Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình sóng một chiều với hệ số biến thiên liên kết với điều kiện biên chứa tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Trường Giang PHƯƠNG TRÌNH SÓNG MỘT CHIỀU VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN CHỨA TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi trân trọng kính gửi tới Thầy hướng dẫn, TS Trần Minh Thuyết, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Thầy đã rất ân cần và tận tình hướng dẫn, giúp cho tôi nắm được từng bước nghiên cứu và giải đáp những thắc mắc khi tôi gặp phải. Sự tận tình hướng dẫn của Thầy đã giúp tôi hoàn thành luận văn này. Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy Cô trong và ngoài khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã tận tình truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường. Chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin học, quý Thầy Cô thuộc phòng quản lý Khoa học Công nghệ & Sau Đại học, thư viện trường Đại học Sư phạm Tp.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành chương trình học cũng như trong quá trình làm thủ tục bảo vệ luận văn tốt nghiệp. Tôi vô cùng biết ơn Thầy Kiều Ngọc Tú, hiệu trưởng Trường THPT Trần Hưng Đạo đã tạo điều kiện thuận lợi nhất để tôi được hoàn thành khóa học. Tôi cũng không quên gửi lời biết ơn đến gia đình tôi, chỗ dựa tinh thần vững chắc nhất của tôi. Sau cùng, vì kiến thức bản thân còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo của quý Thầy Cô và sự góp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2008. Lê Trường Giang 1 MỞ ĐẦU Trong luận văn này chúng tôi xét bài toán sau: Tìm một cặp các hàm (u, P) thỏa: utt −uxx +f(u,ut ) = F(x,t),0< x <1,0< t < T, (1) ux (0,t) = P(t), (2) u(1,t)=0, (3) u(x,0) = u0(x),ut (x,0) = u1(x) (4) f(u,ut ) = K(x,t)u +λ(t)ut (5) trong đó K(x,t), λ(t), F(x,t), u0, u1 là các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau. Hàm chưa biết u(x,t) và các giá trị biên chưa biết P(t) thỏa phương trình tích phân phi tuyến sau đây P(t) = g0(t)+λ0ut (0,t)+ K0 u(0,t)α−2 u(0,t) t − k0(t −s)u(0,s)ds, 0 (6) trong đó α ≥2,K0 ≥ 0, λ0>0 là các hằng số cho trước và g0(t), k0(t) là các hàm cho trước. Trong [2], Đ.Đ.Áng và Alain Phạm đã thiết lập một định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán (1) – (5) với u0, u1, P là các hàm cho trước, với f(u,ut ) = ut α sign(ut ),(0< α <1) (7) Tổng quát hóa kết quả trong [2], N.T.Long và Alain Phạm [3 –5, 8, 10, 11 đã xét bài toán (1), (3), (4) liên kết với điều kiện biên không thuần nhất tại x = 0 sau đây có dạng t ux (0,t) = g0(t)+ H(u(0,t))− k0(t −s)u(0,s)ds, (8) 0 2 mà (7) được xét như một trường hợp riêng. Chẳng hạn bài toán (1), (3), (4) và (8) đã được nghiên cứu ứng với các trường hợp k ≡ 0, H(s) = hs, với h > 0 [10]; k ≡ 0 [11]; H(s) = hs, với h > 0[5]. Trong trường hợp H(s) = h.s, với h > 0, bài toán (1), (2), (3), (4), (8), ẩn hàm u(x,t) và giá trị biên chưa biết P(t) thỏa bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường như sau P"(t)+ω2P(t) = hutt, 0< t < T, (9) P(0) = P , P`(0) = P, (10) trong đó ω> 0, h ≥ 0, P , P là các hằng số cho trước ([1], [11]). Trong [1], N.T. An và N.D. Triều đã nghiên cứu một trường hợp đặc biệt của bài toán (1)–(4), (7), (9), (10) với u0 = u1 = P = 0 và K(x,t) ≡ K, λ(t) ≡ λ trong đó K, λ, là các hằng số dương cho trước. Trong trường hợp này bài toán (1) – (4), (9), (10) là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng. Trong trường hợp (7), bài toán (1) – (4), (9), (10) mô tả sự va chạm giữa một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính với ràng buộc đàn hồi phi tuyến ở bề mặt, các ràng buộc liên hệ với lực cản ma sát nhớt. Từ (9), (10) ta biểu diễn P(t) theo P0, P1, ω, phân từng phần, ta được t P(t) =g0(t)+ hu(0,t)− k0(t −s)u(0,s)ds, 0 trong đó h, utt (0,t) và sau khi tích (11) g0(t) = (P −hu0(0))cosωt + 1 (P −hu1(0))sinωt, (12) k0(t) = hωsinωt. (13) Bằng việc khử ẩn hàm P(t), ta thay điều kiện biên (2) bởi 3 t ux (0,t) = g0(t)+ hu(0,t)− k0(t −s)u(0,s)ds. (14) 0 Khi đó ta đưa bài toán (1) – (4), (9), (10) về bài toán (1) – (4), (11) – (13) hay (1), (3), (4), (12) – (14). Các tác giả Bergounioux, Long, Alain [3], và nghiên cứu bài toán (1), (2), (4), (8) và ux(1,t)+K1u(1,t)+λ1ut (1,t) = 0, f(u,ut ) = Ku +λut, Long, Alain, Diễm [8] đã (3’) (15) trong đó K, λ, K1, λ1 là các hằng số không âm cho trước. Bài toán (1), (2), (4), (8), (3’), (15) mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền đàn hồi nhớt với ràng buộc đàn hồi tuyến tính ở bề mặt, các ràng buộc liên kết với lực cản ma sát nhớt. Luận văn được trình bày theo các chương mục sau: Phần mở đầu tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục của luận văn. Chương 1, chúng tôi trình bày một số công cụ chuẩn bị, bao gồm việc nhắc lại một số không gian hàm, một số kết quả về các phép nhúng compact giữa các không gian hàm. Chương 2, chúng tôi trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (1) – (6) trong hai trường hợp (u0,u1)∈H1(0,1)×L (0,1),u0(1) = 0 và (u0,u1)∈H2(0,1)×H1(0,1), u0(1) = 0, u1(1) = 0. Chứng minh được dựa vào phương pháp Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm và phương pháp compact yếu. Trong phần này, định lý Schauder được sử dụng trong việc chứng minh tồn tại nghiệm xấp xỉ Galerkin. Chương 3, chúng tôi nghiên cứu sự ổn định và tính trơn của nghiệm bài toán (1) – (6) trong trường hợp α = 2. ... - tailieumienphi.vn