Xem mẫu
Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o TR−êng ®¹i häc vinh ---------------------------
NGUYÔN v¡N HuÊn
C¸C §ÞNH Lý GiíI H¹N D¹NG LUËT Sè LíN §èi víi m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn
Chuyªn ngµnh: Lý thuyÕt x¸c suÊt vµ Thèng kª to¸n häc M· sè: 62. 46. 15. 01
TãM T¾T LuËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc
Vinh - 2011
1
M— U
1. Lþ do chån • t i
Lu“t sŁ lîn nâi ri¶ng, c¡c ành lþ giîi h⁄n trong lþ thuy‚t x¡c su§t nâi chung ¢ ÷æc nhi•u nh to¡n håc quan t¥m nghi¶n cøu. Lu“t sŁ lîn câ nhi•u øng döng trong thŁng k¶, kinh t‚, y håc v mºt sŁ ng nh khoa håc thüc nghi»m kh¡c. Ch‰nh v… v“y, vi»c nghi¶n cøu lu“t sŁ lîn khæng ch¿ câ þ ngh¾a lþ thuy‚t m cÆn câ þ ngh¾a thüc ti„n to lîn.
A. N. Kolmogorov l ng÷íi x¥y düng lþ thuy‚t x¡c su§t b‹ng ph÷ìng ph¡p ti¶n • v ¢ thi‚t l“p lu“t sŁ lîn nŒi ti‚ng mang t¶n æng. Lu“t sŁ lîn Łi vîi d¢y c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n ti‚p töc ÷æc nhi•u nh to¡n håc nh÷ J. Marcinkiewicz, A. Zygmund, H. D. Brunk, Y. V. Prokhorov, K. L. Chung, W. Feller,... quan t¥m nghi¶n cøu. Cho ‚n nay, nghi¶n cøu lu“t sŁ lîn v¤n l mºt v§n • câ t‰nh thíi sü cıa lþ thuy‚t x¡c su§t.
Łi vîi m£ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n, c§u tróc nhi•u chi•u cıa t“p c¡c ch¿ sŁ l m n£y sinh nhi•u v§n •. Tr¶n t“p c¡c ch¿ sŁ, quan h» thø tü thæng th÷íng khæng câ t‰nh ch§t tuy‚n t‰nh; ta câ th” x¥y düng c¡c quan h» thø tü kh¡c nhau; c¡c d⁄ng hºi tö câ th” ÷æc x†t khi max ho°c min cıa c¡c tåa º ti‚n tîi væ còng... C¡c °c i”m â gâp phƒn t⁄o n¶n t‰nh a d⁄ng cıa c¡c k‚t qu£ nghi¶n cøu v• lu“t sŁ lîn Łi vîi m£ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n.
C¡c lu“t sŁ lîn cŒ i”n chı y‚u t“p trung nghi¶n cøu cho d¢y mºt ch¿ sŁ c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n ºc l“p v nh“n gi¡ trà thüc. Mºt h÷îng ph¡t tri”n c¡c lu“t sŁ lîn cŒ i”n l nghi¶n cøu v• lu“t sŁ lîn Łi vîi d¢y v m£ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n nh“n gi¡ trà trong khæng gian Banach. C¡c k‚t qu£ theo h÷îng nghi¶n cøu n y th÷íng câ mŁi li¶n h» ch°t ch‡ vîi lþ thuy‚t h…nh håc Banach v t⁄o ra sü giao thoa giœa lþ thuy‚t x¡c su§t v gi£i t‰ch h m.
Vîi c¡c lþ do n¶u tr¶n, chóng tæi chån • t i nghi¶n cøu cho lu“n ¡n cıa m…nh l : C¡c ành lþ giîi h⁄n d⁄ng lu“t sŁ lîn Łi vîi m£ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n.
2
2. Möc ‰ch nghi¶n cøu
Möc ‰ch cıa lu“n ¡n l thi‚t l“p c¡c ành lþ giîi h⁄n d⁄ng lu“t sŁ lîn Łi vîi m£ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n nh“n gi¡ trà trong khæng gian Banach cho c¡c tr÷íng hæp: câ ho°c khæng câ i•u ki»n v• c§u tróc cıa m£ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n v câ ho°c khæng câ i•u ki»n h…nh håc cıa khæng gian Banach.
3. Łi t÷æng nghi¶n cøu
Lu“t sŁ lîn Łi vîi m£ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n.
4. Ph⁄m vi nghi¶n cøu
Lu“n ¡n t“p trung nghi¶n cøu c¡c ành lþ giîi h⁄n d⁄ng lu“t sŁ lîn cho m£ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n b§t ký nh“n gi¡ trà trong khæng gian Banach thüc v kh£ ly, m£ng phò hæp, m£ng hi»u martingale v m£ng hi»u martingale theo khŁi nh“n gi¡ trà trong khæng gian Banach p-kh£ trìn, m£ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n ºc l“p, ºc l“p theo khŁi v m£ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n p-trüc giao theo khŁi nh“n gi¡ trà trong khæng gian Banach Rademacher lo⁄i p.
5. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cøu
Chóng tæi sß döng ph÷ìng ph¡p nghi¶n cøu lþ thuy‚t trong khi thüc hi»n • t i. V• m°t kÿ thu“t, chóng tæi sß döng ba ph÷ìng ph¡p cì b£n trong chøng minh lu“t sŁ lîn. â l ph÷ìng ph¡p ch°t cöt, ph÷ìng ph¡p sß döng b§t flng thøc cüc ⁄i d⁄ng b§t flng thøc H¡jek-R†nyi v ph÷ìng ph¡p d¢y con.
6. Þ ngh¾a khoa håc v thüc ti„n
C¡c k‚t qu£ cıa lu“n ¡n gâp phƒn l m phong phó th¶m cho h÷îng nghi¶n cøu v• c¡c ành lþ giîi h⁄n trong lþ thuy‚t x¡c su§t.
Lu“n ¡n l t i li»u tham kh£o cho sinh vi¶n, håc vi¶n cao håc v nghi¶n cøu sinh chuy¶n ng nh Lþ thuy‚t x¡c su§t v ThŁng k¶ to¡n håc.
7. TŒng quan v c§u tróc lu“n ¡n
Trong lu“n ¡n, chóng tæi nghi¶n cøu c¡c ành lþ giîi h⁄n d⁄ng lu“t sŁ lîn Łi vîi m£ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n nh“n gi¡ trà trong khæng gian Banach cho c¡c tr÷íng hæp: câ ho°c khæng câ i•u ki»n v• c§u tróc cıa m£ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n v câ ho°c khæng câ i•u ki»n h…nh håc cıa khæng gian Banach.
3
Tr÷îc h‚t, chóng tæi giîi thi»u kh¡i ni»m m£ng hi»u martingale v chøng minh mºt b§t flng thøc cüc ⁄i d⁄ng b§t flng thøc Doob Łi vîi m£ng hi»u martingale. Chóng tæi công chøng minh mºt b§t flng thøc cüc ⁄i d⁄ng b§t flng thøc H¡jek-R†nyi Łi vîi m£ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n. Sß döng nhœng k‚t qu£ n y còng vîi vi»c bŒ sung c¡c t‰nh ch§t h…nh håc cıa khæng gian Banach, chóng tæi nh“n ÷æc c¡c °c tr÷ng cıa khæng gian Banach p-kh£ trìn v khæng gian Banach Rademacher lo⁄i p d÷îi d⁄ng b§t flng thøc moment Łi vîi m£ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n.
Łi vîi lu“t y‚u sŁ lîn, düa v o c¡c b§t flng thøc moment Łi vîi m£ng hi»u martingale, m£ng hi»u martingale theo h ng v ph÷ìng ph¡p ch°t cöt, chóng tæi mð rºng ti¶u chu`n hºi tö suy bi‚n cho tr÷íng hæp jnj ! 1 Łi vîi m£ng phò hæp v m£ng phò hæp theo h ng, nh“n gi¡ trà trong khæng gian Banach p-kh£ trìn. i”m l÷u þ trong phƒn chøng minh l c¡ch x¥y düng m£ng hi»u martingale v m£ng hi»u martingale theo h ng t÷ìng øng tł m£ng phò hæp v m£ng phò hæp theo h ng. Sß döng nhœng k‚t qu£ n y, chóng tæi thu ÷æc lu“t y‚u sŁ lîn Kolmogorov-Feller Łi vîi m£ng phò hæp v m£ng phò hæp theo h ng, nh“n gi¡ trà trong khæng gian Banach p-kh£ trìn vîi gi£ thi‚t c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n â bà trºi ng¤u nhi¶n.
Łi vîi lu“t m⁄nh sŁ lîn, chóng tæi ti‚n h nh nghi¶n cøu cho c£ hai tr÷íng hæp n ! 1 v jnj ! 1. V• lu“t m⁄nh sŁ lîn cho tr÷íng hæp n ! 1, chóng tæi ÷a ra i•u ki»n ” mºt m£ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n b§t ký, nh“n gi¡ trà trong mºt khæng gian Banach tòy þ tu¥n theo lu“t m⁄nh sŁ lîn tŒng qu¡t. Tł k‚t qu£ n y, chóng tæi nh“n ÷æc c¡c °c tr÷ng cıa khæng gian Banach p-kh£ trìn v khæng gian Banach Rademacher lo⁄i p d÷îi d⁄ng lu“t m⁄nh sŁ lîn tŒng qu¡t. Łi vîi lu“t m⁄nh sŁ lîn cho tr÷íng hæp jnj ! 1, sß döng ph÷ìng ph¡p d¢y con, chóng tæi mð rºng lu“t m⁄nh sŁ lîn Kolmogorov cho m£ng hi»u martingale nh“n gi¡ trà trong khæng gian Banach p-kh£ trìn. Chóng tæi công ÷a ra i•u ki»n ” mºt m£ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n b§t ký tu¥n theo lu“t m⁄nh sŁ lîn. Sß döng k‚t qu£ n y còng vîi vi»c bŒ sung c¡c gi£ thi‚t r ng buºc Łi vîi m£ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n
4
v t‰nh ch§t h…nh håc cıa khæng gian Banach, chóng tæi mð rºng mºt sŁ lu“t m⁄nh sŁ lîn Łi vîi m£ng câ c§u tróc r ng buºc theo khŁi. â l lu“t m⁄nh sŁ lîn Brunk-Prokhorov Łi vîi m£ng hi»u martingale theo khŁi nh“n gi¡ trà trong khæng gian Banach p-kh£ trìn v m£ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n ºc l“p theo khŁi nh“n gi¡ trà trong khæng gian Banach Rademacher lo⁄i p, lu“t sŁ lîn d⁄ng lu“t sŁ lîn Rademacher-Menshov Łi vîi m£ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n p-trüc giao theo khŁi nh“n gi¡ trà trong khæng gian Banach Rademacher lo⁄i p.
V• c§u tróc, ngo i c¡c phƒn Mºt sŁ kþ hi»u th÷íng dòng trong lu“n ¡n, Mð ƒu, K‚t lu“n chung v ki‚n nghà, Danh möc cæng tr…nh li¶n quan trüc ti‚p ‚n lu“n ¡n v T i li»u tham kh£o, phƒn nºi dung ch‰nh cıa lu“n ¡n ÷æc tr…nh b y trong ba ch÷ìng.
Ch÷ìng 1 ÷æc d nh ” giîi thi»u kh¡i ni»m m£ng hi»u martingale v chøng minh mºt sŁ b§t flng thøc moment. Möc 1.1 tr…nh b y phƒn ki‚n thøc chu`n bà li¶n quan ‚n nºi dung cıa c£ lu“n ¡n. Möc 1.2 tr…nh b y kh¡i ni»m m£ng hi»u martingale. Möc 1.3 ÷æc d nh ” chøng minh mºt sŁ b§t flng thøc moment Łi vîi m£ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n.
Ch÷ìng 2 tr…nh b y v• lu“t y‚u sŁ lîn. Möc 2.1 ÷æc d nh ” thi‚t l“p ti¶u chu`n hºi tö suy bi‚n v lu“t y‚u sŁ lîn Kolmogorov-Feller Łi vîi m£ng phò hæp nh“n gi¡ trà trong khæng gian Banach p-kh£ trìn cho tr÷íng hæp jnj ! 1. Möc 2.2 ti‚p töc nghi¶n cøu nhœng v§n • t÷ìng tü nh÷ trong Möc 2.1 Łi vîi m£ng phò hæp theo h ng.
Ch÷ìng 3 tr…nh b y v• lu“t m⁄nh sŁ lîn. Möc 3.1 tr…nh b y phƒn ki‚n thøc chu`n bà li¶n quan ‚n nºi dung cıa hai möc ti‚p theo. Möc 3.2 ÷æc d nh ” nghi¶n cøu lu“t m⁄nh sŁ lîn tŒng qu¡t Łi vîi m£ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n cho tr÷íng hæp n ! 1. Möc 3.3 ÷æc d nh ” mð rºng lu“t m⁄nh sŁ lîn Kolmogorov cho m£ng hi»u martingale nh“n gi¡ trà trong khæng gian Banach p-kh£ trìn v thi‚t l“p mºt sŁ d⁄ng lu“t m⁄nh sŁ lîn Łi vîi m£ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n câ c§u tróc r ng buºc theo khŁi cho tr÷íng hæp jnj ! 1.
...
- tailieumienphi.vn
nguon tai.lieu . vn