Xem mẫu
- NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S
Lêi c¶m ¬n
Trong suèt thêi gian thùc hiÖn kho¸ luËn tèt nghiÖp ngoµi sù nç lùc cña b¶n
th©n, t«i cßn nhËn ®−îc sù gióp ®ì, chØ b¶o tËn t×nh cña c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o trong
Khoa To¸n - C«ng NghÖ, Tr−êng §¹i häc Hïng V−¬ng.
§Æc biÖt t«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi thÇy gi¸o TrÇn C«ng TÊn
TÊn-
Gi¶ng viªn Khoa To¸n - C«ng NghÖ, Tr−êng §¹i häc Hïng V−¬ng. ThÇy ®·
dµnh nhiÒu thêi gian quý b¸u tËn t×nh h−íng dÉn t«i trong suèt qu¸ tr×nh thùc hiÖn
kho¸ luËn tèt nghiÖp, ®ång thêi gióp t«i lÜnh héi ®−îc nh÷ng kiÕn thøc chuyªn m«n
vµ rÌn luyÖn cho t«i t¸c phong nghiªn cøu khoa häc.
Qua ®©y, t«i xin göi lêi c¶m ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o
trong Khoa To¸n – C«ng nghÖ, tíi gia ®×nh, b¹n bÌ lµ nh÷ng ng−êi lu«n s¸t c¸nh
bªn t«i, ®· nhiÖt t×nh gióp ®ì, chia sÎ, ®éng viªn t«i trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp
còng nh− khi t«i thùc hiÖn vµ hoµn chØnh kho¸ luËn nµy.
MÆc dï ®Ò tµi ®· ®−îc chuÈn bÞ vµ nghiªn cøu mét c¸ch kÜ l−ìng, vÒ thêi gian
còng nh− néi dung nh−ng kh«ng khái cã nh÷ng thiÕu sãt. V× vËy t«i rÊt mong nhËn
®−îc sù gãp ý cña c¸c b¹n sinh viªn, vµ ®Æc biÖt lµ cña c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o ®ang
gi¶ng d¹y bé m«n To¸n ®Ó kho¸ luËn ®−îc hoµn thiÖn h¬n.
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n!
Phó Thä, th¸ng 05 n¨m 2010
Sinh viªn
NguyÔn ThÞ HËu
2 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
- NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S
M Đ U
1. Lý do ch n ñ tài
Đ o hàm là m t trong nh ng ki n th c khá quen thu c ñ i v i h c sinh
Trung h c ph thông cũng như sinh viên các trư ng Cao Đ ng và Đ i h c. N i
dung này c a gi i tích ñư c ñ c p r t s m trong chương trình: Đ i s và gi i
tích b c Trung h c ph thông và xuyên su t trong các năm h c Cao ñ ng và Đ i
h c ti p theo.
M c dù v y ñ n m v ng khái ni m, tính ch t c a ñ o hàm ñ ng th i ng
d ng ñư c ñ o hàm vào gi i các bài toán trong gi i tích, v t lý, các bài toán v
kinh t cũng như các bài toán th c t l i là m t v n ñ hoàn toàn không ñơn
gi n.
Trong nh ng năm h c Trung h c ph thông, h c sinh ñã làm quen v i
khái ni m ñ o hàm, bư c ñ u ñã bi t v n d ng tìm c c tr c a hàm s m t bi n
trong gi i tích và ng d ng trong v t lý tìm v n t c, gia t c c a m t chuy n
ñ ng. Đó m i ch là nh ng bài toán ñơn gi n, chưa ph i là bài toán khó và ph c
t p. Song nhi u h c sinh v n còn m c sai l m trong vi c gi i các bài toán dùng
ng d ng c a ñ o hàm mà nguyên nhân chính là vi c h c sinh chưa n m v ng
khái ni m ñ o hàm, chưa bi t kh o sát hàm s , chưa bi t cách làm m t bài toán
ng d ng ñ o hàm…
Đ o hàm và ng d ng c a nó ngày càng ñư c m r ng, ñ c bi t là trong
các trư ng Cao ñ ng, Đ i h c. Không ch gi i h n trong vi c tìm c c tr c a
hàm s m t bi n như Trung h c ph thông mà ñ o hàm ñư c ng d ng m r ng
trong các bài toán tìm c c tr c a hàm s nhi u bi n, các bài toán c c tr có ñi u
ki n c a hàm s nhi u bi n, hàm n. Lúc này, ñ gi i quy t các v n ñ ñó l i là
m t bài toán khó. Yêu c u ngư i h c không ch v ng vàng v ki n th c cơ b n
c a ñ o hàm như ñ nh nghĩa tính ch t, ng d ng, mà còn ñòi h i ngư i h c ph i
có tư duy toán h c phát tri n, ñ ng th i ng d ng ñ o hàm m c ñ cao hơn,
ph i bi t s d ng và k t h p m t cách khéo léo các công c trong ñ i s tuy n
tính và hình h c gi i tích ñ h tr và phát tri n ng d ng ñó. Chính vì v y
3 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
- NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S
không ít sinh viên ngành Toán nói chung và sinh viên Sư ph m Toán nói riêng
còn g p nhi u khó khăn, còn lúng túng khi g p các bài toán ng d ng ñ o hàm
ñ tìm c c tr hàm s .
V i mong mu n: Làm sao ñ các sinh viên nói chung, ñ c bi t là các sinh
viên Sư ph m Toán nói riêng ñư c trang b ñ y ñ các ki n th c trong vi c h c
t p nghiên c u ng d ng c a ñ o hàm, t ñó m r ng các ng d ng ñó trong
th c ti n gi ng d y, ñưa các ng d ng c a khoa h c vào ñ i s ng. Đ c bi t v i
m c ñích ñưa ra m t h th ng t p chung, phân lo i ki n th c và nêu bài t p ng
d ng nh m ñem l i thu n l i cho h c sinh, sinh viên trong quá trình h c t p và
nghiên c u v ñ o hàm c a hàm s . Vì v y tôi m nh d n ch n ñ tài nghiên c u:
“ ng d ng c a ñ o hàm ñ tìm c c tr hàm s ” cho khóa lu n t t nghi p c a
mình.
2. Nhi m v nghiên c u
- Nghiên c u nh ng tài li u, giáo trình liên quan ñ n ñ o hàm và c c tr c a hàm
s ñ rút ra phương pháp gi i cho m t s d ng toán v ng d ng c a ñ o hàm
vào tìm c c tr hàm s .
- Nghiên c u m i liên h gi a c c tr hàm s và giá tr l n nh t, giá tr nh nh t
c a hàm s .
3. Phương pháp nghiên c u
- Phương pháp nghiên c u lý lu n: Đ c các giáo trình, tài li u liên quan t i ng
d ng c a ñ o hàm vào tìm c c tr hàm s ñ phân lo i và h th ng hoá các ki n
th c.
- Phương pháp t ng k t kinh nghi m: T vi c nghiên c u tài li u, giáo trình rút
ra ñư c kinh nghi m ñ tìm c c tr b ng phương pháp ñ o hàm.
- Phương pháp l y ý ki n chuyên gia: L y ý ki n gi ng viên tr c ti p hư ng d n
và các gi ng viên khác ñ hoàn thi n v m t n i dung cũng như hình th c c a
khóa lu n.
4. Ý nghĩa khoa h c và th c ti n
Khóa lu n có th tài li u tham kh o cho nh ng sinh viên chuyên ngành
Toán c a trư ng Đ i h c Hùng Vương có mong mu n nghiên c u và tìm hi u
4 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
- NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S
ng d ng c a ñ o hàm. V i b n thân tôi, nghiên c u v ng d ng c a ñ o hàm
trong vi c gi i các bài toán c c tr giúp tôi hi u rõ hơn khái ni m và tính ch t
c a ñ o hàm cũng như c a c c tr hàm s , cho th y m t trong nh ng ng d ng
quan tr ng c a ñ o hàm và m i liên h r ng rãi c a nó v i các ph n khác nhau
trong Toán h c.
5. B c c c a khóa lu n:
Ngoài ph n m ñ u, k t lu n và tài li u tham kh o, n i dung chính c a
khóa lu n g m 3 chương
Chương 1. Các ki n th c b tr
Trong chương 1 trình bày cơ s lý thuy t v ñ c ñi m c a ñ o hàm thông
qua nh ng ñ c ñi m chung c a môn Toán, làm rõ tính tr u tư ng cao ñ và tính
th c ti n ph d ng, tính lôgíc và tính th c nghi m. Đ ng th i, h th ng hóa các
ki n th c cơ b n v ñ o hàm bao g m:
- Đ nh nghĩa ñ o hàm c a hàm s m t bi n và ñ o hàm hàm s hai bi n.
- Các quy t c tính ñ o hàm.
- Các ñ nh lý cơ b n v hàm kh vi.
Ngoài ra, trong chương này còn b sung thêm ý nghĩa c a ñ o hàm ñ tìm
c c tr c a hàm s nh m ñưa ra cơ s lý lu n v ng ch c cho khóa lu n.
Chương 2. ng d ng c a ñ o hàm ñ tìm c c tr hàm s m t bi n
Trong chương này, vi c nh c l i các ki n th c cơ b n v c c tr , các quy
t c dùng ñ o hàm ñ tìm c c tr c a hàm s m t bi n nh m c ng c ki n th c,
t o n n t ng v ng ch c ñ ng d ng ñ o hàm vào tìm c c tr c a hàm s m t
bi n. Đ ng th i chương này cũng ñưa ra h th ng, phân lo i các d ng bài t p
theo các l p hàm, giúp cho vi c gi i quy t các bài t p m t cách thu n l i hơn và
là cơ s ñ giúp cho vi c nghiên c u hàm nhi u bi n chương sau.
Chương 3. ng d ng c a ñ o hàm ñ tìm c c tr hàm s nhi u bi n
Chương 3 trình bày phương pháp ng d ng c a ñ o hàm ñ gi i quy t
các bài toàn tìm:
- C c tr c a hàm s hai bi n s .
5 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
- NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S
- Giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s hai bi n s trong m t mi n ñóng
b ch n.
- C c tr có ñi u ki n.
- C c tr hàm s ph thu c tham s .
Hơn n a, ng d ng ñ o hàm ñ nghiên c u các tính ch t c a hàm s n,
ñây là ph n ki n th c tương ñ i khó, tuy nhiên nó h tr r t ñ c l c cho vi c tìm
c c tr c a hàm s nhi u bi n và ñ c bi t trong vi c tìm c c tr c a hàm n.
trong chương này chúng ta cũng có h th ng các d ng bài t p tương
ng, bám sát các ki n th c, các quy t c ñã ñư c trình bày, giúp ngư i ñ c hi u
sâu s c hơn các ki n th c ñã h c và ghi nh các quy t c s d ng ñ o hàm ñ gi i
quy t các bài toán trên.
6 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
- NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S
CHƯƠNG 1. CÁC KI N TH C B TR
1.1. Đ c ñi m c a ñ o hàm
1.1.1. Tính tr u tư ng cao ñ và tính th c ti n ph d ng
a) Tính tr u tư ng hoá: Tính tr u tư ng hoá c a Toán h c và c a môn
Toán do chính ñ i tư ng c a môn Toán quy ñ nh. Theo Ăng ghen: “ Đ i tư ng
c a Toán h c thu n tuý là hình d ng không gian và nh ng quan h s lư ng c a
th gi i khách quan” (Trích theo Hoàng Chúng, tr.20).
M c d u Toán h c hi n nay phát tri n m nh m , phát bi u n i ti ng trên
v n còn hi u l c n u nh ng khái ni m hình h c không gian và quan h s lư ng
ñư c hi u theo nh ng nghĩa r t khái quát. “Hình d ng không gian” có th bi u
di n không ch trong không gian th c t ba chi u mà c trong nh ng không gian
tr u tư ng khác nhau n a như không gian có s chi u là n ho c vô h n, không
gian mà ph n t là nh ng hàm liên t c,... “Quan h s lư ng” không ch bó h p
trong ph m vi các t p h p mà ñư c bi u hi n như phép toán và nh ng tính ch t
c a chúng trên nh ng t p h p có nh ng ph n t là nh ng ñ i tư ng lo i tuỳ ý
như ma tr n, t p h p, m nh ñ , phép bi n hình,…
Đương nhiên tính ch t tr u tư ng không ph i ch có trong Toán h c mà là
ñ c ñi m c a m i khoa h c. Nhưng trong Toán h c, cái tr u tư ng tách ra kh i
m i ch t li u c a ñ i tư ng, “ch gi l i nh ng quan h s lư ng và hình d ng
không gian, t c là nh ng quan h v c u trúc mà thôi’’ (Ph m Văn
Hoàn,…1981, tr.21). trình ñ lý thuy t, nh n th c khoa h c nói chung, Toán
h c nói riêng luôn ph i s d ng s tr u tư ng hoá. Toán h c là khoa h c s
d ng nhi u s tr u tư ng nh t và m c ñ tr u tư ng cũng ñ t trình ñ cao nh t,
trong lĩnh v c khoa h c này: “s tr u tư ng có s c m nh l n nh t’’. Tuy nhiên,
cho dù s tr u tư ng có ñư c th c hi n “nghiêm túc’’, “ñúng ñ n” ñ n ñâu thì
các tri th c nh n ñư c v n có kh năng xa r i hi n th c. Vì v y, ñ ñ m b o
tính chân lý, t c l p lu n cho tính h p lý c a các tri th c nh n ñư c, chúng ta
c n ph i xác l p cơ s c a chúng. Nhưng ñây m i ch là lý do th y u và tính
7 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
- NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S
c p bách c a v n ñ n m ch khác. Sau phát hi n v ñ i lư ng bi n thiên c a
Decarter, ngư i ta ñã s d ng phép tính tích phân và vi phân ñ nghiên c u v
v n ñ ng. Ta có th mô t vi c nghiên c u này như sau:
Ngư i ta s d ng hàm s : s = f ( t ) ñ bi u th v n ñ ng; v n t c t c th i
t i m t th i ñi m c th t1 nào ñó là ñ o hàm b c nh t c a hàm s t i th i ñi m
ñó: v ( t1 ) = f ' ( t1 ) . Gia t c t c th i c a v n ñ ng là ñ o hàm b c hai:
a ( t1 ) = f '' ( t1 ) .
Như v y, l n ñ u tiên ngư i ta ñã s d ng các công c toán h c, các
phương pháp ch t ch , chính xác ñ nghiên c u v v n ñ ng nói riêng, v cái
bi n ch ng khách quan nói chung. Đ c bi t là v i phương th c nghiên c u như
v y, ngư i ta ñã thu nh n ñư c m t kh i lư ng ñ s các thành t u toán h c.
Đ o hàm (vi phân) là lý thuy t v t c ñ c a s thay ñ i; liên h ñ n các
hàm s , v n t c, gia t c, h s góc c a m t ñư ng cong t i m t ñi m cho trư c,
c c ñ i và c c ti u c a các hàm. Khi nghiên c u ñ o hàm (vi phân), các nhà
nghiên c u ñã ñ i m t và gi i quy t các v n ñ v m i quan h gi a liên t c và
r i r c; gi a h u h n và vô h n; gi a chuy n ñ ng và ñ ng yên.
Như v y có th th y ñ o hàm m t b ph n c a Toán h c có tính ch t tr u
tư ng cao ñ . Tính tr u tư ng cao ñ ch che l p ch không h m t tính th c
ti n c a Toán h c.
b) Tính th c ti n ph d ng: Toán h c có ngu n g c th c ti n. S h c ra
ñ i trư c h t là do nhu c u ñ m. Hình h c phát sinh do s c n thi t ph i ño l i
ru ng ñ t bên b sông Nin (Ai C p) sau nh ng tr n lũ hàng năm. Khi nói ñ n
ngu n g c th c ti n c a Toán h c cũng c n nh n m nh c ngu n g c th c ti n
c a lôgíc hình th c ñư c s d ng trong Toán h c, Lê Nin vi t: “Nh ng hình
th c và quy lu t lôgíc không ph i là cái v tr ng r ng mà là s ph n ánh th gi i
khách quan ... th c ti n c a con ngư i ñư c l p ñi l p l i hàng nghìn tri u l n, s
ñư c c ng c vào ý th c ngư i ta dư i nh ng hình th c c a lôgíc h c” (Lê Nin
toàn t p, tr. 127 - 129, trích theo Ph m Văn Hoàn, ...1981, tr.23).
Thành t u n i b t nh t c a th k XVII là s phát minh ra các phép tính
8 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
- NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S
vi - tích phân vào cu i th k này c a Isaac Newton và Gottfried Wilhelm
leibniz. S ra ñ i c a phép tính vi - tích phân ñã ñưa Toán h c sang m t giai
ño n Toán cao c p, g n như k t thúc giai ño n c a Toán h c sơ c p. T ñ i
tư ng nghiên c u là các s và hình d ng tĩnh t i, Toán h c bư c sang nghiên
c u ñ i tư ng trong quá trình v n ñ ng và bi n ñ i.
Phép tính vi phân và tích phân ñư c sáng t o ra là nh m gi i quy t b n
v n ñ khoa h c c a th k th XVII như sau:
V n ñ th nh t, cho v t chuy n ñ ng theo m t công th c là m t hàm s
theo th i gian, hãy tìm v n t c và gia t c c a nó m t th i ñi m b t kì; ngư c
l i, cho bi t gia t c c a m t v t th chuy n ñ ng là m t hàm s theo th i gian,
hãy tìm v n t c và quãng ñư ng ñi ñư c. V n ñ này xu t phát t vi c nghiên
c u chuy n ñ ng. Trong chuy n ñ ng thì v n t c và gia t c thay ñ i t th i
ñi m này ñ n th i ñi m khác. Trong v t lý, ngư i ta c n bi t chính xác v n t c
hay gia t c c a m t v t th chuy n ñ ng t i t ng th i ñi m. N u l y v n t c
b ng quãng ñư ng ñi ñư c chia cho th i gian là v n t c trung bình ch chưa
ph i v n t c chính xác t i m i th i ñi m thì th i gian chuy n ñ ng và v n t c
ñ u b ng không, mà 0/0 là vô nghĩa. Đ i v i bài toán ngư c l i, thì g p m t khó
khăn là n u bi t v n t c là m t hàm th i gian ta cũng không th tìm ñư c quãng
ñư ng ñi ñư c c a v t th chuy n ñ ng vì v n t c thay ñ i t th i ñi m này ñ n
th i ñi m khác.
V n ñ th hai là v n ñ tìm ti p tuy n c a m t ñư ng cong. Bài toán này
thu c v hình h c, nhưng nó có nh ng ng d ng quan tr ng trong khoa h c.
Quang h c là ngành mà nhi u nhà khoa h c c a th k XVII quan tâm nghiên
c u. Thi t k các th u kính là m i quan tâm ñ c bi t c a NewTon, Fermat,
Descartes và Huygens. Đ nghiên c u ñư ng ñi c a ánh sáng qua th u kính
ngư i ta ph i bi t góc mà ñó tia sáng ñ p vào th u kính ñ áp d ng ñ nh lu t
khúc x . Góc c n chú ý là góc gi a tia sáng và pháp tuy n c a ñư ng cong, pháp
tuy n thì vuông góc v i ti p tuy n. Đ xác ñ nh pháp tuy n, ngư i ta ph i xác
ñ nh ti p tuy n. M t v n ñ có tính ch t khoa h c khác n a liên quan ñ n ti p
tuy n c a m t ñư ng cong là nghiên c u chuy n ñ ng. Hư ng chuy n ñ ng c a
9 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
- NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S
v t th chuy n ñ ng b t kì th i ñi m nào c a qu ñ o chính là hư ng c a ti p
tuy n c a qu ñ o.
V n ñ th ba là v n ñ tìm giá tr c c ñ i và c c ti u c a m t hàm s .
Khi ñ n b n t súng th n công, kho ng cách ñi ñư c s ph thu c vào góc c a
súng t o v i m t ñ t. V n ñ ñ t ra là tìm góc sao cho viên ñ n ñi xa nh t.
Nghiên c u s chuy n ñ ng c a Hành Tinh liên quan ñ n các bài toán c c tr , ví
d tìm kho ng cách ng n nh t và dài nh t c a m t Hành Tinh và M t Tr i.
V n ñ th tư là tìm chi u dài ñư ng cong, ch ng h n như kho ng cách ñi
ñư c c a m t Hành Tinh trong m t th i gian nào ñó; di n tích c a hình gi i h n
b i các ñư ng cong; th tích c a nh ng kh i gi i h n b i nh ng m t,… Các nhà
Toán h c c Hy L p ñã dùng phương pháp vét ki t m t cách r t khéo léo. Các
nhà Toán h c th k XVII ñã c i ti n d n và h ñã nhanh chóng phát minh ra
phép tính vi - tích phân.
Toán h c có ng d ng r ng rãi trong th c ti n. Tính tr u tư ng cao ñ
làm cho Toán h c có tính ph d ng, có th ng d ng ñư c trong r t nhi u lĩnh
v c r t khác nhau c a ñ i s ng th c t . Ch ng h n, nh ng tri th c v tương
quan t l thu n bi u th b i công th c y = kx có th ñư c ng d ng vào hình
h c, ñi n h c, hoá h c…Vì m i tương quan này ph n ánh nh ng m i liên h
trên các lĩnh v c ñó, ch ng h n như:
- Di n tích S c a m t tam giác v i m t c nh a cho trư c t l thu n v i
1
ñư ng cao h ng v i c nh ñó: S = ah .
2
- Quãng ñư ng S ñi ñư c trong m t chuy n ñ ng ñ u v i v n t c cho
trư c v t l thu n v i th i gian ñi t: S = vt .
- Phương trình xác ñ nh li ñ trong chuy n ñ ng c a con l c là:
x = a.cos ( wt + ϕ ) . T phương trình này ta th y n u l y ñ o hàm l n th nh t ta
có: x ' = −aw sin ( wt + ϕ ) ñây chính là v n t c c a con l c th i ñi m t. N u l y
ñ o hàm l n th hai ta có x '' = −aw 2 cos ( wt + ϕ ) ñây chính là gia t c c a con l c
th i ñi m t c n tìm.
10 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
- NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S
Tương t như v y, nh ng k t qu nghiên c u v nhóm có th ñem ng
d ng cho nh ng ñ i tư ng có b n ch t r t khác nhau: s , véctơ, ma tr n, phép
d i hình,…
Đ o hàm m t b ph n c a Toán h c có ng d ng r t nhi u trong cu c
s ng, c th : Trong các bài toán ñ ng t , v n t c là ñ o hàm c a quãng ñư ng
ñi; gia t c là ñ o hàm c a v n t c. Trong bài toán ñi n, s c ñi n ñ ng c m ng
là m t ñ o hàm c a t thông bi n thiên; trong t ñi n thì dòng ñi n là ñ o hàm
c a ñi n áp; trong cu n c m thì ñi n áp là ñ o hàm c a dòng ñi n. Trong ngành
cơ h c lưu ch t thì lưu lư ng là ñ o hàm c a kh i lư ng (ho c th tích) lưu
ch t… Khi ta nói vào microphone, ñi n áp ra c a mic s b ng ñ o hàm c a sóng
âm thanh; khi ampli khuy ch ñ i lên ñưa ra loa, rung ñ ng c a loa s b ng ñ o
hàm c a ñi n áp ñ t vào; như v y t mic ñ n loa b n ñã l y ñ o hàm 2 l n…
ng d ng c a ñ o hàm (vi phân) và tích phân vào th c t thì h u như
ngành nào cũng có. T khoa h c t nhiên, kĩ thu t, công ngh , ñ n các bài toán
trong các quá trình khoa h c xã h i...T t c các quá trình ñó ñ u có th mô
ph ng b ng các kh i T l - tích phân - vi phân. Trư c khi máy vi tính ra ñ i,
ngư i ta s d ng các m ch ñi n t ñ làm các kh i này. Các m ch ñi n t ñó g i
là các b khuy ch ñ i thu t toán. H th ng s d ng các m ch mô ph ng y ñư c
g i là máy tính tương t . Hi n nay ngư i ta dùng các ph n m m mô ph ng, ho c
các ph n m m tuy n tính th i gian th c ñ thay th . Các m ch khuy ch ñ i thu t
toán v n ñư c s n xu t ñ th c hi n r t nhi u ch c năng khác. S d ng các ph n
m m mô ph ng này ngư i ta có th bi t ñư c tác ñ ng c a các bi n s ph c t p
trong h th ng.
1.1.2. Tính lôgíc và tính th c nghi m
Khi nghiên c u các quy lu t c a các hi n tư ng t nhiên và xã h i ngư i
ta thư ng dùng suy di n logic tìm ra m i liên h gi a các ñ i lư ng ñang xét
cùng v i các ñ o hàm (vi phân) c a chúng. Theo phương pháp ñó, xu t phát t
các khái ni m nguyên thu (t c là các ñ i tư ng nguyên thu và quan h nguyên
thu ) và các tiên ñ r i dùng quy t c lôgíc ñ ñ nh nghĩa các khái ni m khác và
ch ng minh các m nh ñ khác.
11 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
- NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S
Khi trình bày môn Toán nói chung và các bài toán liên quan ñ n ñ o hàm
nói riêng trong các trư ng Đ i h c và Cao ñ ng, do ñ c thù và yêu c u c a c p
h c là t h c, t nghiên c u mà ñòi h i ngư i h c khi gi i m t bài toán ho c áp
d ng m t m nh ñ c n ph i ñư c ch ng minh và trình bày m t cách ch t ch v
m t logic.
Chúng ta c n chú ý r ng, n u trình bày nh ng k t qu ñã ñ t ñư c khi tính
ñ o hàm thì ñó là s suy di n và tính logic n i b t lên. Nhưng n u nhìn ñ o hàm
trong quá trình hình thành và phát tri n, trong quá trình tìm tòi phát minh, thì
trong phương pháp c a nó v n có tìm tòi, d ñoán, v n có “th c nghi m” và quy
n p. Như v y s th ng nh t gi a suy ñoán và suy di n ñư c coi là m t ñ c ñi m
c a tư duy toán h c. C n chú ý c hai phương di n ñó m i có th hư ng d n h c
sinh h c t t ñ o hàm cũng như h c toán, m i khai thác ñ y ñ ti m năng môn
h c ñ th c hi n m c ñích giáo d c toàn di n.
Ta xét m t s bài toán d n ñ n khái ni m ñ o hàm sau ñ th y rõ hơn
nh ng ñ c ñi m trên c a ñ o hàm:
Bài toán 1. Bài toán tính v n t c t c th i c a m t chuy n ñ ng th ng
không ñ u
Gi s ta có m t ch t ñi m chuy n ñ ng th ng theo m t quy lu t ñư c
bi u th b i bi u th c: s = f ( t ) (1)
; trong ñó s là quãng ñư ng ñi ñư c c a ch t
ñi m (k t ñi m g c ch n cho trư c) và t là th i gian ñ ñi ñư c ño n s.
Trong trư ng h p chuy n ñ ng c a ch t ñi m là ñ u thì v n t c c a
f ( t2 ) − f ( t1 )
chuy n ñ ng ñư c tính r t d dàng: v = (2)
t2 − t1
Tuy nhiên, trong trư ng h p chuy n ñ ng không ñ u, công th c (2)
không cho ta bi t gì v s nhanh ch m c a chuy n ñ ng t i m i th i ñi m. Khi
ñó công th c (2) ch cho ta bi t v n t c trung bình c a chuy n ñ ng trong ño n
ñư ng t f ( t1 ) ñ n f ( t2 ) thôi. Vì v y ñ gi i quy t bài toán xác ñ nh s nhanh
ch m c a chuy n ñ ng t i m t th i ñi m t nào ñó ta ph i:
1. Đ nh nghĩa v n t c t c th i (bi u th ñ nhanh, ch m) c a chuy n ñ ng
th ng không ñ u.
12 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
- NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S
2. Ta nh n th y r ng n u kho ng th i gian t − t0 càng bé thì v n t c trung
f ( t ) − f ( t0 )
bình: vtb = cho ta hi u bi t càng chính xác v s nhanh ch m c a
t − t0
chuy n ñ ng t i th i ñi m ñi m ñó. Do nh n xét ñó t nhiên ta ñi ñ n ñ nh nghĩa
sau ñây v v n t c t c th i c a m t chuy n ñ ng th ng (không ñ u).
f ( t ) − f ( t0 ) (3)
Ta coi gi i h n: lim là v n t c t c th i c a chuy n ñ ng
t →t0 t − t0
th ng s = f ( t ) t i th i ñi m t0 . N u kí hi u: t − t0 = ∆t , f ( t ) − f ( t0 ) = ∆f = ∆s
∆s (4)
thì gi i h n (3) s ñư c vi t là: lim .
∆t →0 ∆t
B i to¸n 2. B i to¸n tính t khèi ñ a phương c a m t thanh không
ñång ch t
Gi s ta có m t thanh th ng AB, ti t di n ngang nh và ñ ng nh t trên c
chi u dài c a thanh. Ta bi t r ng m t thanh ñư c g i là ñ ng nh t n u hai ph n
b t kì c a thanh có cùng m t chi u dài thì có kh i lư ng b ng nhau. Trong
trư ng h p này t s d gi a kh i lư ng c a thanh và chi u dài c a nó (t c là
kh i lư ng c a m t ñơn v dài c a thanh) là m t s không ñ i. T s d ñư c g i
là t kh i c a thanh ñ ng ch t.
Trong trư ng h p thanh không ñ ng ch t thì hai ph n cùng ñ dài nói
chung có kh i lư ng khác nhau. ñây t kh i tính theo cách trên ñây (mà ta s
g i là t kh i trung bình c a thanh) không cho ta bi t gì v s phân b v t ch t
trên thanh. Đ gi i quy t v n ñ này, ta ph i ñưa ra m t khái ni m tương t t
kh i ñ i v i m t thanh ñ ng ch t và s g i là t kh i ñ a phương. C th là:
1. Đ nh nghĩa t kh i ñ a phương c a m t thanh không ñ ng ch t t i m i
ñi m c a nó.
2. Tìm cách tính t kh i ñ a phương ñó.
Ta s ch n m t trong các ñ u mút c a thanh (ch ng h n A) làm g c quy
chi u O và l y chi u t ñ u mút này ñ n ñ u mút kia (t A ñ n B) làm chi u
dương thì m i ñi m trên thanh s hoàn toàn xác ñ nh b i hoành ñ c a ñi m ñó;
lúc ñó kh i lư ng c a m c a ño n OM c a thanh là m t hàm c a x:
13 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
- NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S
m = f ( x ) , OM = x .( )
Gi s mu n xét s phân b v t ch t t i ñi m x0 . Ta nh n th y r ng n u
f ( x ) − f ( x0 )
chi u dài x − x0 càng bé thì t kh i trung bình (5)
cho ta hi u
x − x0
bi t càng chính xác v s phân b v t ch t c a thanh lân c n ñi m x0 . Vì v y
t nhiên ta ñưa ra ñ nh nghĩa:
f ( x ) − f ( x0 ) (6)
Ta s coi gi i h n: lim là t kh i ñ a phương c a thanh
x − x0 →0 x − x0
∆f (7)
th ng AB t i ñi m x0 . T s (6) có th vi t: lim n u kí hi u
∆x →0 ∆x
∆f = f ( x ) − f ( x0 ) ; ∆x = x − x0 .
T (4) và (7) ta th y vi c tính v n t c t c th i c a m t chuy n ñ ng th ng
không ñ u, tính t kh i ñ a phương c a m t thanh th ng không ñ ng ch t ñưa
ñ n cùng m t bài toán là tính gi i h n c a t s gi a s gia c a hàm s và s gia
c añ is .
Do v y ñ gi i quy t ñ ng th i hai bài toán trên (và t t c nh ng bài toán
tương t ) ngư i ta ñưa ra khái ni m ñ o hàm.
1.2. Các ki n th c cơ b n v ñ o hàm
1.2.1. Các khái ni m cơ b n
Đ i v i hàm s m t bi n:
) Đ nh nghĩa ñ o hàm: Gi s y = f ( x ) là m t hàm s xác ñ nh trong
kho ng (a;b) và x0 là m t ñi m tùy ý trong kho ng ñó. Ta thành l p t s :
f (x0 + ∆x ) − f ( x0 )
(x0 + ∆x ∈ (a; b)) (1)
∆x
N u t s ñó có gi i h n (h a h n) khi ∆x → 0 thì ta nói r ng hàm s f ( x ) có
f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆y
ñ o hàm t i x − x0 và vi t: f ' ( x0 ) = lim = lim (2)
;
∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x
trong ñó: ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) .
Rõ ràng giá tr c a gi i h n (2) ph thu c vào x0 cho nên f ' là m t hàm
14 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
- NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S
s . Mi n xác ñ nh c a hàm s f ' là t p h p m i ñi m x mà ñó t n t i gi i h n
(2). Hàm s f ' ñư c g i là ñ o hàm c a hàm s f t i ñi m x = x0 , nó còn ñư c
kí hi u như sau: f ' ( x0 ) = f ( x ) 'x = x0
Đ i v i hàm s hai bi n: Xét hàm s u = f ( x, y ) xác ñ nh trong mi n m D và
ñi m P ( x, y ) ∈ D . Khi cho x s gia ∆x ( ∆x ñ nh sao cho: P ' ( x + ∆x, y ) ∈ D )
hàm s u nh n s gia: ∆ xu = f ( x + ∆x, y ) − f ( x, y ) .
Tương t , khi cho s gia ∆y ( ∆y ñ nh sao cho P ' ( x, y + ∆y ) ∈ D ), hàm
s u nh n s gia: ∆ y u = f ( x, y + ∆y ) − f ( x, y ) .
) Đ nh nghĩa ñ o hàm riêng:
∆ xu f ( x + ∆x, y ) − f ( x, y )
N u t n t i gi i h n lim = lim thì gi i h n ñó
∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x
s ñư c g i là ñ o hàm riêng c a hàm s u ñ i v i bi n s x t i ñi m ( x, y ) và
∂u ∂f ( x, y ) ∆u
kí hi u là: = = f 'x ( x, y ) = lim x .
∂x ∂x ∆x →0 ∆x
∆ yu f ( x , y + ∆y ) − f ( x , y )
Tương t , n u t n t i gi i h n lim = lim thì
∆y →0 ∆y ∆y →0 ∆y
gi i h n ñó s ñư c g i là ñ o hàm riêng c a hàm s u ñ i v i bi n s y t i ñi m
∂u ∂f ( x, y ) ∆u
( x, y ) và kí hi u là: = = f ' y ( x, y ) = lim y .
∂y ∂y ∆y →0 ∆y
Chú ý: +) Qua ñ nh nghĩa trên, ta th y r ng vi c tính ñ o hàm riêng th c
ch t là tính ñ o hàm c a hàm s m t bi n s (khi ta coi bi n s kia là không
ñ i). Do ñó, vi c tính ñ o hàm riêng không ñòi h i nh ng quy t c m i.
+) Hoàn toàn tương t ta cũng có ñ nh nghĩa c a ñ o hàm riêng
c a hàm ba (ho c nhi u hơn ba bi n s ): u = f (x,y,z).
∂u f ( x + ∆x, y, z ) − f ( x, y, z )
Ch ng h n: = lim .
∂x ∆x→0 ∆x
1.2.2. Các quy t c cơ b n ñ tính ñ o hàm
) Đ nh lý: Cho các hàm s f và g xác ñ nh trong kho ng (a;b) và có ñ o
15 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
- NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S
hàm t i ñi m x 0 ∈ (a; b ) . Khi ñó f ± g, kf (k là s th c b t kì), f, g và fg cũng có
ñ o hàm t i ñi m x0 và ta có:
a) ( f ± g ) ' ( x0 ) = f ' ( x0 ) ± g ' ( x0 ) .
b) ( kf ) ' ( x0 ) = kf ' ( x0 ) .
c) ( fg ) ' ( x0 ) = f ' ( x0 ) .g ( x0 ) + f ( x0 ) .g ' ( x0 ) .
f f ' ( xo ) .g ( x0 ) − f ( x0 ) .g ' ( x0 )
d) ' ( x0 ) = .
g g 2 ( x0 )
) Đ o hàm c a hàm s h p: N u hàm y = f ( x ) có ñ o hàm t i x = x0
còn z = g ( y ) xác ñ nh trong kho ng ch a ñi m y0 = f ( x0 ) có ñ o hàm t i
y = y0 thì hàm h p z = g f ( x ) có ñ o hàm t i x = x0 và ta có: z ' ( xo ) = g ' ( y0 ) . f ' ( xo ) .
) Đ o hàm c a hàm s ngư c: Gi s cho hàm s y = f ( x ) liên t c và
tăng nghiêm ng t trong kho ng ( a, b ) và gi thi t r ng x = ϕ ( y ) là hàm ngư c
xác ñ nh trong lân c n c a ñi m y = y0 = f ( x0 ) , ( x0 ∈ ( a, b )) . Khi ñó n u hàm s
y = f ( x ) có ñ o hàm t i x = x0 và f ' ( x0 ) ≠ 0 thì hàm s x = ϕ ( y ) có ñ o hàm
1
t i y = y0 và ta có: ϕ ' ( y0 ) = .
f ' ( x0 )
1.2.3. Các ñ nh lý cơ b n v hàm kh vi:
) M i quan h gi a ñ o hàm (tính kh vi) và tính liên t c: N u hàm
s y = f ( x ) có ñ o hàm t i x0 thì nó liên t c t i ñi m ñó. Đi u ngư c l i không
ñúng.
) Đ nh lý Fermat: Cho hàm s f ( x ) xác ñ nh liên t c trong kho ng
ñóng [ a, b ] , khi ñó n u f ( x ) ñ t c c tr t i c ∈ ( a, b ) và n u f ( x ) kh vi t i c thì
f '( c ) = 0 .
) Đ nh lý Rolle: Cho hàm s f ( x ) xác ñ nh liên t c trong kho ng ñóng
[ a, b ] và kh vi trong kho ng m ( a, b ) ; khi ñó, n u f ( a ) = f ( b ) thì t n t i
c ∈ ( a, b ) sao cho f ' ( c ) = 0 .
16 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
- NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S
) Đ nh lý Lagrange: Cho hàm s f ( x ) xác ñ nh liên t c trong kho ng
ñóng [ a, b ] , kh vi trong kho ng m ( a, b ) ; khi ñó, t n t i c ∈ ( a, b ) sao cho
f (b ) − f ( a )
= f ' ( c ) hay là f ( b ) − f ( a ) = f ' ( c )( b − a ) .
b−a
) Đ nh lý Cauchy: Cho f ( x ) và g ( x ) là hai hàm s th a mãn gi thi t
c a ñ nh lý Lagrange, ngoài ra, gi s g ' ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ ( a, b ) , khi ñó t n t i c
f (b ) − f ( a ) f '( c )
gi a a và b sao cho = .
g (b ) − g ( a ) g '( c )
) Công th c Taylor (m r ng ñ nh lý Lagrange): N u hàm s f ( x ) xác
ñ nh liên t c trong kho ng ñóng [ a, b ] , kh vi ñ n ( n + 1) l n trong kho ng m
( a, b ) thì v i b t kỳ c ∈ ( a, b ) , có:
f ( x) = f (c) +
f '(c)
( x − c) +
f '' ( c )
( x − c ) + ... +
2 f n (c)
( x − c) + +
n
f( ) c
n +1
()
( x − c)
n +1
1! 2! n! ( n + 1)!
v ic gi a x và c.
T nh ng ki n th c ñ o hàm nêu trên không nh ng ñã giúp cho vi c gi i
các bài toán v tìm v n t c t c th i, gia t c c a m t chuy n ñ ng th ng không
ñ u trong v t lí ñư c gi i quy t m t cách ñơn gi n mà nó còn ñư c ng d ng
m t cách có hi u qu vào vi c kh o sát các hàm s , ñ c bi t là vi c tìm các ñi m
c c tr c a hàm s trên m t mi n xác ñ nh. T ñó có th tìm ñư c các giá tr l n
nh t, giá tr nh nh t c a hàm s trên mi n xác ñ nh ñó.
Vi c tìm c c tr hàm s nh ng d ng c a ñ o hàm không ch ñơn thu n
v m t gi i các bài toán có liên quan t i Toán h c mà nó còn làm tăng thêm tính
ng d ng c a Toán h c vào th c ti n và giúp cho ng d ng c a Toán h c vào
th c ti n ña d ng hơn và r ng l n hơn.
1.3. Ý nghĩa c a ñ o hàm ñ tìm c c tr hàm s
øng d ng c a ñ o hàm trong Toán h c cũng như trong th c ti n là vô
cùng r ng l n, ñ o hàm ñư c ng d ng vào gi i các bài toán v phương trình vi
phân, các bài toán tìm phương án t i ưu trong các bài toán kinh t , các bài toán
17 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
- NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S
v tìm gia t c, v n t c t i các th i ñi m t c th i trong v t lý ... vv. Tuy nhiên
ñây chúng ta ch ñ c p t i ph m vi ng d ng c a ñ o hàm m t góc ñ h p
hơn n a là ng d ng c a ñ o hàm ñ tìm c c tr hàm s .
Vi c tìm các ñi m c c tr c a hàm s là m t khâu không th thi u ñư c
trong quá trình kh o sát và v ñ th hàm s , nó giúp cho vi c d ng ñ th hàm
s ñư c d ràng và chính xác.
Ta có th tìm c c tr hàm s d a vào ñ nh nghĩa. (Ch ng h n: V i hàm s
m t bi n, ta có ñ nh nghĩa c c tr hàm s m t bi n như sau: Cho hàm s
y = f ( x ) xác ñ nh trên t p X có mi n giá tr là t p Y. N u t p Y có s l n nh t
(max Y) thì ta s g i s l n nh t ñó là c c ñ i tuy t ñ i hay giá tr l n nh t c a
hàm s y = f ( x ) trên t p X (hay ta cũng b o hàm s này ñ t c c ñ i tuy t ñ i
trên t p X)).
Tương t , n u t p Y có s bé nh t (min Y) thì ta s g i s bé nh t ñó là
c c ti u tuy t ñ i hay giá tr bé nh t c a hàm s y = f ( x ) trên t p X (và ta cũng
nói r ng hàm s này ñ t c c ti u tuy t ñ i trên t p X).
C c ñ i tuy t ñ i và c c ti u tuy t ñ i có tên chung là c c tr tuy t ñ i.
Ví d : Xét hàm s : y = f ( x ) = x 2 − 2 x + 5 .
Ta có: TXĐ c a hàm s là D = R. M t khác ta l i có:
y = f ( x ) = x 2 − 2 x + 5 = ( x − 1) + 4 = f (1) . V y theo ñ nh nghĩa v c c tr hàm
2
s ta suy ra ñi m x = 1 là m t ñi m c c ti u c a hàm s và hàm s không có
ñi m c c ñ i.
Tuy r ng ta có th tìm ñư c các ñi m c c tr hàm s nh ñ nh nghĩa c c
tr hàm s ñ i v i các hàm s tương ñ i ñơn gi n, nhưng v i các hàm s mà t i
các ñi m trên t p xác ñ nh c a nó không t n t i các giá tr l n nh t, cũng như
giá tr nh nh t mà các giá tr l n nh t hay nh nh t ch t n t i trong m t lân c n
nào ñó c a t p xác ñ nh thì vi c ch ra các ñi m c c tr là tương ñ i ph c t p
ho c có th d n t i b t c. Ví d : Xét hàm s cũng tương ñ i ñơn gi n:
3 4
y = f ( x ) = x 3 − x 2 − 3 x + . D th y hàm s cũng có TXĐ: D = R, nhưng trên
3 3
18 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
- NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S
t p xác ñ nh c a nó hàm s không t n t i giá tr l n nh t hay giá tr nh nh t mà
giá tr ñó ch t n t i trong m t lân c n nào ñó c a TXĐ. Vì v y mà không th
d a vào ñ nh nghĩa c c tr ñ tìm các ñi m c c tr c a hàm s trên. Nhưng n u
ng d ng ñ o hàm vào tìm c c tr thì v i bài toán trên vi c tìm các ñi m c c tr
l i ñư c gi i quy t m t cách ng n g n và ñơn gi n.
Th t v y ta có : f ' ( x ) = x 2 − 2 x − 3 . Cho f ' ( x ) = 0 ta ñư c x1 = −1 và
x2 = 3 , ñ ng th i f ' ( x ) ñ i d u khi x d n qua x1 và x2 nên x1 và x2 chính là
hai ñi m c c tr c n tìm.
Giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s có m i liên h m t thi t v i c c
tr hàm s , trên m t mi n xác ñ nh D nào ñó n u hàm s có giá tr l n nh t ho c
nh nh t thì chưa ch c hàm s ñã có ñi m c c tr trên D. Ngư c l i n u hàm s
t n t i các ñi m c c tr trên D thì ch c ch n trên m t lân c n nào ñó c a D hàm
s s ñ t ñư c giá tr l n nh t và nh nh t trên lân c n ñó.
V i vai trò ng d ng r ng rãi c a ñ o hàm, và ñ c bi t là ng d ng c a
nó trong vi c kh o sát và v ñ th hàm s là m t khâu quan tr ng và không th
thi u, v n ñ này s ñư c trình bày thông qua n i dung c a các bài toán trong
chương 2 và chương 3.
*******************************
K T LU N CHƯƠNG 1
Trong chương 1 trình bày cơ s lý thuy t v ñ c ñi m c a ñ o hàm thông
qua nh ng ñ c ñi m chung c a môn Toán, làm rõ tính tr u tư ng cao ñ và tính
th c ti n ph d ng, tính lôgíc và tính th c nghi m. Đ ng th i, h th ng hóa các
ki n th c cơ b n v ñ o hàm bao g m:
- Đ nh nghĩa ñ o hàm c a hàm s m t bi n và ñ o hàm hàm s hai bi n.
- Các quy t c tính ñ o hàm.
- Các ñ nh lý cơ b n v hàm kh vi.
Ngoài ra, trong chương này còn b sung thêm ý nghĩa c a ñ o hàm ñ tìm
c c tr c a hàm s nh m ñưa ra cơ s lý lu n v ng ch c cho khóa lu n.
19 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
- NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S
CHƯƠNG 2. NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM
C C TR HÀM S M T BI N
2.1. Các ki n th c cơ b n
2.1.1. Đ nh nghĩa
) Đ nh nghĩa c c tr c a hàm s m t bi n: Cho hàm s y = f ( x ) xác
ñ nh trên t p X có mi n giá tr là t p Y. N u t p Y có s l n nh t (max Y) thì ta
s g i s l n nh t ñó là c c ñ i tuy t ñ i hay giá tr l n nh t c a hàm s
y = f ( x ) trên t p X (hay ta cũng b o hàm s này ñ t c c ñ i tuy t ñ i trên X).
Tương t , n u t p Y có s bé nh t (min Y) thì ta s g i s bé nh t ñó là
c c ti u tuy t ñ i hay giá tr bé nh t c a hàm s y = f ( x ) trên t p X (và ta cũng
nói r ng hàm s này ñ t c c ti u tuy t ñ i trên t p X).
C c ñ i tuy t ñ i và c c ti u tuy t ñ i có tên chung là c c tr tuy t ñ i.
Chú ý: có nhi u hàm s (nhi u khi r t ñơn gi n) không có c c tr . Ch ng
h n hàm s : y = x không có c c ti u và không có c c ñ i trong kho ng (0;1).
) N u hàm f ( x ) kh vi t i ñi m c và t i ñó có c c tr thì f ' ( c ) = 0 . Các
nghi m c a phương trình f ' ( x ) = 0 ñư c g i là các ñi m d ng. Các ñi m nghi
ng có c c tr ph i k c các ñi m mà t i ñó ñ o hàm không t n t i. C hai lo i
ñi m trên ñư c g i là các ñi m t i h n.
2.1.2. Quy t c tìm c c tr hàm s
+) Quy t c dùng ñ o hàm ñ tìm c c tr hàm s m t bi n:
) Quy t c 1: Gi s hàm s y = f ( x ) liên t c có ñ o hàm trên mi n D
thì ñi m x0 là ñi m c c tr c a hàm s n u: f ' ( x ) = 0 và f ' ( x ) ñ i d u khi x
d n qua x0 .
+ x0 g i là ñi m c c ñ i n u x d n qua x0 thì f’(x) ñ i d u t dương sang
âm (t c là f’(x) > 0 n u x < x0 và f’(x) < 0 n u x > x0 (v i x ñ g n x0)).
+ x0 g i là ñi m c c ti u n u x d n qua x0 thì f’(x) ñ i d u t âm sang
dương (t c là f’(x) < 0 n u x < x0 và f’(x) > 0 n u x > x0 (v i x ñ g n x0)).
20 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
- NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S
Tóm t t quy t c 1 b ng b ng sau: (D = (a ; b))
x -∞ a x0 b +∞ x -∞ a x0 b +∞
‘
y - 0 + y‘ + 0 -
y y CĐ
CT
Trong trư ng h p phương trình y ' = 0 có nghi m nhưng không xét d u
ñư c y ' ta s d ng quy t c 2:
) Quy t c 2: Gi s hàm s y = f ( x ) có ñ o hàm liên t c ñ n c p hai t i
x0, f’(x0) = 0 và f’’(x0) ≠ 0 thì x0 là ñi m c c tr c a hàm s và:
+ N u f’’(x0) > 0 thì x0 là ñi m c c ti u.
+ N u f’’(x0) < 0 th× x0 là ñi m c c ñ i.
) Quy t c 3: Gi s n là s t nhiên nào ñó và gi s hàm y = f ( x ) ,
trong lân c n nào ñó c a ñi m x0 có ñ o hàm c p (n - 1), còn chính t i ñi m có
ñ o hàm b c n. Gi s t i ñi m x = c tho mãn h th c sau ñây:
f’(c) = f’’(c) = …= f(n-1) (c) = 0; f(n) (x) ≠ 0.
Khi ñó: N u n ch n thì hàm s y = f ( x ) có c c ñ i ñ a phương t i ñi m
c, c th là: c c ñ i n u f(n) (c) < 0 và c c ti u n u f(n) (x) > 0.
N u n l thì f ( x ) không ñ t c c tr t i x = c.
+) Các bư c kh o sát hàm s :
Đ ti n hành kh o sát hàm s , ngư i ta thư ng theo các bư c sau:
) Bư c 1: Tìm mi n xác ñ nh c a hàm s .
) Bư c 2: Xét chi u bi n thiên c a hàm s :
+) Tính, xét d u c a ñ o hàm c p 1, t ñó suy ra s tăng, gi m c a hàm s .
+) Tìm c c tr .
+) Xét tính l i lõm và tìm ñi m u n c a ñư ng cong.
) Bư c 3: Tìm các ñư ng ti m c n.
) Bư c 4: L p b ng bi n thiên ( ghi các k t qu kh o sát trên).
) Bư c 5: D ng ñ th .
21 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
nguon tai.lieu . vn