Xem mẫu
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG
TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH CĂN THỨC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI - 2015
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG
TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH CĂN THỨC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ : 60 46 01 13
Người thực hiện: NGÔ TRUNG KIÊN
Cao học khóa 1, 2013-2015
Người hướng dẫn: TS. NCVC. NGUYỄN VĂN NGỌC
HÀ NỘI - 2015
Thang Long University Libraty
Mục lục
Mở đầu
1
2
1
Một số dạng phương trình và phương pháp phổ biến
1.1 Các dạng cơ bản phương trình chứa căn thức . . . . . . . . . .
1.1.1 Phương trình dạng u(x) = f (x) . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Phương trình dạng u(x) + a v(x) = f (x) . . . . . . .
1.1.3 Phương trình dạng 3 u(x) + a 3 v(x) = f (x) . . . . . . .
1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ trong phương trình căn thức . . . . . .
1.2.1 Phương trình dạng u(x) ± v(x) + a u(x)v(x) = f (x)
1.2.2 Phương trình dạng u(x) = au(x) + b . . . . . . . . . .
1.2.3 Phương trình dạng u(x) + a ± u(x) + b = c . . . . .
√
1.2.4 Phương trình dạng x2 + 2ax + a2 + a − b = x + b . . . .
√
1.2.5 Phương trình dạng x3 + 3ax2 + 3a2 x + a3 + a − b = 3 x + b
1.2.6 Lượng giác hóa các phương trình căn thức . . . . . . . .
Một số dạng phương trình và phương pháp đặc biệt
2.1 Hằng đẳng thức căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Các hằng đẳng thức về căn bậc hai, bậc ba
sử dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Phương pháp đánh giá theo các bất đẳng thức . . . . .
2.2.1 Một số bất đẳng thức thông dụng . . . . . . . .
2.2.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Sử dụng tính đồng biến của các hàm số . . . . . . . . .
2.3.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Phương trình chứa căn thức sinh bởi hàm số ngược . .
2.4.1 Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
3
11
17
22
22
27
34
39
47
52
60
. . . . . . 60
thường
. . . . . . 60
. . . . . . 61
. . . . . . 65
. . . . . . 65
. . . . . . 66
. . . . . . 73
. . . . . . 73
. . . . . . 74
. . . . . . 84
. . . . . . 84
2.4.2
2.4.3
2.4.4
2.4.5
3
Hàm số và hàm số ngược .
Phương trình chứa căn thức
Phương trình chứa căn thức
Phương trình chứa căn thức
. . . . . . .
αx + β .
√
3
αx + β .
√
5
αx + β .
√
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Một số dạng bất phương trình căn thức
3.1 Các dạng cơ bản bất phương trình căn thức . . . . . . . . . . .
3.1.1 Bất phương trình dạng u(x) < f (x) . . . . . . . . . .
3.1.2 Bất phương trình dạng u(x) > f (x) . . . . . . . . . .
3.2 Phương pháp đặt ẩn phu giải bất phương trình . . . . . . . .
3.2.1 Bất phương trình đối với u(x) + au(x) + f (x) . . . .
3.3 Bất phương trình đối với u(x) ± v(x) + a u(x)v(x) + f (x)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
84
87
89
91
.
.
.
.
.
.
92
92
92
99
105
105
109
Kết luận
114
Tài liệu tham khảo
115
iii
Thang Long University Libraty
Mở đầu
Phương trình và bất phương trình chứa căn (căn thức) là chuyên mục quan
trọng và thú vị của môn Đại số được dạy ở bậc phổ thông, đòi hỏi nhiều sáng
tạo, kích thích sự đam mê, nên được nhiều người quan tâm. Các bài toán về
phương trình, bất phương trình, hay hệ phương trình, hệ bất phương trình chứa
căn thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi toán ở các cấp THCS, THPT và
nhất là trong các kỳ thi đại học, hay thi vào các trường chuyên.
Đặc điểm cơ bản của chuyên mục này, trước hết là ở sự tồn tại các căn thức
bậc chẵn và sự tương đương của các đẳng thức và bất đẳng thức. Không ít các
học sinh đã mắc sai lầm là nâng lên lũy thừa hai vế của phương trình hay bất
phương trình để nhận được phương trình hay bất phương trình đa thức không
tương đương.
Nhiều khi việc nâng lên lũy thừa có thể được thực hiện, thì một khó khăn
gặp phải là sẽ được một phương trình hay bất phương trình đa thức bậc cao
rất khó tìm được nghiệm. Do đó đã đề xuất cách đặt ẩn phụ, và do đó đã hình
thành phương pháp đặt ẩn phụ giải các phương trình căn thức. Mỗi dạng bài
toán về phương trình, bất phương trình căn thức đòi hỏi cách đặt ẩn phụ riêng
phù hợp, đổi khi phải sử dụng phép đặt lượng giác, hoặc hyperbol.
Nhiều bài toán về phương trình, bất phương trình căn thức đòi hỏi vận dụng
tinh tế các bất đẳng thức đại số, như bất đảng thức giữa trung bình cộng và
trung bình nhân, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, hay các bất đẳng thức khác
để đánh giá hai vế, từ đó đưa ra những kết luận về nghiệm của bài toán đã cho.
Có nhiều bài toán về phương trình hay bất phương trình căn thức rất khó
giải bằng một trong những phương pháp nêu trên đây. Đôi khi phải vận dụng
tính đồng biến của hàm số, hoặc sự tồn tại hàm số ngược để giải bài toán. Đó là
những phương pháp khá đặc biệt và lý thú, đòi hỏi kỹ năng vận dụng sáng tạo.
Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình đã được đề xuất từ
khá lâu. Tuy nhiên, do tính đa dạng về hình thức và phong phú về cách tiếp
cận, nên phương trình, bất phương trình luôn là đối tượng để những người yêu
1
nguon tai.lieu . vn
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG
TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH CĂN THỨC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI - 2015
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG
TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH CĂN THỨC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ : 60 46 01 13
Người thực hiện: NGÔ TRUNG KIÊN
Cao học khóa 1, 2013-2015
Người hướng dẫn: TS. NCVC. NGUYỄN VĂN NGỌC
HÀ NỘI - 2015
Thang Long University Libraty
Mục lục
Mở đầu
1
2
1
Một số dạng phương trình và phương pháp phổ biến
1.1 Các dạng cơ bản phương trình chứa căn thức . . . . . . . . . .
1.1.1 Phương trình dạng u(x) = f (x) . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Phương trình dạng u(x) + a v(x) = f (x) . . . . . . .
1.1.3 Phương trình dạng 3 u(x) + a 3 v(x) = f (x) . . . . . . .
1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ trong phương trình căn thức . . . . . .
1.2.1 Phương trình dạng u(x) ± v(x) + a u(x)v(x) = f (x)
1.2.2 Phương trình dạng u(x) = au(x) + b . . . . . . . . . .
1.2.3 Phương trình dạng u(x) + a ± u(x) + b = c . . . . .
√
1.2.4 Phương trình dạng x2 + 2ax + a2 + a − b = x + b . . . .
√
1.2.5 Phương trình dạng x3 + 3ax2 + 3a2 x + a3 + a − b = 3 x + b
1.2.6 Lượng giác hóa các phương trình căn thức . . . . . . . .
Một số dạng phương trình và phương pháp đặc biệt
2.1 Hằng đẳng thức căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Các hằng đẳng thức về căn bậc hai, bậc ba
sử dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Phương pháp đánh giá theo các bất đẳng thức . . . . .
2.2.1 Một số bất đẳng thức thông dụng . . . . . . . .
2.2.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Sử dụng tính đồng biến của các hàm số . . . . . . . . .
2.3.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Phương trình chứa căn thức sinh bởi hàm số ngược . .
2.4.1 Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
3
11
17
22
22
27
34
39
47
52
60
. . . . . . 60
thường
. . . . . . 60
. . . . . . 61
. . . . . . 65
. . . . . . 65
. . . . . . 66
. . . . . . 73
. . . . . . 73
. . . . . . 74
. . . . . . 84
. . . . . . 84
2.4.2
2.4.3
2.4.4
2.4.5
3
Hàm số và hàm số ngược .
Phương trình chứa căn thức
Phương trình chứa căn thức
Phương trình chứa căn thức
. . . . . . .
αx + β .
√
3
αx + β .
√
5
αx + β .
√
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Một số dạng bất phương trình căn thức
3.1 Các dạng cơ bản bất phương trình căn thức . . . . . . . . . . .
3.1.1 Bất phương trình dạng u(x) < f (x) . . . . . . . . . .
3.1.2 Bất phương trình dạng u(x) > f (x) . . . . . . . . . .
3.2 Phương pháp đặt ẩn phu giải bất phương trình . . . . . . . .
3.2.1 Bất phương trình đối với u(x) + au(x) + f (x) . . . .
3.3 Bất phương trình đối với u(x) ± v(x) + a u(x)v(x) + f (x)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
84
87
89
91
.
.
.
.
.
.
92
92
92
99
105
105
109
Kết luận
114
Tài liệu tham khảo
115
iii
Thang Long University Libraty
Mở đầu
Phương trình và bất phương trình chứa căn (căn thức) là chuyên mục quan
trọng và thú vị của môn Đại số được dạy ở bậc phổ thông, đòi hỏi nhiều sáng
tạo, kích thích sự đam mê, nên được nhiều người quan tâm. Các bài toán về
phương trình, bất phương trình, hay hệ phương trình, hệ bất phương trình chứa
căn thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi toán ở các cấp THCS, THPT và
nhất là trong các kỳ thi đại học, hay thi vào các trường chuyên.
Đặc điểm cơ bản của chuyên mục này, trước hết là ở sự tồn tại các căn thức
bậc chẵn và sự tương đương của các đẳng thức và bất đẳng thức. Không ít các
học sinh đã mắc sai lầm là nâng lên lũy thừa hai vế của phương trình hay bất
phương trình để nhận được phương trình hay bất phương trình đa thức không
tương đương.
Nhiều khi việc nâng lên lũy thừa có thể được thực hiện, thì một khó khăn
gặp phải là sẽ được một phương trình hay bất phương trình đa thức bậc cao
rất khó tìm được nghiệm. Do đó đã đề xuất cách đặt ẩn phụ, và do đó đã hình
thành phương pháp đặt ẩn phụ giải các phương trình căn thức. Mỗi dạng bài
toán về phương trình, bất phương trình căn thức đòi hỏi cách đặt ẩn phụ riêng
phù hợp, đổi khi phải sử dụng phép đặt lượng giác, hoặc hyperbol.
Nhiều bài toán về phương trình, bất phương trình căn thức đòi hỏi vận dụng
tinh tế các bất đẳng thức đại số, như bất đảng thức giữa trung bình cộng và
trung bình nhân, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, hay các bất đẳng thức khác
để đánh giá hai vế, từ đó đưa ra những kết luận về nghiệm của bài toán đã cho.
Có nhiều bài toán về phương trình hay bất phương trình căn thức rất khó
giải bằng một trong những phương pháp nêu trên đây. Đôi khi phải vận dụng
tính đồng biến của hàm số, hoặc sự tồn tại hàm số ngược để giải bài toán. Đó là
những phương pháp khá đặc biệt và lý thú, đòi hỏi kỹ năng vận dụng sáng tạo.
Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình đã được đề xuất từ
khá lâu. Tuy nhiên, do tính đa dạng về hình thức và phong phú về cách tiếp
cận, nên phương trình, bất phương trình luôn là đối tượng để những người yêu
1