Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số kết quả về bài toán cực trị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Phong MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Phong MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên em xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS Lê Hoàn Hóa đã tận tình chỉ dạy và hướng dẫn em hoàn thành luận văn này. Em cũng chân thành cám ơn các thầy cô trường ĐH Sư phạm TP Hồ Chí Minh, trường ĐH Khoa Học Tự Nhiên TP Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy trong quá trình học tập của em. Các thầy cô trong văn phòng Sau Đại Học đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi trong quá trình làm luận văn. TP. Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2014 Học viên thực hiện Nguyễn Thanh Phong MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục LỜI MỞ ĐẦU............................................................................................................1 Chương 1. CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN ...................................................................3 1.1. Cực trị có điều kiện trong không gian hữu hạn chiều.......................................3 1.1.1. Định nghĩa..................................................................................................3 1.1.2. Định lý nhân tử Lagrange...........................................................................4 1.1.3. Cực đại - cực tiểu .......................................................................................5 1.2. Cực trị có điều kiện trong không gian Banach.................................................6 1.2.1. Đa tạp tuyến tính........................................................................................6 1.2.2. Bài toán cực trị có điều kiện tổng quát.......................................................8 Chương 2. ĐỊNH LÝ LIÊN KẾT..........................................................................10 2.1. Kiến thức chuẩn bị..........................................................................................10 2.2. Bổ đề biến đổi số lượng..................................................................................14 2.3. Nguyên lý biến phân Ekeland.........................................................................18 2.4. Nguyên lý minimax tổng quát ........................................................................20 2.5. Bài toán Dirichlet nửa tuyến tính....................................................................24 2.6. Định lý định vị................................................................................................33 2.7. Kỳ dị phi tuyến ...............................................................................................34 Chương 3. ĐA TẠP NEHARI................................................................................42 3.1. Định nghĩa đa tạp Nehari................................................................................42 3.2. Những điều kiện cơ sở....................................................................................42 3.3. Những tính chất của giá trị tới hạn.................................................................47 3.4. Nghiệm nút .....................................................................................................49 KẾT LUẬN..............................................................................................................56 TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................57 1 LỜI MỞ ĐẦU Nhiều bài toán biên tương đương với phương trình: Au = 0 (1) Trong đó A: X →Y là ánh xạ giữa hai không gian Banach. Trong bài toán biến phân, tồn tại hàm số ϕ : X →  sao cho A =ϕ′ ( Đạo hàm Gateaux của ϕ ) nghĩa là: Au,v = limϕ(u +tv)−ϕ(u) t 0 Không gian Y tương ứng chính là không gian đối ngẫu X′của X và phương trình (1) tương đương với ϕ′(u) = 0 nghĩa là: ϕ′(u),v = 0,∀v∈ X (2) Điểm tới hạn của ϕ,ϕ′(u) = 0 là nghiệm của (2) và giá trị ϕ(u) là giá trị tới hạn của ϕ . Làm thế nào để tìm giá trị tới hạn? Khi ϕ là hàm bị chặn dưới thì: c:= infϕ X Là ứng viên tự nhiên. Nguyên lý Ekeland dẫn đến sự tồn tại một dãy (un)n sao cho: ϕ(un) → c,ϕ′(un) → 0 Một dãy như vậy được gọi là dãy Palais-Smale tại mức c. Phiếm hàm ϕ được gọi là thỏa điều kiện (PS)c nếu mọi dãy Palais-Smale tại mức cchứa một dãy con hội tụ. Nếu ϕ bị chặn dưới và thỏa điều kiện (PS)c tại mức c:= infϕ thì c là giá trị tới hạn của ϕ . Theo Ambrosetti và Rabinowitz, ta xét trường hợp khi có cực tiểu địa phương tại 0 nhưng không là cực tiểu toàn cục. Tồn tại r → 0 và e∈ X sao cho e > r và: u =rϕ(u) >ϕ(0) ≥ϕ(e) Điểm (0,ϕ(0)) tách biệt (e,ϕ(e)) bởi một “vòng núi”. Nếu xét tập hợp Γ các đường nối 0 và ethì: ... - tailieumienphi.vn