Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bất đẳng thức và phương pháp chứng minh

B˚t fi…ng thłc vµ Ph›‹ng ph‚p chłng minh Gi‚o vi“n h›íng dÉn: PGS.TS. §µm V¤n NhØ T‚c gi¶: NguyÔn TiÕn Thµnh Khoa To‚n - Tr›Œng §„i häc Khoa häc Th‚i Nguy“n 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn mº fi˙u B˚t fi…ng thłc lµ mØt v˚n fiÒ kh‚ cæ fiiÓn, nh›ng xu˚t hiÖn trong mäi lÜnh vøc cæa to‚n häc. Trong ch›‹ng tr×nh to‚n phæ th«ng, b˚t fi…ng thłc cª m˘t º t˚t c¶ c‚c bØ m«n SŁ häc, §„i sŁ, Gi¶i tÝch, H×nh häc vµ L›îng gi‚c. §˘c biÖt, trong kœ thi §„i häc, Häc sinh giÆi quŁc gia vµ quŁc tÕ fiÒu cª bµi b˚t fi…ng thłc. ChÝnh v× thÕ mµ chuy“n fiÒ b˚t fi…ng thłc r˚t thiÕt thøc fiŁi víi nh÷ng ai muŁn t×m hiÓu s`u vÒ to‚n s‹ c˚p. H‹n n÷a, b˚t fi…ng thłc cßn li“n quan fiÕn sø fi‚nh gi‚, t×m c‚i ch˘n ho˘c cøc trÞ cho mØt biÓu thłc. Bºi v¸y b˚t fi…ng thłc lµ mØt trong sŁ nh÷ng bµi to‚n fi›îc r˚t nhiÒu ng›Œi thuØc nhiÒu lÜnh vøc quan t`m fiÕn. B˚t fi…ng thłc kh«ng ph¶i lµ bµi to‚n khª, nh›ng chän c‚ch chłng minh nh› thÕ nµo cho fi‹n gi¶n. S‚ng t‚c b˚t fi…ng thłc còng kh«ng khª, nh›ng biÓu diÔn h×nh thłc º hai vÕ thÕ nµo cho fiÑp m¾t. NÕu fiÓ ý sˇ th˚y c‚c bµi to‚n b˚t fi…ng thłc fi›îc chia ra lµm hai nhªm. Nhªm I lµ v¸n dông mØt sŁ b˚t fi…ng thłc lu«n fióng fiÓ chłng minh mØt b˚t fi…ng thłc míi qua c‚c ph—p biÕn fiæi vµ nhªm II lµ t×m cøc trÞ mØt biÓu thłc. §`y chÝnh lµ bµi to‚n t×m mØt c‚i ch˘n vµ x—t xem khi nµo biÓu thłc sˇ fi„t fi›îc c‚i ch˘n ˚y. Nh› v¸y, chuy“n fiÒ tr×nh bµy º fi`y nh»m gi¶i quyÕt fi›îc hai v˚n fiÒ chÝnh: (i) Chłng minh l„i, nh›ng theo ph›‹ng ph‚p s‚ng t‚c, mØt sŁ b˚t fi…ng thłc g¾n liÒn víi t“n tuæi nh÷ng nhµ to‚n häc vµ tr×nh bµy viÖc v¸n dông fiÓ gi¶i quyÕt mØt vµi vÝ dô. (ii) T×m cøc trÞ cho mØt sŁ biÓu thłc fiÓ tı fiª suy ra tÝnh ch˚t fi˘c biÖt c˙n quan t`m cæa mØt fiŁi t›îng nµo fiª. Lu¸n v¤n nµy gåm ba ch›‹ng. Ch›‹ng 1 tr×nh bµy kh‚i niÖm vµ mØt vµi tÝnh ch˚t fi˘c biÖt cæa b˚t fi…ng thłc fi›îc nh¾c l„i cïng víi mØt vµi vÝ dô v¸n dông º môc 1.1. Môc 1.2 giíi thiÖu mØt vµi ph›‹ng ph‚p fi‹n gi¶n th›Œng sö dông fiÓ chłng minh b˚t fi…ng thłc. 1 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Ch›‹ng 2: T¸p trung tr×nh bµy ph›‹ng ph‚p hµm sŁ fiÓ x`y døng b˚t fi…ng thłc cïng víi viÖc chłng minh l„i mØt sŁ b˚t fi…ng thłc cæ fiiÓn. Ch›‹ng 3: MØt sŁ łng dông b˚t fi…ng thłc vÒ viÖc t×m gi‚ trÞ lín nh˚t vµ nhÆ nh˚t cæa mØt biÓu thłc º môc 3.1, chłng minh b˚t fi…ng thłc trong h×nh s‹ c˚p º môc 3.2, ‚p dông gi¶i ph›‹ng tr×nh vµ hÖ ph›‹ng tr×nh víi nh÷ng fiiÒu kiÖn nh˚t fiÞnh º môc 3.3 . Dï fi• r˚t cŁ g¾ng, nh›ng ch¾c ch¾n nØi dung fi›îc tr×nh bµy trong lu¸n v¤n kh«ng tr‚nh khÆi nh÷ng thiÕu xªt nh˚t fiÞnh vµ t‚c gi¶ r˚t mong nh¸n fi›îc sø gªp ý cæa c‚c th˙y c« gi‚o vµ c‚c b„n. Lu¸n v¤n nµy fi›îc hoµn thµnh d›íi sø h›íng dÉn khoa häc cæa PGS. TS. §µm V¤n NhØ. Xin fi›îc tÆ lßng c¶m ‹n ch`n thµnh nh˚t tíi th˙y. T‚c gi¶ xin c¶m ‹n ch`n thµnh tíi Tr›Œng §„i häc Khoa Häc Th‚i Nguy“n, n‹i t‚c gi¶ fi• nh¸n fi›îc mØt häc v˚n sau fi„i häc c¤n b¶n vµ cuŁi cïng, xin c¶m ‹n gia fi×nh, b„n bÌ, fiØng nghiÖp fi• c¶m th«ng, æng hØ vµ gióp fiì trong suŁt thŒi gian trong thŒi gian t‚c gi¶ häc Cao häc vµ viÕt lu¸n v¤n. Hµ NØi, ngµy 09 th‚ng 09 n¤m 2011 NguyÔn TiÕn Thµnh 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Môc lôc 1 B˚t fi…ng thłc 4 1.1 Kh‚i niÖm vµ mØt vµi tÝnh ch˚t cæa b˚t fi…ng thłc . . . . . . . 4 1.2 MØt vµi ph›‹ng ph‚p chłng minh fi‹n gi¶n . . . . . . . . . . . 8 2 MØt vµi ph›‹ng ph‚p x`y døng b˚t fi…ng thłc 40 2.1 Ph›‹ng ph‚p hµm sŁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2 B˚t fi…ng thłc víi d•y kh«ng gi¶m . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.3 B˚t fi…ng thłc cæa Karamata, Schur, Muirheard . . . . . . . . . 67 2.4 B˚t fi…ng thłc Abel vµ fi‚nh gi‚ tæng . . . . . . . . . . . . . . 72 3 MØt sŁ łng dông b˚t fi…ng thłc 77 3.1 Gi‚ trÞ lín nh˚t-nhÆ nh˚t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2 MØt vµi b˚t fi…ng thłc trong h×nh s‹ c˚p . . . . . . . . . . . . 96 3.3 Ph›‹ng tr×nh vµ hÖ ph›‹ng tr×nh . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch›‹ng 1 B˚t fi…ng thłc 1.1 Kh‚i niÖm vµ mØt vµi tÝnh ch˚t cæa b˚t fi…ng thłc §Þnh nghÜa 1.1.1. Cho hai sŁ thøc a vµ b: a fi›îc gäi lµ lín h‹n b; ký hiÖu a > b; nÕu hiÖu a b lµ mØt sŁ d›‹ng; a fi›îc gäi lµ lín h‹n ho˘c b»ng b; ký hiÖu a > b; nÕu hiÖu a b lµ mØt sŁ kh«ng `m; a fi›îc gäi lµ nhÆ h‹n b; ký hiÖu a < b; nÕu hiÖu a b lµ mØt sŁ `m; a fi›îc gäi lµ nhÆ h‹n ho˘c b»ng b, ký hiÖu a 6 b; nÕu hiÖu a b lµ mØt sŁ kh«ng d›‹ng. Gi‚ trÞ tuyÖt fiŁi cæa a lµ jaj = a khi a < 0: TÝnh ch˚t 1.1.2. Víi c‚c sŁ thøc a;b;c vµ sŁ tø nhi“n n lu«n cª tÝnh ch˚t: a > b () a > b () a > b () jaj > jbj () a > b () Víi a > b; c > 0 () c < 0 () a > b;b > c =) jaj 6 () a b > 0 a + c > b + c a2n+1 > a2n+1 a2n > a2n a=b a>b: ac > bc ac < bc: a > c: > 0 6 a 6 : Khi chłng minh b˚t fi…ng thłc, nh÷ng fiång nh˚t thłc th›Œng fi›îc sö dông: 4 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... - tailieumienphi.vn