Xem mẫu
- Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng Facebook: LyHung95
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
Tài li u bài gi ng:
01. M UV S PH C – P1
Th y ng Vi t Hùng
1. KHÁI NI M S PH C
M t s ph c z là m t bi u th c d ng z = a + bi, trong ó a, b là nh ng s th c và s i th a mãn i2 = –1.
Trong ó:
i là ơn v o.
a ư c g i là ph n th c c a s ph c
b ư c g i là ph n o c a s ph c
T p h p các i m bi u di n s ph c kí hi u là C.
Chú ý:
♦ S ph c z là s th c n u b = 0, khi ó z = a.
♦ S ph c z là s o (hay s thu n o) n u a = 0, khi ó z = bi.
a = a '
♦ Hai s ph c z = a + bi và z ' = a '+ b ' i n u
b = b '
( )
2
♦ V i i là ơn v o ta có: i 2 = −1; i 3 = i 2 .i = −i; i 4 = i 2 = 1; i 5 = i 4 .i = i...
T ó suy ra i 4 n + i 4 n +1 + i 4 n + 2 + i 4 n + 3 = 0
Ví d : Tính t ng S = 1 + i + i 2 + i 3 + ... + i 2012 .
Ví d 1. Tìm ph n th c và ph n o c a các s ph c sau
a) z = 2 + 3i b) z = 4i c) z = –1
d) z = 2 − 2i 2
e) z = (1 + i) – (1 – i) 2
f) z = (11 – 6i) – (2 – 4i)
Hư ng d n gi i:
Theo nh nghĩa s ph c ta có
a) z = 2 + 3i ⇒ a = 2; b = 3
b) z = 4i ⇒ a = 0; b = 4
c) z = –1 ⇒ a = –1; b = 0
d) z = 2 − 2i ⇒ a = 2; b = −2
e) tìm ph n th c, ph n o ta c n bi n i s ph c ã cho v d ng rút g n.
2
(
Ta có (1 + i ) − (1 − i ) = 1 + 2i + i
2 2
) − (1 − 2i + i ) = 2i − ( −2i ) = 4i ⇒ a = 0; b = 4 , (do i
2 2
= –1 )
f) z = (11 – 6i) – (2 – 4i) = 9 – 2i ⇒ a = 9; b = –2.
Ví d 2. Tìm các s th c x và y, bi t:
a) (2x +1) + (3y – 2)i = (x + 2) + (y + 4)i
b) (1 − 3 x ) + ( y + 1) i = ( x + y ) − ( 2 x + 1) i
Hư ng d n gi i:
a = a '
Ta bi t r ng hai s ph c z = a + bi và z ' = a '+ b ' i n u
b = b '
2 x + 1 = x + 2 x = 1
a) Ta có ⇒
3 y − 2 = y + 4 y = 2
3
1 − 3 x = x + y
4 x + y = 1 x =
b) Ta có ⇔ ⇒ 2
y + 1 = − ( 2 x + 1)
2 x + y = −2 y = −5
Ví d 3. Cho z = ( 3a + 2 ) + ( b − 4 ) i . Tìm các s a, b :
a) z là s th c
b) z là s thu n o
Hư ng d n gi i:
a) z là s th c khi b – 4 = 0, hay b = 4.
b) z là s thu n o khi 3a + 2 = 0, hay a = –2/3
Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
- Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng Facebook: LyHung95
Bài t p áp PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
Simpo d ng:
Bài 1. Xác nh ph n th c và ph n o c a các s ph c:
1. z = −3 + 5i 2. z = − 2i
3. z = 12 4. z = 0
5. z = (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i). 6. z = (1 + i)2 – (1 – i)2
7. z = (2 + i)3 – (3 – i)3. 8. z = (3 – 5i) + (2 + 4i)
9. z = (11 – 6i) – (2 – 4i) 10. z = (2 + i) – (1 + 4i)
Bài 2. Cho z = ( 2a − 1) + ( 3b + 5 ) i v i a, b ∈ R . Tìm các s a, b :
1. z là s th c 2. z là s thu n o
Bài 3. Tìm các s th c x và y, bi t:
1. ( 2x + 1) + 5i = −4 + ( 3y − 2 ) i
( )
2. x − 2 − 4i = 3 − ( y + 1) i
2. BI U DI N HÌNH H C C A S PH C
Cho s ph c z = a + bi ( a, b ∈ R ) ư c bi u di n b i i m M(a; b) (hay M(z)) trong m t ph ng t a Oxy (hay còn
g i là m t ph ng ph c)
Trong ó:
- Tr c hoành Ox (tr c th c) bi u di n ph n th c a.
- Tr c tung Oy (tr c o) bi u di n ph n o b.
Ví d . Cho các s ph c 2 + 3i; 3; –i; –1 + 2i có các i m bi u di n l n lư t là A, B, C, D
a) Ch ng minh r ng ABCD là m t hình bình hành
b) Tâm I c a hình bình hành ABCD bi u di n s ph c nào?
3. MODULE C A S PH C
Khái ni m:
Cho s ph c z = a + bi, module c a s ph c z kí hi u là |z| và ư c tính theo bi u th c: z = a 2 + b 2
Ví d : Tính module c a các s ph c sau
1. z = 1 + 3i
2. z = 2i
3. z = 3 − i
4. z = ( 2 + i ) + (1 + 2i )
2 2
Hư ng d n gi i:
Áp d ng công th c z = a + b ta có 2 2
1. z = 1 + 3i ⇒ z = 1 + 9 = 10
2. z = 2i ⇒ z = 4 = 2
3. z = 3 − i ⇒ z = 3 + 1 = 2
( ) ( )
4. z = ( 2 + i ) + (1 + 2i ) = 4 + 2i + i 2 + 1 + 4i + 4i 2 = ( 3 + 2i ) + ( 4i − 3) = 6i ⇒ z = 6
2 2
4. S PH C LIÊN H P
Khái ni m:
Cho s ph c z = a + bi, s ph c liên h p c a s ph c z kí hi u là z và ư c tính theo bi u th c: z = a − bi
Chú ý:
+ Các i m M(a ; b) và M’(a ; –b) bi u di n các s ph c z và z i x ng nhau qua tr c Ox.
+ Các s ph c z và z có module b ng nhau: z = z = a 2 + b 2
Ví d : Vi t các s ph c liên h p c a m i s ph c sau và tính module c a chúng
1. z = 2 – 5i
2. z = 7i
3. z = 6 + i
4. z = 3 − 2i
Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
- Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng Facebook: LyHung95
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Versiongi http://www.simpopdf.com
Hư ng d n - i:
Áp d ng z = a − bi , ta ư c :
1. z = 2 − 5i ⇒ z = 2 + 5i ⇒ z = 4 + 25 = 29
2. z = 7i ⇒ z = −7i ⇒ z = 49 = 7
3. z = 6 + i ⇒ z = 6 − i ⇒ z = 36 + 1 = 37
4. z = 3 − 2i ⇒ z = 3 + 2i ⇒ z = 3 + 4 = 7
BÀI T P T LUY N
Bài 1. Tính z + z ', z − z ', z.z ' v i
1) z = 5 + 2i , z ' = 4 + 3i 2) z = 2 − 3i , z ' = 6 + 4i
3) z = −4 − 7i , z ' = 2 − 5i 4) z = 1 + i 3 , z ' = − 3 + 2i
Bài 2. Th c hi n các phép tính sau :
1) (1 − i ) 2) ( 2 + 3i )
2 2
3) (1 + i ) + 3i 4) (1 + i )
3 2010
Bài 3. Vi t các s ph c sau d ng is :
1 −5 + 6i
1) z = 2) z =
(1 + i )( 4 − 3i ) 4 + 3i
7 − 2i 3 − 4i
3) z = 4) z =
8 − 6i 4−i
1 1
5) z = 6) z =
2 − 3i 1 3
− i
2 2
3 − 2i 2+i
7) z = 8) z =
i 5i
4i 1 + 2i 12i
9) z = 10) z = +
1− i 12i 1 + 2i
(2 + i)(12i) (2i)(1 + 2i)
11) z = +
2i 2+i
1 3 1
()
3
Bài 4. Cho z = − + i . Hãy tính: , z , z 2 , z , 1 + z + z2 .
2 2 z
Bài 5. Tính modun, tìm s ph c liên h p c a m i s ph c sau:
1 4 + 5i
1) z = 2) z =
2 + 3i i
4 − 3i 1 − 2i
3) z = 4) z =
2−i 2+i
1
5) z = (2 − i)(−3 + 2i)(5 − 4i) 6) z =
(1 + 2i )( 3 − i )
2 + 3i 5 + 5i 20
7) z = 8) z = +
( 4 + i )( 2 − 2i ) 3 − 4i 4 + 3i
3 + 7i 5 − 8i 3 + 2i + (2 − i)(4 − 3i)
9) z = + 10) z =
2 + 3i 2 − 3i 2+i
( 3 − 2i ) (1 − i )
2
(3 − 2i)(4 + 3i)
11) z = + 5 − 4i 12) z =
1 − 2i 1+ i
Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
- Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng Facebook: LyHung95
(1 + 2i ) − (1 − i )
Simpo+ 2i )(1Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
( 3 PDF − 3i )
2 3
13) z = + (2 − i) 14) z =
1 + 3i ( 3 + 2i ) − ( 2 + i )
3 2
1+ i
33
1 1 1
15) z = i 7 − 7 16) z = + (1 − i ) + ( 2 + 3i )( 2 − 3i ) +
10
2i i 1− i i
1+ i 1− i
8 8
17) z = 1 + (1 + i ) + (1 + i ) + (1 + i ) + ... + (1 + i ) 18) z = +
2 3 20
1− i 1+ i
Bài 6. Cho các s ph c z1 = 1 + 2i, z2 = –2 + 3i, z3 = 1 – i. Hãy tính và sau ó tìm ph n th c, ph n o, mô un, s ph c
i và s ph c liên h p c a m i s ph c sau:
1) z = z1 + z 2 + z3 2) z = z1z2 + z 2 z3 + z3z1
3) z = z1z 2 z3 4) z = z1 + z 2 + z3
2 2 2
z1 z 2 z 3 z1 + z 2
2 2
5) z = + + 6) z =
z 2 z 3 z1 z 2 + z3
2
2
Bài 7. Tính z1 + z 2 , z1 − z 2 , z1.z 2 , z1 − 2z 2 , 2z1 + z 2 , bi t:
1) z1 = −5 + 6i, z 2 = 1 − 2i
2) z1 = 3 + 2i, z 2 = 4 − 3i
1 1 1
3) z1 = − + i, z 2 = − + i
2 3 2
Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
- Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng Facebook: LyHung95
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
Tài li u bài gi ng:
01. M UV S PH C – P2
Th y ng Vi t Hùng
5. CÁC PHÉP TOÁN V S PH C
5.1 Phép c ng, tr hai s ph c
♦ Cho hai s ph c z = a + bi và z’ = a’ + b’i
Khi ó s ph c w = z + z’ ư c tính b i : w = (a + a’) + (b + b’)i
♦ Tương t , s ph c u = z – z’ ư c tính b i : u = (a – a’) + (b – b’)i
Chú ý:
Phép c ng hai s ph c có y tính ch t như phép c ng hai s th c là tính giao hoán, k t h p.
♦ Tính ch t k t h p : ( z + z ' ) + z" = z + ( z ' + z" ) ∀z,z ' , z" ∈ »
♦ Tính ch t giao hoán : z + z ' = z ' + z∀z, z ' ∈ »
♦ C ng v i 0 : z + 0 = 0 + z = z∀z ∈ »
♦ V i m i s ph c z = a + bi (a, b ∈ » ) , n u kí hi u s ph c −a − bi là –z thì ta có
z + (− z) = (− z) + z = 0
S –z ư c g i là s i c a s ph c z
Ví d . Th c hi n phép c ng, tr các s ph c sau
1. z = 2+ 3i ; z’ = 5 – 2i
2. z = –5 + 2i ; z’ = 3i
3. z = 2 – 3i ; z’ = 2 – i
Hư ng d n gi i:
Áp d ng công th c z + z = (a + a ) + (b + b )i ; z − z ' = (a − a ' ) + (b − b ' )i , ta có
' ' '
1. z + z ' = (2 + 5) + (3 − 2)i = 7 + i ; z − z ' = (2 − 5) + (3 + 2)i = −3 + 5i
2. z + z ' = −5 + (3 + 2)i = −5 + 5i ; z − z ' = −5 + (2 − 3)i = −5 − i
3. z + z ' = (2 + 2) − (3 + 1)i = 4 − 4i ; z − z ' = (2 − 2) + (−3 + 1)i = −2i
5.2 Phép nhân hai s ph c
♦ Cho hai s ph c z = a + bi và z’ = a’ + b’i
Khi ó s ph c w = z.z’ ư c tính b ng công th c : w = aa’ – bb’ + (ab’ + a’b)i
Nh n xét :
V i m i s th c k và m i s ph c a + bi (a, b ∈ ») , ta có k(a + bi) = (k + 0i)(a + bi) = ka + kbi
0z = 0 v i m i s ph c z
Chú ý: Phép nhân các s ph c có y tính ch t như phép nhân các s th c
♦ Tính ch t giao hoán : z.z ' = z ' .z, ∀z, z ' ∈ »
♦ Tính ch t k t h p : (zz ' )z" = z(z ' z" ), ∀z, z ' , z" ∈ »
♦ Nhân v i 1 : 1.z = z.1 = z, ∀z ∈ »
♦ Tính ch t phân ph i c a phép nhân v i phép c ng
z ( z ' + z" ) = zz ' + zz" , ∀z, z ' , z" ∈ »
Ví d . Phân tích ra th a s s ph c các bi u th c sau
1. a2 + 1 2. 2a2 + 3
2 2
3. 4a + 9b 4. 3a2 + 5b2
Hư ng d n gi i:
S d ng i2 = –1 ta ư c
1. a 2 + 1 = a 2 − i 2 = (a − i)(a + i)
2. 4a 2 + 9b 2 = 4a 2 − 9b 2i 2 = (2a − 3bi)(2a + 3bi)
(
3. 2a 2 + 3 = 2a 2 − 3i 2 = a 2 − 3i a 2 + 3i )( )
Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
- Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng Facebook: LyHung95
( )( )
4. 3a 2 + 5bPDF Mergei and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
Simpo 2 = 3a 2 − 5b 2 2 = 3a + 5bi 3a − 5bi
5.3 Phép chia cho s ph c khác 0
1
♦ S ngh ch o c a s ph c z khác 0 là s z −1 = 2
z
z
z'
♦ Thương c a phép chia s ph c z’ cho s ph c z khác 0 là tích c a z’ v i s ph c ngh ch o c a z, t c là
z
'
z
= z ' z −1
z
z ' z ' z ( a − bi ) ( a + b i )
' '
V y = 2 = v i z≠0
z z ( a 2 + b2 )
Nh n xét :
1
• V i z ≠ 0, ta có = 1.z −1 = z −1
z
z'
• Thương là s ph c w sao cho zw = z’. Có th nói phép chia cho s ph c khác 0 là phép toán ngư c c a phép
z
nhân
• Th c ch t c a phép chia hai s ph c là nhân c t s và m u s v i bi u th c ph c liên h p c a m u s .
Ví d . Th c hi n phép chia các s ph c sau
1 −5 + 6i
1. z = 2. z =
(1 + i )( 4 − 3i ) 4 + 3i
7 − 2i 3 − 4i
3. z = 4. z =
8 − 6i 4−i
Hư ng d n gi i:
1 1 7−i 7−i 7 1
1. z = = = = 2 2 = − i
(1 + i )( 4 − 3i ) 7 + i (7 + i)(7 − i) 7 − i 50 50
−5 + 6i (−5 + 6i )(4 − 3i ) −2 + 39i −2 39
2. z = = = 2 = + i
4 + 3i (4 + 3i )(4 − 3i ) 4 + 32 25 25
7 − 2i (7 − 2i )(8 + 6i ) 68 + 26i 17 13
3. Tính z ′ = = = = + i
8 − 6i (8 − 6i)(8 + 6i) 82 + 62 25 50
7 − 2i 17 13 17 13
V y z = z′ = = + i= − i
8 − 6i 25 50 25 50
Nh n xét :
Ta cũng có th gi i câu này theo cách khác như sau (s d ng tính ch t c a s ph c):
7 − 2i 7 − 2i 7 + 2i (7 + 2i)(8 − 6i ) 17 13
z = = = = = − i
8 − 6i 8 − 6i 8 + 6i 82 + 6 2 25 50
3 − 4i (3 − 4i )(4 + i ) 16 − 13i 16 13
4. z = = = 2 = − i
4−i (4 − i )(4 + i ) 4 + 1 17 17
6. CÁC TÍNH CH T C A S PH C
♦ Cho s ph c z = x + yi , ba tính ch t sau c a s ph c ư c x p vào 1 nhóm:
Tính ch t 1: S ph c z là s th c ⇔ z = z
Ch ng minh:
Ta có : z = z ⇔ x + yi = x − yi ⇔ y = 0 ⇒ z = x . V y z là s th c.
Tính ch t 2: S ph c z là s o ⇔ z = −z
Ch ng minh:
Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
- Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng Facebook: LyHung95
Ta Simpo PDF Merge=and Split UnregisteredV y z là s - http://www.simpopdf.com
có : z = − z ⇔ x + yi − x + yi ⇔ x = 0 ⇒ z = yi . Version o.
Tính ch t 3: Cho s ph c z có s ph c liên h p z và module là |z|. Khi ó: zz = z
2
z z = ( x + yi )( x − yi ) = x 2 − y 2i 2 = x 2 + y 2
z z = z
→
2
( )
Ch ng minh: 2 2
z = x +y =x +y
2 2 2 2
♦ Cho 2 s ph c z1 = x1 + y1i ; z2 = x2 + y2i, ba tính ch t ti p theo ư c x p vào nhóm liên h p:
Tính ch t 4: z1 + z2 = z1 + z2
Ch ng minh:
z1 + z2 = ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 )i = ( x1 + x2 ) − ( y1 + y2 )i
z1 + z2 = z1 + z2
→
z1 + z2 = x1 − y1i + x2 − y2i = ( x1 + x2 ) − ( y1 + y2 )i
Tính ch t 5: z1z 2 = z1.z 2
Ch ng minh:
z1 z2 = ( x1 + y1i )( x2 + y2i) = ( x1 x2 − y1 y2 ) + ( x1 y2 + x2 y1 )i = ( x1 x2 − y1 y2 ) − ( x1 y2 + x2 y1 )i
z1 z2 = z1 .z2
→
z1.z2 = ( x1 − y1i )( x2 − y2i ) = ( x1 x2 − y1 y2 ) − ( x1 y2 + x2 y1 )i
z z
Tính ch t 6: 1 = 1
z2 z2
Ch ng minh:
z x + y i ( x x + y y ) − ( x y − x y )i x x + y y x y2 − x2 y1
1 = 1 1 = 1 2 1 2 1 2 2 1
=
1 2 1 2
+ 1 2 i
z2 x2 + y2i x2 + y2 x2 + y2 x2 + y2 z z
2 2 2 2 2
1 = 1
→
z1 x1 − y1i ( x1 − y1i )( x2 + y2i ) x1 x2 + y1 y2 x1 y2 − x2 y1 z2 z2
z = = = + i
2 x2 − y2i ( x2 − y2i )( x2 + y2i ) x2 + y2 x2 + y2
2 2 2 2
Nh n xét :
Ngoài cách ch ng minh c i n trên thì ta có th s d ng ngay m t “thành qu ” ã ch ng minh ư c là tính ch t s 5.
z
Th t v y, t z = 1 ⇒ z1 = z.z2
z2
z1 z z
Theo tính ch t 5 ta có: z1 = z.z2 = z.z2 ⇒ z = , hay 1 = 1 .
z2 z2 z2
♦ Cho 2 s ph c z1 = x1 + y1i ; z2 = x2 + y2i, ba tính ch t ti p theo ư c x p vào nhóm module:
Tính ch t 7: z1z 2 = z1 z 2
Ch ng minh:
z1 z2 = ( x1 + y1i )( x2 + y2i) = ( x1 x2 − y1 y2 ) + ( x1 y2 + x2 y1 )i
⇒ z1 z2 = ( x1 x2 − y1 y2 )2 + ( x1 y2 + x2 y1 )2 = ( x1 x2 ) 2 + ( x1 y2 ) 2 + ( x2 y1 ) 2 + ( y1 y2 )2 , (1)
z1 z2 = x12 + y12 . x2 + y2 = ( x1 x2 )2 + ( x1 y2 )2 + ( x2 y1 )2 + ( y1 y2 ) 2 , (2)
2 2
T (1) và (2) ta có ( pcm)
z z
Tính ch t 8: 1 = 1
z2 z2
Ch ng minh:
z1 x + yi ( x + y i )( x − y2 i) ( x x + y1 y2 ) + ( x2 y1 − x1 y2 )i
= 1 1 = 1 1 2 = 1 2
z2 x2 + y2i ( x2 + y2i )( x2 − y2i ) x2 + y2
2 2
(x + y12 )( x2 + y2 )
2
x x + y1 y2 x2 y1 − x1 y2
2 2 2 2
z x12 + y12
⇒ 1 = 1 2 + 2 = =
1
(1)
x2 + y2 ( x2 + y2 ) ( x22 + y22 ) x2 + y2
2 2 2 2 2 2
z2
Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
- Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng Facebook: LyHung95
Nh n xét :
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
z1
Tương t như nh n xét ã nêu tính ch t 6, ta t z= ⇒ z1 = z.z2
z2
z1 z1 z
Theo tính ch t 7 ta có: z1 = z.z2 = z . z2 ⇒ z = , hay = 1 .
z2 z2 z2
Tính ch t 9: z1 + z2 ≤ z1 + z2
Ch ng minh:
z1 + z2 ≤ z1 + z2 ⇔ ( x1 + x2 ) 2 + ( y1 + y2 )2 ≤ x12 + y12 + x2 + y2
2 2
⇔ ( x1 + x2 ) 2 + ( y1 + y2 )2 ≤ x12 + x2 + x2 + y2 + 2 ( x12 + y12 )( x2 + y2 )
2 2 2 2 2
⇔ ( x1 x2 + y2 y1 ) ≤ ( x1 x2 ) 2 + ( x2 y1 ) 2 + ( x1 y2 )2 + ( y1 y2 ) 2
2
⇔ ( x1 y2 − x2 y1 ) 2 ≥ 0
Ví d 1. Th c hi n các phép tính sau :
7 − 2i
a. z = b. z = (1 + i)(3 − 2i) c. z = (2 + 3i ) + (1 − i )
8 − 6i
1+ i
d. z = e. z = (5 + i)(2 − 3i)
1− i
Hư ng d n gi i:
7 − 2i 7 − 2i 7 + 2i (7 + 2i)(8 − 6i ) 17 13
a. z = = = = = − i
8 − 6i 8 − 6i 8 + 6i 82 + 6 2 25 50
b. z = (1 + i )(3 − 2i ) = 1 + i 3 − 2i = 12 + 12 . 32 + 22 = 26
c. z = (2 + 3i ) + (1 − i ) = 2 + 3i + 1 − i = 2 − 3i + 1 + i = 3 − 2i
1+ i 1+ i 1+1
d. z = = = =1
1− i 1− i 1+1
e. z = (5 + i )(2 − 3i) = 5 + i.2 − 3i = (5 − i )(2 + 3i ) = 13 + 13i
Ví d 2. Tính module c a các s ph c sau
z
a. z(1 + 2i) = −1 + 3i = 3 + 2i b.
−1 + 3i
z 2+i −1 + 3i
c. − (1 + 2i ) = 5 − 6i d. z=
2 + 3i 1− i 2+i
Hư ng d n gi i:
Áp d ng các l p tính ch t liên quan n module ta có:
10
a. z(1 + 2i) = −1 + 3i ⇒ z(1 + 2i) = −1 + 3i ⇔ z . 1 + 2i = 10 ⇒ z = = 2
5
z z z
b. = 3 + 2i ⇒ = 3 + 2i ⇔ = 13 ⇒ z = 13. 10 = 130
−1 + 3i −1 + 3i −1 + 3i
z z z z
c. − (1 + 2i ) = 5 − 6i ⇔ = 6 − 4i ⇒ = 6 − 4i ⇔ = 52 = 2 13 ⇒ z = 26
2 + 3i 2 + 3i 2 + 3i 2 + 3i
2+i −1 + 3i 2+i −1 + 3i 2+i −1 + 3i 5 10 2 5
d. z= ⇒ z= ⇔ .z = ⇔ .z = ⇒z=
1− i 2+i 1− i 2+i 1− i 2+i 2 5 5
Ví d 3. Tìm s ph c z bi t z + 2 z = ( 2 − i ) (1 − i ) (1)
3
Hư ng d n gi i:
Gi s z = a + bi ⇒ z = a − bi
(1) ⇔ a + bi + 2(a − bi ) = (23 + 3.22 i + 3.2i 2 + i 3 )(1 − i )
⇔ a + bi + 2a − 2bi = (8 + 12i − 6 − i)(1 − i ) = (11i + 2)(1 − i)
Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
- Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng Facebook: LyHung95
Simpo PDF Merge and Split Unregistered a = 13 http://www.simpopdf.com
Version - 13
3 a = 13
⇔ 3a − bi = 11i − 11i 2 + 2 − 2i = 13 + 9i ⇔ ⇔ 3 ⇒ z = − 9i
−b = 9 b = −9 3
z1 + z2
Ví d 4. Cho z1 = 2 + 3i, z2 = 1 + i . Tính z1 + 3 z2 ; ; z13 + 3 z2
z2
Hư ng d n gi i:
+) z1 + 3 z2 = 2 + 3i + 3 + 3i = 5 + 6i ⇒ z1 + 3z2 = 52 + 62 = 61
z1 + z2 3 + 4i ( 3 + 4i )(1 − i ) 7 + i z1 + z2 49 1 5 2
+) = = = ⇒ = + =
z2 1+ i 1 − i2 2 z2 4 4 2
+) z13 + 3z2 = 8 + 36i + 54i 2 + 27i 3 − 3 − 3i = −49 + 6i ⇒ z13 + 3z2 = 2437
Ví d 5. Tìm s ph c z bi t: z + 3 z = ( 3 − 2i ) ( 2 + i ) (1)
2
Hư ng d n gi i:
Gi s z = a + bi, ta có:
(1) ⇔ a − bi + 3a + 3bi = ( 9 − 12i + 4i 2 ) ( 2 + i ) = ( 5 − 12i ) . ( 2 + i )
11 −19 11 19
⇔ 4a + 2bi = 10 − 24i + 5i − 12i 2 = 22 − 19i ⇔ a = ;b = .V y z= − i
12 2 2 2
Ví d 6. Tìm ph n o c a z bi t: z + 3 z = ( 2 + i ) ( 2 − i ) (1)
3
Hư ng d n gi i:
Gi s z = a + bi
(1) ⇔ a + bi + 3a − 3bi = ( 8 + 12i + 6i 2 + i 3 ) ( 2 − i ) = ( 2 + 11i ) . ( 2 − i )
15
⇔ 4a − 2bi = 4 − 2i + 22i − 11i 2 = 20i + 15 ⇔ a = ; b = −10 .
4
V y ph n o c a z b ng -10
(1 − i 2) (1 + i )
2
Ví d 7. Tìm mô un c a z bi t z + 2 z = (1)
2−i
Hư ng d n gi i:
(1 − i 2) (1 + 2i + i 2 ) 2i − 2 2i 2
(1) ⇔ a + bi + 2a − 2bi = =
2−i 2−i
(2i + 2 2) ( 2 + i ) i (4 + 2 2) + 4 2 − 2
⇔ 3a − bi = =
4−i 2
5
4 2 −2 −4 − 2 2
⇔a= ;b =
15 5
32 + 4 − 16 2 + 144 + 72 + 144 2 225 + 128 2
⇒ z = =
225 15
5( z + i )
Ví d 8. (A +A1 năm 2012) Cho s ph c z th a mãn = 2 − i (1)
z +1
Tính mô un c a s ph c ω = 1 + z + z 2 .
Hư ng d n gi i:
Gi s z = a + bi
Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
- Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng Facebook: LyHung95
Simpo 5(a − bi + i) = 2and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
(1) ⇔
PDF Merge − i
a + bi + 1
⇔ 5a − 5i(b − 1) = 2a + 2bi + 2 − ai − bi 2 − i
⇔ 3a − 2 − b − i (5b − 5 − 2b + a + 1) = 0
3a − 2 − b = 0 a = 1
⇔ ⇒ ⇒ z =1+ i
3b + a − 4 = 0 b = 1
ω = 1 + 1 + i + 1 + 2i − 1 = 2 + 3i ⇒ ω = 4 + 9 = 13
2(1 + 2i)
Ví d 9. (D - 2012) Cho s ph c z th a mãn: (2 + i ) z + = 7 + 8i (1)
1+ i
Tìm mô un c a s ph c ω = z + 1 + i
Hư ng d n gi i:
Gi s z = a + bi
2(1 + 2i )
(1) ⇔ (2 + i )(a + bi) + = 7 + 8i
1+ i
2(1 + 2i )(1 − i)
⇔ 2a + 2bi + ai + bi 2 + = 7 + 8i
1 + i2
2a − b + 3 = 7 a = 3
⇔ 2a + 2bi + ai − bi + 1 − i + 2i − 2i 2 = 7 + 8i ⇔ ⇔
2b + a + 1 = 8 b = 2
Do ó ω = 3 + 2i + 1 + i = 4 + 3i ⇒ ω = 16 + 9 = 5 .
Ví d 10. (A - 2011) Tìm t t c các s ph c z, bi t z 2 = z + z (1)
2
Hư ng d n gi i:
(1) ⇔ ( a + bi ) = a + b + a − bi ⇔ a + b i + 2abi = a 2 + b 2 + a − bi
2 2 2 2 2 2
1 1
a = − 2 ;b = 2
2b 2 + a = 0
⇔ 2b + a − bi − 2abi = 0 ⇔
2
⇔ b = 0; a = 0
b + 2ab = 0 −1 −1
a = ; b =
2 2
−1 1 −1 1
V y z = 0; z = + i; z = − i
2 2 2 2
Ví d 11. (A - 2011) Tính mô un c a s ph c z bi t (2 z − 1)(1 + i ) + ( z + 1)(1 − i) = 2 − 2i (1)
Hư ng d n gi i:
(1) ⇔ (2a + 2bi − 1))(1 + i ) + (a − bi + 1)(1 − i ) = 2 − 2i
⇔ 2a + 2ai + 2bi + 2bi 2 − 1 − i + a − ai − bi + bi 2 + 1 − i = 2 − 2i
⇔ 3a − 3ba + ai + bi − 2i = 2 − 2i
1
3a − 3b = 2 a = 3
1 1 2
⇔ ⇔ Suy ra z = + = .
a + b − 2 = −2 b = −1 9 9 3
3
BÀI T P T LUY N
Bài 1: Tính module và s ph c liên h p c a m i s ph c z sau :
Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
- Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng Facebook: LyHung95
Simpo 5i)(3 Merge and Split Unregistered Version - 2. (1 + i ) z + 3 = 2i − 4z
1. z = (2 − PDF + i) http://www.simpopdf.com
1 3i − 7
3. z = 4. z =
(3i + 4)(2 − i) 10 + i
5. z(2 + 3i) = 4 + 5i 6. (1 + 2i)z = ( −1 + 3i)(2 + i)
3 + 7i 5 − 8i
7. (1 − 3i ) z + ( 4 + 3i ) = 7 − 5i 8. z = +
2 + 3i 2 − 3i
3 − 4i
9. z = (1 + 2i)(2 − 4i) 10. z =
2−i
7+i
11. z = 12. z = (2 − i)( −3 + 2i)(5 − 4i)
2−i
5 + 5i 20 (3 − 2i)(4 + 3i)
13. z = + 14. z = + 5 − 4i
3 − 4i 4 + 3i 1 − 2i
2 + 3i
15. z =
( 4 + i )( 2 − 2i )
Bài 2. Tìm s ph c z bi t
( 2 − i )3
a) z = b) z.z + 3( z − z ) = 1 − 4i c) z −1 = 1 − 2i
1 + 2i
Bài 3. Tính mô- un c a s ph c z bi t
1 − i (2 − 3i ) z
a) = 2
+2−i
z z
1 + 2i − (1 − i )3
b) Cho s ph c z1 = 4 − 3i + (1 − i )3 ; z2 = . Tính mô- un c a s ph c z = z1 .z2
1+ i
(1 − 3i ) . Tín mô- un c a s
3
c) Cho s ph c z= ph c z + iz.
1− i
Bài 4: Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c z = (−1 + 3i)2012 + (1 + 3i)2012
Bài 5: Cho s ph c z + 1 = i 2013 + i 2012 . Tìm z ' bi t z ' = z + iz
Bài 6. Tìm s ph c z th a mãn các h th c sau:
a) z 2 = 2 z b) z 2 − z + 1 = 0
2
( z)2 + i
c) z 2 + z = 0 d) =i
z +1
Bài 7. Tìm s ph c z th a mãn các h th c sau:
z + z i( z − z)
a) − = 4 + 6i b) ( z + z )(1 + i) + ( z − z )(2 + 3i) = 4 − i
1+ i 2 − 2i
c) z 2 + 2 z = 0 d) z 2 + i z = 0
Bài 8. Tìm s ph c z th a mãn các h th c sau:
z −8
2
9
a) z + z =
2
b) z − 3i = 1 − i z và z − là s thu n o.
z z
z −1
c) z = ( z + 1)(1 + i) + d) z − 1 = z + 3 và z + z 2 = 2
2 2
1− i
Bài 9. Tìm s ph c z th a mãn các h th c sau:
Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
- Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng Facebook: LyHung95
z =
Simpo2PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
a) b) z 2 + z z − 2 = 0
z + 2iz = 2
35
c) 4 z + (1 + 3i) z = 25 + 21i d) 2 z 2 + 4 z − 5 z =
8
Bài 10. Tìm s ph c z th a mãn các h th c sau:
z + 3 + z − 3 = 10
a) z = 2 z 2 ( z − 5) c) iz 2 + z + 1 = 0
4
b)
2 z + 3i = 109
Bài 11. Tìm s ph c z th a mãn (1 − 3i ) z là s th c và z − 2 + 5i = 1 .
( z − 2 z )(−1 − 6i) 37(1 − i ) z
Bài 12. Tìm s ph c z bi t: = .
1+ i 10
Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
nguon tai.lieu . vn