Xem mẫu
- ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------
ĐẶNG VĂN HIẾU
SỬ DỤNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC
THÔNG DỤNG ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 60 46 40
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHAN HUY KHẢI
Thái Nguyên, năm 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
- 1
MỤC LỤC
Trang
Mục lục 1
Lời cảm ơn 2
Lời nói đầu 3
Chương 1 – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi 4
1.1 – Bất đẳng thức Côsi 4
1.2 – Sử dụng bất đẳng thức Côsi cơ bản 5
1.3 – Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi 14
1.4 – Thêm bớt hằng số khi sử dụng bất đẳng thức Côsi 23
1.5 – Thêm bớt biến số khi sử dụng bất đẳng thức Côsi 27
1.6 – Nhóm các số hạng khi sử dụng bất đẳng thức Côsi 33
Chương 2 – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski 42
2.1 – Bất đẳng thức Bunhiacopski 42
2.2 – Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng 55
Chương 3 – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức với các dãy đơn điệu 59
3.1 – Bất đẳng thức với các dãy đơn điệu 59
3.2 – Một số ví dụ minh hoạ 60
Chương 4 – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Trêbưsép 67
4.1 – Bất đẳng thức Trêbưsép 67
4.2 – Một số ví dụ minh hoạ 68
Chương 5 – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Jensen 81
5.1 – Định nghĩa hàm lồi 81
5.2 – Điều kiện đủ về tính lồi của hàm số 82
5.3 – Bất đẳng thức Jensen 82
5.4 – Một số ví dụ minh hoạ 84
Tài liệu tham khảo 98
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
- 2
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Phan Huy Khải, người thầy đã trực tiếp
giảng dạy, hướng dẫn và tạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau Đại học Trường
Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên và các thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp
giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến cha mẹ, người thân, bạn bè và tất cả những
người đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
- 3
LỜI NÓI ĐẦU
Bất đẳng thức là một trong những chuyên mục có tính hấp dẫn nhất trong giáo
trình giảng dạy và học tập bộ môn toán ở nhà trường phổ thông. Nó là một đề tài
thường xuyên có mặt trong các đề thi về toán trong các kỳ thi tuyển sinh quốc gia,
cũng như trong các kỳ thi Olympic về toán ở mọi cấp.
Luận văn này dành để trình bày một nhánh của lý thuyết bất đẳng thức – Các bất
đẳng thức thông dụng.
Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo luận văn gồm có 5 chương:
Chương 1 với tiêu đề “Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi” dành để trình
bày về bất đẳng thức Côsi.
Bất đẳng thức Côsi là bất đẳng thức quan trọng nhất và có nhiều ứng dụng nhất
trong chứng minh bất đẳng thức. Trong chương này chúng tôi dành để trình bày các
phương pháp cơ bản nhất để sử dụng có hiệu quả bất đẳng thức Côsi.
Chương 2 “Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski” trình bày các
ứng dụng của bất đẳng thức Bunhiacopski và bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng.
Một trong những phương pháp hay sử dụng và có tính hiệu quả để chứng minh
các bất đẳng thức là sử dụng bất đẳng thức với các dãy đơn điệu. Các kết quả này
được trình bày trong chương 3.
Chương 4 dành để trình bày một lớp bất đẳng thức đơn điệu đặc biệt (đó là bất
đẳng thức Trêbưsép).
Sau hết trong chương 5 trình bày một áp dụng lý thú các kết quả của giải tích lồi
để chứng minh bất đẳng thức – đó là sử dụng tính lồi của hàm số để chứng minh
bất đẳng thức.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
- 4
Chương 1
PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
1.1 BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI.
1.1.1 Định lý. Với n số không âm: a1 , a2 ,..., an ( n ³ 2 ) ta có:
a1 + a2 + ... + an n
³ a1 .a2 ...an .
n
Đẳng thức xảy ra Û a1 = a2 = ... = an .
Chứng minh
· Hiển nhiên bất đẳng thức đúng với n = 2 .
· Giả sử bất đẳng thức đã đúng cho n số không âm thì bất đẳng thức cũng đúng với
2n số không âm.
a1 + a2 + ... + a2 n 1
( )
³ a1.a2 ...an + n an +1.an +2 ...a2n ³ 2 n a1.a2 ...a2 n , nên bất
Ta có: n
2n 2
đẳng thức đúng khi n bằng một luỹ thừa của 2.
· Giả sử bất đẳng thức đúng với n số không âm, ta chứng minh bất đẳng thức đúng
A
với n - 1 số không âm. Thật vậy, đặt A = a1 + a2 + ... + an-1 ; an = .
n -1
³ n. n 1 2 n-1 Þ A ³ (n -1).n-1 a1.a2 ...an-1 .
A a .a ...a . A
Ta có: A +
n -1 n -1
Kết hợp ba điều trên suy ra bất đẳng thức Côsi đúng với mọi n nguyên dương
(n ³ 2) Þ đpcm.
1.1.2 Hệ quả. Với n số dương: a1 , a2 ,..., an (n ³ 2) ta luôn có:
æ1 1ö
+ ... + ÷ ³ n 2 .
(a1 + a2 + ... + an )ç +
1
÷
ç
an ÷
ç ÷
ç a1
è ø
a2
Đẳng thức xảy ra Û a1 = a2 = ... = an .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
- 5
Chứng minh
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có: a1 + a2 + ... + an ³ n n a1.a2 ...an > 0 , (1)
1 1 1 11 1
+ + ... + ³ n. n . ... > 0 . (2)
a1 a2 an a1 a2 an
Nhân từng vế của (1),(2) suy ra điều phải chứng minh.
Nhận xét: · Bất đẳng thức Côsi chỉ áp dụng được cho các số không âm.
· Bất đẳng thức Côsi là bất đẳng thức quan trọng nhất, quen thuộc nhất,
và có một tầm ứng dụng rộng rãi trong các bộ môn của toán học sơ cấp. Đặc biệt là
dùng để chứng minh bất đẳng thức. Sự thành công của việc áp dụng bất đẳng thức
Côsi để chứng minh các bài toán về bất đẳng thức hoàn toàn phụ thuộc vào sự linh
hoạt của từng người sử dụng và kỹ thuật cách chọn các số a1 , a2 ,...., an .
Sau đây là một số phương pháp vận dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh bất
đẳng thức.
1.2 SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI CƠ BẢN.
1.2.1 Nội dung phương pháp.
Qui ước: Gọi hệ quả của bất đẳng thức Côsi là “Bất đẳng thức Côsi cơ bản”. Sử
dụng hệ quả để chứng minh bất đẳng thức gọi là phương pháp “Sử dụng bất đẳng
thức Côsi cơ bản”.
Từ “Bất đẳng thức côsi cơ bản” tổng quát, ta có hai trường hợp riêng sau:
· Với mọi a, b > 0 , ta có: (a + b) (
11 11 4
+ ) ³ 4 hay: +³ .
a b a+b
ab
Đẳng thức xảy ra Û a = b .
æ1 1 1ö
· Với mọi a, b, c > 0 , ta có: (a + b + c )ç + + ÷ ³ 9 hay: + + ³
111 9
ça b c÷
ç ÷ .
è ø a b c a+b+c
Đẳng thức xảy ra Û a = b = c .
1.2.2 Một số thí dụ minh hoạ.
Thí dụ 1.1 (Đề thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng khối A – 2005).
111
+ + = 4. Chứng minh:
Cho x, y , z > 0 và thoả mãn:
xyz
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
- 6
1 1 1
+ + £1.
2 x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z
Bài giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cơ bản hai lần liên tiếp, ta có:
1 ÷ 1 éê 1 1 æ 1 1 öù
1æ 1 ö 1æ1 1ö
÷ £ ê + ç + ÷úú Þ + ÷ . (1)
£ç + £ç+
1 1 1
÷ ÷
ç ç ç
2 x + y + z 4 ç 2 x y + z ÷ 4 ë 2 x 4 ç y z ÷û 2x + y + z 8 ç x 2 y 2z ÷
÷ ÷ ÷
è ø è ø è ø
ì2 x = y + z
ï
Đẳng thức trong (1) xảy ra Û ï Û x= y= z.
í
ïy = z
ï
î
1æ 1 1ö
£ç ++ ÷
1 1
÷
ç
Hoàn toàn tương tự, ta có:
x + 2 y + z 8 ç 2x y 2z ÷
(2)
÷
è ø
1æ 1 1ö÷
£ç +
1 1
+ ÷.
ç
x + y + 2z 8 ç 2x 2 y z ÷
và (3)
÷
è ø
Cộng từng vế (1),(2),(3) ta được:
1 æ1 1 1ö÷
£ ç + + ÷ = 1 Þ đpcm.
1 1 1
+ + ç
ç x y z÷
÷
2 x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z 4 è ø
3
Đẳng thức xảy ra Û đồng thời đẳng thức trong (1),(2),(3) xảy ra Û x = y = z = .
4
Nhận xét: Ta cũng có bất đẳng thức Côsi cơ bản sau:
Với a, b, c, d > 0 thì:
æ1 1ö 1 æ1 1 1 1ö
(a + b + c + d )ç + + + ÷ ³ 16 Þ £ ç + + + ÷.
1 1 1
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç a + b + c + d 16 ç a b c d ø
èa dø è
b c
Áp dụng vào thí dụ trên, ta có:
1 æ1 1 1 1ö 1 æ 2 1 1ö
÷ ÷
£ ç++ +÷Þ £ ç + + ÷.
1 1 1
= ç ç
÷ ÷
ç x x y zø ç x y zø
÷ ÷
2 x + y + z x + x + y + z 16 è 2 x + y + z 16 è
1 æ 1 2 1÷ö 1 æ 1 1 2ö
£ ç + + ÷.
£ ç+ +÷
1 1
÷
ç ç
Tương tự suy ra: ÷ x + y + 2 z 16 ç x y z ÷
và
x + 2 y + z 16 ç x y z ÷ ÷
è ø è ø
1 æ1 1 1ö÷
£ ç + + ÷ = 1 Þ đpcm.
1 1 1
Þ + + ç
ç x y z÷
÷
2 x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z 4 è ø
3
Đẳng thức xảy ra Û x = y = z = .
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
- 7
Thí dụ 1.2 (Bất đẳng thức Nesbit 3 biến).
a b c 3
Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng: + + ³. (1)
b+c c +a a+b 2
Bài giải
æ öæ öæ ö
a÷ç b÷ç c÷9
Dễ thấy (1) Û ç1 + ÷ + ç1 + ÷ + ç1 + ÷³
ç
b + c÷ ç c + a÷ ç a + b÷ 2
ç
è øè øè ø
æ1 1ö ÷³9
Û 2 ( a + b + c )ç
1
+ +
çb + c c + a a + b÷
ç ÷
è ø
é1 1ù
Û éë( a + b) + (b + c) + (c + a )ùû ê
1
ú ³ 9.
+ + (2)
êë a + b b + c c + a úû
Theo bất đẳng thức Côsi cơ bản thì (2) đúng Þ đpcm.
Đẳng thức xảy ra Û a = b = c > 0 .
Nhận xét :
· Bất đẳng thức Nesbit cũng là một trong các bất đẳng thức thông dụng, thường
dùng làm bất đẳng thức trung gian để chứng minh một bất đẳng thức khác, nhằm rút
gọn phép chứng minh một bất đẳng thức.
· Xin đưa ra một thí dụ hình học lý thú minh hoạ cho bất đẳng thức Nesbit sau:
Cho DABC . Vẽ ba phân giác AA',BB',CC' . Gọi ka , kb , kc tương ứng là khoảng
cách từ A ', B ', C ' đến AB, BC , CA . Gọi ha , hb , hc tương ứng là ba chiều cao hạ từ
k a kb kc 3
++³.
A, B, C . Chứng minh:
ha hb hc 2
Bài giải
Ta có: SDABC = SDABA ' + SDAA ' C (Hình 1.1)
1 1 1
Þ aha = cka + bka
2 2 2
Þ aha = ka (b + c) Þ
ka a
= . (Hình 1.1)
b+c
ha
kb kc
b c
= =
Hoàn toàn tương tự, ta có: ; .
c+a a+b
hb hc
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
- 8
k a kb kc 3 a b c 3
++³Û + + ³.
Từ đó suy ra: (*)
b+c c +a a+b 2
ha hb hc 2
Theo thí dụ 1.2 Þ (*) đúng Þ đpcm.
Đẳng thức xảy ra Û DABC đều.
x y z 3
+ + £.
Thí dụ 1.3 Cho x, y , z > 0 và x + y + z = 1 . Chứng minh:
x +1 y +1 z +1 4
Bài giải
æ1 1ö ÷.
= 3 -ç
x y z 1 1 1 1
+ + = 1- + 1- + 1- + + ÷
ç
ç x + 1 y + 1 z + 1÷
Có:
÷
x +1 y + 1 z +1 x +1 y +1 z +1 è ø
Theo bất đẳng thức Côsi cơ bản ta có:
1 1 1 9 9
+ + ³ =, (do: x + y + z = 1 ).
x +1 y + 1 z +1 x +1+ y +1+ z + 1 4
x y z 93
+ + £ 3 - = Þ đpcm.
Vậy:
x +1 y + 1 z +1 44
ìx +1 = y +1 = z +1
ï
Đẳng thức xảy ra Û ï
1
Û x= y= z=
í .
ïx + y + z = 1
ï
î 3
Nhận xét:
· Xin đưa ra một minh hoạ lượng giác cho thí dụ trên:
Chứng minh rằng trong mọi DABC , ta luôn có:
A B B C C A
sin .sin sin .sin sin .sin
2 £ 3.
2+ 2+
2 2 2 (1)
A- B B-C C-A 4
cos cos cos
2 2 2
Thật vậy, ta có (1) tương đương với:
A B B C C A
sin .sin sin .sin sin .sin
3
+ + £
2 2 2 2 2 2
A B A B B C B C C A C A4
cos .cos + sin .sin cos .cos + sin .sin cos .cos + sin .sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A B B C C A
tan . tan tan .tan tan .tan
2 £3.
Û 2+ 2+
2 2 2 (2)
A B B C C A
tan .tan + 1 tan .tan + 1 tan .tan + 1
4
2 2 2 2 2 2
.tan , (a, b, c > 0) .
A B B C C A
Đặt a = tan .tan ; b = tan .tan ; c = tan
2 2 2 2 2 2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
- 9
A B B C C A
+ tan .tan + tan .tan = 1 .
Dễ thấy: a + b + c = tan . tan (3)
2 2 2 2 2 2
a b c 3
+ + £.
Khi đó (2) trở thành: (4)
a +1 b + 1 c + 1 4
Theo thí dụ 1.3 thì từ (3),(4) Þ (1) đúng Þ đpcm.
Đẳng thức xảy ra Û a = b = c Û A = B = C Û DABC đều.
· Theo cách giải trên, ta cũng chứng minh được dạng tổng quát của thí dụ 1.3 sau:
Cho x1 , x2 ,..., xn > 0 thoả mãn: x1 + x2 + ... + xn = 1 .
x
x1 x n
+ 2 + ... + n £
Chứng minh: .
x1 +1 x2 + 1 xn + 1 n + 1
Thí dụ 1.4 Cho x, y , z > 0 . Chứng minh rằng:
x y z 3
M= + + £.
2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z 4
Bài giải
x+ y+z x+ y+z x+ y+z
Có M = 1 - + 1- + 1-
2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z
æ ö
÷=
= 3 - ( x + y + z )ç
1 1 1
+ + ÷
ç
ç 2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z ÷
÷
è ø
é ù
= 3 - éë( 2 x + y + z ) + ( x + 2 y + z ) + ( x + y + 2 z )ùû ê ú.
1 1 1 1
+ +
êë 2 x + y + z x + 2 y + z x + y + 2 z úû
4
Theo bất đẳng thức Côsi cơ bản, ta có:
é ù
é(2 x + y + z ) + ( x + 2 y + z ) + ( x + y + 2 z )ù ê ú
1 1 1
û ê 2 x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z ú ³ 9 .
+ +
ë
ë û
1 3
Vậy M £ 3 - .9 = Þ đpcm.
4 4
Đẳng thức xảy ra Û x = y = z.
Thí dụ 1.5 Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc . Chứng minh:
1 1 1 3
+ +
- 10
Bài giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cơ bản, ta có:
1æ 1 ö 1 é 1 æ 1 1ö 1 æ 1 1 öù
÷
£ç ÷ ÷
ç ç
÷
1 1 1
ç a + c 2 (b + c )÷ £ 4 êê 4 ç a + c ÷ + 4 ç 2b + 2c ÷úú
= ç + ÷ ÷
ç ç
÷
a + 2b + 3c ( a + c ) + 2 (b + c ) 4 ç è ø è øû
è ø ë
1 1 1 1 1 1 1 3
Þ £ + + + = + + . (1)
a + 2b + 3c 16a 16c 32b 32c 16a 32b 32c
ìa + c = 2(b + c)
ï
ï
ï
Đẳng thức trong (1) xảy ra Û ía = c Û a = b = c = 0.
ï
ï2b = 2c
ï
ï
î
Điều này không xảy ra vì theo giả thiết a, b, c > 0 .
1 1 1 3
< + +
Vậy ta có: . (2)
a + 2b + 3c 16a 32b 32c
1 1 1 3
< + +
Tương tự: , (3)
b + 2c + 3a 16b 32c 32a
1 1 1 3
< + +
và . (4)
c + 2a + 3b 16c 32a 32b
Cộng từng vế của (2),(3),(4) ta được:
æ1 3 öæ 1 1 1 ö
< ç + + ÷ç + + ÷ .
1 1 1 1
+ + ÷ç ÷
ç
a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b ç16 32 32 ÷ç a b c ÷
(5)
è øè ø
111
Theo giả thiết: ab + bc + ca = abc Þ + + = 1. (*)
abc
1 1 1 3
+ + <
Suy ra (5) Û Þ đpcm.
a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b 16
Nhận xét: Cũng theo bất đẳng thức Côsi cơ bản ta có cách giải khác cho thí dụ trên:
Thật vậy, theo bất đẳng thức Côsi cơ bản, ta có:
1 ö 1 é1 æ1 1 öù
1æ 1
+ ÷ £ ê ç + ÷ú +
£ç
1 1
ç a + 2b 3c ÷ 4 ê 4 ç a 2b ÷ú 12c
÷
ç ç ÷
a + 2b + 3c 4 è ø ëè øû
1 1 1 1
Þ £ + + . (6)
a + 2b + 3c 16a 32b 12c
ìa = 2b
ï
Đẳng thức trong (6) xảy ra Û ï
í .
ï4b = 3c
ï
î
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
- 11
1 1 1 1
£ + +
Tương tự ta có: , (7)
b + 2c + 3a 16b 32c 12a
1 1 1 1
£ + + . (8)
c + 2a + 3b 16c 32a 12b
ìc = 2a ìb = 2c
ï ï
Đẳng thức xảy ra tương ứng trong (7),(8) là ï và ï
í í .
ï4a = 3b ï4c = 3b
ï ï
î î
Cộng từng vế của (6),(7),(8) ta được:
æ1 1 öæ 1 1 1 ö
£ ç + + ÷ç + + ÷ .
1 1 1 1
+ + ÷ç ÷
ç
a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b ç16 32 12 ÷ç a b c ÷
(9)
è øè ø
Đẳng thức trong (9) xảy ra Û đồng thời đẳng thức trong (6),(7),(8) xảy ra
Û a = b = c = 0 .Vô lý, vì a, b, c > 0 nên đẳng thức trong (9) không thể xảy ra.
1 1 1 17 3
+ + < <
Theo (*) Þ (9) Û Þ đpcm.
a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b 96 16
Nhận xét: Bằng cách này ta chứng minh được bất đẳng thức “tốt hơn” bất đẳng
thức ban đầu.
Thí dụ 1.6 Cho DABC nhọn. Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1
+ + ³ + +
C.
A B
cos A cos B cos C
sin sin sin
2 2 2
Bài giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cơ bản, ta có:
1 1 4 2 2 2
+ ³ = = ³
A+ B A- B A- B
cos A cos B cos A + cos B C C
cos .cos sin .cos sin
2 2 2 2 2
1 1 2
+ ³
Þ . (1)
C
cos A cos B
sin
2
ìcos A = cos B
ï
ï
Đẳng thức trong (1) xảy ra Û ï A - B Û A = B.
í
ïcos =1
ï
ï
î 2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
- 12
1 1 2
+ ³
Tương tự, ta có: , (2)
A
cos B cos C
sin
2
1 1 2
+ ³ . (3)
B
cos C cos A
sin
2
1 1 1 1 1 1
+ + ³ + +
Cộng từng vế (1),(2),(3) Þ Þ đpcm.
A B C
cos A cos B cos C
sin sin sin
2 2 2
Đẳng thức xảy ra Û đồng thời đẳng thức xảy ra trong (1),(2),(3) Û A = B = C
Û DABC đều.
Thí dụ 1.7 Cho DABC nội tiếp trong đường tròn. Gọi AA ', BB ', CC ' là ba đường
AA ' BB ' CC ' 9
+ + ³.
cao lần lượt cắt đường tròn tại A1 , B1 , C1 . Chứng minh:
AA1 BB1 CC1 4
Bài giải
Gọi H là trực tâm DABC (Hình 1.2), ta có:
A ' H = A ' A1 , B ' H = B ' B1 , C ' H = C ' C1 . (1)
AA1 BB1 CC1 A ' A1 B ' B1
+ + = 1+ + 1+ +
Có
AA ' BB ' CC ' AA ' BB '
C ' C1 A' H B ' H C ' H
+1 + = 3+ + + . (2)
CC ' AA ' BB ' CC '
A'H B 'H C 'H
+ + = 1.
Theo địng lý Sêva, thì:
AA ' BB ' CC '
AA1 BB1 CC1
+ + = 4.
Þ (2) Û (3) ( Hình 1.2 )
AA ' BB ' CC '
Theo bất đẳng thức Côsi cơ bản, ta có:
æ AA1 BB1 CC1öæ AA ' BB ' CC ' ö
÷
֍
ç
÷è AA 1 + BB + CC ÷ ³ 9 .
+ + ֍
ç ÷ (4)
ç AA ' BB ' CC ' øç ÷
è 1ø
1
AA ' BB ' CC ' 9
+ + ³ Þ đpcm.
Từ (3),(4) Þ
AA1 BB1 CC1 4
Đẳng thức xảy ra Û H là trọng tâm của DABC Û DABC đều.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
- 13
Cho DABC nội tiếp trong đường tròn. Gọi AA ', BB ', CC ' là ba trung
Thí dụ 1.8
tuyến tương ứng lần lượt cắt đường tròn tại A1 , B1 , C1 .(Hình 1.3).
AA ' BB ' CC ' 9
+ + £.
Chứng minh:
AA1 BB1 CC1 4
Bài giải
a2
Ta có: AA '. A ' A1 = BA '. A ' C =
4
Þ AA '.AA1 = AA '.(AA '+ A ' A1 ) =
2b 2 + 2c 2 - a 2 a 2
a2
= ma + = +.
2
4 4 4
b2 + c2
Þ AA '. AA1 =
2
2m 2
AA '2
AA '
Þ = = 2 a2
AA '. AA1 b + c
AA1
2b 2 + 2c 2 - a 2 a2
1
= = 1- . 2
2 (b 2 + c 2 )
. (Hình 1.3)
2 b + c2
b2 c2
BB ' 1 CC ' 1
= 1- . 2 = 1- . 2
Tương tự ta có: ; .
2 c + a2 2 a + b2
BB1 CC1
1 æ a2 ö
c2 ÷ 9
£ Û 3- ç 2
b2
AA ' BB ' CC ' 9
÷£ .
Từ đó Þ + + +2 +2
ç
2 ç b + c 2 c + a 2 a + b2 ÷ 4
÷
è ø
AA1 BB1 CC1 4
a2 b2 c2 3
+2 +2 ³.
Û (1)
b +c c +a a +b
2 2 2 2
2
Theo thí dụ 1.2 thì (1) đúng Þ đpcm.
Đẳng thức xảy ra Û a = b = c Û DABC đều.
Nhận xét: Đây là một minh hoạ hình học nữa cho bất đẳng thức Nesbit.
Thí dụ 1.9 Cho hình chóp tam giác S .ABC , trong đó SA, SB, SC đôi một vuông góc
· · ·
ASH = a , BSH = b , CSH = g (Hình 1.4).
với nhau. Kẻ đường cao SH . Đặt
cos 2 a cos 2 b cos 2 g
(*)
3
+2 +2 £.
Chứng minh:
sin b + sin g sin g + sin a sin a + sin b 4
2 2 2 2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
- 14
Bài giải
Dễ thấy: cos2 a + cos 2 b + cos2 g = 1 (1)
Þ sin 2 a + sin 2 b + sin 2 g = 2 . (2)
Đặt x = sin 2 a + sin 2 b ,
y = sin 2 b + sin 2 g ,
z = sin 2 g + sin 2 a .
Khi đó, từ (2) Þ x + y + z = 4 . (3)
(Hình 1.4)
1 - cos 2 b - cos 2 g 1 - cos 2 a - cos 2 g 1 - cos 2 b - cos 2 a 3
Từ (1) Þ (*) Û + + £
sin 2 b + sin 2 g sin 2 g + sin 2 a sin 2 a + sin 2 b 4
sin 2 g + sin 2 b -1 sin 2 a + sin 2 g - 1 sin 2 a + sin 2 b - 1 3
Û + + £
sin 2 b + sin 2 g sin 2 a + sin 2 g sin 2 b + sin 2 a 4
æ 1 1 1ö 3
Û 3-ç + + ÷ £ Û + + ³ .
1119
÷
ç ÷4 (4)
ç x y z÷
è ø xyz4
æ1 1ö
÷
Theo bất đẳng thức Côsi cơ bản, ta có: ( x + y + z )ç + + ÷ ³ 9 .
1
ç
ç x y z÷
(5)
÷
è ø
Từ (3),(5) Þ (4) đúng Þ đpcm.
Đẳng thức xảy ra Û x = y = z Û a = b = g Û S . ABC là hình chóp đều với các góc
ở đỉnh là tam diện vuông.
1.3 SỬ DỤNG TRỰC TIẾP BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI.
1.3.1 Nội dung phương pháp.
Phương pháp này thích hợp với những bất đẳng thức có thể trực tiếp áp dụng
ngay bất đẳng thức Côsi, hoặc sau những biến đổi sơ cấp đơn giản là có thể sử dụng
ngay được bất đẳng thức Côsi. Lớp các bất đẳng thức này rất rộng, vì thế phương
pháp này cũng là một trong những phương pháp thông dụng để chứng minh bất
đẳng thức
Kỹ thuật chủ yếu là lựa chọn các số thích hợp để sau khi áp dụng bất đẳng
thức Côsi với các số ấy sẽ cho ta bất đẳng thức cần chứng minh .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
- 15
1.3.2 Một số thí dụ minh hoạ.
Thí dụ 1.10 (Đề thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng khối B – 2005).
æ12 ö æ15 ö æ 20 ö
x x x
Chứng minh: ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ ³ 3x + 4 x + 5 x , với "x Î R .
ç÷ ç÷ ç÷
è5ø è4ø ç 3 ÷
ç÷ ç÷ èø
Bài giải
æ12 ö æ15 ö æ 20 ö
x x x
Do ç ÷ > 0, ç ÷ > 0, ç ÷ > 0 , "x Î R . Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
ç÷ ç÷ ç÷
ç5÷ ç4÷ ç3÷
èø èø èø
æ12 öx æ15 öx æö æ15 ö
x x
ç ÷ + ç ÷ ³ 2. ç12 ÷ .ç ÷ = 2.3x .
ç÷ ç÷ ç÷ ç÷ (1)
ç5÷ ç4÷ ç5÷ ç4÷
èø èø èø èø
æ12 ö æ15 ö
x x
Đẳng thức trong (1) xảy ra Û ç ÷ = ç ÷ Û x = 0 .
ç5÷ ç÷
çø ÷ ç÷
è è4ø
æ15 ö æ 20 ö
x x
Tương tự, ta có: ç ÷ + ç ÷ ³ 2.5 x ,
ç÷ ç÷
ç4÷ ç 3 ÷
(2)
èø èø
æ 20 ö æ12 ö
x x
ç ÷ + ç ÷ ³ 2.4 x .
ç÷ ç÷
ç3÷ è5÷
(3)
èø çø
Cộng từng vế (1),(2),(3) ta được:
æ12 ö æ15 ö æ 20 ö
x x x
ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ ³ 3x + 4 x + 5 x Þ đpcm.
ç÷ ç÷ ç÷
ç5÷ ç4÷ ç 3 ÷
èø èø èø
Đẳng thức xảy ra Û đồng thời đẳng thức xảy ra trong (1),(2),(3) Û x = 0 .
1 1 1 1
+ + = 2 . Chứng minh: xyz £ .
Thí dụ 1.11 Cho x, y , z > 0 và
1+ x 1+ y 1+ z 8
Bài giải
1 1 1 y z
= 1- +1- = +
Từ giả thiết ta có: .
1+ x 1+ y 1+ z 1+ y 1+ z
1 yz
³ 2. >0.
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có: (1)
(1 + y )(1 + z )
1+ x
y z
Đẳng thức trong (1) xảy ra Û = Û y = z.
1 + y 1+ z
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
- 16
1 zx
³ 2. >0,
Tương tự ta có: (2)
(1 + z )(1 + x )
1+ y
1 xy
³ 2. >0. (3)
(1 + x )(1 + y )
1+ z
Nhân từng vế của (1),(2),(3) ta được:
æ ö2
÷
ç ÷
1 xyz 8 xyz
³ 8. ç (1 + x )(1 + y )(1 + z )÷ = (1 + x)(1 + y )(1 + z )
ç
÷
(1 + x)(1 + y )(1 + z ) ç
è ø
1
Û 1 ³ 8 xyz Û xyz £ Þ đpcm.
8
1
Đẳng thức xảy ra Û đồng thời đẳng thức trong (1),(2),(3) xảy ra Û x = y = z = .
2
Nhận xét: Với cách lập luận trên có thể xây dựng các bất đẳng thức tương tự sau:
1 1 1 1 1
+ + + = 3 . Chứng minh: xyzt £ .
· Cho x, y , z , t > 0 và
1+ x 1+ y 1+ z 1+ t 81
å 1 + a = n -1 . Chứng minh: Õa
n n
· Cho a1 , a2 ,...., an > 0, (n ³ 2) và
1 1
£ .
( n -1)
i n
i =1
i =1 i
Thí dụ 1.12 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 .
a b c 3
+ + ³.
Chứng minh:
1+ b 1+ c 1+ a
2 2 2
2
Bài giải
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có: 1 + b 2 ³ 2b .
ab 2 ab 2
a ab
Þ = a- ³a- = a- . (1)
1+ b 1+ b
2 2
2b 2
Đẳng thức xảy ra Û a = b .
b bc c ca
³ b- ³c-
Tương tự ta có: ; (2)
1+ c 1+ a
2 2
2 2
ab + bc + ca
³ (a + b + c ) -
a b c
+ +
Từ (1),(2) Þ . (3)
1+ b 1+ c 1+ a
2 2 2
2
Dễ thấy: (a + b + c ) ³ 3(ab + bc + ca ) Þ ab + bc + ca £ 3 (do a + b + c = 3 ).
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
- 17
a b c 3
+ + ³ Þ đpcm.
Nên từ (3) suy ra:
1+ b 1+ c 1+ a
2 2 2
2
Đẳng thức xảy ra Û đồng thời đẳng thức xảy ra trong (1),(2) Û a = b = c = 1 .
Nhận xét:
· Với cách làm trên cũng chứng minh được một bất đẳng thức tương tự với 4 số:
Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 4 . Chứngminh:
a b c d
+ + + ³ 2.
1+ b 1+ c 1+ d 1 + a2
2 2 2
· Nếu ta sử dụng ngay bất đẳng thức Côsi với mẫu số thì sẽ không thu được kết
quả. Tuy nhiên, khi ta sử dụng phép biến đổi sơ cấp đơn giản sau đó áp dụng bất
đẳng thức Côsi với mẫu thì thí dụ được giải quyết một cách đơn giản và dễ hiểu
hơn, nên sẽ thu được kết quả theo yêu cầu.
· Theo cách suy luận trên, ta có lời giải cho các thí dụ sau:
Thí dụ 1.13 Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 4 . Chứng minh:
1 1 1 1
M= + + + ³2.
1+ a 1+ b 1+ c 1+ d 2
2 2 2
Bài giải
a2 a2
1 a
= 1- ³ 1- = 1- .
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có: (1)
1+ a 1+ a
2 2
2a 2
Đẳng thức trong (1) xảy ra Û a 2 = 1 Û a = 1.
1 b 1 c 1 d
³ 1- ³ 1- ³ 1- .
Tương tự ta có: ; ; (2)
1+ b 1+ c 1+ d
2 2 2
2 2 2
a+b+c+d
Từ (1),(2) Þ M ³ 4 - = 2 Þ đpcm.
2
Đẳng thức xảy ra Û đồng thời đẳng thức xảy ra trong (1),(2) Û a = b = c = d = 1 .
Thí dụ 1.14 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 .
a +1 b +1 c +1
M= +2 +2 ³ 3.
Chứng minh:
b +1 c +1 a +1
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
- 18
Bài giải
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có:
( a + 1) b 2 (a + 1) b 2
a +1 ab + b
= a + 1- 2 ³ a +1- = a +1- (1)
.
b +1 b +1
2
2b 2
Đẳng thức trong (1) xảy ra Û b 2 = 1 Û b = 1.
b +1 bc + c
³ b + 1-
Tương tự ta có: , (2)
c +1
2
2
c +1 ca + a
³ c +1- . (3)
a +1
2
2
a + b + c - ( ab + bc + ca)
Cộng từng vế của (1),(2),(3) ta được: M ³ 3 + ³ 3 Þ đpcm.
2
Đẳng thức xảy ra Û đồng thời đẳng thức xảy ra trong (1),(2),(3) Û a = b = c = 1 .
Nhận xét: Tương tự cũng chứng minh được bất đẳng thức với 4 số:
Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 4 . Chứng minh:
a +1 b +1 c +1 d +1
+2 +2 +2 ³ 4.
b + 1 c + 1 d +1 a +1
2
Thí dụ 1.15 Cho a, b, c, d > 0 . Chứng minh:
a+b+c+d
a3 b3 c3 d3
+2 +2 +2 ³ .
a +b b +c c +d d +a
2 2 2 2 2
2
Bài giải
a3 ab 2 ab 2 b
= a- 2 ³a- = a- .
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có: (1)
a +b a +b
2 2 2
2ab 2
Đẳng thức trong (1) xảy ra Û a = b .
b3 c
³b- ,
Tương tự, ta có: (2)
b +c
2 2
2
c3 d
³c- , (3)
c +d
2 2
2
d3 a
³d- . (4)
d +a
2 2
2
Cộng từng vế của (1),(2),(3),(4) ta được:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
- 19
a+b+c+d
a3 b3 c3 d3
+2 +2 +2 ³ Þ đpcm.
a +b b +c c +d d +a
2 2 2 2 2
2
Đẳng thức xảy ra Û đồng thời đẳng thức trong (1),(2),(3),(4) xảy ra
Ûa=b=c=d .
Thí dụ 1.16 (Bất đẳng thức Minkowski).
Cho a1 , a2 , a3 ³ 0 ; b1 , b2 , b3 ³ 0 . Chứng minh:
(a1 + b1 )( a2 + b2 )( a3 + b3 ) ³ 3 a1 a2 a3 + 3 b1b2 b3 . (1)
3
Bài giải
· Nếu (a1 + b1 )( a2 + b2 )( a3 + b3 ) = 0 Þ VT = 0 . Ngoài ra tồn tại k (1 £ k £ 3) mà:
ak + bk = 0 Þ ak = bk = 0 (do ak ³ 0, bk ³ 0 ) Þ VP = 0 Þ bất đẳng thức (1) đúng.
· Nếu (a1 + b1 )( a2 + b2 )( a3 + b3 ) > 0. khi đó:
a1 a2 a3 b1 b2 b3
(1) Û +3 £ 1. (2)
3
a1 + b1 a2 + b2 a3 + b3 a1 + b1 a2 + b2 a3 + b3
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có:
1æ a ö
a3 ÷
ç
a1 a2 a3 a2
÷,
£ç 1 + + ÷ (3)
a1 + b1 a2 + b2 a3 + b3 3 ç a1 + b1 a2 + b2 a3 + b3 ÷
. .
3
è ø
1æ b b3 ö ÷.
£ç 1 +
b1 b2 b3 b2
÷
+
ç
a2 + b2 a3 + b3 ÷
(4)
ça + b
. .
÷
3
a1 + b1 a2 + b2 a3 + b3 3 è 1 ø
1
Cộng từng vế (3),(4) Þ (2) đúng .
Đẳng thức trong (2) xảy ra Û Đồng thời đẳng thức trong (3),(4) xảy ra
ì a1
ï
ï a2 a3
= =
ï
ï a1 + b1 a2 + b2 a3 + b3
Ûï
a1 a2 a
Û = = 3.
í
ï b1
ï b2 b3 b1 b2 b3
= =
ï
ïa + b a2 + b2 a3 + b3
ï1
î 1
Kết hợp hai điều trên Þ (1) đúng Þ đpcm.
é$k (1 £ k £ 3) : ak = bk = 0
ê
Đẳng thức trong (1) xảy ra Û êê a1 a2 a3 .
= =
ê b1
ë b2 b3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
nguon tai.lieu . vn