Xem mẫu
- M cl c
L im đ u 1
1 Ki n th c chu n b 5
1.1 Ánh x đa tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Nguyên lý bi n phân Ekeland . . . . . . . . . . . 9
1.3 Nón pháp tuy n, dư i vi phân, đ i đ o hàm . . . 9
1.4 Quy t c t ng m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Các k t qu v tính m 15
2.1 Đ nh lý ánh x m . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 S c n thi t c a tính đóng . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Trư ng h p ánh x có tham s . . . . . . . . . . . 22
3 Các đ nh lý hàm n 26
3.1 Tính n a liên t c dư i c a hàm n đa tr . . . . . 26
3.2 Tính mêtric chính quy c a hàm n đa tr . . . . . 28
3.3 Đ i đ o hàm c a hàm n đa tr . . . . . . . . . . 33
i
- Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n
3.4 Tính gi Lipschitz c a hàm n đa tr . . . . . . . 36
K t lu n 38
ii
- Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n
M TS KÝ HI U
x chu n c a x
V(x) h các lân c n c a x
B(x, r), D(x, r) hình c u m và hình c u đóng tâm x,
bán kính r
SX m t c u đơn v trong X
d(x, A) kho ng cách t x đ n A
S
x→x
¯ x → x và x ∈ S
¯
f
x→x
¯ x → x và f (x) → f (¯)
¯ x
Nε (S, x) t p các véctơ ε-pháp tuy n c a S t i x
N (S, x) nón pháp tuy n Fréchet c a S t i x
N (S, x)
¯ nón pháp tuy n cơ s c a S t i x
¯
∂f (¯)
x dư i vi phân Fréchet c a f t i x
¯
∂f (¯)
x dư i vi phân cơ s c a f t i x
¯
δΩ hàm ch c a t p ∅ = Ω ⊂ X
F :X Y ánh x đa tr t X vào Y
DomF mi n h u hi u c a F
GrF đ th c a F
D∗ F (¯, y )(·)
x ¯ đ i đ o hàm Fréchet c a F t i (¯, y )
x ¯
D∗ F (¯, y )(·)
x ¯ đ i đ o hàm Mordukhovich c a F t i (¯, y )
x ¯
iii
- Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n
L im đ u
Ti p sau s phát tri n đ t đ n m c đ hoàn thi n c a Gi i
tích l i [21], Gi i tích không trơn [7], Gi i tích đa tr [3, 4], m t
lý thuy t m i dư i tên g i là Gi i tích bi n phân đã ra đ i và
ngày càng đư c chú ý. Các k t qu cơ b n c a Gi i tích bi n
phân trong các không gian h u h n chi u c a đã đư c trình bày
trong cu n chuyên kh o c a R. T. Rockafellar và R. J.-B. Wets
[22]. B sách hai t p [17] c a B. S. Mordukhovich trình bày
nhi u k t qu sâu s c v Gi i tích bi n phân và phép tính vi
phân suy r ng trong không gian vô h n chi u, cùng v i nh ng
ng d ng phong phú trong Quy ho ch toán h c, Lý thuy t các
bài toán cân b ng, Đi u khi n t i ưu các h đ ng l c đư c mô
t b i phương trình ti n hóa, Đi u khi n t i ưu các h đ ng
l c đư c mô t b i phương trình đ o hàm riêng, T i ưu véctơ,
và Cân b ng kinh t . Các k thu t cơ b n c a Gi i tích bi n
phân và m i liên h c a nó v i các k thu t c a Gi i tích hàm
đư c trình bày trong cu n chuyên kh o c a J. M. Borwein và
Q. J. Zhu [6].
Tính m là m t tính ch t quan tr ng khi nghiên c u ánh
x đa tr cũng như ánh x đơn tr . Tính ch t này r t h u ích
trong nhi u lĩnh v c c a lý thuy t t i ưu, ví d như trong vi c
nghiên c u s t n t i nghi m c a bài toán b nhi u, hay trong
vi c ch ng minh các đi u ki n t i ưu cho các bài toán quy h ach
toán h c.
Lu n văn này trình bày m t s k t qu v tính m c a ánh
1
- Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n
x đa tr và các đ nh lý hàm n d a trên bài báo [10] c a hai
nhà toán h c Rumani là M. Durea và R. Strugariu (đã đư c
đăng trên Pacific Journal of Optimization, Vol. 6, No. 3, 2010,
pp. 533-549). Nh ng k t qu c a hai tác gi này đã phát tri n
và làm sâu s c thêm các đ nh lý hàm n trong bài báo c a
G. M. Lee, N. N. Tam và N. D. Yen [13].
Kh năng s d ng cách ti p c n c a [10] đ phát tri n thêm
m t bư c các k t qu c a N. D. Yen và J.-C. Yao [23] (s d ng
đ i đ o hàm Mordukhovich t i m t đi m trên đ th c a ánh x
đa tr đư c xét) v n còn là m t v n đ m .
Lưu ý r ng các k t qu tương t như các k t qu c a [10] đã
đư c M. Durea trình bày trong [9].
Chương 1 trình bày các khái ni m thông d ng trong Gi i tích
đa tr và Gi i tích bi n phân, cùng v i m t s k t qu kinh đi n:
Nguyên lý bi n phân Ekeland, Quy t c t ng m .
Chương 2 ch ng minh m t s k t qu v tính m c a ánh
x đa tr , xét riêng các trư ng h p ánh x không có tham s và
ánh x có tham s . đây, theo cách ti p c n c a M. Durea và
R. Strugariu [10], chúng ta khai thác m t đi u ki n chính quy
c a h đ i đ o hàm Fréchet: T n t i các h ng s c > 0, r > 0,
s > 0 sao cho v i m i (x, y) ∈ GrF ∩ [B(¯, r) × B(¯, s)] và v i
x y
ˆ
m i y ∗ ∈ Y ∗ , x∗ ∈ D∗ F (x, y)(y ∗ ),
c y ∗ ≤ x∗ , (1)
ˆ
trong đó D∗ F (x, y)(·) : Y ∗ X ∗ ký hi u đ i đ o hàm Fréchet
c a ánh x đa tr F : X Y gi a hai không gian Asplund X
2
- Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n
và Y t i đi m (x, y) thu c t p đ th
GrF := {(u, v) ∈ X × Y | v ∈ F (u)}, (2)
và B(¯, r) ký hi u hình c u m có tâm x và bán kính r. Đi u
x ¯
ki n chính quy v a nêu tương t v i các đi u ki n đã đư c các
tác gi khác đưa ra trư c đây [12, 13, 18]. S c trong (1) có liên
quan đ n khái ni m h ng s Banach (chính là đ m ) c a toán
t tuy n tính.
Chương 3 đ c p đ n hàm n đa tr . Chúng ta s th y r ng,
dư i nh ng gi thi t thích h p, hàm n đa tr th a hư ng m t
s tính ch t c a ánh x đa tr ch a tham s ban đ u. C th
hơn, các tính ch t đư c bàn t i đây là tính n a liên t c dư i,
tính chính quy mêtric, tính gi Lipschitz (còn đư c g i là tính
ch t Aubin, ho c tính gi ng-Lipschitz). Các tính ch t này đư c
ch ng minh d a trên các k t qu trình bày trong Chương 2.
Trong s các k t qu Chương 3, còn có m t đánh giá dư i cho
đ i đ o hàm c a hàm n đa tr (Đ nh lý 3.3).
Lu n văn có m t k t qu m i, đó là kh ng đ nh M c 2.2
(Chương 2) nói r ng k t lu n trong đ nh lý ánh x m c a
M. Durea và R. Strugariu [10, Theorem 3.1] không còn đúng,
n u lo i b gi thi t v tính đóng c a ánh x đa tr đư c xét.
Lu n văn này đư c hoàn thành t i Vi n Toán h c, Vi n Khoa
h c và Công ngh Vi t Nam, dư i s hư ng d n c a GS. TSKH.
Nguy n Đông Yên.
Tác gi chân thành c m ơn th y Nguy n Đông Yên và các
nghiên c u sinh c a th y đã giúp đ tác gi r t nhi u trong quá
trình làm lu n văn.
Tác gi cũng xin đư c bày t lòng bi t ơn các th y cô và
3
- Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n
cán b công nhân viên c a Vi n Toán h c đã quan tâm giúp đ
trong su t quá trình h c t p và nghiên c u t i Vi n.
Hà N i, ngày 29 tháng 8 năm 2011
Tác gi lu n văn
Dương Th Kim Huy n
4
- Chương 1
Ki n th c chu n b
Chương này trình bày m t s khái ni m cơ b n c a Gi i tích đa
tr và Gi i tích bi n phân, cùng v i m t s k t qu kinh đi n,
như Nguyên lý bi n phân Ekeland, Quy t c t ng m .
1.1 Ánh x đa tr
Cho X và Y là các không gian tôpô. Xét ánh x đa tr
F :X Y
xác đ nh trên X, nh n giá tr trong t p các t p h p con c a
Y . Đ th (graph) c a F đư c cho b i (2), còn mi n h u hi u
(effective domain) c a F đư c cho b i
DomF := {x ∈ X | F (x) = ∅}.
N u A ⊂ X thì F (A) := F (x) là nh c a t p A qua ánh x
x∈A
F . T p F (X) đư c ký hi u b i ImF và đư c g i là nh (image)
5
- Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n
c a F . Ánh x ngư c (inverse mapping) F −1 : Y X c aF
đư c xác đ nh b i công th c
F −1 (y) := {x ∈ X | y ∈ F (x)} (∀y ∈ Y ).
Các khái ni m sau đây là khá thông d ng trong Gi i tích đa
tr . Ta ký hi u h th ng các lân c n c a x ∈ X b i V(x).
Đ nh nghĩa 1.1. Ta nói F là n a liên t c dư i (lower semicon-
tinuous, hay lsc) t i x ∈ X n u v i m i t p m mà F (x)∩D = ∅,
t n t i U ∈ V(x) sao cho F (x ) ∩ D = ∅, v i m i x ∈ U .
Trong các ph n sau, ta s s d ng m t gi thi t y u hơn v
tính liên t c (xem [17, Definition 1.63]).
Đ nh nghĩa 1.2. Ta nói F là n a liên t c bên trong (inner
semicontinuous, hay isc) t i (x, y) ∈ X × Y n u v i m i t p m
D ⊂ Y mà y ∈ D, t n t i U ∈ V(x) sao cho F (x ) ∩ D = ∅ v i
m i x ∈ U.
D th y r ng khái ni m nói trong Đ nh nghĩa 1.2 y u hơn
khái ni m nói trong Đ nh nghĩa 1.1. Trên th c t , F là n a liên
t c dư i t i x khi và ch khi nó là n a liên t c bên trong t i m i
đi m (x, y) v i m i y ∈ F (x).
Ví d 1.1. Cho ánh x đa tr F : R R xác đ nh b i F (0) =
[−1, 1] và F (x) = {0} v i m i x = 0. F n a liên t c bên trong
t i (0, 0), nhưng không n a liên t c dư i t i 0. C th , F không
n a liên t c bên trong t i m i đi m (0, y), v i y ∈ F (0)\{0}, t c
là y ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1]. Th t v y, xét t p m D ⊂ R v i y ∈ D,
nhưng 0 ∈ D. Khi đó, v i m i U ∈ V(0), ta có F (x ) ∩ D = ∅
/
v i m i x ∈ U \ {0}.
6
- Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n
Bây gi , ta gi s X và Y là các không gian đ nh chu n. Ký
hi u B(x, r) và D(x, r) l n lư t là các hình c u m và hình c u
đóng tâm x bánh kính r. Đôi khi, ta ký hi u BX , DX , SX là các
hình c u m , hình c u đóng, và m t c u đơn v trong X.
Kho ng cách t x ∈ X đ n A ⊂ X đư c đ nh nghĩa như sau:
d(x, A) := inf{ x − a | a ∈ A}.
Thông thư ng, ta quy ư c d(x, ∅) = +∞. Ta xét chu n t ng khi
làm vi c v i không gian tích X × Y , t c là ta đ t
(x, y) = x + y (∀(x, y) ∈ X × Y ).
Đ nh nghĩa 1.3. Ta nói ánh x đa tr F là m (open) t i
(¯, y ) ∈ GrF n u nh c a m t lân c n b t kỳ c a x qua F là
x ¯ ¯
m t lân c n c a y .
¯
Ta đ ý r ng F là n a liên t c bên trong t i (¯, y ) ∈ GrF
x ¯
khi và ch khi F −1 là m t i (¯, x).
y ¯
Tính m v i t l tuy n tính như trong đ nh nghĩa sau đây
là m nh hơn tính m nói trong Đ nh nghĩa 1.3.
Đ nh nghĩa 1.4. Ta nói F : X Y là m v i t l tuy n
tính (open with linear rate) quanh (¯, y ) ∈ GrF n u t n t i hai
x ¯
lân c n U ∈ V(¯), V ∈ V(¯) và m t s ε > 0 sao cho v i m i
x y
(x, y) ∈ GrF ∩ (U × V ) và v i m i ρ ∈ (0, ε) ta có
B(y, ρc) ⊂ F (B(x, ρ)).
Tính m v i t l tuy n tính tương đương (xem J.-P. Penot
[19], J. M. Borwein và D. M. Zhuang [5]) v i tính ch t mêtric
chính quy c a F quanh (¯, y ) đư c phát bi u như sau.
x ¯
7
- Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n
Đ nh nghĩa 1.5. Ánh x đa tr F : X Y đư c g i là mêtric
chính quy (metrically regular) quanh (¯, y ) ∈ GrF n u t n t i
x ¯
a > 0 và hai lân c n U ∈ V(¯), V ∈ V(¯) sao cho v i m i u ∈ U
x y
và v i m i v ∈ V ta có
d(u, F −1 (v)) ≤ ad(v, F (u)).
Tính ch t mêtric chính quy trong Đ nh nghĩa 1.5 là m t
trư ng h p đ c bi t c a tính mêtric chính quy c a hàm n đa
tr mà ta s bàn t i Chương 3. Lưu ý r ng tính mêtric chính
quy c a hàm n đa tr là khái ni m do S. M. Robinson [20] đưa
ra năm 1976.
M t tính ch t khác có liên quan m t thi t v i tính m v i t
l tuy n tính và tính mêtric chính quy là tính ch t gi Lipschitz
như trong đ nh nghĩa sau đây.
Đ nh nghĩa 1.6. Ta nói F : X Y là gi Lipschitz (pseudo-
Lipschitz) quanh (¯, y ) ∈ GrF v i môđun > 0 n u t n t i hai
x ¯
lân c n U ∈ V(¯) và V ∈ V(¯) sao cho
x y
F (x) ∩ V ⊂ F (u) + x − u DY (∀x ∈ U, ∀u ∈ U ).
Tính ch t quan tr ng này do J.-P. Aubin [2] đưa ra năm 1984.
Đ ghi công J.-P. Aubin trong vi c phát tri n Gi i tích đa tr
và các ng d ng, A. L. Dontchev và R. T. Rockafellar [8] đã đ
ngh g i tính gi Lipschitz c a ánh x đa tr là tính ch t Aubin
(the Aubin property). M t s tác gi khác đ ngh s d ng thu t
ng tính gi ng-Lipschitz (the Lipschitz-like property) cho khái
ni m này (xem B. S. Mordukhovich [17]).
8
- Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n
1.2 Nguyên lý bi n phân Ekeland
Nguyên lý bi n phân do I. Ekeland [11] đ xu t năm 1974 là
m t công c m nh trong Gi i tích phi tuy n, Gi i tích không
trơn, Gi i tích đa tr , Gi i tích bi n phân, và trong các hư ng
khác nhau c a toán h c ng d ng.
Đ nh lý 1.1. Cho (X, d) là không gian mêtric đ y đ và f :
X → R ∪ {+∞} là m t hàm chính thư ng (t c là mi n xác đ nh
domf := {x ∈ X | f (x) ∈ R}
c a f là khác r ng), n a liên t c dư i và b ch n dư i trên X.
Khi đó, v i m i x ∈ domf và v i m i ε > 0, t n t i xε ∈ X sao
¯
cho
f (xε ) ≤ f (¯) − εd(¯, xε )
x x
và v i m i x ∈ X \ {xε },
f (xε ) < f (x) + εd(x, xε ).
Ch ng minh c a đ nh lý này có th xem trong [1, 3, 11, 17].
1.3 Nón pháp tuy n, dư i vi phân, đ i đ o
hàm
Chúng ta trình bày l i nh ng nét chính c a phép xây d ng nón
pháp tuy n, dư i vi phân, đ i đ o hàm - nh ng khái ni m chính
c a Gi i tích bi n phân theo cách ti p c n b ng không gian đ i
ng u c a B. S Mordukhovich và các c ng s .
9
- Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n
Trư c h t, ta nh c l i r ng X ∗ ký hi u đ i ng u tôpô c a
không gian đ nh chu n X. Giá tr c a phi m hàm x∗ ∈ X ∗ t i
x ∈ X đư c ký hi u b i x∗ , x . Các ký hi u w và w∗ đư c dùng
đ ch tôpô y u và tôpô y u∗ c a c p đ i ng u (X, X ∗ ).
Cho t p h p khác r ng S và m t hàm f : X → R, đó ¯
¯
R = [−∞, +∞], ta dùng các ký hi u sau:
S
x → x n u x → x và x ∈ S,
¯ ¯
f
x → x n u x → x và f (x) → f (¯).
¯ ¯ x
Đ nh nghĩa 1.7. Cho X là m t không gian đ nh chu n, S là
m t t p con khác r ng c a X, và x ∈ S.
¯
(a) V i m i x ∈ S và v i m i ε ≥ 0, t p các véctơ ε-pháp tuy n
c a S t i x là
x∗ , u − x
Nε (S, x) := x∗ ∈ X ∗ | lim sup ≤ε . (1.1)
u→x
S u−x
N u ε = 0 thì các ph n t v ph i c a (1.1) đư c g i là các
véctơ pháp tuy n Fréchet. T p các véctơ pháp tuy n đó đư c ký
hi u b i N (S, x), và đư c g i là nón pháp tuy n Fréchet c a S
t i x.
(b) Nón pháp tuy n cơ s (còn đư c nón pháp tuy n qua gi i
h n, hay nón pháp tuy n Mordukhovich) c a S t i x là t p h p
¯
N (S, x) :=
¯ x∗ ∈ X ∗ | ∃ε ↓ 0,
S w∗
xn → x, x∗ → x∗ , x∗ ∈ Nεn (S, xn ) ∀n ∈ N ,
¯ n n
(1.2)
đó N = {1, 2, . . . }.
N u X là không gian Asplund (t c là không gian Banach mà
m i hàm l i liên t c xác đ nh trên m t t p l i m đ u kh vi
10
- Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n
trên m t t p con trù m t c a t p m đó), thì công th c tính
nón pháp tuy n cơ s (1.2) có d ng đơn gi n hơn. C th là,
S
N (S, x) = x∗ ∈ X ∗ | ∃xn → x,
¯ ¯
w∗
x∗ → x∗ , x∗ ∈ N (S, xn ) ∀n ∈ N .
n n
(1.3)
1.4 Quy t c t ng m
Cho f : X → R h u h n t i x ∈ X. Dư i vi phân Fréchet c a f
¯
t i x là t p h p
¯
∂f (¯) := {x∗ ∈ X ∗ |(x∗ , −1) ∈ N (epif, (¯, f (¯)))}.
x x x
Dư i vi phân cơ s (còn đư c g i là dư i vi phân qua gi i h n,
ho c dư i vi phân Mordukhovich) c a f t i x là
¯
∂f (¯) := {x∗ ∈ X ∗ |(x∗ , −1) ∈ N (epif, (¯, f (¯)))},
x x x
đó epif kí hi u t p trên đ th (epigraph) c a f .
Ta luôn có ∂f (¯) ⊂ ∂f (¯).
x x
Đ ý r ng ∂f (¯) là t p l i, đóng y u∗ .
x
N u X là không gian h u h n chi u, thì ∂f (¯) là t p đóng,
x
có th không l i (xem [17, p. 11] và [1]). N u X là không gian
vô h n chi u, thì ∂f (¯) có th không đóng [17, Example 1.7]
x
Trong không gian Asplund, ta có
∂f (¯) = lim sup ∂f (x).
x
f
x→¯
x
11
- Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n
N u f là l i, thì c hai dư i vi phân ∂f (¯) và ∂f (¯) đ u trùng
x x
v i dư i vi phân c a f t i x theo nghĩa Gi i tích l i [21].
¯
N u kí hi u δΩ là hàm ch c a m t t p khác r ng Ω ⊂ X (t c
là δΩ (x) = 0 n u x ∈ Ω, δΩ = +∞ n u x ∈ Ω), thì v i m i x ∈ Ω
/ ¯
ta có ∂δΩ (¯) = N (Ω, x) và ∂δΩ (¯) = N (Ω, x).
x ¯ x ¯
Cho Ω ⊂ X là m t t p khác r ng và x ∈ Ω. Khi đó, ta có
¯
∂d(., Ω)(¯) = N (Ω, x) ∩ DX ∗ ,
x ¯ N (Ω, x) =
¯ λ∂d(., Ω)(¯).
x
λ>0
N u Ω là t p đóng thì
N (Ω, x) =
¯ λ∂d(., Ω)(¯).
x
λ>0
M i ph n t x∗ ∈ ∂f (¯) đư c g i là m t dư i gradient Fréchet
x
c a f t i x. Ta có mô t bi n phân trơn (xem [17, Theorem
¯
1.88(i)]) cho các dư i gradient Fréchet như sau.
M nh đ 1.1. (Mô t bi n phân trơn c a dư i gradient Fréchet)
Cho f : X → R h u h n t i x và cho x∗ ∈ X ∗ . N u có m t lân
¯
c n U c a x và m t hàm s : U → R kh vi Fréchet t i x v i đ o
¯ ¯
hàm s(¯) = x∗ sao cho f − s đ t c c ti u đ a phương t i x, thì
x ¯
∗ ∗
x ∈ ∂f (¯). Đi u ngư c l i cũng đúng, t c là n u x ∈ ∂f (¯) thì
x x
có m t lân c n U c a x và m t hàm s : U → R kh vi Fréchet
¯
t i x sao cho
¯
s(¯) = f (¯),
x x s(¯) = x∗ ,
x s(x) ≤ f (x)
v i m i x ∈ U.
Quy t c t ng m (a fuzzy sum rule) [17, Theorem 2.33] sau
12
- Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n
đây cho dư i vi phân Fréchet là m t trong nh ng công c chính
đ thu đư c các k t qu v tính m c a ánh x đa tr .
Đ nh lý 1.2. (Quy t c t ng m ) Cho X là không gian Apslund
và ϕ1 , ϕ2 : X → R ∪ {∞} sao cho ϕ1 liên t c Lipschitz quanh
x ∈ domϕ1 ∩ domϕ2 và ϕ2 n a liên t c dư i quanh x. Khi đó,
¯ ¯
v i m i γ > 0 ta có
∂(ϕ1 + ϕ2 )(¯) ⊂
x {∂ϕ1 (x1 ) + ∂ϕ2 (x2 )|xi ∈ x + γDX ,
¯
|ϕi (xi ) − ϕi (¯)| ≤ γ, i = 1, 2} + γDX .
x
Dư i vi phân cơ s th a mãn quy t c t ng thô [17, Theorem
2.33] sau đây.
Đ nh lý 1.3. (Quy t c t ng thô) N u X là không gian Apslund
và f1 , f2 , . . . , fn−1 : X → R là Lipschitz quanh x và fn : X → R
¯
là n a liên t c dư i quanh x (t c là fn n a liên t c dư i t i m i
¯
đi m thu c m t lân c n nào đó c a x), thì ¯
n n
∂( fi (¯)) ⊂
x ∂fi (¯).
x
i=1 i=1
Đ nh nghĩa 1.8. Cho F : X Y là ánh x đa tr và (¯, y ) ∈
x ¯
GrF . Khi đó, đ i đ o hàm Fréchet (the Fréchet coderivative) t i
(¯, y ) c a F là ánh x đa tr D∗ F (¯, y ) : Y ∗
x ¯ x ¯ X ∗ xác đ nh b i
D∗ F (¯, y )(y ∗ ) := {x∗ ∈ X ∗ |(x∗ , −y ∗ ) ∈ N (GrF, (¯, y ))}.
x ¯ x ¯
Tương t , đ i đ o hàm chu n t c (the normal coderivative), còn
g i là đ i đ o hàm Mordukhovich (the Mordukhovich coderiva-
tive), c a F t i (¯, y ) là ánh x đa tr DN F (¯, y ) : Y ∗
x ¯ ∗
x ¯ X∗
13
- Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n
xác đ nh b i
DN F (¯, y )(y ∗ ) := {x∗ ∈ X ∗ |(x∗ , −y ∗ ) ∈ N (GrF, (¯, y ))}.
∗
x ¯ x ¯
Khái ni m đ i đ o hàm chu n t c, đ c l p v i nón pháp
tuy n dùng trong đ nh nghĩa c a nó, đã đư c đưa ra b i B. S.
Mordukhovich [14] vào năm 1980.
N u xét các ánh x đa tr có đ th l i, thì ta có m t d ng
bi u di n đ c bi t cho đ i đ o hàm Fréchet và đ i đ o hàm
chu n t c.
M nh đ 1.2. (xem [17, Proposition 1.37]) Cho F : X Y
là ánh x đa tr có đ th l i và (¯, y ) ∈ GrF . Khi đó, v i m i
x ¯
y ∗ ∈ Y ∗ , ta có công th c tính giá tr c a đ i đ o hàm như sau:
D∗ F (¯, y )(y ∗ )
x ¯
= DN F (¯, y )(y ∗ )
∗
x ¯
= x∗ ∈ X ∗ | x∗ , x − y ∗ , y =
¯ ¯ max [ x∗ , x − y ∗ , y ] .
¯
(x,y)∈GrF
Trong trư ng h p này, hai toán t đ i đ o hàm D∗ F (¯, y )(·) và
x ¯
DN F (¯, y )(·) cùng đư c ký hi u b i D∗ F (¯, y )(·).
∗
x ¯ x ¯
14
- Chương 2
Các k t qu v tính m
Trong chương này, chúng ta s ch ng minh m t s k t qu v
tính m c a ánh x đa tr . Các trư ng h p ánh x không có
tham s và ánh x có tham s s đư c xét riêng r .
2.1 Đ nh lý ánh x m
Ta b t đ u v i m t k t qu v tính m c a ánh x đa tr . Ph n
k t lu n và k thu t chúng minh trong k t qu sau đây là cơ
b n, theo nghĩa t đó ta có th rút ra các k t qu v tính m
c a ánh x đa tr có tham s và các đ nh lý hàm n. K thu t
này cũng như k t qu sau đây đã có trong [19, Theorem 2.3],
nhưng [10] các tác gi M. Durea và R. Strugariu đã thu đư c
m t đánh giá chính xác hơn cho các lân c n c a đi m (¯, y ) nói
x ¯
trong tính ch t m .
Đ nh lý 2.1. Cho X, Y là các không gian Asplund, F : X Y
là ánh x đa tr và (¯, y ) ∈ GrF . Gi s các gi thi t sau th a
x ¯
mãn:
(i) GrF là đóng
15
- Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n
(ii) T n t i c > 0, r > 0, s > 0 sao cho v i m i (x, y) ∈ GrF ∩
[B(¯, r) × B(¯, s)] và m i y ∗ ∈ Y ∗ , x∗ ∈ D∗ F (x, y)(y ∗ ),
x y
c||y ∗ || ≤ ||x∗ ||.
Khi đó, v i m i a ∈ (0, c) và m i ρ ∈ (0, ε), trong đó
1 c a r s
ε := min − , , ,
2 c+1 a+1 a + 1 2a
ta có
B(¯, ρa) ⊂ F (B(¯, ρ)).
y x
Ch ng minh. L y a ∈ (0, c), b ∈ a+1 , 1 ( c+1 +
a
2
c a
a+1 ) , và ρ ∈
(0, ε). Ta có
c
b+ρ< (2.1)
c+1
và
r
b−1 aρ < b−1 a < r. (2.2)
r+1
Ch n v ∈ B(¯, ρa) và f : GrF → R xác đ nh b i f (x, y) :=
y
||v − y||. Do GrF là đóng, ta có th áp d ng Nguyên lý bi n
phân Ekeland trong Đ nh lý 1.1 cho hàm f trên t p GrF đ thu
đư c (ub , vb ) ∈ GrF sao cho
f (ub , vb ) ≤ f (¯, y ) − bd (ub , vb ), (¯, y ))
x ¯ x ¯ (2.3)
và
f (ub , vb ) ≤ f (x, y) + bd (ub , vb ), (x, y)) ∀(x, y) ∈ GrF. (2.4)
Suy ra
||vb − v|| ≤ ||¯ − v|| − b(||¯ − ub || + ||¯ − vb ||)
y x y (2.5)
16
- Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n
và
||vb − v|| ≤ ||y − v|| + b(||x − ub || + ||y − vb ||)
v i m i (x, y) ∈ GrF . T (2.2) và (2.5) ta có
||¯ − ub || ≤ b−1 ||¯ − v|| < b−1 aρ < r,
x y
||¯ − vb || ≤ ||¯ − v|| + ||v − vb || ≤ 2||¯ − v|| < 2ρa < s.
y y y
T đó suy ra r ng (ub , vb ) ∈ GrF ∩[B(¯, r)×B(¯, s)]. N u vb = v
x y
thì
b||¯ − ub || ≤ (1 − b)||¯ − v|| < (1 − b)aρ < bρ.
x y
Suy ra ub ∈ B(¯, ρ) và v ∈ F (B(¯, ρ)). Ta kh ng đ nh r ng
x x
vb = v là trư ng h p duy nh t có th x y ra. Th t v y, gi s
v = vb . Xét hàm h : X × Y → R, v i
h(x, y) := ||y − v|| + b(||x − ub || + ||y − vb ||).
Do tính ch t (2.4), ta có (ub , vb ) là đi m c c ti u c a h trên
GrF , hay (ub , vb ) là đi m c c ti u toàn c c c a hàm h + δGrF .
Áp d ng quy t c Fermat m r ng, ta có
(0, 0) ∈ ∂(h(·) + δGrF (·))(ub , vb ).
S d ng s ki n h là Lipschitz và δGrF là n a liên t c dư i, ta áp
d ng Quy t c t ng m (Đ nh lý 1.2) cho dư i vi phân Fréchet.
Ch n γ ∈ (0, ρ) sao cho
D(ub , γ) ⊂ B(¯, r),
x v ∈ D(vb , γ) ⊂ B(¯, s).
y
17
nguon tai.lieu . vn