Xem mẫu
- Trường THPT Phan Châu Trinh ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010
ĐÀ NẴNG Môn thi: TOÁN – Khối B
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Đề số 12
I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = x 4 - 2 m 2 x 2 + m 4 + 2 m (1), với m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi m < 0 .
Câu II (2 điểm):
æ pö
2sin ç 2 x + ÷ + 4 sin x = 1
1) Giải phương trình:
6ø
è
ì2 y - x = m
2) Tìm các giá trị của tham số m sao cho hệ phương trình í có nghiệm duy nhất.
î y + xy = 1
( x - 1)2
Câu III (1 điểm): Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = .
( 2 x + 1)4
Câu IV (1 điểm): Cho khối tứ diện ABCD. Trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho
BC = 4 BM , BD = 2 BN và AC = 3 AP . Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD làm hai phần. Tính tỉ số thể
tích giữa hai phần đó.
Câu V (1 điểm): Với mọi số thực dương x; y; z thỏa điều kiện x + y + z £ 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
æ 1 1 1ö
P = x + y + z + 2ç + + ÷ .
è x y zø
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
2 x log4 x = 8log2 x
1) Giải phương trình: .
x -1
2) Viết phương trình các đường thẳng cắt đồ thị hàm số y = tại hai điểm phân biệt sao cho hoành độ và tung
x -2
độ của mỗi điểm đều là các số nguyên.
()
Câu VII.a (1 điểm): Trong mặt phẳ ng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳ ng d : 2 x - y - 4 = 0 . Lập phương trình đường
tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng (d).
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
2 (1 + log 2 x ) log 4 x + log8 x < 0
1) Giải bất phương trình:
2) Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 + ( m - 5 ) x 2 - 5mx có điểm uốn ở trên đồ thị hàm số y = x 3 .
( )( )( )
Câu VII.b (1 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A -1;3; 5 , B -4;3; 2 , C 0; 2;1 . Tìm tọa độ
tâm đường tròn ngoạ i tiếp tam giác ABC.
============================
Trần Sĩ Tùng
- Hướng dẫn:
I. PHẦN CHUNG
Câu I: 2) Phương trình HĐGĐ của đồ thị (1) và trục Ox: x 4 - 2m 2 x 2 + m 4 + 2 m = 0 (*).
( )
2
Đặt t = x t ³ 0 , ta có : t 2 - 2 m 2 t + m 4 + 2 m = 0 (**)
Ta có : D ' = -2 m > 0 và S = 2 m2 > 0 với mọi m < 0 . Nên PT (**) có nghiệm dương.
Þ PT (*) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt (đpcm).
Câu II: 1) PT Û 3 sin 2 x + cos 2 x + 4sin x - 1 = 0 Û 2 3 sin x cos x - 2sin 2 x + 4sin x = 0 .
éæ pö 5p
é
( ) êsin ç x - ÷ = 1 Û ê x =
ésin x - 3 cos x = 2 + k 2p
Û 2 3 cos x - sin x + 2 sin x = 0 Û ê Û 3ø 6
êè
ësin x = 0 ê x = kp
ê x = kp ë
ë
ìy £ 1
ì2 y - x = m (1) ï
2
1
. Từ (1) Þ x = 2 y - m , nên (2) Û 2 y - my = 1 - y Û í (vì y ¹ 0)
2) í
m = y- +2
î y + xy = 1 (2) ï y
î
1 1
Xét f ( y ) = y - + 2 Þ f ' ( y ) = 1 + >0
y y2
Dựa vào BTT ta kết luận được hệ có nghiệm duy nhất Û m > 2 .
2 3
1 æ x - 1 ö æ x - 1 ö¢ 1 æ x -1 ö
Câu III: Ta có: f ( x ) = . ç ÷ Þ F (x) = ç
÷ .ç ÷ +C
3 è 2x +1 ø è 2x +1 ø 9 è 2x +1 ø
Câu IV: Gọi T là giao điểm của MN với CD; Q là giao điểm của PT với AD.
TD DD ' 1
Vẽ DD¢ // BC, ta có: DD¢=BM Þ
= =.
TC MC 3
TD AP 1 QD DP CP 2
= Þ AT P DP Þ
= = = =
Mà:
TC AC 3 QA AT CA 3
VA.PQN AP AQ 1 3 1 1
. = . = Þ VA.PQN = VABCD
=
Nên: (1)
VA.CDN AC AD 3 5 5 10
VC .PMN CP CM 2 3 1 1
. = . = Þ VABMNP = VABCD
=
Và: (2).
VC . ABN CA CB 3 4 2 4
7
Từ (1) và (2), suy ra : VABMNQP = V .
20 ABCD
7 13
Kết luậ n: Tỉ số thể tích cần tìm là hoặc .
13 7
2 1
Câu V: Áp dụng BĐT Cô-si ta có: 18 x + ³ 12 (1). Dấu bằng xảy ra Û x = .
3
x
2 2
Tương tự: 18y + ³ 12 (2) 18z + ³ 12 (3).
và
y z
1
( )
Mà: -17 x + y + z ³ -17 (4). Cộng (1),(2),(3),(4), ta có: P ³ 19 . Dấu "=" xảy ra Û x = y = z =
3
1
Vậy GTNN của P là 19 khi x = y = z = .
3
II. PHẦN TỰ CHỌN
1. Theo chương trình chuẩn
ìt = log2 x
ìt = log2 x éx = 2
ï
Câu VI.a: 1) Điều kiện : x > 0 . PT Û 1 + log2 x log4 x = 3 log 2 x Ûí2 Û íé t = 1 Ûê
ëx = 4
ît - 3t + 2 = 0 ïê t = 2
îë
Trần Sĩ Tùng
- 1
2) Ta có: y = 1 + . Do đó: x , y Î Z Û x - 2 = ±1 Û x = 3, x = 1
x -2
Suy ra tọa độ các điểm trên đồ thị có hoành độ và tung độ là những số nguyên là A (1; 0 ) , B ( 3; 2 )
Kết luậ n: Phương trình đường thẳ ng cần tìm là: x - y - 1 = 0 .
( ) ()
Câu VII.a: Gọi I m; 2 m - 4 Î d là tâm đường tròn cần tìm.
4
Ta có: m = 2m - 4 Û m = 4, m = .
3
2 2
4 4ö æ 4 ö 16
æ
· m = thì phương trình đường tròn là: çx - ÷ +çy+ ÷ = .
3 3ø è 3ø 9
è
2 2
( ) + ( y - 4)
· m = 4 thì phương trình đường tròn là: x - 4 = 16 .
2. Theo chương trình nâng cao
t
Câu VI.b: 1) Điều kiện : x > 0 . Đặt t = log 2 x , ta có : (1 + t ) t +
nguon tai.lieu . vn
