Xem mẫu
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
10. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG BẬC Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 2x2 4xy+ y = 1 3x +2xy+2y = 7
Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải hệ phương trình x2 +2xyy 3y= 0
Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải hệ phương trình x3
8x y+ 2y 3= 3(y+ 1)
x3 +4y = y3 +16x Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 1+ y2 = 5(1+ x2 )
2y x2 y2 = 3x
Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
x x2 + y2 =10y
Ví dụ 6: [ĐVH]. Giải hệ phương trình x2 (1+ y2 )= 2
x2 y2 + xy = 3x2 1
2 2
Ví dụ 7: [ĐVH]. Giải hệ phương trình x2 4xy+ 5y= 5 (2)
Hướng dẫn giải: Lấy (1) nhân 5 và (2) nhân 9 ta được phương trình đồng bậc
5(x2 2xy+ 3y2 = 9(x2 4+xy 5yÛ 4x2 2+6xy 30=y2 Û0 (x 5y)(2x= 3Ûy 0
x = 5y
2x = 3y
x = 5y thay vào (1) ta có 18y2 = 9 Û y2 = 1 Û y = ± 2 tương ứng x = ± 522 . Với x = 3y thay vào (1) ta có y2 = 4 Û y = ±2 tương ứng x = ±3.
Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là 522 ; 2 ;
5 2
2
2 ; (3;2); ( 3; 2).
Ví dụ 8: [ĐVH]. Giải hệ phương trình x2 y+ y2x = 30 (1)
Hướng dẫn giải:
Phương trình này là phương trình đối xứng loại một tuy nhiên chúng ta cũng có thể giải theo phương pháp đồng bậc.
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Lấy (1) nhân 7 và (2) nhân 6 ta được phương trình đồng bậc
7(x2 y+ y2x)= 6(x3 + y3 )Û 6x3 7x2 y 7y2x 6=y3 Û0 +(x y)(2x 3y)(3x= 2Ûy 0=
x = y thay vào (2) suy ra vô nghiệm.
x = y
x 3 y Với
x = 3 y
+) Với x = 3 y thay vào (2) ta có y3 =8 Û y = 2suy ra x = 3.
+) Với x = 2 y thay vào (2) ta có y3 = 27 Û y = 3suy ra x = 2.
Vậy hệ có nghiệm là (x; y)={(3;2), (2;3)}.
Ví dụ 9: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 2 2x2 y = y2 2+2 3, (1) x3 2y= y 2x, (2)
Hướng dẫn giải: Điều kiện: 2x2 ³ y2.
Ta có (1) Û (2x2 y2+) 2 2x2 y2 = 3Û0 2x2 2x2
y2 1 2x2 y2 1. y = <3 0
Khi đó (2) Û x3 2y= (y 2x)Û.1 x3 =2y3 (y 2x).(x2 2y2 ) Û x3 2y= 2x2 y 4x3 +y3 2Ûxy2 5x3 2x2 y 2x=y2 y3 0, (*)
Do y = 0 không thỏa mãn (*) nên chia (*) cho y ¹ 0 ta được
3 2
5 y 2 y
2 x = 1 0. Đặt t = x ta có phương trình 5t3 2t2 2t= 1 0
Û (t 1)(5t+ 3+t 1)= 0Û
t =1
5t2 +3t +1= 0 vno
x = 0 y = 0
Với t =1 x = y. Thay vào (2) ta được x3 = 0Û = 1 y = 1 x =1 y =1
Đối chiếu với điều kiện ban đầu ta được x = y = 1 và x = y = 1 thỏa mãn hệ phương trình. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là (x;y)={(1;1),( 1; 1)}.
Ví dụ 10: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
Điều kiện của phương trình x ³ y ³ 0
x+ y + x y= 2 y (1) x + 5y = 3 (2)
Hướng dẫn giải:
Phương trình (1) của hệ là phương trình đồng bậc
x+ y + x y 2 yÛ 2x+2 x2 y2 4y x2 y2 2y x
2y x³ 0
x2 y= (2y x)2
2y ³ x
Û 5y2 4xy= 0 Û 5y 4x 0
Với y = 0 thay vào (2) ta suy ra x = 9 (loại)
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Với 5y 4x= 0 thay vào (2) ta có x =1Û x =1 y = 4 (thỏa mãn).
Vậy hệ phương trình có nghiệm là 1;4.
x2 + xy+ y2 = 3 Ví dụ 11: [ĐVH]. Giải hệ phương trình x5 + y5 31
x3 + y3 7
Hướng dẫn giải: Điều kiện của phương trình x ¹ y
x2 + xy+ y2 = 3 x2 + xy+ y2 = 3 (1) x5 + y5 = 31 7(x5 + y5 )= 31(x3 + y3 ) (2)
Lấy (2) nhân 3 kết hợp với (1) ta được phương trình đồng bậc
21 x5 + y5 = 31 x2 + xy + y2 x3 + y3 Û10x5 +31x4 y+31x3 y2 +31xy4 +10y4 = 0 (3).
Rõ ràng x = y = 0 không phải là nghiệm hệ phương trình. Đặt x = ty thay vào (3) ta được: y5 (10t5 +31t4 +31t3 +31t +10)= 0 Û10t5 +31t4 +31t3 +31t +10 = 0
Û (t +1)(10t4 +21t3 +10t2 +21t +10)= 0 Û 101 +21 3 +10t2 +21 +10 = 0 Với t +1= 0 Û t = 1 hay x = yÛ x+ y= 0 (loại).
Với 10t4 +21t3 +10t2 +21t +10 = 0 (3). Vì t = 0 không phải là nghiệm của phương trình (3) chia hai vế
phương trình cho t2 ta được: 10t2 + 1 +21t +1+10 = 0,
Đặt u = t +1 u ³ 2; u2 = t2 + 1 +2 t2 + 1 = u2 2. Khi đó (3) trở thành
10u2 +21u 10= 0Û u = 5 (loại) u = 2
+) Với u = 5 ta có t +1 =
5
2
2t+ 5+t 2= 0Û
t =
t =
2 1
2
+) Với t = 2 ta có x = 2y thế vào (1) ta có 3y2 = 3Û y2 =1Û y = ±1 tương ứng x = ∓2. +) Với t = 1 ta có y = 2x thế vào (1) ta có 3x2 = 3Û x2 =1Û x = ±1 tương ứng y = ∓2.
Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm là (1; 2), ( 1;2), (2; 1), ( 2;1).
3 4
Ví dụ 12: [ĐVH]. Giải hệ phương trình x2 y+2xy2 + y3 = 9 Hướng dẫn giải:
3 4 y x3 y3 = 7 1
Ta có hệ tương đươnng với
x y 2xy y 9 y x+ y = 9 2
Từ hệ suy ra x.y ¹ 0; x ¹ ±y, y > 0.
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Lấy phương trình (1) lũy thừa ba, phương trình (2) lũy thừa bốn. Lấy hai phương trình thu được chia cho nhau ta thu được phương trình đồng bậc: yy(xx+ y3 )3 = 93 . Đặt x = ty ta được phương
3 3 3 trình: (t +1)8 = 94
(3). Từ phương trình này suy ra t >1.
Xét f (t)= (t +1)3 ; ∀t >1.
f`(t)= 9t2 (t3
1)2 (+ 1)8 8+t 1)7 (t3 (t +1)8
1)3 = (t3 1+ 2 (t
1)+ 9t3 9t+ 8t3 8) (t +1)8
= (t3
1)2 (+t 1)7 (t+ (t +1)8
9t+ 8)> 0 ∀t >1
Vậy f(t) đồng biến với mọi t >1. Nhận thấy t = 2 là nghiệm của (3). Vậy t = 2 là nghiệm duy nhất. Với t = 2 ta có x = 2y thế vào (1) ta được y4 =1Û y =1 (vì y > 0) suy ra x = 2.
Vậy hệ có nghiệm là (2;1).
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau y2 x
3xy= 4
4xy+ y = 1
Bài 2: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau 3x2 +2xy+ y2 =11 x +2xy+3y =17
Bài 3: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau 9x2 +11yy 48x=
3
6
Bài 4: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau 2x++3xy + y ==15
Bài 5: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau 6x2
xy 2y= 56
xy y= 49
Bài 6: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau x2 x
2xy+ 3y = 9
4xy+ 5y = 5
Bài 7: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau 2x++2xy+ y2 = 2
Bài 8: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau xx2 2xy+ y3y=y9 0
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
y (2x2 y2 = 1 Bài 9: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau
y x2 + y2 = 2
Bài 10: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau x2 +2y+= y + 2x
Bài 11: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau 4x++ 2y == 3 Bài 12: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau xx+ yx+xy= 1 Bài 13: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau 2y+ x3= 3xy2 y2
2 2
Bài 14: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau x3 + y3 + xy2 = x+2y
Bài 15: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau x+ y = 2xy3 2x y 3x y
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
...
- tailieumienphi.vn
nguon tai.lieu . vn