Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bậc Tôpô của một số lớp ánh xạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Dương Nguyễn Thành An BẬC TÔPÔ CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Dương Nguyễn Thành An BẬC TÔPÔ CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ Chuyên ngành: Mã số: Toán giải tích 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CÁM ƠN Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Bích Huy người đã tận tình và nghiêm khắc dạy bảo để luận văn này được hoàn thành. Đồng thời, tác giả cũng xin chân thành cám ơn Khoa Toán-Tin Phòng Sau Đại Học, trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Cám ơn các thầy cô và đồng nghiệp đã trao đổi cùng tác giả những kiến thức và kinh nghiệm quý báu để giúp cho luận văn được hoàn thiện hơn. Bên cạnh đó, sự quan tâm của gia đình, bạn bè là nguồn động viên không thể thiếu để giúp tác giả hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cám ơn. Học viên: Dương Nguyễn Thành An Lớp: Toán giải tích K23 MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cám ơn Mục lục MỞ ĐẦU....................................................................................................................................1 Chương 1. BẬC TÔ PÔ CỦA ÁNH XẠ CÔ ĐẶC ................................................................3 1.1. Độ đo phi compact...........................................................................................................3 1.2. Ánh xạ cô đặc theo một độ đo phi compact ..................................................................11 Chương 2. BẬC TÔPÔ CỦA ÁNH XẠ DƯƠNG................................................................24 2.1. Không gian banach có thứ tự.........................................................................................24 2.2. Bậc tôpô của ánh xạ dương ...........................................................................................25 2.3. Điểm bất động của ánh xạ dương..................................................................................31 Chương 3. BẬC TÔPÔ CỦA ÁNH XẠ A–RIÊNG.............................................................34 3.1. Ánh xạ a-riêng...............................................................................................................34 3.2 Bậc tôpô của ánh xạ a-riêng ...........................................................................................36 Chương 4. BẬC TÔPÔ CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ.................................................................46 4.1. Ánh xạ đa trị..................................................................................................................46 4.3. Lát cắt xấp xỉ của ánh xạ đa trị......................................................................................53 KẾT LUẬN .............................................................................................................................65 TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................................66 1 MỞ ĐẦU Bậc tôpô của ánh xạ (hay cũng còn gọi là số quay của trường vectơ) được xây dựng từ những năm 1910 và ban đầu được ứng dụng trong Giải tích phức, trong Lý thuyết đường và mặt. Chỉ sau khi bậc tôpô tìm được ứng dụng trong chứng minh sự tồn tại điểm bất động thì nó mới được các nhà Toán học quan tâm nghiên cứu một cách tập trung và có hệ thống. Ngày nay, bậc tôpô là công cụ quan trọng bậc nhất trong nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và cấu trúc tập nghiệm của nhiều lớp phương trình vi phân, tích phân xuất phát từ Khoa học Tự nhiên và Xã hội. Bậc tôpô ban đầu được xây dựng cho ánh xạ liên tục trong không gian hữu hạn chiều, sau đó được Leray-Schauder mở rộng cho ánh xạ hoàn toàn liên tục tác động từ một tập mở, bị chặn trong không gian Banach vô hạn chiều và ứng dụng để nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng. Tiếp theo, sự phát triển của khoa học và kĩ thuật đưa tới những lớp ánh xạ mới và nảy sinh nhu cầu xây dựng bậc tôpô cho các ánh xạ này. Trong luận văn này, tác giả tập trung nghiên cứu phương pháp xây dựng bậc tôpô, xét các tính chất chung và riêng của bậc tôpô cho các lớp ánh xạ: ánh xạ dương trong không gian Banach có thứ tự, cho ánh xạ A-riêng, cho ánh xạ cô đặc theo một độ đo phi compact, cho ánh xạ đa trị. Đồng thời vận dụng phương pháp bậc tôpô để nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của các lớp ánh xạ này. Cấu trúc của luận văn gồm bốn chương: - Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ sở về định nghĩa cũng như các kết quả về độ đo phi compact, ánh xạ cô đặc theo một độ đo phi compact và bậc tôpô của ánh xạ cô đặc. - Chương 2: Trình bày các kiến thức cơ sở về định nghĩa cũng như các kết quả về không gian Banach có thứ tự và bậc tôpô của ánh xạ dương. - Chương 3: Trình bày các kiến thức cơ sở về định nghĩa cũng như các kết quả về ánh xạ A-riêng, bậc tôpô cho ánh xạ A-riêng và phương trình với ánh xạ Fredholm chỉ số 0. ... - tailieumienphi.vn