Xem mẫu

  1. M cl c L im đ u 1 1 Ki n th c chu n b 5 1.1 Ánh x đa tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Nguyên lý bi n phân Ekeland . . . . . . . . . . . 9 1.3 Nón pháp tuy n, dư i vi phân, đ i đ o hàm . . . 9 1.4 Quy t c t ng m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Các k t qu v tính m 15 2.1 Đ nh lý ánh x m . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 S c n thi t c a tính đóng . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Trư ng h p ánh x có tham s . . . . . . . . . . . 22 3 Các đ nh lý hàm n 26 3.1 Tính n a liên t c dư i c a hàm n đa tr . . . . . 26 3.2 Tính mêtric chính quy c a hàm n đa tr . . . . . 28 3.3 Đ i đ o hàm c a hàm n đa tr . . . . . . . . . . 33 i
  2. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n 3.4 Tính gi Lipschitz c a hàm n đa tr . . . . . . . 36 K t lu n 38 ii
  3. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n M TS KÝ HI U x chu n c a x V(x) h các lân c n c a x B(x, r), D(x, r) hình c u m và hình c u đóng tâm x, bán kính r SX m t c u đơn v trong X d(x, A) kho ng cách t x đ n A S x→x ¯ x → x và x ∈ S ¯ f x→x ¯ x → x và f (x) → f (¯) ¯ x Nε (S, x) t p các véctơ ε-pháp tuy n c a S t i x N (S, x) nón pháp tuy n Fréchet c a S t i x N (S, x) ¯ nón pháp tuy n cơ s c a S t i x ¯ ∂f (¯) x dư i vi phân Fréchet c a f t i x ¯ ∂f (¯) x dư i vi phân cơ s c a f t i x ¯ δΩ hàm ch c a t p ∅ = Ω ⊂ X F :X Y ánh x đa tr t X vào Y DomF mi n h u hi u c a F GrF đ th c a F D∗ F (¯, y )(·) x ¯ đ i đ o hàm Fréchet c a F t i (¯, y ) x ¯ D∗ F (¯, y )(·) x ¯ đ i đ o hàm Mordukhovich c a F t i (¯, y ) x ¯ iii
  4. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n L im đ u Ti p sau s phát tri n đ t đ n m c đ hoàn thi n c a Gi i tích l i [21], Gi i tích không trơn [7], Gi i tích đa tr [3, 4], m t lý thuy t m i dư i tên g i là Gi i tích bi n phân đã ra đ i và ngày càng đư c chú ý. Các k t qu cơ b n c a Gi i tích bi n phân trong các không gian h u h n chi u c a đã đư c trình bày trong cu n chuyên kh o c a R. T. Rockafellar và R. J.-B. Wets [22]. B sách hai t p [17] c a B. S. Mordukhovich trình bày nhi u k t qu sâu s c v Gi i tích bi n phân và phép tính vi phân suy r ng trong không gian vô h n chi u, cùng v i nh ng ng d ng phong phú trong Quy ho ch toán h c, Lý thuy t các bài toán cân b ng, Đi u khi n t i ưu các h đ ng l c đư c mô t b i phương trình ti n hóa, Đi u khi n t i ưu các h đ ng l c đư c mô t b i phương trình đ o hàm riêng, T i ưu véctơ, và Cân b ng kinh t . Các k thu t cơ b n c a Gi i tích bi n phân và m i liên h c a nó v i các k thu t c a Gi i tích hàm đư c trình bày trong cu n chuyên kh o c a J. M. Borwein và Q. J. Zhu [6]. Tính m là m t tính ch t quan tr ng khi nghiên c u ánh x đa tr cũng như ánh x đơn tr . Tính ch t này r t h u ích trong nhi u lĩnh v c c a lý thuy t t i ưu, ví d như trong vi c nghiên c u s t n t i nghi m c a bài toán b nhi u, hay trong vi c ch ng minh các đi u ki n t i ưu cho các bài toán quy h ach toán h c. Lu n văn này trình bày m t s k t qu v tính m c a ánh 1
  5. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n x đa tr và các đ nh lý hàm n d a trên bài báo [10] c a hai nhà toán h c Rumani là M. Durea và R. Strugariu (đã đư c đăng trên Pacific Journal of Optimization, Vol. 6, No. 3, 2010, pp. 533-549). Nh ng k t qu c a hai tác gi này đã phát tri n và làm sâu s c thêm các đ nh lý hàm n trong bài báo c a G. M. Lee, N. N. Tam và N. D. Yen [13]. Kh năng s d ng cách ti p c n c a [10] đ phát tri n thêm m t bư c các k t qu c a N. D. Yen và J.-C. Yao [23] (s d ng đ i đ o hàm Mordukhovich t i m t đi m trên đ th c a ánh x đa tr đư c xét) v n còn là m t v n đ m . Lưu ý r ng các k t qu tương t như các k t qu c a [10] đã đư c M. Durea trình bày trong [9]. Chương 1 trình bày các khái ni m thông d ng trong Gi i tích đa tr và Gi i tích bi n phân, cùng v i m t s k t qu kinh đi n: Nguyên lý bi n phân Ekeland, Quy t c t ng m . Chương 2 ch ng minh m t s k t qu v tính m c a ánh x đa tr , xét riêng các trư ng h p ánh x không có tham s và ánh x có tham s . đây, theo cách ti p c n c a M. Durea và R. Strugariu [10], chúng ta khai thác m t đi u ki n chính quy c a h đ i đ o hàm Fréchet: T n t i các h ng s c > 0, r > 0, s > 0 sao cho v i m i (x, y) ∈ GrF ∩ [B(¯, r) × B(¯, s)] và v i x y ˆ m i y ∗ ∈ Y ∗ , x∗ ∈ D∗ F (x, y)(y ∗ ), c y ∗ ≤ x∗ , (1) ˆ trong đó D∗ F (x, y)(·) : Y ∗ X ∗ ký hi u đ i đ o hàm Fréchet c a ánh x đa tr F : X Y gi a hai không gian Asplund X 2
  6. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n và Y t i đi m (x, y) thu c t p đ th GrF := {(u, v) ∈ X × Y | v ∈ F (u)}, (2) và B(¯, r) ký hi u hình c u m có tâm x và bán kính r. Đi u x ¯ ki n chính quy v a nêu tương t v i các đi u ki n đã đư c các tác gi khác đưa ra trư c đây [12, 13, 18]. S c trong (1) có liên quan đ n khái ni m h ng s Banach (chính là đ m ) c a toán t tuy n tính. Chương 3 đ c p đ n hàm n đa tr . Chúng ta s th y r ng, dư i nh ng gi thi t thích h p, hàm n đa tr th a hư ng m t s tính ch t c a ánh x đa tr ch a tham s ban đ u. C th hơn, các tính ch t đư c bàn t i đây là tính n a liên t c dư i, tính chính quy mêtric, tính gi Lipschitz (còn đư c g i là tính ch t Aubin, ho c tính gi ng-Lipschitz). Các tính ch t này đư c ch ng minh d a trên các k t qu trình bày trong Chương 2. Trong s các k t qu Chương 3, còn có m t đánh giá dư i cho đ i đ o hàm c a hàm n đa tr (Đ nh lý 3.3). Lu n văn có m t k t qu m i, đó là kh ng đ nh M c 2.2 (Chương 2) nói r ng k t lu n trong đ nh lý ánh x m c a M. Durea và R. Strugariu [10, Theorem 3.1] không còn đúng, n u lo i b gi thi t v tính đóng c a ánh x đa tr đư c xét. Lu n văn này đư c hoàn thành t i Vi n Toán h c, Vi n Khoa h c và Công ngh Vi t Nam, dư i s hư ng d n c a GS. TSKH. Nguy n Đông Yên. Tác gi chân thành c m ơn th y Nguy n Đông Yên và các nghiên c u sinh c a th y đã giúp đ tác gi r t nhi u trong quá trình làm lu n văn. Tác gi cũng xin đư c bày t lòng bi t ơn các th y cô và 3
  7. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n cán b công nhân viên c a Vi n Toán h c đã quan tâm giúp đ trong su t quá trình h c t p và nghiên c u t i Vi n. Hà N i, ngày 29 tháng 8 năm 2011 Tác gi lu n văn Dương Th Kim Huy n 4
  8. Chương 1 Ki n th c chu n b Chương này trình bày m t s khái ni m cơ b n c a Gi i tích đa tr và Gi i tích bi n phân, cùng v i m t s k t qu kinh đi n, như Nguyên lý bi n phân Ekeland, Quy t c t ng m . 1.1 Ánh x đa tr Cho X và Y là các không gian tôpô. Xét ánh x đa tr F :X Y xác đ nh trên X, nh n giá tr trong t p các t p h p con c a Y . Đ th (graph) c a F đư c cho b i (2), còn mi n h u hi u (effective domain) c a F đư c cho b i DomF := {x ∈ X | F (x) = ∅}. N u A ⊂ X thì F (A) := F (x) là nh c a t p A qua ánh x x∈A F . T p F (X) đư c ký hi u b i ImF và đư c g i là nh (image) 5
  9. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n c a F . Ánh x ngư c (inverse mapping) F −1 : Y X c aF đư c xác đ nh b i công th c F −1 (y) := {x ∈ X | y ∈ F (x)} (∀y ∈ Y ). Các khái ni m sau đây là khá thông d ng trong Gi i tích đa tr . Ta ký hi u h th ng các lân c n c a x ∈ X b i V(x). Đ nh nghĩa 1.1. Ta nói F là n a liên t c dư i (lower semicon- tinuous, hay lsc) t i x ∈ X n u v i m i t p m mà F (x)∩D = ∅, t n t i U ∈ V(x) sao cho F (x ) ∩ D = ∅, v i m i x ∈ U . Trong các ph n sau, ta s s d ng m t gi thi t y u hơn v tính liên t c (xem [17, Definition 1.63]). Đ nh nghĩa 1.2. Ta nói F là n a liên t c bên trong (inner semicontinuous, hay isc) t i (x, y) ∈ X × Y n u v i m i t p m D ⊂ Y mà y ∈ D, t n t i U ∈ V(x) sao cho F (x ) ∩ D = ∅ v i m i x ∈ U. D th y r ng khái ni m nói trong Đ nh nghĩa 1.2 y u hơn khái ni m nói trong Đ nh nghĩa 1.1. Trên th c t , F là n a liên t c dư i t i x khi và ch khi nó là n a liên t c bên trong t i m i đi m (x, y) v i m i y ∈ F (x). Ví d 1.1. Cho ánh x đa tr F : R R xác đ nh b i F (0) = [−1, 1] và F (x) = {0} v i m i x = 0. F n a liên t c bên trong t i (0, 0), nhưng không n a liên t c dư i t i 0. C th , F không n a liên t c bên trong t i m i đi m (0, y), v i y ∈ F (0)\{0}, t c là y ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1]. Th t v y, xét t p m D ⊂ R v i y ∈ D, nhưng 0 ∈ D. Khi đó, v i m i U ∈ V(0), ta có F (x ) ∩ D = ∅ / v i m i x ∈ U \ {0}. 6
  10. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n Bây gi , ta gi s X và Y là các không gian đ nh chu n. Ký hi u B(x, r) và D(x, r) l n lư t là các hình c u m và hình c u đóng tâm x bánh kính r. Đôi khi, ta ký hi u BX , DX , SX là các hình c u m , hình c u đóng, và m t c u đơn v trong X. Kho ng cách t x ∈ X đ n A ⊂ X đư c đ nh nghĩa như sau: d(x, A) := inf{ x − a | a ∈ A}. Thông thư ng, ta quy ư c d(x, ∅) = +∞. Ta xét chu n t ng khi làm vi c v i không gian tích X × Y , t c là ta đ t (x, y) = x + y (∀(x, y) ∈ X × Y ). Đ nh nghĩa 1.3. Ta nói ánh x đa tr F là m (open) t i (¯, y ) ∈ GrF n u nh c a m t lân c n b t kỳ c a x qua F là x ¯ ¯ m t lân c n c a y . ¯ Ta đ ý r ng F là n a liên t c bên trong t i (¯, y ) ∈ GrF x ¯ khi và ch khi F −1 là m t i (¯, x). y ¯ Tính m v i t l tuy n tính như trong đ nh nghĩa sau đây là m nh hơn tính m nói trong Đ nh nghĩa 1.3. Đ nh nghĩa 1.4. Ta nói F : X Y là m v i t l tuy n tính (open with linear rate) quanh (¯, y ) ∈ GrF n u t n t i hai x ¯ lân c n U ∈ V(¯), V ∈ V(¯) và m t s ε > 0 sao cho v i m i x y (x, y) ∈ GrF ∩ (U × V ) và v i m i ρ ∈ (0, ε) ta có B(y, ρc) ⊂ F (B(x, ρ)). Tính m v i t l tuy n tính tương đương (xem J.-P. Penot [19], J. M. Borwein và D. M. Zhuang [5]) v i tính ch t mêtric chính quy c a F quanh (¯, y ) đư c phát bi u như sau. x ¯ 7
  11. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n Đ nh nghĩa 1.5. Ánh x đa tr F : X Y đư c g i là mêtric chính quy (metrically regular) quanh (¯, y ) ∈ GrF n u t n t i x ¯ a > 0 và hai lân c n U ∈ V(¯), V ∈ V(¯) sao cho v i m i u ∈ U x y và v i m i v ∈ V ta có d(u, F −1 (v)) ≤ ad(v, F (u)). Tính ch t mêtric chính quy trong Đ nh nghĩa 1.5 là m t trư ng h p đ c bi t c a tính mêtric chính quy c a hàm n đa tr mà ta s bàn t i Chương 3. Lưu ý r ng tính mêtric chính quy c a hàm n đa tr là khái ni m do S. M. Robinson [20] đưa ra năm 1976. M t tính ch t khác có liên quan m t thi t v i tính m v i t l tuy n tính và tính mêtric chính quy là tính ch t gi Lipschitz như trong đ nh nghĩa sau đây. Đ nh nghĩa 1.6. Ta nói F : X Y là gi Lipschitz (pseudo- Lipschitz) quanh (¯, y ) ∈ GrF v i môđun > 0 n u t n t i hai x ¯ lân c n U ∈ V(¯) và V ∈ V(¯) sao cho x y F (x) ∩ V ⊂ F (u) + x − u DY (∀x ∈ U, ∀u ∈ U ). Tính ch t quan tr ng này do J.-P. Aubin [2] đưa ra năm 1984. Đ ghi công J.-P. Aubin trong vi c phát tri n Gi i tích đa tr và các ng d ng, A. L. Dontchev và R. T. Rockafellar [8] đã đ ngh g i tính gi Lipschitz c a ánh x đa tr là tính ch t Aubin (the Aubin property). M t s tác gi khác đ ngh s d ng thu t ng tính gi ng-Lipschitz (the Lipschitz-like property) cho khái ni m này (xem B. S. Mordukhovich [17]). 8
  12. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n 1.2 Nguyên lý bi n phân Ekeland Nguyên lý bi n phân do I. Ekeland [11] đ xu t năm 1974 là m t công c m nh trong Gi i tích phi tuy n, Gi i tích không trơn, Gi i tích đa tr , Gi i tích bi n phân, và trong các hư ng khác nhau c a toán h c ng d ng. Đ nh lý 1.1. Cho (X, d) là không gian mêtric đ y đ và f : X → R ∪ {+∞} là m t hàm chính thư ng (t c là mi n xác đ nh domf := {x ∈ X | f (x) ∈ R} c a f là khác r ng), n a liên t c dư i và b ch n dư i trên X. Khi đó, v i m i x ∈ domf và v i m i ε > 0, t n t i xε ∈ X sao ¯ cho f (xε ) ≤ f (¯) − εd(¯, xε ) x x và v i m i x ∈ X \ {xε }, f (xε ) < f (x) + εd(x, xε ). Ch ng minh c a đ nh lý này có th xem trong [1, 3, 11, 17]. 1.3 Nón pháp tuy n, dư i vi phân, đ i đ o hàm Chúng ta trình bày l i nh ng nét chính c a phép xây d ng nón pháp tuy n, dư i vi phân, đ i đ o hàm - nh ng khái ni m chính c a Gi i tích bi n phân theo cách ti p c n b ng không gian đ i ng u c a B. S Mordukhovich và các c ng s . 9
  13. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n Trư c h t, ta nh c l i r ng X ∗ ký hi u đ i ng u tôpô c a không gian đ nh chu n X. Giá tr c a phi m hàm x∗ ∈ X ∗ t i x ∈ X đư c ký hi u b i x∗ , x . Các ký hi u w và w∗ đư c dùng đ ch tôpô y u và tôpô y u∗ c a c p đ i ng u (X, X ∗ ). Cho t p h p khác r ng S và m t hàm f : X → R, đó ¯ ¯ R = [−∞, +∞], ta dùng các ký hi u sau: S x → x n u x → x và x ∈ S, ¯ ¯ f x → x n u x → x và f (x) → f (¯). ¯ ¯ x Đ nh nghĩa 1.7. Cho X là m t không gian đ nh chu n, S là m t t p con khác r ng c a X, và x ∈ S. ¯ (a) V i m i x ∈ S và v i m i ε ≥ 0, t p các véctơ ε-pháp tuy n c a S t i x là x∗ , u − x Nε (S, x) := x∗ ∈ X ∗ | lim sup ≤ε . (1.1) u→x S u−x N u ε = 0 thì các ph n t v ph i c a (1.1) đư c g i là các véctơ pháp tuy n Fréchet. T p các véctơ pháp tuy n đó đư c ký hi u b i N (S, x), và đư c g i là nón pháp tuy n Fréchet c a S t i x. (b) Nón pháp tuy n cơ s (còn đư c nón pháp tuy n qua gi i h n, hay nón pháp tuy n Mordukhovich) c a S t i x là t p h p ¯ N (S, x) := ¯ x∗ ∈ X ∗ | ∃ε ↓ 0, S w∗ xn → x, x∗ → x∗ , x∗ ∈ Nεn (S, xn ) ∀n ∈ N , ¯ n n (1.2) đó N = {1, 2, . . . }. N u X là không gian Asplund (t c là không gian Banach mà m i hàm l i liên t c xác đ nh trên m t t p l i m đ u kh vi 10
  14. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n trên m t t p con trù m t c a t p m đó), thì công th c tính nón pháp tuy n cơ s (1.2) có d ng đơn gi n hơn. C th là, S N (S, x) = x∗ ∈ X ∗ | ∃xn → x, ¯ ¯ w∗ x∗ → x∗ , x∗ ∈ N (S, xn ) ∀n ∈ N . n n (1.3) 1.4 Quy t c t ng m Cho f : X → R h u h n t i x ∈ X. Dư i vi phân Fréchet c a f ¯ t i x là t p h p ¯ ∂f (¯) := {x∗ ∈ X ∗ |(x∗ , −1) ∈ N (epif, (¯, f (¯)))}. x x x Dư i vi phân cơ s (còn đư c g i là dư i vi phân qua gi i h n, ho c dư i vi phân Mordukhovich) c a f t i x là ¯ ∂f (¯) := {x∗ ∈ X ∗ |(x∗ , −1) ∈ N (epif, (¯, f (¯)))}, x x x đó epif kí hi u t p trên đ th (epigraph) c a f . Ta luôn có ∂f (¯) ⊂ ∂f (¯). x x Đ ý r ng ∂f (¯) là t p l i, đóng y u∗ . x N u X là không gian h u h n chi u, thì ∂f (¯) là t p đóng, x có th không l i (xem [17, p. 11] và [1]). N u X là không gian vô h n chi u, thì ∂f (¯) có th không đóng [17, Example 1.7] x Trong không gian Asplund, ta có ∂f (¯) = lim sup ∂f (x). x f x→¯ x 11
  15. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n N u f là l i, thì c hai dư i vi phân ∂f (¯) và ∂f (¯) đ u trùng x x v i dư i vi phân c a f t i x theo nghĩa Gi i tích l i [21]. ¯ N u kí hi u δΩ là hàm ch c a m t t p khác r ng Ω ⊂ X (t c là δΩ (x) = 0 n u x ∈ Ω, δΩ = +∞ n u x ∈ Ω), thì v i m i x ∈ Ω / ¯ ta có ∂δΩ (¯) = N (Ω, x) và ∂δΩ (¯) = N (Ω, x). x ¯ x ¯ Cho Ω ⊂ X là m t t p khác r ng và x ∈ Ω. Khi đó, ta có ¯ ∂d(., Ω)(¯) = N (Ω, x) ∩ DX ∗ , x ¯ N (Ω, x) = ¯ λ∂d(., Ω)(¯). x λ>0 N u Ω là t p đóng thì N (Ω, x) = ¯ λ∂d(., Ω)(¯). x λ>0 M i ph n t x∗ ∈ ∂f (¯) đư c g i là m t dư i gradient Fréchet x c a f t i x. Ta có mô t bi n phân trơn (xem [17, Theorem ¯ 1.88(i)]) cho các dư i gradient Fréchet như sau. M nh đ 1.1. (Mô t bi n phân trơn c a dư i gradient Fréchet) Cho f : X → R h u h n t i x và cho x∗ ∈ X ∗ . N u có m t lân ¯ c n U c a x và m t hàm s : U → R kh vi Fréchet t i x v i đ o ¯ ¯ hàm s(¯) = x∗ sao cho f − s đ t c c ti u đ a phương t i x, thì x ¯ ∗ ∗ x ∈ ∂f (¯). Đi u ngư c l i cũng đúng, t c là n u x ∈ ∂f (¯) thì x x có m t lân c n U c a x và m t hàm s : U → R kh vi Fréchet ¯ t i x sao cho ¯ s(¯) = f (¯), x x s(¯) = x∗ , x s(x) ≤ f (x) v i m i x ∈ U. Quy t c t ng m (a fuzzy sum rule) [17, Theorem 2.33] sau 12
  16. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n đây cho dư i vi phân Fréchet là m t trong nh ng công c chính đ thu đư c các k t qu v tính m c a ánh x đa tr . Đ nh lý 1.2. (Quy t c t ng m ) Cho X là không gian Apslund và ϕ1 , ϕ2 : X → R ∪ {∞} sao cho ϕ1 liên t c Lipschitz quanh x ∈ domϕ1 ∩ domϕ2 và ϕ2 n a liên t c dư i quanh x. Khi đó, ¯ ¯ v i m i γ > 0 ta có ∂(ϕ1 + ϕ2 )(¯) ⊂ x {∂ϕ1 (x1 ) + ∂ϕ2 (x2 )|xi ∈ x + γDX , ¯ |ϕi (xi ) − ϕi (¯)| ≤ γ, i = 1, 2} + γDX . x Dư i vi phân cơ s th a mãn quy t c t ng thô [17, Theorem 2.33] sau đây. Đ nh lý 1.3. (Quy t c t ng thô) N u X là không gian Apslund và f1 , f2 , . . . , fn−1 : X → R là Lipschitz quanh x và fn : X → R ¯ là n a liên t c dư i quanh x (t c là fn n a liên t c dư i t i m i ¯ đi m thu c m t lân c n nào đó c a x), thì ¯ n n ∂( fi (¯)) ⊂ x ∂fi (¯). x i=1 i=1 Đ nh nghĩa 1.8. Cho F : X Y là ánh x đa tr và (¯, y ) ∈ x ¯ GrF . Khi đó, đ i đ o hàm Fréchet (the Fréchet coderivative) t i (¯, y ) c a F là ánh x đa tr D∗ F (¯, y ) : Y ∗ x ¯ x ¯ X ∗ xác đ nh b i D∗ F (¯, y )(y ∗ ) := {x∗ ∈ X ∗ |(x∗ , −y ∗ ) ∈ N (GrF, (¯, y ))}. x ¯ x ¯ Tương t , đ i đ o hàm chu n t c (the normal coderivative), còn g i là đ i đ o hàm Mordukhovich (the Mordukhovich coderiva- tive), c a F t i (¯, y ) là ánh x đa tr DN F (¯, y ) : Y ∗ x ¯ ∗ x ¯ X∗ 13
  17. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n xác đ nh b i DN F (¯, y )(y ∗ ) := {x∗ ∈ X ∗ |(x∗ , −y ∗ ) ∈ N (GrF, (¯, y ))}. ∗ x ¯ x ¯ Khái ni m đ i đ o hàm chu n t c, đ c l p v i nón pháp tuy n dùng trong đ nh nghĩa c a nó, đã đư c đưa ra b i B. S. Mordukhovich [14] vào năm 1980. N u xét các ánh x đa tr có đ th l i, thì ta có m t d ng bi u di n đ c bi t cho đ i đ o hàm Fréchet và đ i đ o hàm chu n t c. M nh đ 1.2. (xem [17, Proposition 1.37]) Cho F : X Y là ánh x đa tr có đ th l i và (¯, y ) ∈ GrF . Khi đó, v i m i x ¯ y ∗ ∈ Y ∗ , ta có công th c tính giá tr c a đ i đ o hàm như sau: D∗ F (¯, y )(y ∗ ) x ¯ = DN F (¯, y )(y ∗ ) ∗ x ¯ = x∗ ∈ X ∗ | x∗ , x − y ∗ , y = ¯ ¯ max [ x∗ , x − y ∗ , y ] . ¯ (x,y)∈GrF Trong trư ng h p này, hai toán t đ i đ o hàm D∗ F (¯, y )(·) và x ¯ DN F (¯, y )(·) cùng đư c ký hi u b i D∗ F (¯, y )(·). ∗ x ¯ x ¯ 14
  18. Chương 2 Các k t qu v tính m Trong chương này, chúng ta s ch ng minh m t s k t qu v tính m c a ánh x đa tr . Các trư ng h p ánh x không có tham s và ánh x có tham s s đư c xét riêng r . 2.1 Đ nh lý ánh x m Ta b t đ u v i m t k t qu v tính m c a ánh x đa tr . Ph n k t lu n và k thu t chúng minh trong k t qu sau đây là cơ b n, theo nghĩa t đó ta có th rút ra các k t qu v tính m c a ánh x đa tr có tham s và các đ nh lý hàm n. K thu t này cũng như k t qu sau đây đã có trong [19, Theorem 2.3], nhưng [10] các tác gi M. Durea và R. Strugariu đã thu đư c m t đánh giá chính xác hơn cho các lân c n c a đi m (¯, y ) nói x ¯ trong tính ch t m . Đ nh lý 2.1. Cho X, Y là các không gian Asplund, F : X Y là ánh x đa tr và (¯, y ) ∈ GrF . Gi s các gi thi t sau th a x ¯ mãn: (i) GrF là đóng 15
  19. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n (ii) T n t i c > 0, r > 0, s > 0 sao cho v i m i (x, y) ∈ GrF ∩ [B(¯, r) × B(¯, s)] và m i y ∗ ∈ Y ∗ , x∗ ∈ D∗ F (x, y)(y ∗ ), x y c||y ∗ || ≤ ||x∗ ||. Khi đó, v i m i a ∈ (0, c) và m i ρ ∈ (0, ε), trong đó 1 c a r s ε := min − , , , 2 c+1 a+1 a + 1 2a ta có B(¯, ρa) ⊂ F (B(¯, ρ)). y x Ch ng minh. L y a ∈ (0, c), b ∈ a+1 , 1 ( c+1 + a 2 c a a+1 ) , và ρ ∈ (0, ε). Ta có c b+ρ< (2.1) c+1 và r b−1 aρ < b−1 a < r. (2.2) r+1 Ch n v ∈ B(¯, ρa) và f : GrF → R xác đ nh b i f (x, y) := y ||v − y||. Do GrF là đóng, ta có th áp d ng Nguyên lý bi n phân Ekeland trong Đ nh lý 1.1 cho hàm f trên t p GrF đ thu đư c (ub , vb ) ∈ GrF sao cho f (ub , vb ) ≤ f (¯, y ) − bd (ub , vb ), (¯, y )) x ¯ x ¯ (2.3) và f (ub , vb ) ≤ f (x, y) + bd (ub , vb ), (x, y)) ∀(x, y) ∈ GrF. (2.4) Suy ra ||vb − v|| ≤ ||¯ − v|| − b(||¯ − ub || + ||¯ − vb ||) y x y (2.5) 16
  20. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n và ||vb − v|| ≤ ||y − v|| + b(||x − ub || + ||y − vb ||) v i m i (x, y) ∈ GrF . T (2.2) và (2.5) ta có ||¯ − ub || ≤ b−1 ||¯ − v|| < b−1 aρ < r, x y ||¯ − vb || ≤ ||¯ − v|| + ||v − vb || ≤ 2||¯ − v|| < 2ρa < s. y y y T đó suy ra r ng (ub , vb ) ∈ GrF ∩[B(¯, r)×B(¯, s)]. N u vb = v x y thì b||¯ − ub || ≤ (1 − b)||¯ − v|| < (1 − b)aρ < bρ. x y Suy ra ub ∈ B(¯, ρ) và v ∈ F (B(¯, ρ)). Ta kh ng đ nh r ng x x vb = v là trư ng h p duy nh t có th x y ra. Th t v y, gi s v = vb . Xét hàm h : X × Y → R, v i h(x, y) := ||y − v|| + b(||x − ub || + ||y − vb ||). Do tính ch t (2.4), ta có (ub , vb ) là đi m c c ti u c a h trên GrF , hay (ub , vb ) là đi m c c ti u toàn c c c a hàm h + δGrF . Áp d ng quy t c Fermat m r ng, ta có (0, 0) ∈ ∂(h(·) + δGrF (·))(ub , vb ). S d ng s ki n h là Lipschitz và δGrF là n a liên t c dư i, ta áp d ng Quy t c t ng m (Đ nh lý 1.2) cho dư i vi phân Fréchet. Ch n γ ∈ (0, ρ) sao cho D(ub , γ) ⊂ B(¯, r), x v ∈ D(vb , γ) ⊂ B(¯, s). y 17
nguon tai.lieu . vn