Xem mẫu
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ___________________
Hoàng Quốc Công
PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI MỘT ĐẦU BIÊN CHỨA SỐ HẠNG MEMORY
Chuyên ngành: Mã số:
Toán Giải Tích 60 . 46 . 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÀNH LONG
Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2010
LỜI CẢM ƠN
Lúc đầu khi nhận đề tài này, với vốn kiến thức còn hạn hẹp tôi đã gặp phải rất nhiều khó khăn.
Tuy nhiên, với sự hướng dẫn tận tình và mang tính khoa học của Thầy hướng dẫn, TS. Nguyễn
Thành Long, tôi đã dần khắc phục được các khó khăn trên để hoàn thành đề tài này.
Trước tiên, tôi xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Thành Long, người đã tận tình dìu dắt tôi
vượt qua nhiều trở ngại trong suốt thời gian thực hiện đề tài.
Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô trong và ngoài trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí
Minh, những người đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cũng như tận tình truyền đạt kiến thức và kinh
nghiệm quý báu của mình cho tôi trong suốt thời gian tôi học tập và làm việc.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô trong Hội đồng đã dành thời gian để đọc và cho những
nhận xét rất có giá trị khoa học đối với luận văn của tôi.
Cuối cùng, tôi xin gửi lòng biết ơn của mình đến gia đình và các bạn tôi, những người đã tạo
điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành luận văn này và cho tôi những lời khuyên, lời động viên vô
cùng hữu ích.
Hoàng Quốc Công
Chương 1
PHẦN TỔNG QUAN
Trong luận văn này, chúng tôi xem xét phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên và
điều kiện đầu dưới đây
utt −(t)uxx + K u p−2 u + ut q−2 ut = f (x, t) , 0 < x <1 , 0 < t 0 là các hằng số cho trước và , f ,k,u0,u1 là các hàm cho trước thỏa các
điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau.
Bài toán (1.1) – (1.3) có nhiều ý nghĩa trong Cơ học mà nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên
cứu trong thời gian gần đây [3] – [10]. Về mặt toán học, ta có thể nói rằng bài toán (1.1) – (1.3) là
sự kết hợp những đặc điểm quan trọng của hai bài báo đã được công bố trước đây [3] và [4].
Trong [3], Nguyễn Thành Long, Lê Văn Út, và Nguyễn Thị Thảo Trúc đã nghiên cứu sự tồn
tại và duy nhất nghiệm cũng như tính chính quy, tính ổn định và khai triển tiệm cận nghiệm của bài
toán
utt − (t)uxx + Ku +ut = f (x,t), 0 < x <1, 0 < t < T,
t
−(t)ux (1,t) = K1(t)u(1,t) + 1(t)ut (1,t) − g(t) − k(t − s)u(1,s)ds,
0
u(1,t) = 0,
(1.4)
(1.5)
u(x,0) = u0(x) , ut (x,0) = u1(x), (1.6) trong đó K, là các hằng số, và , f ,K1, 1,g,k,u0,u1 là các hàm cho trước.
Như vậy, số hạng K u p−2 u + ut q−2 ut trong (1.1) là sự tổng quát hóa từ số hạng Ku +ut
trong (1.4). Các điều kiện biên (1.2) – (1.3) cũng chính là (1.5) – (1.6) sau khi đã hoán đổi 2 đầu biên x = 0 và x =1, đồng thời làm triệt tiêu các hàm K1, λ1 và g. Sự đặc biệt hóa này tưởng chừng sẽ mang lại thuận lợi cho chúng ta khi nghiên cứu (1.1) – (1.3), nhưng thật ra nó lại khiến chúng ta gặp đôi chút khó khăn hơn trong các ước lượng khi mà điều kiện cực tiểu cho hàm λ1 lúc này không còn là một giá trị dương nữa.
Trong [5], Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, và Trần Ngọc Diễm đã khảo sát sự tồn tại và duy nhất nghiệm, tính chính quy, và khai triển tiệm cận của nghiệm của bài toán sau đây
utt −uxx + K u u + ut ut = f (x,t), 0 < x <1, 0 < t < T, (1.7)
ux (0,t)= P(t), (1.8) ux (1,t)+ K1u(1,t)+ 1ut (1,t)= 0, (1.9)
u(x,0)= u0 (x) , ut (x,0)= u1 (x), (1.10)
trong đó K,,K1, 1,, là các hằng số cho trước; f ,u0,u1 là các hàm cho trước; hàm u(x,t) cần tìm và giá trị biên chưa biết P(t) thỏa mãn bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường dưới
đây
P(t)+ω2P(t)= hu (0,t) , 0 < t 0,h 0,P ,P là các hằng số cho trước.
(1.11)
Từ (1.11), nếu ta giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng, ta sẽ có
P(t)= g(t)+ hu(0,t)− t k(t − s)u(0,s)ds 0
trong đó
g(t)= (P −hu0 (0))cos(ωt)+ 1 (P −hu1 (0))sin(ωt), k(t)= hωsin(ωt).
Ta nhận xét thấy phương trình (1.1) mà ta đặt ra là một trường hợp tổng quát hơn của phương trình (1.7) trong bài toán (1.7) – (1.11), có được bằng cách thêm hàm hệ số (t) vào trước số hạng
utt . Hai điều kiện biên (1.3) và (1.10) là như nhau, trong khi điều kiện biên (1.2) lại là trường hợp
đặc biệt của (1.8) – (1.9), (1.11).
Nội dung chính của luận văn gồm các chương mục được trình bày theo thứ tự sau:
Chương 1 là phần mở đầu tổng quan về bài toán mà ta sẽ khảo sát trong luận văn, chỉ ra vài
kết quả quan trọng đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục của luận văn.
Chương 2 trình bày một số kết quả chuẩn bị, bao gồm việc nhắc lại một số không gian
Sobolev, một số kết quả về các phép nhúng compact giữa các không gian.
Chương 3 nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (1.1) – (1.3).
Chương 4 nghiên cứu tính trơn của nghiệm đối với dữ kiện ban đầu.
Chương 5 nghiên cứu tính ổn định của nghiệm đối với dữ kiện ban đầu, tức là hàm (, f ,k,u0,u1) u(, f ,k,u0,u1), nghiệm yếu của bài toán (1.1) – (1.3), là liên tục theo nghĩa mà
ta sẽ chỉ ra khi xem xét vấn đề này.
Chương 6 nghiên cứu bài toán nhiễu theo hai tham số bé (K,):
utt − (t)uxx + K u p−2 u + ut q−2 ut = f (x,t), 0 < x <1, 0 < t
nguon tai.lieu . vn