
- Công th c bi n i theo t = tan
2
II. PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC:
1. Phương trình lư ng giác cơ b n:
Ví d 1: ( thi i h c kh i D năm 2002)
Tìm x ∈ [ 0;14] nghi m úng phương trình cos 3 x − 4 cos 2 x + 3cos x − 4 = 0 (1)
Gi i.
(1) ⇔ (4 cos3 x − 3cos x) − 4(2 cos 2 x − 1) + 3cos x − 4 = 0
π
⇔ 4 cos 2 x(cos x − 2) = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =
+ kπ (k ∈ »)
2
π 1 14 1
Vì x ∈ [ 0;14] nên 0 ≤ + kπ ≤ 14 ⇔ −0, 5 = − ≤ k ≤ − ≈ 3,9 ,mà k ∈ » nên k ∈ {0;1; 2;3}
π2
2 2
π 3π 5π 7π
V y nghi m c a phương trình là: x ∈ ; ; ;
2 2 2 2
Ví d 2: ( thi tuy n sinh i h c kh i D, năm 2004)
Gi i phương trình ( 2 cos x − 1)(2sin x + cos x) = sin 2 x − s inx (2)
Gi i.
(2) ⇔ (2 cos x − 1)(2sin x + cos x) = s inx(2 cos x − 1) ⇔ (2 cos x − 1)(s inx + cos x) = 0
π π
cos x = cos 3
1 x = ± 3 + k 2π
cos x =
⇔ ⇔ ⇔ (k , l ∈ »)
2
t anx = −1 = tan − π x = − π + lπ
s inx = − cos x
4
4
Ví d 3: Gi i phương trình sin 2 x + sin 2 3 x = cos 2 2 x + cos 2 4 x (3)
Gi i.
1 − cos2 x 1 − cos6x 1 + cos4x 1 + cos8x
(3) ⇔ ⇔ −(cos2 x + cos6 x) = cos4 x + cos8 x
+ = +
2 2 2 2
⇔ −2 cos 4 x cos 2 x = 2 cos 6 x cos 2 x ⇔ 2cos2 x(cos6 x + cos4 x)
π kπ
x = 4 + 2
cos2 x = 0
cos5 x = 0 ⇔ x = π + k π (k ∈ »)
⇔ 4 cos 2 x.cos 5 x.cos x = 0 ⇔
10 5
cos x = 0
x = π + kπ
2
Chú ý:
• Khi gi i phương trình lư ng giác có ch a tanu, cotu, có n m u, có ch a căn b c ch n... thì
ph i t i u ki n phương trình xác nh.
GV: Hoàng Ng c Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN H Tùng M u huy n L c Yên *** Trang 1
- LUY N THI I H C 2010 CHUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC
Ta có th dùng các cách sau ki m tra i u ki n xem có nh n hay không
•
+ Th nghi m tìm ư c xem có th a mãn i u ki n hay không.
+ Dùng ư ng tròn lư ng giác
+ So i u ki n trong quá trình gi i
Ví d 4: Gi i phương trình tan 2 x − t anx.tan 3 x = 2 (4)
Gi i.
cos x ≠ 0 ππ
i u ki n ⇔ cos 3x ≠ 0 ⇔ x ≠ + l (l ∈ »)
3
6 3
cos 3 x = 4 cos x − 3cos x ≠ 0
s inx s inx s in3x
Ta có (4) ⇔ t anx(t anx − tan 3 x) = 2 ⇔ . =2
−
cos x cos x cos 3 x
⇔ sin x(s inx.cos 3 x − cos x.sin 3 x) = 2 cos 2 x.cos3 x ⇔ s inx.sin( −2 x) = 2 cos 2 x.cos3x
⇔ −2sin 2 x.cos x = 2 cos 2 x.cos3 x ⇔ − sin 2 x = cos x.cos3 x (do cosx ≠ 0)
π π
1 − cos2 x 1
= (cos4 x + cos2 x ) ⇔ cos4 x = −1 ⇔ 4 x = π + k 2π ⇔ x = + k ( k ∈ »)
⇔−
2 2 4 2
π π
K t h p v i i u ki n ta ư c nghi m c a phương trình là: x = ( k ∈ »)
+k
4 2
Ví d 5: ( i h c kh i D, năm 2003)
thi tuy n sinh
x π x
sin 2 − .tan 2 x − cos = 0
Gi i phương trình (5)
2 4 2
Gi i.
i u ki n cos x ≠ 0 ⇔ s inx ≠ ±1
1 π sin 2 x 1
− [1 + cos x ] = 0
Khi ó (1) ⇔ 1 − cos x − .
2 cos 2 x 2
2
(1 − s inx)(1 − cos 2 x)
− (1 + cos x) = 0
⇔
1 − sin 2 x
1 − cos 2 x
− (1 + cos x) = 0
⇔
1 + s inx
1 − cos x
⇔ (1 + cos x) −1 = 0
1 + sin x
⇔ (1 + cos x)( − cos x − s inx) = 0
x = π + k 2π
cos x = −1
(k ∈ »)
⇔ ⇔ π
t anx = −1 x = − + kπ
4
π
K t h p i u ki n ta ư c nghi m c a phương trình là: x = π + k 2π ; x = − + kπ (k ∈ »)
4
sin 4 x + cos 4 x 1
Ví d 6: Gi i phương trình = (t anx + cot 2 x) (6)
sin 2 x 2
Gi i.
i u ki n sin2x ≠ 0
1
Ta có: * sin 4 x + cos 4 x = (sin 2 x + cos 2 x)2 − 2sin 2 x cos 2 x = 1 − sin 2 2 x
2
s inx cos2 x 1
* tan x + cot 2 x = + =
cos x sin 2 x sin 2 x
GV: Hoàng Ng c Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN H Tùng M u huy n L c Yên *** Trang 2
- LUY N THI I H C 2010 CHUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC
1
1 − sin 2 2 x
1
2
Vy (6) ⇔ =
sin 2 x 2sin 2 x
1
⇔ 1 − sin 2 2 x = 1 ⇔ sin 2 2 x = 1
2
⇔ cos 2 2 x = 0 ⇔ cos2 x = 0
π π π
+ kπ ⇔ x =
⇔ 2x = (k ∈ »)
+k
2 4 2
π π
K t h p i u ki n ta ư c nghi m c a phương trình là x = (k ∈ »)
+k
4 2
2. Phương trình b c hai i v i m t hàm s lư ng giác
- Có d ng: a sin 2 u + b sin u + c = 0 (a ≠ 0)
aco s 2 u + bco s u + c = 0 (a ≠ 0)
atan 2u + b tan u + c = 0 (a ≠ 0)
acot 2u + b cot u + c = 0 (a ≠ 0)
- Cách gi i: t t = sinu hay t = cosu v i t ≤ 1
π
+ kπ , k ∈ » )
t = tanu ( i u ki n u ≠
2
t = cotu ( i u ki n u ≠ kπ , k ∈ » )
Các phương trình trên tr thành at 2 + bt + c = 0
Gi i phương trình trên tìm ư c t, so v i i u ki n nh n nghi m t.
T ó gi i phương trình lư ng giác cơ b n tìm nghi m c a phương trình
Ví d 7: ( i h c kh i A, năm 2002)
thi tuy n sinh
cos3x+sin3x
Tìm các nghi m trên ( 0; 2π ) c a phương trình 5 s inx + (7)
= 3 + cos 2 x
1 + 2sin 2 x
Gi i.
1
i u ki n sin 2 x ≠ −
2
Ta có sin 3 x + cos3 x = (3sin x − 4sin 3 x) + (4cos3 x − 3cos x ) = −3(cos x − s inx) + 4(cos3 x − sin 3 x)
= (cos x − s inx) −3 + 4(cos 2 x + cos x sin x + sin 2 x ) = (cos x − s inx)(1 + 2sin 2 x)
Do v y: (7) ⇔ 5 [s inx + (cos x − s inx)] = 3 + (2 cos 2 x − 1)
1
cos x = 2
2
⇔ 2 cos x − 5cos x + 2 = 0 ⇔
cosx = 2(loai )
π
+ k 2π (k ∈ ») (th a mãn i u ki n)
⇔ x=±
3
π 5π
Vì x ∈ ( 0; 2π ) nên x = ∨x=
3 3
Ví d 8: ( thi tuy n sinh i h c kh i A, năm 2005)
Gi i phương trình cos 2 3 x.cos2 x − cos 2 x = 0 (8)
Gi i.
1 + cos6 x 1 + cos2 x
(8) ⇔ .cos2 x − = 0 ⇔ cos6 x.cos2 x = 0 (8.1)
2 2
GV: Hoàng Ng c Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN H Tùng M u huy n L c Yên *** Trang 3
- LUY N THI I H C 2010 CHUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC
Cách 1: (8.1) ⇔ (4 cos3 2 x − 3cos 2 x)cos2 x − 1 = 0 ⇔ 4 cos 4 2 x − 3cos 2 2 x − 1 = 0
cos 2 2 x = 1
⇔ 2
cos 2 x = − 1 (vô nghiêm)
4
π
⇔ sin 2 x = 0 ⇔ 2 x = kπ ⇔ x = k (k ∈ »)
2
1
( cos8 x + cos4x ) − 1 = 0 ⇔ 2cos2 4 x + cos4 x − 3 = 0
Cách 2: (8.1) ⇔
2
cos4 x = 1
π
⇔ ⇔ 4 x = k 2π ⇔ x = k (k ∈ »)
cos4 x = − 3 (loai) 2
2
Cách 3: Phương trình lư ng giác không m u m c
cos6 x = cos2 x = 1
(8.1) ⇔
cos6 x = cos2 x = −1
1
Cách 4: (8.1) ⇔ ( cos8 x + cos4x ) − 1 = 0 ⇔ cos8 x + cos4 x − 2 = 0 ⇔ cos8 x = cos4 x = 2
2
π
⇔ cos4 x = 1 ⇔ x = k (k ∈ »)
2
Ví d 9: ( thi tuy n sinh i h c kh i D, năm 2005)
π π 3
Gi i phương trình cos 4 x + sin 4 x + cos x − sin 3 x − − = 0 (9)
4 4 2
Gi i.
1 3
( 9 ) ⇔ sin 2 x + cos 2 x − 2sin 2 xcos 2 x + sin 4 x − + sin 2 x − = 0
π
2
( )
2 2 2
1 1 3
⇔ 1 − sin 2 2 x + [ −cos4x+sin2x ] − = 0
2 2 2
1 1 1 1
⇔ − sin 2 2 x − 1 − 2sin 2 2x + sin 2 x − = 0
2
2 2 2
sin 2 x = 1
⇔ sin 2 2 x + sin 2 x − 2 = 0 ⇔
sin 2 x = −2 (loai)
π π
+ k 2π ⇔ x = + kπ (k ∈ »)
2x =
2 4
Ví d 10: ( thi tuy n sinh i h c kh i B, năm 2004)
Gi i phương trình 5sin x − 2 = 3(1 − s inx)tan 2 x (10)
Gi i.
i u ki n cos x ≠ 0 ⇔ s inx ≠ ±1
sin 2 x 3sin 2 x
Khi ó: (10) ⇔ 5sin x − 2 = 3(1 − s inx) ⇔ 5sin x − 2 =
1 − sin 2 x 1 + sin x
1
s inx = (nhân do sinx ≠ ±1)
⇔ 2 sin 2 x + 3sin x − 2 = 0 ⇔ 2
s inx = −2 (vô nghiêm)
π
x = 6 + k 2π
π
s inx = sin ⇔ ( k ∈ »)
x = 5π + k 2π
6
6
GV: Hoàng Ng c Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN H Tùng M u huy n L c Yên *** Trang 4
- LUY N THI I H C 2010 CHUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC
Ví d 11: (kh i A năm 2006)
2 ( cos 6 x + sin 6 x ) − sin x cos x
Gi i phương trình =0 (11)
2 − 2sin x
G i i.
2
i u ki n s inx ≠
2
Phương trình ã cho tương ương v i
3 1
2 ( sin 6 x + cos 6 x ) − sin x cos x = 0 ⇔ 2 1 − sin 2 2 x − sin 2 x = 0
4 2
2
⇔ 3sin 2 x + sin 2 x − 4 = 0
⇔ sin 2 x = 1
π
+ k 2π , k ∈ »
⇔ 2x =
2
π
+ kπ , k ∈ »
⇔ x=
4
5π
+ m2π , m ∈ »
Do i u ki n, nghi m c a phương trình là: x =
4
Ví d 12: Gi i phương trình 3cot 2 x + 2 2 sin 2 x = (2 + 3 2) cos x (12)
Gi i.
i u ki n s inx ≠ 0 ⇔ cos x ≠ ±1
cos 2 x cos x
Chia c hai v c a phương trình cho sin 2 x ta ư c: 3 4 + 2 2 = (2 + 3 2) 2 (12.1)
sin x sin x
t = 2
cos x
ta ư c phương trình 3t 2 − (2 + 3 2)t + 2 2 = 0 ⇔
tt= 2
sin x t = 2 / 3
cos x
= 2 ⇔ cos x = 2(1 − cos 2 x) ⇔ 2cos 2 x + cos x − 2 = 0
• V i t = 2 ta có
sin 2 x
cosx = − 2 (loai)
π
⇔ x = ± + k 2π (k ∈ »)
⇔ 2 4
cos x = 2
2 cos x 2
= ⇔ 3cos x = 2(1 − cos 2 x) ⇔ 2cos 2 x + 3cos x − 2 = 0
V it= ta có
• 2
3 sin x 3
cosx = −2 (loai)
π
⇔ ⇔ x = ± + k 2π (k ∈ »)
1
cos x = 3
2
K t lu n: K t h p /k ư c nghi m c a phương trình là
π π
+ k 2π ; x = ± + k 2π (k ∈ »)
x=±
3 4
π
Ví d 13: Gi i phương trình tan 3 x − = t anx − 1 (13)
4
Gi i.
π π
t t = x− +t .
⇔x=
4 4
GV: Hoàng Ng c Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN H Tùng M u huy n L c Yên *** Trang 5
- LUY N THI I H C 2010 CHUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC
π 1 + tan t
Khi ó (13) tr thành: tan 3 t = tan + t − 1 = − 1 v i cost ≠ 0 và tan t ≠ 1
4 1 − tan t
2 tan t
⇔ tan 3 t = ⇔ tan t (tan t + 1)(tan 2 t − 2 tan t + 2) = 0
1 − tan t
⇔ tan t = 0 ∨ tan t = −1 (nh n so i u ki n)
π
⇔ t = kπ ∨ t = − + kπ , (k ∈ »)
4
π
+ kπ ; x = kπ (k ∈ »)
V y nghi m c a phương trình (13) là: x =
4
3. Phương trình b c nh t i v i sinx và cosx
- Có d ng: a sin u + b cos u = c (*)
- Cách gi i: /k phương trình có nghi m: a 2 + b 2 ≥ c 2
Cách 1:
a b
a 2 + b2 ≠ 0 . t cos α = và sin α =
Chia c hai v c a phương trình cho
2 2
a + b2
2
a +b
c c
v i α ∈ [ 0; 2π ] thì (*) ⇔ cosα .s inu + sin α .cos u = ⇔ s in(u + α ) =
a2 + b2 a2 + b2
Cách 2:
+ N u u = π + k 2π là nghi m c a phương trình (*) thì a sin π + b cos π = c ⇔ −b = c
1− t2
2t
u
+ N u u ≠ π + k 2π t t = tan thì (*) tr thành: a. + b. =c
1+ t2 1+ t2
2
⇔ (b + c)t 2 − 2at + c − b = 0
u
Gi i phương trình trên tìm ư c nghi m t. T t = tan ta tìm ư c ư c u
2
2π 6π
Ví d 15: Tìm x ∈ th a mãn phương trình cos 7 x − 3 sin 7 x = − 2 (15)
;
5 7
Gi i.
1 3 2
Chia c hai v phương trình (12) cho 2 ta ư c cos 7 x − sin 7 x = −
2 2 2
π π 2
⇔ sin cos 7 x − cos sin 7 x = −
6 6 2
π π
⇔ sin − 7 x = sin −
6 4
54π 2π
x = 84 + k 7
⇔ (k , h ∈ »)
x = 11π + h 2π
84 7
2π 6π 2π 54π 2π 6π 2π 11π 2π 6π
Do x ∈ nên ta ph i có: hay (k,h ∈ »)
+k +h
≤ ≤ ≤ ≤
;
5 7 5 84 7 7 5 84 7 7
⇒ k = 2, h = 1, h = 2
53π 35π 59π
V y x∈
; ;
84 84 84
Ví d 16: Gi i phương trình 3sin 3x − 3cos9 x = 1 + 4sin 3 3 x (16)
G i i.
GV: Hoàng Ng c Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN H Tùng M u huy n L c Yên *** Trang 6
- LUY N THI I H C 2010 CHUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC
( )
(13) ⇔ 3sin 3 x − 4sin 3 3 x − 3cos9 x = 1 ⇔ sin 9 x − 3cos9 x = 1
π π
1 3 1
sin 9 x − cos9 x = ⇔ sin 9 x − = sin
⇔
3
2 2 2 6
ππ π 2π
9 x − 3 = 6 + k 2π x = 18 + k 9
⇔ ⇔ (k ∈ » )
9 x − π = π − π + k 2π x = 7π + k 2π
3 6 54 9
Ví d 17: Gi i phương trình tan x − 3cot x = 4(s inx + 3 cos x) (17)
Gi i.
s inx ≠ 0
i u ki n ⇔ sin 2 x ≠ 0
cosx ≠ 0
s inx cosx
= 4(s inx + 3 cos x) ⇔ sin 2 x − 3cos 2 x = 4sin x cos x(s inx + 3 cos x)
Khi ó: (17 ) ⇔ −3
cos x sin x
s inx = − 3 cos x
⇔ (s inx + 3 cos x)(s inx − 3 cos x − 2sin 2 x) = 0 ⇔ 1 3
2 s inx − 2 cos x = sin 2 x
π
x = − 3 + kπ
π
tanx = − 3 = tan − 3
π
⇔ x = − − k 2π (k ∈ »)
⇔
π 3
sin x − = sin 2 x 4π 2π
3 x = +k
9 3
π 4π 2π
+ kπ ; x =
K t h p i u ki n ư c nghi m c a phương trình là: x = − +k (k ∈ »)
3 9 3
π 1
Ví d 18: Gi i phương trình cos 4 x + sin 4 x + = (18)
4 4
Gi i.
2
1 π 1
1
(18) ⇔ (1 + cos2 x)2 + 1 − cos 2 x + = ⇔⇔ (1 + cos2 x) 2 + (1 + sin 2 x)2 = 1
2
4
4 4
π 3π
1
⇔ cos2 x + sin 2 x = −1 ⇔ cos 2 x − = − = cos
4 4
2
π
x = 2 + kπ
π 3π
+ k 2π ⇔
⇔ 2x − = ± ( k ∈ »)
x = − π + kπ
4 4
4
3. Phương trình i x ng i v i sinu và cosu
- Có d ng: a (s inu + cos u ) + b sin u cos u = c (*)
π
t t = s inu + cos u = 2cos u − v i i u ki n t ≤ 2
- Cách gi i:
4
2
t −1
⇒ sin u cos u =
2
Thay vào PT (*) ta ư c phương trình: bt 2 + 2at − (b + 2c) = 0
GV: Hoàng Ng c Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN H Tùng M u huy n L c Yên *** Trang 7
- LUY N THI I H C 2010 CHUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC
Gi i phương trình trên tìm ư c t, r i so v i i u ki n t ≤ 2
π
Gi i phương trình cơ b n 2cos u − = t ta tìm ư c nghi m c a phương trình.
4
Chú ý: N u phương trình có d ng: a (s inu + cos u ) + b sin u cos u = c (**)
π
Thì t t = s inu- cos u = 2 sin u − v i i u ki n t ≤ 2
4
2
t +1
⇒ sin u cos u =
2
Ví d 19: Gi i phương trình s inx + sin 2 x + cos3 x = 0 (19)
Gi i.
(19 ) ⇔ sin x (1 + s inx ) + cos x (1 − sin 2 x ) = 0
⇔ (1 + sin x )( s inx + cos x − sin x cos x ) = 0
s inx = −1 (1)
⇔
s inx + cos x − sin x cos x = 0 (2)
π
(k ∈ »)
+ k 2π
(1) ⇔ x = −
•
2
2
π −1
t
t t = s inx + cos x = 2cos x − , i u ki n t ≤ 2 , thì sin x cos x =
Xét (2):
•
4 2
Khi ó (2) tr thành:
t = 1 − 2
t 2 −1
= 0 ⇔ t 2 − 2t − 1 = 0 ⇔
t−
t = 1 + 2 ( loaïi )
2
D o ó:
2
π π 2
− 1 = cosϕ cosϕ = − 1
(2) ⇔ 2cos x − = 1 − 2 ⇔ cos x − =
4 4 2 2
π
( 0 < ϕ < 2π )
± ϕ + h 2π , h ∈ »
⇔x=
4
3 (1 + s inx ) π x
Ví d 20: Gi i phương trình 3 tan 3 x − t anx+ = 8cos 2 − (20)
2
4 2
cos x
G i i.
i u ki n: cos x ≠ 0 ⇔ s inx ≠ ±1
•
π
( 20 ) ⇔ t anx ( 3 tan 2 x − 1) + 3 (1 + s inx ) (1 + tan 2 x ) = 4 1 + cos − x = 4 (1 + s inx )
Khi ó:
•
2
( )
⇔ tan x ( 3 tan x − 1) + (1 + s inx ) 3 (1 + tan x ) − 4 = 0
2 2
⇔ ( 3 tan 2 x − 1) ( t anx + 1 − s inx ) = 0
⇔ ( 3 tan 2 x − 1) ( s inx + cos x + sin x cos x ) = 0
3 tan 2 x = 1 (1)
⇔
s inx + cos x + sin x cos x = 0 (2)
π
1 1
(1) ⇔ tan 2 x = ⇔ t anx = ± ⇔ x = ± + k 2π , k ∈ »
•
3 3 6
GV: Hoàng Ng c Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN H Tùng M u huy n L c Yên *** Trang 8
- LUY N THI I H C 2010 CHUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC
π
t t = s inx + cos x = 2 sin x + , /k t ≤ 2 và t ≠ ±1
Gi i (2):
•
4
Khi ó (2) có d ng
t = −1 − 2 loaïi do ñieàu kieän t ≤ 2
( )
t 2 −1
= 0 ⇔ t 2 + 2t − 1 = 0 ⇔
t+
t = −1 + 2
2
π
x = ϕ − 4 + k 2π
π 2
= sin ϕ ⇔ (k ∈ »)
V y sin x + = 1 −
4 x = 3π − ϕ + k 2π
2
4
Ví d 21: Gi i phương trình cos3 x + sin 3 x = cos2 x (21)
G i i.
( 21) ⇔ ( s inx + cos x ) (1 − sin x cos x ) = cos 2 x − sin 2 x
⇔ ( s inx + cos x )(1 − sin x cos x + s inx − cos x ) = 0
s inx + cos x = 0 (1)
⇔
( 2)
1 − sin x cos x + s inx − cos x = 0
π
+ kπ , k ∈ »
(1) ⇔ t anx = −1 ⇔ x = −
•
4
1− t2
π
t t = s inx − cos x = 2 sin x − , /k t ≤ 2 khi ó sin x cos x =
Gi i (2):
•
4 2
Phương trình (2) có d ng:
t 2 −1
+ t = 0 ⇔ t 2 + 2t + 1 = 0 ⇔ t = −1
1−
2
x = k 2π , k ∈ »
π π
1
= sin − ⇔
V y (2) ⇔ sin x − = −
x = 3π + k 2π , k ∈ »
4 4
2
2
Chú ý: Phương trình lư ng giác có d ng: a (t anx ± cot x) + b(tan 2 x + cot 2 x) + c = 0 (***)
t: t = t anx ± cot x ⇒ t 2 = tan 2 x + cot 2 x ± 2
Ta
2
, i u ki n t ≥ 2 do sin 2 x ≤ 1 )
( t = t anx + cot x =
sin 2 x
Ví d 22: Gi i phương trình 3 tan 2 x + 4 tan x + 4 cot x + 4 cot 2 x + 2 = 0 (22)
Gi i.
2
, v i i u ki n t ≥ 2 , ta có tan 2 x + cot 2 x = t 2 − 2
t t = t anx + cot x =
sin 2 x
Khi ó phương trình (22) tr thành:
2
t = ( loai )
3 ( t − 2 ) + 4t + 2 = 0 ⇔ 3t + 4t − 4 = 0 ⇔ 3
2 2
t = −2
Ta có
2
t = −2 ⇔ = −2 ⇔ sin 2 x = −1
2sin x
π
+ k 2π , k ∈ »
⇔ 2x = −
2
π
+ kπ , k ∈ »
⇔ x=−
4
GV: Hoàng Ng c Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN H Tùng M u huy n L c Yên *** Trang 9
- LUY N THI I H C 2010 CHUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC
5. Phương trình ng c p
- Có d ng: a sin 2 u + b sin u cos u + ccos 2u = d
- Cách gi i:
π
+ kπ , k ∈ »
* Ki m tra xem cosu = o có th a mãn phương trinh hay không (n u th a mãn thì u =
2
là nghi m)
* Chia c hai v c a phương trình cho cos 2u ≠ 0 , ta ư c phương trình
a tan 2 u + b tan u + c = d (1 + tan 2 u )
t t = tanu ta có phương trình: ( a − d )t 2 + bt + c − d = 0
Gi i phương trình trên tìm ư c t = tanu.
Ví d 23: Gi i phương trình cos 2 x − 3 sin 2 x = 1 + sin 2 x (23)
Gi i.
Vì cos x = 0 không là nghi m nên chia c hai v c a (23) cho cos 2 x ≠ 0 , ta ư c
(23) ⇔ 1 − 2 3 t anx = (1 + tan 2 x ) + tan 2 x
t = 0
t t = t anx ta có phương trình: 2t 2 + 2 3t = 0 ⇔
t = − 3
x = kπ , k ∈ »
t anx = 0
⇔
V y (23) ⇔
x = − π + kπ , k ∈ »
t anx = − 3
3
Ví d 24: Gi i phương trình cos3 x − 4sin 3 x − 3cos x sin 2 x + s inx = 0 (24)
Gi i.
π
+ kπ , k ∈ » thì cos x = 0 và s inx = ±1 thì phương trình (23) vô nghi m
Khi x =
2
Do cos x = 0 không là nghi m nên chia hai v c a (23) cho cos3 x ta có:
(23) ⇔ 1 − 4 tan 4 x − 3 tan 2 x + tan x (1 + tan 2 x ) = 0
⇔ 3tan 3 x + 3 tan 2 x − t anx − 1 = 0
⇔ ( t anx + 1) ( 3 tan 2 x − 1) = 0
t anx = −1
⇔
t anx = ± 3
3
π
x = − 4 + kπ
⇔ (k ∈ »)
x = ± π + kπ
6
Ví d 25: Cho phương trình
( 4 − 6m ) sin 3 x + 3 ( 2m − 1) s inx + 2 ( m − 2 ) sin 2 x cos x − ( 4m − 3) cos x = 0 (25)
a) Gi i phương trình khi m = 2
π
phương trình (23) có duy nh t nghi m trên 0;
b) Tìm m
4
Gi i.
GV: Hoàng Ng c Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN H Tùng M u huy n L c Yên *** Trang 10
- LUY N THI I H C 2010 CHUYÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC
π
+ kπ , k ∈ » thì cos x = 0 và s inx = ±1 nên phương trình (23) thành
Khi x =
2
± ( 4 − 6m ) ± 3 ( 2m − 1) = 0 ⇔ 1 = 0 vô nghi m
Chia cà hai v c a phương trình cho cos3 x ≠ 0 thì
( 4 − 6m ) tan 3 x + 3 ( 2m − 1) t anx (1 + tan 2 x ) + 2 ( m − 2 ) tan 2 x − ( 4m − 3) (1 + tan 2 x ) = 0
t t = t anx ta ư c phương trình:
t 3 − ( 2m + 1) t 2 + 3 ( 2m − 1) t − 4m + 3 = 0
⇔ ( t − 1) ( t 2 − 2mt + 4m − 3) = 0 (*)
a) Khi m = 2 thì (* tr thành ( t − 1) ( t 2 − 4t + 5 ) = 0 ⇔ t = 1
π
⇒ tan x = 1 ⇔ x = + kπ , k ∈ »
4
π
b) Ta có x ∈ 0; thì t anx = t ∈ [ 0;1] . Xét phương trình t 2 − 2mt + 4m − 3 = 0 (*)
4
t2 − 3
= 2m (do t = 2 không là nghi m)
⇔
t−2
t2 − 2
t y = f (t ) = (C) và (d): y = 2m
t−2
t 2 − 4t + 3
Ta có y ' = f '(t ) = 2
(t − 2)
t -∞ 0 1 2 3 +∞
y' + + - - +
2
y
3
2
Do (*) luôn có nghi m trong t = 1 ∈ [ 0;1] nên yêu c u bài toán
(d ) : y = 2m khoâng coù ñieåm chung vôùi (C)
⇔
(d ) caét (C) taïi moät ñieåm duy nhaát t = 1
3 3
2m < 2 ⇔ m < 4
2m ≥ 2 m ≥ 1
GV: Hoàng Ng c Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN H Tùng M u huy n L c Yên *** Trang 11
nguon tai.lieu . vn
