Xem mẫu
- Đ I H C THÁI NGUYÊN
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C
Ph m Vũ Dũng
M TS V NĐ V
PHÂN TH C LIÊN T C
Chuyên Nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P
MÃ S : 60.46.40
LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C
Ngư i hư ng d n khoa h c: TS. Hà Tr n Phương
Thái Nguyên - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- Công trình đư c hoàn thành t i
Trư ng Đ i h c Khoa H c - Đ i H c Thái Nguyên
Ngư i hư ng d n khoa h c: TS. Hà Tr n Phương
Ph n bi n 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....................................................................
Ph n bi n 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....................................................................
Lu n văn s đư c b o v trư c h i đ ng ch m lu n văn h p t i:
Trư ng Đ i H c Khoa H c - Đ i H c Thái Nguyên
Ngày .... tháng .... năm 2011
Có th tìm hi u t i
Thư Vi n Đ i H c Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 1
M cl c
M cl c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
M đ u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1. Phân th c liên t c 4
1.1. M đ u v phân th c liên t c . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Khái ni m v phân th c liên t c . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Phép bi n đ i phân th c liên t c . . . . . . . . . 9
1.1.3. Quan h gi a chu i và phân th c liên t c. . . . . 10
1.2. M t s phân th c liên t c đ c bi t . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1. Phân th c liên t c cho arctan và s π . . . . . . . 13
1.2.2. Phân th c liên t c cho s e . . . . . . . . . . . . 18
Chương 2. S h i t c a phân th c liên t c 21
2.1. Công th c quan h truy h i Wallis-Euler . . . . . . . . . 21
2.2. S h i t c a phân th c liên t c . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3. Bi u di n phân th c liên t c c a s th c . . . . . . . . . 34
2.3.1. Thu t toán tìm bi u di n phân th c liên t cc a
s th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2. M t s ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Chương 3. M t s ng d ng c a phân th c liên t c 42
3.1. Tính g n đúng b ng phân th c liên t c . . . . . . . . . . 42
3.2. Gi i phương trình Diophantine . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.1. Phương trình b c nh t hai n Ax + By = C . . . 47
3.2.2. Phương trình Pell d ng: x2 − dy 2 = ±1 . . . . . . 49
3.3. Phân tích m t s ra th a s . . . . . . . . . . . . . . . . 64
K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 2
M đ u
Phân th c liên t c và các v n đ liên quan là hư ng nghiên c u trong
toán sơ c p thu hút đư c s quan tâm c a nhi u nhà toán h c và đã thu
đư c nhi u k t qu quan tr ng. Phân th c liên t c đư c xu t hi n m t
cách khá t nhiên trong vi c chia các s nguyên, trong vi c gi i phương
trình, ... và ngày càng có nhi u ng d ng trong các lĩnh v c khác nhau
c a toán h c. Khi nghiên c u v phân th c liên t c chúng ta s th y
m t s tính ch t c a chu i s , c a dãy Fibonaci, tính ch t c a s e, s
π. Đ ng th i cũng d a trên phân th c liên t c chúng ta có th tìm x p
x h u t c a các s th c, có th gi i đư c m t s phương trình nghi m
nguyên, phân tích m t s s nguyên thành tích các th a s nguyên t ,
xây d ng các dãy s truy h i,.... Ngoài ra, phân th c liên t c cũng có
nh ng ng d ng quan tr ng khác trong toán h c như nghiên c u gi
thuy t ABC, cũng có nh ng ng d ng trong th c ti n: âm nh c, l ch
v n niên, ....
V i m c đích gi i thi u m t cách tương đ i h th ng v phân th c
liên t c và m t s ng d ng phân th c liên t c, chúng tôi ch n đ tài:
"M t s v n đ v phân th c liên t c". C th , trong đ tài này chúng
tôi nghiên c u v phân th c liên t c, s h i t c a phân th c liên t c vô
h n và m t s ng d ng c a phân th c liên t c trong toán h c. Ngoài
ph n M đ u, ph n K t lu n, lu n văn g m 3 chương: Chương 1 trình
bày m t s khái ni m v phân th c liên t c, phép bi n đ i phân th c
liên t c, phân th c liên t c c a m t vài s đ c bi t: e, π và quan h
c a phân th c liên t c v i chu i. Chương 2 dành cho vi c trình bày các
k t qu nghiên c u v s h i t c a phân th c liên t c vô h n: công
th c truy h i Wallis-Euler, thu t toán tìm bi u di n phân th c liên t c
c a m t s vô t và m t s đ nh lý v s h i t c a phân th c liên t c.
Trong Chương 3, chúng tôi trình bày v m t s ng d ng c a phân th c
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 3
liên t c trong vi c tính x p x h u t c a m t s th c, trong vi c gi i
phương trình nghi m nguyên, vi c phân tích th a s nguyên t .
Lu n văn này đư c hoàn thành v i s hư ng d n và ch b o t n tình
c a TS. Hà Tr n Phương - Đ i h c Sư ph m - Đ i h c Thái nguyên. T
đáy lòng mình, em xin đư c bày t lòng bi t ơn sâu s c đ i v i s quan
tâm, đ ng viên và s ch b o hư ng d n c a th y. Em xin trân tr ng
c m ơn t i các Th y Cô trong Trư ng Đ i H c Khoa H c - Đ i H c
Thái Nguyên, phòng Đào T o Trư ng Đ i H c Khoa H c. Đ ng th i tôi
xin g i l i c m ơn t i t p th l p Cao H c Toán K3B, K3A Trư ng Đ i
H c Khoa H c đã đ ng viên giúp đ tôi trong quá trình h c t p và làm
luân văn này. Tôi xin c m ơn t i S Giáo d c - Đào t o T nh Hà Giang,
Ban Giám hi u, các đ ng nghi p Trư ng THPT Tân Quang - Huy n B c
Quang đã t o đi u ki n cho tôi h c t p và hoàn thành k ho ch h c t p.
Do đây là l n đ u tiên th c hi n công vi c nghiên c u, nên trong lu n
văn không tránh kh i nh ng thi u sót, em r t mong đư c s đóng góp
ý ki n c a các Th y, Cô và các b n đ b n lu n văn đư c hoàn thi n.
Thái Nguyên, ngày ...tháng ... năm 2011
Tác gi
Ph m Vũ Dũng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 4
Chương 1
Phân th c liên t c
1.1. M đ u v phân th c liên t c
1.1.1. Khái ni m v phân th c liên t c
S xu t hi n c a phân th c liên t c
Phân th c liên t c đã xu t hi n t r t lâu, t khi s h c m i phát
tri n. Hai ví d sau đây cho th y s xu t hi n c a phân th c liên t c.
Ví d 1.1. Ta th c hi n phép chia thông thư ng 157 cho 68. Ta có
157 21
=2+ .
68 68
21 1
Ngh ch đ o phân s = , ta đư c
68 68
21
157 1
=2+ .
68 68
21
Ta ti p t c chia 68 cho 21
68 5 1
=3+ =3+ .
21 21 21
5
Ti p t c phân tích
21 1
=4+ ,
5 5
cu i cùng ta đư c
157 1
=2+ . (1.1)
68 1
3+
1
4+
5
Có th th y, quá trình trên s d ng l i sau 3 l n th c hi n phép chia hai
s nguyên dương.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 5
Ví d 1.2. Tìm nghi m dương c a phương trình
x2 − x − 2 = 0. (1.2)
Ta vi t l i phương trình trên dư i d ng
x2 = x + 2.
Do a, c trái d u nên phương trình có hai nghi m, m t nghi m âm và
m t nghi m dương. Có th th y r ng x = 2 là nghi m nguyên dương
duy nh t c a phương trình.
Hi n nhiên x = 0 không là nghi m c a phương trình, chia hai v c a
phương trình cho x ta đư c:
2
x=1+ .
x
Do x = 2 là nghi m c a phương trình (1.2) nên
2
2=1+ .
x
2
Thay x m u s c a đ ng th c trên b i 1 + đ đư c
x
2
2=1+ .
2
1+
x
L p l i quá trình trên nhi u l n ta đư c
2
2=1+ . (1.3)
2
1+
2
1+ ...
1+
2
1+
x
L p l i quá trình trên vô h n l n ta đư c
2
2=1+ . (1.4)
2
1+
2
1+
2
1+
2
1+ .
..
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 6
Bi u di n (1.1) và (1.3) đư c g i là các phân th c liên t c h u h n
đơn gi n, (1.4) đư c g i là các phân th c liên t c vô h n đơn gi n. Như
v y phân th c liên t c xu t hi n m t cách t nhiên trong quá trình chia
các s nguyên ho c tìm nghi m c a m t phương trình. Trong nh ng
ph n ti p theo ta nghiên c u m t cách c n th n hơn v phân th c liên
t c. Ta b t đ u v i đ nh nghĩa v phân th c liên t c h u h n.
Khái ni m v phân th c liên t c
Cho hai dãy s th c a0 , a1 , . . . , an , b1 , b2 , . . . , bn . N u phân th c
b1
a0 + (1.5)
b2
a1 +
b3
a2 + ...
a3 +
bn
an−1 +
an
có nghĩa, thì phân th c đó đư c g i là m t phân th c liên t c h u h n
có đ dài n. Và kí hi u là
b1 b2 bn
a0 + .
a1 + a2 +···+ an
N u bk = 1 v i m i k = 1, 2, . . . , n và ak là các s nguyên, ak > 0 v i
m ik 1, thì phân th c liên t c (1.5) đư c g i là phân th c liên t c
h u h n đơn gi n, hay còn đư c g i là liên phân s h u h n (có đ dài
b ng n) và kí hi u là
[a0 ; a1 , . . . , an ].
N u a0 = 0, ta vi t [a1 , . . . , an ] thay cho [0; a1 , . . . , an ].
Bây gi cho hai dãy s th c vô h n {an }, n = 0, 1, . . . và {bn }, n =
1, 2 . . . . T ng hình th c
b1
a0 + (1.6)
b2
a1 +
b3
a2 +
a3 + . . .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 7
đư c g i là phân th c liên t c (vô h n). Đ cho đơn gi n ta kí hi u phân
th c liên t c (1.6) là
b1 b2 b3
a0 + ....
a1 + a2 + a3 +
Gi s r ng, v i m i n ∈ N∗
b1 b2 bn
C n = a0 +
a1 + a2 +···+ an
là t n t i. Và n u t n t i gi i h n
lim Cn = α ∈ R
n−→∞
thì ta nói phân th c liên t c (1.6) h i t . Khi đó ta vi t
b1
a0 + = α.
b2
a1 +
b3
a2 +
a3 + . . .
Phân th c liên t c h u h n Cn đư c g i là gi n phân th n c a phân
th c liên t c (1.6). N u bk = 1 v i m i k = 1, 2, . . . và ak là các s
nguyên, ak > 0 v i m i k 1, thì phân th c liên t c (1.6) đư c g i là
phân th c liên t c đơn gi n và kí hi u là
[a0 ; a1 , a2 . . . ].
N u a0 = 0, ta cũng vi t [a1 , a2 , . . . ] thay cho [0; a1 , a2 , . . . ].
Chú ý. 1. N u bm = 0 v i m nào đó thì
b1 b1
a0 + = a0 + .
b2 b2
a1 + a1 + ...
b3
a2 + a2 +
a3 + . . . bm−1
am−2 +
am−1
nên phân th c liên t c s h i t .
2. T đ nh nghĩa trên ta có
1
[a0 ; a1 , ..., an ] = a0 + .
[a1 ; a2 , ..., an ]
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 8
3. Hi n nhiên, m i phân s liên t c h u h n đơn gi n là m t s h u
t .
4. Ta th y, v i m i phân th c liên t c đơn gi n ta có
[a0 ; a1 , a2 , . . . ] = lim [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ]
n−→∞
n u gi i h n t n t i.
Đ nh lý 1.1. M i s h u t đ u có th bi u di n dư i d ng m t phân
th c liên t c h u h n đơn gi n.
a
Ch ng minh. Gi s x = trong đó a, b ∈ Z và a > 0. Đ t
b
r0 = a, r1 = b.
Áp d ng thu t toán chia Ơclit ta có
r0 = r1 q1 + r2 , 0 r2 < r1 ;
r1 = r2 q2 + r3 , 0 < r3 < r2
...
rn−2 = rn−1 qn−1 + rn , 0 < rn < rn−1
rn−1 = rn qn .
Khi đó
a
= [q1 ; q2 , ..., qn ].
b
Đ nh lý đư c ch ng minh.
Ví d 1.3. Ta có
62
= [2; 1, 2, 3, 2].
23
Chú ý r ng, bi u di n s h u t dư i d ng liên phân s h u h n là không
duy nh t, ch ng h n
7
= [0; 1, 1, 1, 3] = [0; 1, 1, 1, 2, 1].
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 9
1.1.2. Phép bi n đ i phân th c liên t c
Đ thu n ti n cho vi c tính toán trên các phân th c liên t c, chúng
tôi gi i thi u m t quy t c bi n đ i và g i là phép bi n đ i phân th c liên
t c.
Cho p1 , p2 , p3 là 3 s th c không âm. Gi s ta có phân th c liên t c
h u h n:
b1
ξ = a0 + ,
b2
a1 +
b3
a2 +
a3
trong đó ak , bk là các s th c cho trư c. Nhân c t và m u s v i p1 ta
đư c
p 1 b1
ξ = a0 + .
p1 b 2
p 1 a1 +
b3
a2 +
a3
Ta ti p t c nhân c t và m u s c a phân s có t s là p1 b2 v i p2 ta
thu đư c
p1 b1
ξ = a0 + .
p1 p 2 b 2
p 1 a1 +
p2 b3
a2 p 2 +
a3
Cu i cùng ta nhân c t và m u s c a phân s có t s là p2 b3 v i p3
ta có
p1 b1
ξ = a0 + .
p1 p 2 b 2
p1 a1 +
p2 p3 b 3
a2 p 2 +
p 3 a3
Như v y
b1 b2 b3 p1 b1 p1 p2 b2 p2 p3 b3
ξ = a0 + = a0 + .
a1 + a2 + a3 p 1 a1 + p 2 a2 + p 3 a3
L p lu n tương t như trên, ta có đ nh lý sau
Đ nh lý 1.2. V i m i b các s th c a0 , a1 , a2 , . . . , an ; b1 , b2 , . . . , bn sao
cho t n t i phân th c liên t c và các h ng s khác không p1 , p2 , . . . , pn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 10
ta có:
b1 b2 b3 bn p1 b1 p1 p2 b2 p2 p3 b3 pn−1 pn bn
a0 + = a0 +
a1 + a2 + a3 +...+ an p1 a1 + p2 a2 + p3 a3 +...+ pn an
1.1.3. Quan h gi a chu i và phân th c liên t c
Trong ph n này chúng tôi đ c p t i hai tính ch t đ ng nh t gi a
chu i và phân th c liên t c. Cho α1 , α2 , α3 , ... là các s th c v i αk =
0, αk = αk−1 v i m i k. Hi n nhiên
1 1 α2 − α1 1
− = = α1 α2
α1 α2 α1 α2
α2 − α1
1 1
= 2 = 2 .
α1 (α2 − α1 ) + α1 α1
α1 +
α2 − α1 α2 − α1
Đi u đó g i ý cho đ nh lý sau
Đ nh lý 1.3. N u α1 , α2 , α3 , ... là các s th c không âm αk = αk−1 v i
m i k. Khi đó v i n ∈ N,
n
(−1)k−1 1
= 2 . (1.7)
αk α1
k=1 α1 + 2
α2
α2 − α1 + ...
α3 − α2 + 2
αn−1
αn − αn−1
Đ c bi t khi n → ∞, ta có
∞
(−1)k−1 1 2
α1 2
α2 2
α3
= ..., (1.8)
αk α1 + α2 − α1 + α3 − α2 + α4 − α3 +
k=1
n u m t trong hai v (t đó suy ra c hai v ) c a đ ng th c này t n t i.
Ch ng minh. Ta ch ng minh (1.7) b ng qui n p. V i n = 1, (1.7)
hi n nhiên đúng. Gi s (1.7) đúng v i n, ta ch ng minh (1.7) cũng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 11
đúng v i n + 1. Th t v y, ta có
n+1
(−1)k−1 1 1 (−1)n−1 (−1)n
= − + ... + +
αk α1 α2 αn αn+1
k=1
1 1 1 1
= − + ... + (−1)n−1 −
α1 α2 αn αn+1
1 1 αn+1 − αn
= − + ... + (−1)n−1
α1 α2 αn αn+1
1 1 1
= − + ... + (−1)n−1 αn αn+1 .
α1 α2
αn+1 − αn
Áp d ng công th c t ng cho trư ng h p n ta có
n+1
(−1)k−1 1 2
α1 2
α2 2
αn−1
= . (1.9)
αk α1 + α2 − α1 + α3 − α2 +...+ αn αn+1 − αn−1
k=1
αn+1 − αn
Vì
2
αn αn+1 αn (αn+1 − αn ) + αn
− αn−1 = − αn−1
αn+1 − αn αn+1 − αn
2
αn
= αn − αn−1 + .
αn+1 − αn
Thay th vào (1.9) ta đư c
n+1
(−1)k−1 1 2
α1 2
α2 2
αn−1
= .
αk α1 + α2 − α1 + α3 − α2 +...+ αn 2
k=1 αn − αn−1 +
αn+1 − αn
V y (1.7) đúng v i m i n ∈ N∗ . Đ nh lý đư c ch ng minh.
Ví d 1.4. Theo công th c khai tri n Taylo c a log(x + 1), ta có
∞
(−1)k−1 1 1 1 1
log 2 = = − + − + . . ..
k 1 2 3 4
k=1
Áp d ng (1.7) v i αk = k, ta có
1 12 22
log 2 = ....
1+ 1 + 1 +
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 12
Như th , ta có m t bi u di n đ p c a log 2 dư i d ng liên phân s :
1
log 2 = .
12
1+
22
1+
1 + ...
B ng cách tương t ta có m t bi u di n c a log(1 + x) dư i d ng phân
th c liên t c như sau
x
log(x + 1) = .
12 x
1+
22 x
2 − 1x +
33 x
3 − 2x +
4 − 3x + . . .
Công th c (1.8) cho ta m t đ ng nh t gi a chu i và phân th c liên
t c. Ti p theo ta xem xét đ ng nh t th hai gi a chúng. Cho α1 , α2 , α3 , ...
là các s th c khác không, khác 1. D th y
1 1 α2 − 1 1
− = = α1 α2 .
α1 α1 α2 α1 α2
α2 − 1
Vì
α2 α1 α1 (α2 − 1) + α1 α1
= = α1 + .
α2 − 1 α2 − 1 α2 − 1
Nên
1 1 1
− = α1 .
α1 α1 α2 α1 +
α2 − 1
B ng cách ch ng minh qui n p gi ng như trong ch ng minh c a Đ nh
lý 1.3 ta cũng có k t qu sau
Đ nh lý 1.4. V i m i dãy s th c α1 , α2 , α3 , . . . , trong đó αk = 0, 1, ta
có n
(−1)k−1 1
= α1
α1 α2 ...αk α1 +
k=1 α2
α2 − 1 + ...
α3 − 1 + αn−1
αn−1 +
αn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 13
Đ c bi t khi n → ∞, ta có
∞
(−1)k−1 1 α1 α2 αn−1
= ...,
α1 α2 ...αk α1 + α2 − 1 + α3 − 1 +···+ αn − 1 +
k=1
n u m t trong hai v (t đó suy ra c hai v ) c a đ ng th c này t n t i.
1.2. M t s phân th c liên t c đ c bi t
1.2.1. Phân th c liên t c cho arctan và s π
Trong ph n này, chúng ta dùng hai đ nh lý đ ng nh t gi a chu i và
phân th c liên t c m c trư c đ xây d ng phân th c liên t c cho
arctan và s π. Ta b t đ u v i ví d tìm bi u di n phân th c liên t c
c a π/4.
Ví d 1.5. Ta có
π 1 1 1 1
= − + − + ...
4 1 3 5 7
Áp d ng công th c chu i trong Đ nh lý 1.3 v i αk = 2k − 1, ta có
π 1
= .
4 12
1+
32
2+
52
2+
72
2+
2 + ...
Ngh ch đ o hai v c a phân th c trên ta có
4 12
=1+ .
π 32
2+
52
2+
72
2+
2 + ...
Phân th c này l n đ u tiên đư c đưa ra b i nhà toán h c ngư i Anh,
Lord Brouncker (1620-1686), nhưng ông không ch ng minh và đư c ch
t ch hi p h i hoàng gia Luân Đôn ghi l i. Ti p theo ta tìm bi u di n
phân th c liên t c cho hàm lư ng giác ngư c arctan.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 14
Ví d 1.6. Ta bi t r ng
x3 x5 x7 n−1 x
2n−1
arctan x = x − + − + ... + (−1) + ....
3 5 7 2n − 1
1 3 5 2n − 1
Áp d ng Đ nh lý 1.3 v i α1 = , α2 = 3 , α3 = 5 , ..., αn = 2n−1 cho
x x x x
công th c (1.8), ta có
1 32 (2n − 3)2
1 x2 x2 (x2n−3 )2
arctan x = ....
1 + 3 1 + 5 3 +...+ 2n − 1 2n − 3 +
2
− 5
− 3 − 2n−3
x x x x x x2n−1 x
Bây gi ta s d ng phép bi n đ i liên phân s đ đư c bi u th c rút g n
hơn. Trư c tiên ta nh c l i phép bi n đ i liên phân s
b1 b2 b3 bn p1 b1 p1 p2 b2 p2 p3 b3 pn−1 pn bn
+ ··· = + ....
a1 + a2 + a3 +...+ an p1 a1 + p2 a2 + p3 a3 +...+ pn an
( đây ta đã rút g n a0 hai v ). Ch n p1 = x, p2 = x3 , ..., pn = x2n−1 ,
ta có
1 32
1 x2 x2 x x2 32 x 2
... = ...
1 + 3 1 + 5 3 + 1 + 3 − x2 + 5 − 3x2 +
2
− −
x x x x5 x3
Như v y
x
arctan x = .
x2
1+
32 x2
(3 − x2 ) +
52 x2
(5 − 3x2 ) +
(7 − 5x2 ) + . . .
Đ c bi t n u x = 1 và ngh ch đ o phân th c trên ta đư c công th c c a
Lord Brouncker:
4 12
=1+ .
π 32
2+
52
2+
2 + ...
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 15
Bây gi ta xem xét m t cách tính toán khác đ có bi u di n phân th c
liên t c cho arctan. Ta có
x3 x5 x7 n−1 x
2n−1
arctan x = x − + − + ... + (−1) + ....
3 5 7 2n − 1
1 3 5 2n − 1
Ch n α1 = , α2 = 2 , α3 = 2 ..., αn = v i m i n 2. Áp
x x 3x (2n − 3)x2
d ng công th c chu i
1 1 1 1 α1 α2
− + − ... = ...,
α1 α1 α2 α1 α2 α3 α1 + α2 − 1 + α3 − 1 +
trong Đ nh lý 1.4 ta đư c
1 3 2n − 1
1 x x2 (2n − 3)x2
arctan x = ....
1 + 3 + 5 +...+ 2n + 1 +
2
−1 2
−1 −1
x x 3x (2n − 1)x2
Áp d ng Đ nh lý 1.3 v i
p1 = x, p2 = x2 , p3 = 3x2 , p4 = 5x2 , ..., pn = (2n − 3)x2
v in 1 ta có bi u di n phân th c liên t c c a arctan x:
x
arctan x = .
x2
1+
2) +
32 x2
(3 − x
2) +
52 x2
(5 − 3x
(7 − 5x2 ) + . . .
Ví d 1.7. Áp d ng Đ nh lý 1.3 và Đ nh lý 1.4 cho t ng Euler
π2 1 1 1
= 2 + 2 + 2 + ...,
6 1 2 3
và l y ngh ch đ o c a phân th c liên t c ta đư c
6 14
= 02 + 12 − .
π 2 24
12 + 2 2 −
34
22 + 32 −
44
32 + 42 −
42 + 5 2 − . . .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 16
Bây gi chúng ta đ c p đ n m t cách khác đ tìm bi u di n c a s
π dư i d ng phân th c liên t c. Trư c h t ta th y
∞
1 1 1 1 1 1
(−1)n−1 ( + ) = ( + ) − ( + ) + · · · = 1.
n=1
n n+1 1 2 2 3
T ∞
π 1 1 1 1 (−1)n−1
= − + − + ... = 1 − ,
4 1 3 5 7 n=1
2n + 1
nhân hai v c a bi u th c này v i 4 ta thu đư c
∞
(−1)n−1
π =4−4
n=1
2n + 1
∞
(−1)n−1
=3+1−4
n=1
2n + 1
∞ ∞
n−1 1 1 (−1)n−1
=3+ (−1) ( + )−4
n=1
n n+1 n=1
2n + 1
∞
1 1 4
=3+ (−1)n−1 ( + − )
n=1
n n + 1 2n + 1
∞
(−1)n−1
=3+4 .
n=1
2n(2n + 1)(2n + 2)
Đ t αn = 2n(2n + 1)(2n + 2), ta có
αn − αn−1 = 2n(2n + 1)(2n + 2) − 2(n − 1)(2n − 1)(2n)
= 4n[(2n + 1)(n + 1) − (n − 1)(2n − 1)]
= 4n[2n2 + 3n + 1 − 2n2 + 3n − 1]
= 4n.6n = 24n2 .
Áp d ng công th c chu i
2 2
1 1 1 1 1 α1 α2
− + − + ... = ...
α1 α2 α3 α4 α1 + α2 − α1 + α3 − α2 +
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 17
trong Đ nh lý 1.3 v i αn = 2n(2n + 1)(2n + 2), ta có
∞
(−1)n−1 1 (2.3.4)2 (4.5.6)2
4 =4 ...
n=1
2n(2n + 1)(2n + 2) 2.3.4 + 24.22 + 24.32 +
1 (2.3.4)2 (4.5.6)2
= ....
2.3 + 24.22 + 24.32 +
Do đó
1 (2.3.4)2 (4.5.6)2 ((2n − 2)(2n − 1)(2n))2
π =3+ ··· + ....
2.3 + 24.22 + 24.32 + 24.n2 +
Ta ti p t c s d ng phép bi n đ i c a phân th c liên t c
b1 b2 b3 bn p1 b1 p1 p2 b2 p2 p3 b3 pn−1 pn bn
··· = ...
a1 + a2 + a3 +...+ an + p1 a1 + p2 a2 + p3 a3 +...+ pan +
1
Ch n p1 = 1 và pn = v in 2, ta có
4n2
1 1
. 2 .[2(n − 1)(2n − 1)(2n)]2
pn−1 pn bn 4(n − 1)2 4n 2n − 1
= = .
p n an 1 2 6
.24.n
4n2
Do đó
1 32 52 (2n − 1)2
π =3+ ... ....
6+ 6 + 6 + + 6 +
T c là
1
π =3+ .
32
6+
52
6+
6 + ...
Chú ý. Ngoài cách bi u di n s π b i m t phân th c liên t c như trên,
ta còn có th bi u di n s π b i các phân th c liên t c khác khác như:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- 18
4
π=
12
1+
32
2+
52
2−
72
2+
92
2+
2 − ...
ho c
4
π= .
12
1+
22
3+
32
5+
42
7+
9 + ...
1.2.2. Phân th c liên t c cho s e
Trong ph n này ta s tìm bi u di n phân th c liên t c c a s e. Trư c
h t ta có
∞
1 (−1)n 1 1 1
= e−1 = =1− + − + ...,
e n=0
n! 1 1.2 1.2.3
b iv y
e−1 1 1 1 1
=1− = − + − ....
e e 1 1.2 1.2.3
Áp d ng công th c
1 1 1 1 α1 α2
− + − ... = ...
α1 α1 α2 α1 α2 α3 α1 + α2 − 1 + α3 − 1 +
v i αk = k ta đư c
e−1 1
= .
e 1
1+
2
1+
3
2+
3 + ...
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
nguon tai.lieu . vn
