Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các MD5 đại số với ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều và các phân lá tạo bởi các K quỹ đạo chiều cực đại của các MD5 nhóm liên thông tương ứng

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH -------------------------------- Dương Quang Hoà CÁC MD5-ĐẠI SỐ VỚI IDEAL DẪN XUẤT GIAO HOÁN 4 CHIỀU VÀ CÁC PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K-QUỸ ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA CÁC MD5-NHÓM LIÊN THÔNG TƯƠNG ỨNG Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2007 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Anh Vũ. Những kết quả trong luận văn này mà không được trích dẫn là những kết quả tôi đã nghiên cứu được. Tác giả 3 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa ...................................................................................................... 1 Lời cam đoan ....................................................................................................... 2 Mục lục ................................................................................................................ 3 Danh mục các ký hiệu ......................................................................................... 4 MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 5 Chương 1 – LỚP CÁC MD-NHÓM VÀ MD-ĐẠI SỐ 1.1. Nhắc lại khái niệm cơ bản về nhóm Lie..................................................... 10 1.2. Nhắc lại khái niệm cơ bản về đại số Lie.................................................... 11 1.3. Sự liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie...................................................... 16 1.4. Biểu diễn phụ hợp và K-biểu diễn lớp MD-nhóm và MD-đại số.............. 19 Chương 2 – LỚP CON CÁC MD5-ĐẠI SỐ CÓ IDEAL DẪN XUẤT GIAO HOÁN 4 CHIỀU VÀ BỨC TRANH HÌNH HỌC CÁC K-QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD5-NHÓM LIÊN THÔNG ĐƠN LIÊN TƯƠNG ỨNG 2.1. Nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo ........................................... 22 2.2. Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều................ 25 2.3. Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng với các MD5-đại số đã xét....................................... 29 Chương 3 – KHÔNG GIAN PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K-QUỸ ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA CÁC MD-NHÓM ĐÃ XÉT 3.1. Phân lá – Phân lá đo được........................................................................ 36 3.2. Các MD5-phân lá liên kết với các MD5-nhóm đã xét ............................ 41 KẾT LUẬN ....................................................................................................... 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 51 4 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Aut (V): nhóm các tự đẳng cấu trên không gian vectơ V. Aut G : nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G. B: tập hoành Borel. : trường số phức. C∞(V): không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên đa tạp V. End(V) : không gian các đồng cấu trên không gian vectơ V. exp : ánh xạ mũ exp. G* : không gian đối ngẫu của đại số Lie G. GL(n,R): nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực. J (F): ideal các dạng vi phân ngoài triệt tiêu trên F. Lie(G) : đại số Lie của nhóm Lie G. Mat(n; R) : tập hợp các ma trận vuông cấp n hệ số thực. : trường số thực. T G là không gian tiếp xúc của G tạo điểm đơn vị e. V /F : không gian lá của phân lá. ΩF : quỹ đạo Kirillov qua F. ∧: độ đo hoành (đối với phân lá). 5 MỞ ĐẦU Một trong những bài toán cơ bản và quan trọng nhất của lý thuyết biểu diễn chính là bài toán phân loại biểu diễn hay còn gọi là bài toán về đối ngẫu unita. Tức là cho trước một nhóm G, hãy phân loại tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của G (sai khác một đẳng cấu). Đối tượng quan trọng của lý thuyết biểu diễn chính là nhóm Lie và đại số Lie. Vấn đề nghiên cứu và phân loại biểu diễn của nhóm Lie và đại số Lie là một hướng nghiên cứu lớn trong Hình học – Tôpô và có rất nhiều ứng dụng trong Vật lý, đặc biệt là vật lý lượng tử. Để giải quyết bài toán này, năm 1962, A.A.Kirillov (xem [Ki]) đã phát minh ra phương pháp quỹ đạo để nghiên cứu lý thuyết biểu diễn nhóm Lie, phương pháp này cho phép ta nhận được tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của mỗi nhóm Lie liên thông, đơn liên, giải được từ các K-quỹ đạo nguyên của nó. Đóng vai trò then chốt trong phương pháp quỹ đạo Kirillov chính là các K-quỹ đạo của biểu diễn đối phụ hợp (hay còn gọi là K-biểu diễn). Do đó, việc mô tả các K-quỹ đạo của mỗi nhóm Lie, nhất là các nhóm Lie liên thông giải được, có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie. Các nhóm Lie và đại số Lie giải được có cấu trúc không quá phức tạp, tuy nhiên việc phân loại chúng cho đến nay vẫn chưa được giải quyết triệt để. Năm 1980, Đỗ Ngọc Diệp (xem [Di]) đã đề nghị xét một lớp con các nhóm Lie và đại số Lie thực giải được đơn giản về phương diện phân tầng các K-quỹ đạo (tức là quỹ đạo Kirillov). Đó là lớp các MD-nhóm và MD-đại số. Một nhóm Lie thực giải được mà các K-quỹ đạo của nó hoặc là 0-chiều hoặc là có chiều cực đại được gọi là MD-nhóm. Khi số chiều cực đại bằng số chiều của nhóm thì nhóm đó được gọi là MD-nhóm. Đại số Lie của một MD-nhóm (tương ứng, MD-nhóm) được gọi là MD-đại số (tương ứng, MD-đại số). ... - tailieumienphi.vn