Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số lớp bất đẳng thức và bài toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến

„I H¯C QU¨C GIA H€ N¸I TR×˝NG „I H¯C KHOA H¯C TÜ NHI–N - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - NGUY™N T€I TU› M¸T S¨ L˛P B‡T NG THÙC V€ B€I TON CÜC TRÀ V˛I A THÙC ¨I XÙNG BA BI˜N Chuy¶n ng nh: PH×ÌNG PHP TON SÌ C‡P M¢ sŁ: 60.46.01.13 LUŠN V‹N TH„C Sß KHOA H¯C NG×˝I HײNG DˆN KHOA H¯C: GS.TSKH. NGUY™N V‹N MŠU H Nºi N«m 2014 Möc löc M— †U 3 1 Mºt sŁ ki‚n thøc bŒ træ 5 1.1 a thøc Łi xøng ba bi‚n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 T‰nh ch§t cì b£n cıa b§t flng thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 B§t flng thøc th÷íng dòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 B§t flng thøc AM-GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.2 B§t flng thøc Cauchy - Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.3 B§t flng thøc Karamata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 B§t flng thøc câ tŒng c¡c bi‚n khæng Œi 9 2.1 B§t flng thøc câ tŒng c¡c bi‚n khæng Œi vîi h m ph¥n thøc hœu t¿ 9 2.1.1 Sß döng b§t flng thøc AM-GM . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.2 Sß döng b§t flng thøc Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . 15 2.1.3 Sß döng c¡c t‰nh ch§t cıa h m sŁ . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.4 B i to¡n li¶n quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 B§t flng thøc câ tŒng c¡c bi‚n khæng Œi vîi h m væ t¿ . . . . . . 33 2.2.1 Sß döng b§t flng thøc AM-GM . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.2 Sß döng b§t flng thøc Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . 36 2.2.3 Sß döng c¡c t‰nh ch§t cıa h m sŁ . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.4 B i to¡n li¶n quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3 B§t flng thøc câ t‰ch c¡c bi‚n khæng Œi 45 3.1 B§t flng thøc câ t‰ch c¡c bi‚n khæng Œi vîi h m ph¥n thøc hœu t¿ 45 3.1.1 Sß döng b§t flng thøc AM-GM . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.2 Sß döng b§t flng thøc Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . 50 3.1.3 Sß döng c¡c t‰nh ch§t cıa h m sŁ . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.4 B i to¡n li¶n quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2 B§t flng thøc câ t‰ch c¡c bi‚n khæng Œi vîi h m væ t¿ . . . . . . 56 3.2.1 Sß döng b§t flng thøc AM-GM . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.2 Sß döng b§t flng thøc Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . 59 3.2.3 Sß döng c¡c t‰nh ch§t cıa h m sŁ . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2.4 B i to¡n li¶n quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1 MÖC LÖC 4 Mºt sŁ lîp b i to¡n cüc trà vîi a thøc Łi xøng ba bi‚n 63 4.1 Sß döng b§t flng thøc AM-GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.2 Sß döng b§t flng thøc Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.3 Sß döng c¡c t‰nh ch§t cıa h m sŁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4 B i to¡n li¶n quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 K˜T LUŠN 78 T€I LI›U THAM KHƒO 79 2 M— †U B§t flng thøc l mºt nºi dung cŒ i”n v quan trång cıa To¡n håc. Ngay tł ƒu, sü ra íi v ph¡t tri”n cıa b§t flng thøc ¢ °t d§u §n quan trång, chóng câ søc hót m⁄nh m‡ Łi vîi nhœng ng÷íi y¶u to¡n, khæng ch¿ ð v· µp h…nh thøc m c£ nhœng b‰ `n nâ mang ‚n luæn thæi thóc ng÷íi l m to¡n ph£i t…m tÆi, s¡ng t⁄o. B§t flng thøc cÆn câ nhi•u øng döng trong c¡c mæn khoa håc kh¡c v trong thüc t‚. Ng y nay, b§t flng thøc v¤n luæn chi‚m mºt vai trÆ quan trång v v¤n th÷íng xu§t hi»n trong c¡c k… thi quŁc gia, quŁc t‚, Olympic. L mºt gi¡o vi¶n THPT, tæi muŁn nghi¶n cøu s¥u hìn v• b§t flng thøc nh‹m n¥ng cao chuy¶n mæn phöc vö cho qu¡ tr…nh gi£ng d⁄y v bçi d÷ïng håc sinh giäi, v“y n¶n tæi ¢ chån b§t flng thøc l m lu“n v«n th⁄c s¾ cıa m…nh. B§t flng thøc væ còng rºng lîn, trong thíi gian ng›n, tæi ch¿ câ th” nghi¶n cøu l¾nh vüc nhä trong â. D÷îi sü h÷îng d¤n cıa GS. TSKH Nguy„n V«n M“u, t¡c gi£ ¢ ho n th nh lu“n v«n vîi ” t i "Mºt sŁ lîp b§t flng thøc v b i to¡n cüc trà vîi a thøc Łi xøng ba bi‚n." Lu“n v«n ÷æc chia l m bŁn ch÷ìng: Ch÷ìng 1: Mºt sŁ ki‚n thøc bŒ træ. Ch÷ìng 2: B§t flng thøc vîi tŒng khæng Œi. Ch÷ìng 3: B§t flng thøc câ t‰ch khæng Œi. Ch÷ìng 4: Mºt sŁ lîp b i to¡n cüc trà vîi a thøc Łi xøng ba bi‚n. M°c dò câ nhi•u cŁ g›ng, song do thíi gian v tr…nh º cÆn h⁄n ch‚ n¶n lu“n v«n khâ tr¡nh khäi nhœng thi‚u sât. V… v“y t¡c gi£ r§t mong nh“n ÷æc sü gâp þ cıa c¡c thƒy cæ v c¡c b⁄n ” lu“n v«n ÷æc ho n thi»n hìn. Qua lu“n v«n n y, t¡c gi£ xin b y tä lÆng bi‚t ìn s¥u s›c ‚n GS.TSKH Nguy„n V«n M“u, ng÷íi Thƒy ¢ truy•n cho t¡c gi£ câ ni•m say m¶ nghi¶n cøu 3 M— †U to¡n håc. Thƒy ¢ t“n t…nh h÷îng d¤n, gióp ï t¡c gi£ trong suŁt qu¡ tr…nh håc t“p v ho n thi»n lu“n v«n n y. T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban gi¡m hi»u, PhÆng o t⁄o Sau ⁄i håc, Khoa To¡n- Cì - Tin, c¡c thƒy cæ ¢ t⁄o i•u ki»n thu“n læi cho em ho n th nh b£n lu“n v«n n y. Em xin ch¥n th nh c£m ìn! H Nºi, ng y 01 th¡ng 12 n«m 2014 T¡c gi£ 4 ... - tailieumienphi.vn