Xem mẫu
- NGUY N ð C TU N
T ÔN LUY N THI
MÔN
MÔN TOÁN
Hà n i, 1 - 2005
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Chương 1: Phương trình và b t phương trình
Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH B C NH T VÀ B C HAI
I. Cách gi i
ax + b = 0, a,b ∈ IR.
1) Phương trình b c nh t:
b
N u a ≠ 0 thì phương trình có nghi m duy nh t x = -
• .
a
• N u a = 0, b ≠ 0 thì phương trình vô nghi m.
• N u a = b = 0 thì phương trình nghi m ñúng v i m i x ∈ IR.
ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0.
2) Phương trình b c hai:
• N u ∆ = b – 4ac < 0 phương trình vô nghi m.
2
b
• N u ∆ = 0 phương trình có nghi m kép x1 = x 2 = - .
2a
−b± ∆
• N u ∆ > 0 phương trình có hai nghi m phân bi t x 1, 2 = .
2a
II. ð nh lí Viét và h qu v d u các nghi m
1) ð nh lí Viét : N u phương trình ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 có hai nghi m x1 , x 2 thì
b c
S = x1 + x 2 = - và P = x1.x 2 = .
a a
2) H qu : Phương trình b c hai ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 có hai nghi m:
∆ ≥ 0
c
0
a
∆ ≥ 0 ∆ ≥ 0
c c
Cùng dương ⇔ > 0 Cùng âm ⇔ > 0
a a
b b
− a > 0 − a < 0
III. ð nh lí v d u c a tam th c b c hai
Cho tam th c b c hai f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 ta có
1. ð nh lí thu n:
• N u ∆ = b2 – 4ac < 0 thì a.f(x) > 0 v i ∀ x.
b
• N u ∆ = 0 thì a.f(x) > 0 v i ∀ x ≠ - .
2a
• N u ∆ > 0 khi ñó f(x) có hai nghi m phân bi t x1 < x2 và
a.f(x) > 0 v i x ngoài [ x1 ; x 2 ] .
a.f(x) < 0 v i x1 < x < x 2 .
2. ð nh lí ñ o: N u t n t i s α sao cho a.f( α ) < 0 thì tam th c có hai nghi m phân bi t
và s α n m trong kho ng hai nghi m ñó: x1 < α < x 2 .
1
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
IV. ng d ng
1. ði u ki n ñ f(x) = ax2 + bx + c không ñ i d u v i m i x
a = b = 0 a = b = 0
c > 0 c ≥ 0
f(x) ≥ 0 v i ∀ x ⇔
f(x) > 0 v i ∀ x ⇔
a > 0 a > 0
∆ < 0 ∆ ≤ 0
a = b = 0 a = b = 0
c < 0 c ≤ 0
f(x) ≤ 0 v i ∀ x ⇔
f(x) < 0 v i ∀ x ⇔
a < 0 a < 0
∆ < 0 ∆ ≤ 0
2. So sánh nghi m tam th c b c hai v i s th c α
ði u ki n ñ f(x) có hai nghi m phân bi t và x1 < α < x 2 là: a.f( α ) < 0.
•
• ði u ki n ñ f(x) có hai nghi m phân bi t và α n m ngoài kho ng hai
∆ > 0
nghi m:
a.f (α) > 0
∆ > 0
- N u α n m bên ph i hai nghi m: x1 < x 2 < α ⇒ a.f (α ) > 0
S b
=− 0
- N u α n m bên trái hai nghi m: α < x1 < x 2 ⇒ a.f (α ) > 0
S b
=− >a
2 2a
• ði u ki n ñ f(x) có hai nghi m phân bi t và m t nghi m n m trong, m t nghi m
f( α ).f( β ) < 0.
n m ngoài ño n [ α; β ] là:
3. ði u ki n ñ f(x) có nghi m th a mãn x > α :
• Trư ng h p 1: f(x) có nghi m x1 < α < x 2 ⇔ a.f( α ) < 0.
∆ ≥ 0
• Trư ng h p 2: f(x) có nghi m α < x1 < x 2 ⇔ a.f (α) > 0
S
α <
2
f (α ) = 0
• Trư ng h p 3: f(x) có nghi m α = x1 < x 2 ⇔ S
α < 2
( Làm tương t v i trư ng h p x < α và khi x y ra d u b ng)
Ngoài ra ta chú ý thêm ñ nh lí sau: Gi s hàm s y = f(x) liên t c. Khi ñó ñi u ki n ñ
phương trình f(x) = m có nghi m là minf(x) ≤ m ≤ maxf(x).
2
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
B ng tóm t t ñ nh lý thu n v d u c a tam th c b c hai
N u ∆0
a.f(x) > 0 v i x ngoài [ x1 ; x 2 ]
a.f(x) > 0 v i ∀ x b
a.f(x) > 0 v i ∀ x ≠ -
a.f(x) < 0 v i x1 < x < x 2
2a
B ng tóm t t so sánh nghi m tam th c b c hai v i s th c α
ði u ki n ñ f(x) = ax2 + bx + c có hai nghi m phân bi t và
α n m gi a kho ng hai nghi m α n m ngoài kho ng hai nghi m
x1 < α < x 2
∆ > 0
a.f (α ) > 0
x1 < x 2 < α x1 < x 2 < α
a.f( α ) < 0
∆ > 0 ∆ > 0
a.f (α ) > 0 a.f (α ) > 0
S S
b b
=− a
2 2
2a 2a
1. Tìm m ñ phương trình x 2 − 2( m + 4) x + m 2 + 8 = 0 có 2 nghi m dương.
Ví d
2. Xác ñ nh a ñ bi u th c (a + 1) x 2 − 2(a − 1) x + 3a − 3 luôn dương
Ví d
3. Tìm m ñ b t phương trình x 2 + x − 2 ≥ m nghi m ñúng v i m i x.
Ví d
4. Tìm m ñ phương trình x 2 + mx + 2m = 0 có hai nghi m x1 , x 2 th a mãn
Ví d
-1< x1 < x 2
5. Tìm m ñ phương trình x − 2mx + 2m 2 − 1 = 0 có nghi m th a mãn
2
Ví d
− 2 ≤ x1 ≤ x 2 ≤ 4
6. Cho phương trình x + ( m + 2) x + 3m − 2 =0
2
Ví d
Tìm m ñ phương trình có hai nghi m phân bi t nh hơn 2
7. Tìm m ñ phương trình x 2 − 2mx + m + 2 = 0 có nghi m l n hơn 1
Ví d
8. Tìm m ñ phương trình x 2 − 6mx + 9m 2 − 2m + 2 = 0 có nghi m x1 ≤ x 2 ≤ 3
Ví d
3
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG VÀ
PHƯƠNG TRÌNH CH A GIÁ TR TUY T ð I
ax 4 + bx 2 + c = 0, a ≠ 0
I. Phương trình trùng phương (1)
ð t t = x ≥ 0 phương trình (1) tr thành: at + bt + c = 0
2
2
(2)
• PT (1) có nghi m khi và ch khi (2) có ít nh t m t nghi m không âm.
• PT (1) có ñúng hai nghi m phân bi t khi và ch khi (2) có ñúng m t nghi m dương.
• PT (1) có ñúng 3 nghi m phân bi t khi và ch khi (2) có m t nghi m b ng 0 và m t
nghi m dương.
• PT (1) có ñúng 4 nghi m phân bi t khi và ch khi (2) có hai nghi m dương phân
bi t.
Ví d 1. Cho phương trình: x4 + (1-2m)x2 + m2 – 1 = 0.
a)Tìm các giá tr c a m ñ phương trình vô nghi m.
b)Tìm các giá tr c a m ñ phương trrình có 4 nghi m phân bi t.
y = x4 -2(m+4)x2 + m2 + 8
Ví d 2. Tìm m sao cho ñ th hàm s
c t tr c hoành l n lư t t i 4 ñi m phân bi t A, B, C, D v i AB = BC = CD.
II. Phương trình ch a giá tr tuy t ñ i
1) Các d ng cơ b n:
b ≥ 0
|a|=b ⇔ | a | = | b | ⇔ a = ±b
a = ± b
b < 0
b ≥ 0
| a | ≥ b ⇔ b ≥ 0
⇔ 2
|a| ≤ b
a ≤ b
2
a 2 ≥ b 2
| a | ≥ | b | ⇔ a 2 ≥ b2
| x2 – 3x + 2 | - 2x = 1.
i phương trình
Ví d 1. Gi
x2 - | 4x – 5 | < 0.
i b t phương trình
Ví d 2. Gi
i và bi n lu n phương trình
Ví d 3. Gi | 2x – m | = x.
i phương trình
Ví d 4. Gi 4|sinx| + 2cos2x = 3.
i và bi n lu n b t phương trình | 3x2 -3x – m | ≤ | x2 – 4x + m |.
Ví d 5. Gi
2)Phương pháp ñ th :
a) Cách v ñ th hàm s y = | f(x) | khi ñã bi t ñ th hàm s y = f(x).
- Chia ñ th hàm s f(x) ra 2 ph n: ph n ñ th n m phía trên tr c hoành (1) và
ph n ñ th n m phía dư i tr c hoành (2).
- V ph n ñ th ñ i x ng v i ph n ñ th (2) qua tr c hoành ñư c ph n ñ th
(3).
- ð th hàm s y = | f(x) | là ñ th g m ph n ñ th (1) và ph n ñ th (3) v a
v.
b) ð nh lí: S nghi m c a phương trình g(x) = h(m) là s giao ñi m c a ñư ng th ng
n m ngang y = h(m) v i ñ th hàm s y = g(x). Khi g p phương trình có tham s ta tách riêng
chúng v m t v c a phương trình r i v ñ th hàm s y = g(x) và ñư ng th ng y = h(m) r i áp
d ng ñ nh lí trên ñ bi n lu n.
Ví d 6. Tìm m ñ phương trình | x2 – 1 | = m4 – m2 +1 có 4 nghi m phân bi t.
Ví d 7. Bi n lu n theo m s nghi m c a phương trình | x – 1 | + | x + 2 | = m.
4
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH VÔ T
I.Các d ng cơ b n
f ( x ) = ϕ( x ) , n ∈ N* ⇔ f(x) = [ ϕ( x ) ]2n+1
2 n +1
D ng 1:
ϕ( x ) ≥ 0
f ( x ) = ϕ( x ) , n ∈ N* ⇔
D ng 2: 2n
f ( x ) = [ϕ( x )]
2n
D ng 3:
f ( x ) ≥ 0 f ( x ) ≥ 0
f ( x ) < ϕ( x ) ⇔ ϕ( x ) > 0 f ( x ) ≤ ϕ( x ) ⇔ ϕ( x ) ≥ 0
,
f ( x ) < [ϕ( x )]2 f ( x ) ≤ [ϕ( x )]2
D ng 4:
f ( x ) ≥ 0 f ( x ) < 0
ϕ( x ) < 0 ϕ( x ) ≥ 0
f ( x ) > ϕ( x ) ⇔ f ( x ) ≥ ϕ( x ) ⇔
,
ϕ( x ) ≥ 0 ϕ( x ) ≥ 0
f ( x ) > [ϕ( x )]2 f ( x ) ≥ [ϕ( x )]2
x 2 − 2x + 3 = 2x + 1
Ví d 1. Gi i phương trình
x 2 − x − 12 < x
Ví d 2. Gi i b t phương trình
2 x 2 + 5x − 6 > 2 − x
Ví d 3. Gi i b t phương trình
Ví d 4. Tìm m ñ phương trình có nghi m x − m = 2 x 2 + mx − 3
II. Các phương pháp gi i phương trình, b t phương trình vô t không cơ b n
1) Phương pháp lũy th a hai v :
- ð t ñi u ki n trư c khi bi n ñ i
- Ch ñư c bình phương hai v c a m t phương trình ñ ñư c phương trình tương ñương
(hay bình phương hai v c a m t b t phương trình và gi nguyên chi u) n u hai v c a chúng
không âm.
A2 = A .
- Chú ý các phép bi n ñ i căn th c
x +1 = 3 − x + 4
Ví d 5. Gi i phương trình
x + 3 ≥ 2x − 8 + 7 − x
Ví d 6. Gi i b t phương trình
3 x − 5x + 5 > 1
Ví d 7. Gi i b t phương trình
x + 2 − x +1 ≤ x
Ví d 8. Gi i b t phương trình
2 x 2 + 8x + 6 + x 2 − 1 = 2 x + 2
Ví d 9.Gi i phương trình
Ví d 10.Gi i b t phương trình x 2 − 4x + 3 − 2 x 2 − 3x + 1 ≥ x − 1
2)Phương pháp ñ t n ph :
- Nh ng bài toán có tham s khi ñ t n ph ph i tìm t p xác ñ nh c a n m i.
- Chú ý các h ng ñ ng th c (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 , a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) , …
5x 2 + 10 x + 1 ≥ 7 − x 2 − 2 x
Ví d 11.Gi i b t phương trình
x + 8 + 2 x + 7 + x +1− x + 7 = 4
Ví d 12.i i phương trình
x + 2 + x − 2 = 4 x − 15 + 4 x 2 − 4
Ví d 13.Gi i phương trình
3x 2 + 2 x − 2
4
9x 2 + =
Ví d 14.Gi i phương trình
x2 x
5 1
5 x+ < 2x + +4
Ví d 15.Gi i b t phương trình
2x
2x
5
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Bài 4: H PHƯƠNG TRÌNH ð I X NG
I. H phương trình ñ i x ng lo i 1
1)Khái ni m: Là h mà m i phương trình không ñ i khi ta thay x b i y và thay y b i x.
2)Tính ch t: N u (xo, yo) là m t nghi m c a h thì (yo, xo) cũng là nghi m c a h .
3)Cách gi i:
x + y = S
Bi n ñ i h phương trình v d ng: H ñã cho ⇔ (1)
x.y = P
Khi ñó x, y là nghi m c a phương trình: t 2 − St + P = 0 (2)
N u ∆ = S – 4P > 0 thì phương trình (2) có hai nghi m t1 ≠ t2 nên h phương trình (1) có hai
2
nghi m phân bi t (t1, t2), (t2, t1).
N u ∆ = 0 thì phương trình (2) có nghi m kép t1 = t2 nên h (1) có nghi m duy nh t (t1, t2).
ði u ki n ñ h (1) có ít nh t m t c p nghi m (x, y) th a mãn x ≥ 0, y ≥ 0
∆ = S 2 − 4 P ≥ 0
S ≥ 0
P ≥ 0
x y + y x = 30
x + y = 2 x − y − xy = 3
Ví d 1.Gi i h phương trình 3 2
x + y = 26 x + y + xy = 1
x x + y y = 35
3 2
xy( x + 2)( y + 2) = 5m − 6
x + 1 + y −1 = m
Ví d 2.Tìm m ñ h sau có nghi m 2
x + y + 2( x + y ) = 2 m
x + y = m 2 − 4m + 6
2
II. H phương trình ñ i x ng lo i 2
1)Khái ni m: Là h phương trình mà trong h phương trình ta ñ i vai trò x, y cho nhau
thì phương trình n tr thành phương trình kia.
2)Tính ch t: N u (xo, yo) là m t nghi m c a h thì (yo, xo) cũng là nghi m c a h .
3)Cách gi i:
Tr v v i v hai phương trình c a h ta ñư c phương trình có d ng:
(x – y).f(x,y) = 0 ⇔ x – y = 0 ho c f(x,y) = 0.
2 1
2x = y +
x 2 y − 4 = y 2
x 3 + xy 2 = 40 y
y
Ví d 3.Gi i các h phương trình 3 2
y + x y = 40 x xy − 4 = x
2 2
2 y 2 = x + 1
x
2 x + y − 1 = m x = y − y + m
2
Ví d 4.Tìm m ñ h sau có nghi m:
y = x 2 − x + m
2 y + x − 1 = m
6
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Bài 5: M T S H PHƯƠNG TRÌNH D NG KHÁC
I . H vô t
x 2 + y 2 + 2 xy = 8 2
Ví d 1. Gi i h phương trình
x+ y =4
x + y + xy = a
Ví d 2. Gi i và bi n lu n
x − y = a
x+ y + x− y =2
Ví d 3. Gi i h phương trình
y + x − y − x =1
x − 2−y = 2
Ví d 4. Gi i h phương trình
2−x + y = 2
x +1 + y = m
Ví d 5. Tìm m ñ h có nghi m
y +1 + x = 1
II. H h u t
3 2y
x 2 + y2 −1 + x = 1
Ví d 6. Gi i h phương trình
x 2 + y 2 + 4 x = 22
y
x 3 − y 3 = 7
Ví d 7. Gi i h phương trình
xy( x − y) = 2
x + 4 y = y + 16 x
3 3
Ví d 8. Gi i h phương trình
1 + y 2 = 5(1 + x 2 )
x − y = a (1 + xy)
Ví d 9. Tìm a ñ h có nghi m
xy + x + y + 2 = 0
2 y ( x 2 − y 2 ) = 3x
10. Gi i h phương trình
Ví d
x ( x 2 + y 2 ) = 10 y
x + y = m
11.Tìm m ñ h có hai nghi m phân bi t: 2
Ví d
x − y + 2x = 2
2
x − xy − y = −11
2 2
12. Gi i h phương trình 2
Ví d
( x − y 2 ) xy = 180
x 3 − y 3 = 19( x − y)
13. Gi i h phương trình 3
Ví d
x + y 3 = 7( x + y)
==========================================================
7
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Chương 2: Phương trình lư ng giác, mũ, logarit
Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC
I. Phương trình lư ng giác cơ b n
Khi gi i các phương trình lư ng giác cu i cùng d n ñ n phép gi i các phương trình
lư ng giác cơ b n. Ta c n ghi nh b ng sau ñây:
Phương trình ði u ki n có nghi m ðưa v d ng Nghi m
sinx = sin α
−1 ≤ m ≤ 1 x = α + k 2π
sinx = m
x = π − α + k 2π
cosx = cos α ± α + k2 π
−1 ≤ m ≤ 1
cosx = m
tgx = tg α α + kπ
tgx = m m im
cotgx = cotg α α + kπ
cotgx = m m im
b ng trên k nh n m i giá tr nguyên ( k ∈ Z ) . ðơn v góc thư ng dùng là radian.
ð thu n l i cho vi c ch n α ta c n nh giá tr c a hàm lư ng giác t i các góc ñ c bi t. ðư ng
tròn lư ng giác s giúp ta nh m t cách rõ ràng hơn.
8
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Ví d 1. Gi i phương trình:
π
2
c) sin( xπ ) = 0.
a) sin3x = ; b) sin(2x - ) = 1;
5
2
Ví d 2. Gi i phương trình:
π π π π
a) cos2x = cos ; b) cos(3x - ) = cos(x + ); c) cosx = sin(2x + ).
5 3 2 4
π 8π
cos 2 ( cos x − ) = 0 .
Ví d 3. Gi i phương trình:
3 3
cos(π sin x ) = cos(3π sin x )
Ví d 4. Gi i phương trình:
cos 2 x − sin 2 ( 2 x ) = 1
Ví d 5. Gi i phương trình:
II. Phương trình b c nh t ñ i v i sinx và cosx: asinx + bcosx = c (1) , a 2 + b 2 ≠ 0
Chia hai v c a phương trình (1) cho a 2 + b 2 , ta ñư c:
a b c
(1) ⇔ sin x + cos x = (2)
a +b a +b a + b2
2 2 2 2 2
a b
= sin ϕ ; = cos ϕ .
ðt
a +b a + b2
2 2 2
c
cos(x - ϕ ) =
Khi ñó phương trình lư ng giác có d ng: (3)
a + b2
2
c
≤ 1 ⇔ a 2 +b2 ≥ c2
Phương trình có nghi m khi và ch khi:
a +b
2 2
Khi ñó t n t i α ∈ [0; π] sao cho cos α =
c
nên ta có:
a + b2
2
(1) ⇔ cos( x − ϕ) = cos α ⇔ x = ϕ ± α + k 2π ; k ∈ Z
Ví d 6. Gi i phương trình: 2sin4x + 3 sinx = cosx.
Ví d 7. Cho phương trình: sinx + mcosx = 1
a) Gi i phương trình v i m = - 3 .
b) Tìm m ñ phương trình vô nghi m.
Ví d 8. Gi i phương trình: cos 2 x + 2 3 sin x cos x + 3 sin 2 x = 1
Ví d 9. Tìm α ñ phương trình sau có nghi m x ∈ IR:
3 cos x + sin( x + α) = 2
sin 8x − cos 6 x = 3 (sin 6 x + cos 8x ).
Ví d 10. Gi i phương trình:
π
Ví d 11. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m x ∈ 0; :
2
cos2x – msin2x = 2m – 1
Ví d 12. Gi i phương trình: sin8x – cos6x = 3 (sin6x + cos8x).
1
Ví d 13. Gi i phương trình: cos 2 4 x − cos x. cos 4 x − sin 2 x + = 0
4
9
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
III. Phương trình ñ ng c p, phương trình ñ i x ng ñ i v i sinx và cosx
1) Phương trình ñ ng c p b c cao ñ i v i sinx và cosx:
Khái ni m: M t phương trình sau khi bi n ñ i v cosx, sinx mà t t c các s
h ng có t ng s mũ c a cosx và c a sinx ho c ñ u là s t nhiên ch n ho c ñ u là s t
nhiên l thì phương trình ñó ñư c g i là “ ñ ng c p” ñ i v i cosx và sinx. G i k là s l n
nh t trong các t ng s mũ nói trên ñư c g i là b c c a phương trình.
Cách gi i: - Xét trư ng h p cosx = 0 th vào phương trình
- Khi cos x ≠ 0 chia hai v phương trình cho coskx sau ñó ñ t
n ph t = tgx.
2sin3x = cosx
Ví d 14. Gi i phương trình:
π
sin 3 ( x + ) = 2 sin x
Ví d 15. Gi i phương trình:
4
Ví d 16. Tìm m ñ phương trình có nghi m:
msin2x + cos2x + sin2x +m = 0.
π π
− ; :
Ví d 17: Tìm m ñ phương trình sau có ñúng hai nghi m x n m trong kho ng
2 2
3sin4x – 2(m+2)sin2x.cos2x + (1 – m2 )cos4x = 0.
2) Phương trình ñ i x ng sinx và cosx:
Khái ni m: M t phương trình sau khi bi n ñ i v cosx, sinx mà các s h ng có
ch a t ng (cosx ± sinx ) ho c ch a tích cosx.sinx ñư c g i là phương trình ñ i x ng ñ i
v i cosx và sinx. Ví d phương trình: a (cos x ± sin x ) + b cos x. sin x + c = 0 .
t 2 −1
Cách gi i: ð t t = sinx + cosx, ta có t ≤ 2 . Khi ñó: sinx.cosx =
2
1− t2
N u ñ t t = sinx - cosx, ta có t ≤ 2 . Khi ñó: sinx.cosx =
2
Ví d 18. Cho phương trình: sinx.cosx = 6 ( sinx + cosx + m).
a) Gi i h phương trình v i m = - 1.
b) Tìm m ñ phương trình có nghi m.
3
Ví d 19. Gi i phương trình: 1 + sin 3 x + cos3 x = sin 2 x
2
3
Ví d 20. Gi i phương trình: 1 + sin 3 2 x + cos 3 2x = sin 4x
2
π 3π
x∈ , :
Ví d 21. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m
4 4
cos x + sin x = m.
3 3
10
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
IV. Phương trình ñưa v d ng tích
Các phương trình lư ng giác không có d ng như nh ng phương trình ñã trình bày các
m c trư c, ngư i ta thư ng nghĩ t i phân tích chúng thành nh ng phương trình cơ b n.
Vi c phân tích thành tích th c ch t là ñi tìm th a s chung c a các s h ng có trong
phương trình. ð làm ñư c ñi u ñó, chúng ta c n ph i thành th o các công th c lư ng giác, các
h ng ñ ng th c ñ i s ñáng nh và cũng c n ph i có kinh nghi m nhìn nh n m i quan h gi a
các s h ng có trong phương trình.
1 1
• Th các nghi m ñ c bi t như sin x = ±1 , sin x = ± , cos x = ±1 , cos x = ±
2 2
và phương trình có ch a th a s (cosx ± sinx). S d ng ñ ng th c sin x + cos x 2 2
= 1.
• Dùng các công th c bi n ñ i như h b c, bi n ñ i t ng thành tích , bi n ñ i tích
thành t ng, hàm s lư ng giác c a hai góc có liên quan ñ c bi t. Chú thêm m t
s bi n ñ i sau ñây:
2 1
cot gx + tgx = , cot gx − tgx = 2 cot g 2 x , cot gx − cot g 2x =
sin 2 x sin 2 x
• ð t các nhân t chung (nhân t chung suy ra t nghi m ñã th ñư c).
Tham kh o thêm b ng h các bi u th c có nhân t chung.
f(x) Bi u th c ch a th a s f(x)
sinx sin2x, tgx, tg2x, ...
cosx sin2x, tg2x, cotgx, ...
1+cosx x x
cos 2 , cot g 2 , sin2x, tg2x
2 2
1-cosx x x
sin 2 , tg 2 , sin2x, tg2x
2 2
πx πx
1+sinx
cos2x, cotg2x, cos 2 ( − ) , sin 2 ( + )
42 42
πx πx
1-sinx
cos2x, cotg2x, cos 2 ( + ) , sin 2 ( − )
42 42
sinx+cosx cos2x, cotg2x, 1+ sin2x, 1+ tgx, 1+ cotgx, tgx - cotgx
sinx-cosx cos2x, cotg2x, 1 - sin2x, 1 - tgx, 1 - cotgx, tgx - cotgx
Ví d 1.Gi i phương trình: cos3x – 2cos2x + cosx = 0 .
3
Ví d 2.Gi i phương trình: sin2x + sin22x + sin23x =
2
1
Ví d 3.Gi i phương trình: cos3x.cos4x + sin2x.sin5x = ( cos2x + cos4x).
2
2sin3x + cos2x + cosx = 0
Ví d 4.Gi i phương trình:
Ví d 5.Gi i phương trình: sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx)
1 + tgx
= 1 + sin 2 x
Ví d 6.Gi i phương trình:
1 − tgx
π x
Ví d 7.Gi i phương trình sin x. cos 4 x − sin 2 2 x = 4 sin 2 − .
4 2
11
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH, H PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT
I. Các k t qu cơ b n
y = ax, 0 < a ≠ 1.
1) Hàm s mũ:
• T p xác ñ nh: IR.
• T p giá tr : IR+. (ñ th luôn n m phía trên tr c hoành)
• Khi a > 1 hàm s ñ ng bi n.
Khi 0 < a < 1 hàm s ngh ch bi n.
• D ng ñ t h :
y = logax , 0 < a ≠ 1.
2) Hàm s logarit:
a) Các tính ch t:
• T p xác ñ nh: IR* (x > 0 ).
• T p giá tr : IR
• Khi a > 1 hàm s ñ ng bi n.
Khi 0 < a < 1 hàm s ngh ch bi n.
• D ng ñ t h :
Chú ý: Trong các b t phương trình mũ, logarit, cơ s a l n hơn hay bé
hơn 1 quy t ñ nh chi u c a b t phương trình. Vì v y ph i chú ý ñ n chi u c a b t phương trình
trong quá trình bi n ñ i.
12
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
b)Các công th c chú ý:
b > 0
• log a b có nghĩa ⇔
0 < a ≠ 1
log c b
• log a b = ( Công th c ñ i cơ s v i b > 0 , 0 < a ≠ 1 , 0 < c ≠ 1 ).
log c a
m
• log a n b m = log a b ( V i b > 0 và 0 < a ≠ 1 )
n
log a b 2 k = 2k. log a | b | v i k∈Z.
•
II. Các phương trình, b t phương trình có d ng cơ b n
1) Phương trình mũ:
Cho 0 < a ≠ 1.
b > 0
D ng 1: a f ( x ) = b ⇔
f ( x ) = log a b
a > 1
f ( x ) < log a b
< b (v i b > 0) ⇔
D ng 2: a f ( x )
0 < a < 1
f ( x ) > log a b
D ng 3: a f ( x ) > b
N u b ≤ 0 b t phương trình nghi m ñúng v i m i x thu c t p xác ñ nh
-
c a b t phương trình.
a > 1
f ( x ) > log a b
N u b > 0, khi ñó b t phương trình tương ñương v i:
-
0 < a < 1
f ( x ) < log a b
a > 1
f ( x ) < g ( x )
⇔
D ng 4: a f ( x ) < a g ( x )
0 < a < 1
f ( x ) > g ( x )
13
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
2)Phương trình logarit
D ng 1: log a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = a b .
a > 1
0 < f ( x ) < a
b
D ng 2: log a f ( x ) < b ⇔
0 < a a b
a > 1
f ( x ) > a
b
D ng 3: log a f ( x ) > b ⇔
0 < a 1
0 < f ( x ) < g ( x )
D ng 4: log a f ( x ) < log a g ( x ) ⇔
0 < a < 1
0 < g ( x ) < f ( x )
x 2 −4 x +3
1
= m4 − m2 + 1
Ví d 1. Cho phương trình:
5
a)Gi i phương trình khi m = 1.
b)Tìm m ñ phương trình có 4 nghi m phân bi t.
log x (5x 2 − 8x + 3) > 2
Ví d 2. Gi i b t phương trình:
log 2 (9 x + 9m 3 ) = x
Ví d 3. Tìm m ñ phương trình sau có hai nghi m phân bi t:
Ví d 4. Gi i phương trình:
log x (cos x − sin x ) + log 1 (cos x + cos 2 x ) = 0
x
[ ]
log x log 3 (9 x − 72) ≤ 1
Ví d 5. Gi i b t phương trình:
log 1 ( 5 − x ) < log 1 (3 − x )
Ví d 6. Gi i b t phương trình:
3 3
14
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
III. Các phương trình, b t phương trình không cơ b n
• Ph i ñ t ñi u ki n.
• Nh ng bài toán có tham s , ñ t n ph ph i tìm t p xác ñ nh c a n m i.
• Nh ng bài toán phương trình, b t phương trình mũ, logarit mà n x v a s
mũ c a lũy th a, v a h s , thư ng chuy n v vi c phân tích thành th a s ,
nh m nghi m và ch ng minh nghi m duy nh t ñ i v i phương trình; xét d u
c a tích ñ i v i b t phương trình.
• Khi bài toán ph c t p, có nh ng ph n t gi ng nhau hay nhân t gi ng nhau
ta có th ñ t n ph ñ ñưa bài toán tr lên ñơn gi n hơn.
1 1
3.4 x + 9 x + 2 = 6.4 x +1 − 9 x +1
Ví d 7. Gi i phương trình:
3 4
8.3x + 3.2 x = 24 + 6 x
Ví d 8. Gi i phương trình:
log a (35 − x 3 )
> 3 (v i 0 < a ≠ 1 ).
Ví d 9. Gi i b t phương trình:
log a (5 − x )
x −1
Ví d 10. Gi i phương trình: log 27 ( x 2 − 5x + 6) 3 = log 3 + log 9 ( x − 3)
2
2
lg(lg x ) + lg(lg x 3 − 2) = 0
Ví d 11. Gi i phương trình:
Ví d 12. Gi i phương trình:
x 2 . log 6 5x 2 − 2 x − 3 − x. log 1 (5x 2 − 2 x − 3) = x 2 + 2 x
6
1
log 3 x 2 − 5x + 6 + log 1 x − 2 > log 1 ( x + 3)
Ví d 13. Gi i b t phương trình:
2
3 3
log 1 ( x − 1) + log 1 ( x + 1) − log (7 − x ) = 1
Ví d 14. Gi i phương trình: 1
2 2 2
lg 4 ( x − 1) 2 + lg 2 ( x − 1)3 = 25
Ví d 15. Gi i phương trình:
log 3x + 7 (9 + 12 x + 4 x 2 ) + log 2 x + 3 (6 x 2 + 23x + 21) = 4
Ví d 16. Gi i phương trình:
Ví d 17. Tìm m ñ phương trình sau ñây có hai nghi m trái d u:
(m + 3)16 x + (2m − 4)4 x + m + 1 = 0
15
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Chương 3: Kh o sát hàm s và các bài toán liên quan
Bài 1: KH O SÁT HÀM S
Sơ ñ kh o sát hàm s
1) Tìm t p xác ñ nh c a hàm s (Xét tính ch n l , tính tu n hoàn (n u có)).
2) Kh o sát s bi n thiên hàm s
a) Xét chi u bi n thiên c a hàm s
• Tính ñ o hàm
• Tìm các ñi m t i h n
(ði m t i h n thu c TXð và t i ñó f ′( x ) không xác ñ nh ho c b ng 0)
• Xét d u c a ñ o hàm trong các kho ng xác ñ nh b i các ñi m t i h n.
(Gi a hai ñi m t i h n k nhau thì f ′( x ) gi nguyên m t d u)
• Suy ra chi u bi n thiên hàm s trong m i kho ng
(ð ng bi n n u f ′( x ) >0, ngh ch bi n n u f ′( x )
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
BÀI 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ð N KH O SÁT HÀM S
I. Tìm giao ñi m c a hai ñư ng
y = f ( x ) có ñ th là (C) và hàm s y = g ( x ) có ñ th là (C1 ) . Rõ ràng
Gi s hàm s
M o ( x o ; y o ) là giao ñi m c a (C) và (C1 ) khi và ch khi ( x o ; y o ) là nghi m c a h phương trình
y = f (x )
y = g(x
Do ñó ñ tìm hoành ñ các giao ñi m c a (C) và (C1 ) ta gi i phương trình: f ( x ) = g( x ) (1)
S nghi m c a phương trình chính là s giao ñi m c a hai ñ th (C) và (C1 ) .
N u x o , x1 ,... là các nghi m c a (1) thì các ñi m M o ( x o ; f ( x o )), M1 ( x1 ; f ( x1 ))... là các
giao ñi m c a (C) và (C1 ) .
Bài toán: Tìm m ñ ñ th hàm s c t ñư ng th ng t i m t s ñi m th a mãn yêu c u bài toán.
Ví d 1. Bi n lu n theo m s giao ñi m c a ñ th các hàm s
x 2 − 6x + 3
y= y = x−m
và
x+2
x 3 + 3x 2 − 2 = m
Ví d 2. Bi n lu n s nghi m c a phương trình
x 2 + x −1
Ví d 3. V i giá tr nào c a k thì ñư ng th ng y = kx − k + 2 c t ñ th hàm s y =
x −1
t i hai ñi m phân bi t.
x 2 + 4x + 3
Ví d 4. Tìm k ñ ñư ng th ng y = kx + 1 c t ñ th y = t i hai ñi m phân bi t
x+2
x2 + x −1
Ví d 5. Tìm m ñ ñư ng th ng y = − x + m c t ñ th y = t i hai ñi m phân bi t
x −1
mx 2 + x + m
Ví d 6. Tìm m ñ ñ th hàm s y = c t tr c hoành t i 2 ñi m phân bi t có hoành
x −1
ñ dương.
− x 2 + 3x − 3
Ví d 7. Tìm m ñ ñư ng th ng y = m c t ñ th hàm s y = t i hai ñi m A và B
2( x − 1)
sao cho ñ dài ño n AB = 1.
Ví d 8. Tìm m ñ ñ th y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 c t ñư ng th ng y = 1 t i 3 ñi m phân bi t.
1 2
Ví d 9 . Tìm m ñ ñ th y = x 3 − mx 2 − x + m + c t tr c hoành t i 3 ñi m phân bi t.
3 3
1
Ví d 10. Tìm a ñ ñư ng th ng y = a ( x + 1) + 1 c t ñ th hàm s y = x + 1 + t i hai ñi m
x+2
có hoành ñ trái d u.
17
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
II. Vi t phương trình ti p tuy n
Cho hàm s y = f(x) có ñ th (C)
a) Phương trình ti p tuy n c a ñư ng cong (C) t i ñi m M o ( x o ; f ( x o ))
y − y o = f ′( x o )( x − x o )
b) Phương trình ñư ng th ng ñi qua ñi m M1 ( x1 ; y1 ) và ti p xúc v i (C)
ðư ng th ng d ñi qua M1 ( x1 ; y1 ) có d ng y − y1 = k ( x − x1 ) ⇔ y = k ( x − x1 ) + y1
ð cho ñư ng th ng d ti p xúc v i (C), h phương trình sau ph i có nghi m:
y = k ( x − x1 ) + y1
f ′( x ) = k
H phương trình này cho phép xác ñ nh hoành ñ x o c a ti p ñi m và h s góc k = f ′( x )
Chú ý: Hai ñ th hàm s y = f ( x ) và y = g ( x ) ti p xúc v i nhau n u và ch n u h
phương trình sau ñây có nghi m:
f ( x ) = g ( x )
f ′( x ) = g′( x )
c) Phương trình ñư ng th ng có h s góc k và ti p xúc (C).
Phương trình ñư ng th ng có h s góc k có d ng y = kx + b ti p xúc v i ñ th (C), ta gi i
phương trình f ′( x ) = k tìm ñư c hoành ñ các ti p ñi m x o , x1 , x 2 ,... T ñó suy ra phương
trình các ti p tuy n ph i tìm:
y − y i = k ( x − x i ) ( i = 0, 1, ...)
Bài toán : Vi t phương trình ti p tuy n c a hàm s khi bi t phương c a ti p tuy n ho c ñi qua
m t ñi m cho trư c nào ñó.
y = ( 2 − x 2 ) 2 bi t t i p
Ví d 1. Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th (C) c a hàm s
tuy n ñó ñi qua ñi m A(0 ; 4)
1
Ví d 2. Vi t phương trình các ñư ng th ng vuông góc v i ñư ng th ng y = x + 3 và ti p xúc
4
y = f ( x ) = − x 3 + 3x 2 − 4 x + 2
v i ñ th hàm s
Ví d 3. Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th (C) c a hàm s y = − x 3 + 3x + 1 bi t ti p tuy n
ñó song song v i ñư ng th ng y = −9 x + 1
Ví d 4. T g c t a ñ có th k ñư c bao nhiêu ti p tuy n c a ñ th hàm s
y = x 3 + 3x 2 + 1 Vi t phương trình các ti p tuy n ñó.
18
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
- T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
1 3
Ví d 5. Cho hàm s y = − x 4 − 3x 2 + có ñ th là (C)
2 2
a) Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th (C) t i các ñi m u n.
3
b) Tìm ti p tuy n c a (C) ñi qua ñi m A (0; )
2
Ví d 6. Cho hàm s
3x + 2
y= có ñ th là (C).
x+2
Ch ng minh r ng, không có ti p tuy n nào c a ñ th (C) ñi qua giao ñi m c a hai ti m c n c a
ñ th ñó.
Ví d 7. Cho hàm s
1
y=x− có ñ th là (C)
x +1
Ch ng minh r ng trên (C) t n t i nh ng c p ñi m mà ti p tuy n t i ñó song song v i nhau.
Ví d 8. Cho hàm s
x 2 + mx − 2m − 4
y= có ñ th (C)
x+2
Gi s ti p tuy n t i M ∈ (C) c t hai ti m c n t i P và Q. Ch ng minh r ng MP=MQ
x 2 − 4x + 5
Ví d 9. Vi t phương trình ti p tuy n v i ñ th hàm s y = bi t r ng ti p tuy n ñi
x−2
qua ñi m A(1;1).
x 2 − x −1
Ví d 10. Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th y = bi t ti p tuy n song song v i
x +1
ñư ng th ng y = − x .
x 2 − x −1
Ví d 11. Cho hàm s y = có ñ th là (C)
x +1
Tìm t t c các ñi m trên tr c tung mà t ñó có th k ñư c 2 ti p tuy n v i ñ th (C)
x 2 + 3x + a
Ví d 12. Tìm a ñ ñ th y = có ti p tuy n vông góc v i ñư ng th ng y = x.
x +1
Ví d 13. Tìm m ñ ñ th y = 2mx 3 − ( 4m 2 + 1) x 2 + 4m 2 ti p xúc v i tr c hoành.
mx 2 + 3mx + 2m + 1
Ví d 14. Tìm m ñ ñ th y = ti p xúc v i ñư ng th ng y = m.
x+2
Ví d 15. Tìm a ñ ti m c n xiên c a ñ th
2 x 2 + (a + 1) x − 3
y=
x+a
ti p xúc v i parabôn y = x 2 + 5 .
19
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i
nguon tai.lieu . vn
